Suma directa de subespacios
Objetivos. Estudiar la definici´on y el criterio de la suma directa, conocer ejemplos.
Requisitos. Suma e intersecci´on de subespacios de un espacio vectorial.
1. Definici´on (suma directa). Sean V un espacio vectorial, S1 y S2 subespacios de V . Se dice que V es la suma directa de S1 y S2 si para cualquier v ∈ V existe un ´unico par ordenado (u, w) tal que u ∈ S1, w ∈ S2 y v = u + w:
∀v ∈ V ∃!(u, w) ∈ S1× S2 v = u + w.
2. Teorema (criterio de suma directa). Sea V un espacio vectorial y sean S1 y S2 subespacios de V . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) V es la suma directa de S1 y S2, esto es,
∀v ∈ V ∃!(u, w) ∈ S1× S2 v = u + w.
(b) V = S1+ S2 y S1∩ S2 = {0}.
Demostraci´on. (a)⇒(b). Supongamos que V es la suma directa de S1 y S2. Entonces en particular tenemos que para todo v ∈ V existen u ∈ S1 y w ∈ S2 tales que v = u + w.
Esto significa que V ⊂ S1+ S2. Pero S1+ S2 es un subconjunto de V . Por eso V = S1+ S2. Demostremos que S1∩ S2 = {0}. Supongamos que a ∈ S1∩ S2. Entonces
a = a
|{z}∈
S1
+ 0
|{z}∈
S2
= 0
|{z}∈
S1
+ a
|{z}∈
S2
.
Pero la definici´on de suma directa dice que la representaci´on de a en forma u + w con u ∈ S1, w ∈ S2 es ´unica. Por eso a = 0.
(b)⇒(a). Supongamos que V = S1+S2y S1∩S2 = {0}. Vamos a demostrar que V es la suma directa de S1y S2. Como V = S1+S2, para todo v ∈ V existe un par (u, w) ∈ S1×S2 tal que v = u + w. S´olo falta demostrar que este par es ´unico. Supongamos que
u ∈ S1, w ∈ S2, u + w = v, y tambi´en u0 ∈ S1, w0 ∈ S2, u0+ w0 = v.
Entonces u + w = u0+ w0, u − u0 = w0− w. Pero
u − u0 = u + (−1)u0 ∈ S1, w0− w = w0+ (−1)w ∈ S2.
As´ı que u − u0 ∈ S1 ∩ S2. Por la hip´otesis, S1 ∩ S2 = {0}. Por eso u − u0 = 0, u = u0, w = w0.
Suma directa de subespacios, p´agina 1 de 2
3. Observaci´on. Algunos autores definen la suma directa por la condici´on (b). La con- dici´on (a) es m´as c´omoda para generalizarla al caso de varios subespacios.
4. Ejemplo. Demostrar que el espacio F3 es la suma directa de los siguientes dos subes- pacios:
S1 :=x ∈ F3: x2 = 0 =
x1
0 x3
: x1, x3 ∈ F
= `(e1, e3);
S2 :=x ∈ F3: x1 = x3 = 0 =
0 x2
0
: x2 ∈ F
= `(e2).
5. Ejemplo. En el espacio Mn(R) denotemos por S1 al subespacio que consiste en to- das las matrices sim´etricas y por S2 al subespacio que consiste en todas las matrices antisim´etricas. Demuestre que Mn(R) es la suma directa de S1 y S2.
6. Ejemplo. Denotemos por C(R, C) al espacio vectorial real de las funciones continuas de R en C. Denotemos por S1 y S2 a dos subespacios de C(R, C) que consisten en las funciones pares e impares, respectivamente:
S1 :=f ∈ C(R, C): ∀x ∈ R f(−x) = f(x) ; S2 :=f ∈ C(R, C): ∀x ∈ R f(−x) = −f(x) . Demuestre que C(R, C) es la suma directa de S1 y S2.
Suma directa de subespacios, p´agina 2 de 2