EST AM1
- ---
TICA
ANALISI
'MATEMATICA 1
Problemes i exercicis amb Maple
Albert Avinyó Fernando Martínez
UNIVERSITAT POLITECNICA DE CATALUNYA Biblioteca
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1400697731
ANALISI '
MATEMATICA 1
Problemes i exercicis amb Maple
Títol: Analisi rnaternatica 1
Albert Avinyó Fernando Martínez
Problemes i exercicis amb Maple Autor: Albert Avinyó
Fernando Martínez Diposit Legal: B-37.679-1997
Irnpres per: ÁHLENS
Sor Eulalia d' Anzizu, sin 08034 Barcelona
Facultat de l\lfaternátiques i EsL'ldística Universitat Politecnica de Catalunya
ANALISI MATEMÁTICA 1
PROBLEMES I EXERCICIS AME MAPLE Curs 1997-98. Primer quadrimestre
Albert A vinvó Fernando Martínez
Departament ele Matemática Aplicada JI
Barcelonil, sctembre l (j(J/
Nombres reals complexos
l. Escriviu les expressions segiients prescindint deis valors absoluts:
o)lc-yl-lxl; b) l:cl - lx21:
d) X - l:t + l:cll
2. Trobeu els nombres x ta.Is que:
a) l:i; - 31=2: b) 1.T - ll + l:i; + 31=4;
c)lx+ll<4: d) l:c + ll + 1:1 + 21 < 2;
e) l2:c + 71 2: 3; f) le - ll + l:c + ll = O;
g) l:r - lli1 + 21 = :.J; h) l:c + lll:c - 21 = -(:1 + l)(:c - 2).
3. Demostrell que:
a) !11- yl-lv-zll:Sl:c-zl \fx,y,zEIR;
. a+ b +la - bl
b) max{a,b}=
2 \fa,bEIR:
e o.+ b - la - bl
e) mÍJt {a. bJ =
2 \fa, IJ E IR.
4. Resolell les iuequa.cions segiients: 2x - 2
a) l~I < l;
:t+4
e) l:h - 'íl - l:iT +:JI > O;
5. Resoleu les desigua.ltats segiients:
1 1
<t) ;¡ < "+ 3:
:c2 - S.c + 6
b)l:S I T+2 1<2;
d)
6. Feu una demostra.ció directa, 11n<e pel contrnrrecíproc i una. per reducció a l'absurd de l'afirrnació segiient: n1 é N senar ===> n senas.
7. Trobcll:
;i) La rqires<>11ració d<ecim;il de 19/8 i 23/29.
b) Els 11011ilm.•s rilcionals qnc tcncll per representació decin1al :2 :329¿ 1 IUl.17.
8. Si "./1 "'" r:1cio11éils i 11. •! só11 irracio!lals. digue11 com só11 o+ /J, n-+ /i. o/J. ofl. an i a+'"
fxpliq11i•1J el 111oli1J r1·aq11L'Si. fel i do11e1J PXPt11ples ,¡,, Jlombrcs irraciomils CJ'"' s11111al.s i 111ultiplic;cts
~igu i fl rrH·io11;.-ds.
9. l 111 111iihil recorre 1111 qua.drat de ,·ertex A.B,C i D antb \'elocita.t. co11sta.nt i un a.ltre mobil es 111011 ci>IJr<· lil diilgollal AC :unb la 111ateixa velocita.t, fent movinrent d'anad;i i torna.da. Si en un 1110111<·111 don:11 (•Is dos Jllobils coi11cideixe11 en el punt. A, demostreu qute 110 es tornen a trobar.
. ' . . . ,,, J2
(/!
111) . .10. :1) _e;¡ n1/u 1 f!/1¡ so11 r:1cro1,;tl,; dilerc11t:;, aleshores proveu que - +---:--- - - - es irracronal.
11 2 r¡ n
h) Fc·111 1ís rl<' 1·,,part;it ;interior. proveu q11e e11tre dos raciollals diferents sempre hi ha 1111 ÍIT:-ic:iu11r1!.
11. '1'1·"!"·11 1·1 s11pren1 i l'í11firn. si é'Xisreixe11. deis conjunts segiients:
e) E3 = ¡g+_ el) b'.1 ={e E (O, 1): el desenvolupament decimal de x notó nous}.
12. F('111. 1ís {(n - 1 )/2n
de lo propiet:J.t. arc¡uimedia110.
n E N} t's L/2.
13. Do11:1rs dos s1Jbconj1J11ts .-1 i f3 ele lR deli11im:
proveu que el suprcrn ckl co11j11nl. definit ¡wr
:l + /3 = { r +y i c1; E A, y E B}
. \ B == { ry i .1.· E A. y E B}
Dc111os1 re11 ·
:i) s11p(.l U li) == 111ax{s11pil,sup!3}
h) s" i' ( . \ r1 li) S: 111i11 {"' lf' A, su p 8}
e) oup(.-1 + /-J) = s11p .-\ + sup l-i d) s11p( . .-\ 8) f. s11p .-\·slip B
14. Expresse.u els nombres complexos segiients de la. fornrn a+ vi:
a) (l + :3i)º; b) 2 +Ji
:i- li t(l + i)
d) l + ;-s
15. Siguin z, z1 i z2 tres nombres complexos. Comproveu q11<' se satisfan les propietats segiients:
e) z ·e;= lzl1; d) z+z=2a (a=Re(z)):
")z-:-z=2b (b= lm(z))-
16. C''1lc11le11 el co11j11gat d'n11 nombre complcx expressat l'll for111a polar.
17. Efectne11 les operacions indic;-1des:
2 - :Ji 3 + i
a) (2+Ji)(l+i) - 4(2-1);
e) (.L - iJJ)t
e) (1-i)f;
b) (1 + i)53;
el) (l.+i,/3)10:
.l - 1
f) (-l)t
18. Descriviu geornetricar11e11t el conjunt deis nombres co111pl<'xos z que satisfan cadascuna de IPs condicions segiicnt s:
a)l:::l=2 b) l::I<& c)l:l ::; L d) :; + = = [_ e) :: - = = i; n = +:: = 1::1'
19. [)ouar 11n 110111hr<' CCllnpl<'x w diferent de zero. d<'L<•r111i11l'II ¡wr a qníns complexos :: difcrc11ts df' m el quocie11t : -¡- w /\s 1111 110111bre n·al. D<'i.er111in<•11 t<\111h~· pPr a quins és irnaginari pur.
:: - //)
:Jb - '2ai
20. Deter111i11eu oí 11 dP forrrra que----,-. sigui n·al í dl' rnúdnl l
"l - _,,
:.J
21. E:sbri11eu !'error del ra.011ament següent:
1 = Jl = J(-1)(-1) = ./=lv=T = i1 = -l.
22. Detcrminell la relació entre a i b per tal que el complcx : =o+ bi sati:;b1<'i J;i desig11;iltat
R r: G) + l m G)
<J.23. Si z1 i z2 són nombres complexos, proveu:
b) s1 :1 és no nul, llavo1·s
24. De111ostreu la. formula de De Nioivre, que diu que si n és 1111 110111bre 1•1111,1« ll>11«ns (coso·+; sin o}" = cos(nn) + i siu ( 11n).
25. Hesoleu l'equació TI (coskn + ·isin kü) = l.
k=I
26. Ca.kuleu les arrels setenes ele la. u11ita.t.
21. a) !_;na de les a.rrels CJíbiques d'u11 nornbre cornplex és :Ji. Calcule11 ;iqu<·>J 111111tl1re i les Sl.'I'<<·
altres arrels cúbiq11es.
b) Sabent que :3i és una ilrrel n-esirna d'un nombre con1plex. calrnk11 aq11e.st 110111br<' i les se1«•, altres arrels 11-esimes.
28. De111ostre11 que la Slllllil <IP les arrels cúbiques ele q11alse1«Ji 110111hrr <'0111pJr.x (.,_ z<·ro.
29. Troheu rotes les arrels de ¡·"q11ació :º - 2z'1 + 2 =O.
30. J~esoJeu ;¡ (: Jes equaciorrs Sl'giic11ts:
»)z2+iz+ l=0; b) _-!.
. : - 2 =O; d) z" + (J + + \i-:!).:-:!i=-11 .
Funcions reals de variable real. Límits continuúat
l. Trobe11 el do111i11i de les fiincions segii(ents:
a) J(:c) = /:c2 - 'í:c + 6; :e b) q(J;) = JF=21;
d) k(x) = lu(:c - 1);
cosec x
f) n(:¡;) = a.rcsin(:z:3 + 1).
2. Donen un exemple de funció definida a. l'interval [O, l] que 110 estigui titada.
3. 'Trobeu les iuverses de les funcions següents als in1.crvals 011 sigui possible:
a) f(:r) = cosl1 +
e) h(c) = ln(:3 +
4. Dernost:.reu les identitats següeitts:
<t) tan~== siii.1; .
- l + cos J'
h) cos :i; + cos y = :2 cos .r; 11 en.e.;
e) L'sin :e cosy = sin(:r - r¡) + sin(:c +y).
sinh(x +y) el) ta11l1:e+lcllllr1¡ = .
· cosh t rosh y
'.):r; + l
b)g(.r)= :r-2;
el) k(:c) = argsinh
'>
;t-
1 + x4
5. Si:;11i la f1111ri(i f\r) = ~(.r +~) definida en [l, +oo). Delllost.rcu que és una contracció, é•s adir,
<':o:islt•ix ¡,·E (O, 1) tal q11e-lf(:r1) - f(:c2)l -:C: KIJ;¡ - :t2I pera t.ot.1:¡,:r>¿ E [L+oo).
6. Fent servir la dcfinició de lí111iL demoslreu que lim :c2 = ci'
1:-+n
7. Calc11le11 ds límits següe11Ls: . x·1 + .rJ + :7:
;1) li111 -~,--- .1:-¡.() .r-- 2.1;
/T+T-~
h) li111 - ' - - - -
J"-t0 .r
J;J.r+l-Jc+:3 ~ ~
e) li111 v.):c + :3 - v'.h: + "; d) lin1(1+51;)+:
.r---+ !
e) l 1 fil ( .) ' + 2 ) 2x '-te<e 3 ! - 1
(
.1·2+2x-l)x+l
g) lilll ;
.•·-->(-2) X+:)
sin:? .r +sin :1: - 2 i) li n~ -.-.-2- - -- -- - .r-+ 2 s111 r --~sin:r+:):
- l 111) li111
r-tl J: - 1
o) 11111
. (ª+
+ '."+ -1)'º
:J"---+·-v L
.r-+0
!) lirn (cot:c - cot 2.r):
x-+U
. . J(l + ax)(.1 +in) - l
lt) 11111 . ;
1·-HJ .r
J;
.i) li111
.r-+ x,
Jr+ ~
.
1'f-2x++1
1) lim
•-'l (:r - l)2
n) lirn _,..11 - y1i
1·-+y :r - y
8. Sigui 111 1111 en ter positiu i P(.r) == (Lo+ a1 x + · · · + ªm-I :1·tr' -1 + T1n. ui1 polir10111i Oemostre11 que exiol''ix 11¡¡ .\! E iR. t;¡[ que
pera 101 .r > 1\I.
9. Di'111u:-;1 rt'IJ !;1 cu11ti1111·1·1;11 de !es funcions segi_ients a p<1-J"tir de la. defi11ició:
b) f(c) = iil + 10.
si11 2(h) 111 Jr + :.>J
10. l:>t11di<'ll /;1 contin11úal de /;i funció f(:c) = J ., .
X + :r-
11. -;¡e_11i f IR.---¡ IR 1111;1 f1111ció contí1111a tal que f(:c) =O ¡><'r :1 tol. .r E I()!. lh·111oslr<'11 q11e. f ha de ser L-1 f11nció co11s1allt. igual a zero.
12. Dcmostre1J q1Je la funció
{ J(:i:) = l. .
o,
SI 1: E Q:
SI :i E IR\ Q:
és discont.ínua <'11 tot nombre real.
13. Sigui f . lR'.---+ IR defi11ida pcr
SI TE IR\ Q:
J(:i:) = {x, .
1-T, SI TE Q.
DP111ostreu q1J(' iírticai11e11t és contínua en el punt x = ;.
l4. De111ostrt'll q11c· si 11na !unció és contínua també ho ha de ser el sen valor absol11t, i done1J u11
<'Xernple q11c· il·l11-tri '!""el recíproc no és cert.
15. Doncu un exernple de clues funcions discontínues en el pu11t :e= -3 t.als que la seva s11rna sigui coritíuua a tot arrc11.
16. Cunsidere11 les f11ncions següents:
/(1) = {~· .. ,. + 11 si s1 :r :e > ':'.O; O; g(x) = {
l.
-10,
SI CC > l;
SI :e < l.
Estudie" la contiuuú.at de g o f en el punt O. Coutradiu aixo el teorema sobre la composició de fiillciom.; cont.í1111E:':.:>''.
17. Sig11i J(:r) 1111a l1111ció tal que !f(:r)I $ l:rl pera tot :r real. Demostreu que f(:c) és co11tí11ua e11
Zf'rO.
18. [q11dieu In rn11ti111útat de les funcions segiients:
f(:i:) = :¡;
si .e f O:
{ si.11 .e.
O. altran1ent:
{
l . 1
L'~.1 +~in -.
h(r) = '
O.
si :i: f O:
"1 tra.meut:
{
,..,¡;-~il SI :e> l:q(.t) = , = - . .. l '
f' c1 Si J_; < 1.
7
{
p-;; l
r¡(.r) = · '
. o,
si T f O;
~.ltrarncnt;
¡ __
1_1' ~;i :r; #-O;111(.c) = (1).,- e:;-
altra.n1cnt.
19. Fent servir que 1 sin xi :S !xi pera tot x E IR., demostreu que la funció y= sin :t és contÍJ1ua en zero. Tenillt en compte ara que sin x - sin 1t =sin ~(x - u) cos 1(:t - u), den1ostre11 que és contÍnlla en t.ot IR..
20. Dire1J1 que una funció és additiva. si compleix f(x +y)= f(x) + f(y) I"''"" q11alssevol :e, _r¡ E IR.. Dernostre11 que una f11nció a.dditiva. que és conl.Ínua. en zero lio és Pn tots Pis n>als.
21. Sigui g : lR --7 ~ una funció que compleix g(x +y) = g(J;)g(y) per a tol. :e, y E IR. Den1ostren que si g és contínua en el zero ho és també en tots els altres punts de 1~ recta real. DemostrPn larnbé que si existeix un nombre real a tal que g(a) =O llavors g(x) = O pera t.ot :e E IR..
22. Traceu les griifiques i trobeu els punts de discontinu"1'ta.t de les fn11cions: J(1;) = [x); f(x) = [2si111;]:
f(x) = X - (:t); f(x) =sin H_.,:J:
f(x) = [:e]- [-x];
011 [r] indica la. pan entera. del nombre r, ésa dir, el nombre enter in1n1<1diat;1111enL 111és pé1l.it o igllal q11e r.
23. Trobeu qua.nt lia de valer la funció següent en el punt 2 per t.al q11e sigui coi1tí11ua en tot IR::
4x2 - 7"; - 2
f(x) = :_lx _ 6 si .r f:. 1.
24. Digue11 pera quins valors de a és contíntra. Ja. funció
{ X+ l.
f(1;) = ' ~ ,2
.j - a X ,
SI X :S J:
SI J; > .l.
2.S. 1-lusqueu i classifiqueu els punts de discontin11"1'tat de les fn11cions st•¡;ii<'11ls:
.7; - '.J f(.c)= . .•
.c2 - X - (¡
_,.·2 - :)./" + :_!
q(x) = . . :
• .C'J + :_s.r2 + 1..r
r
SI :1: < l./¡(;¡;) = 2. SI :r 1:
21:, Sl :¡; > l.
26. Trobeu els valors A, B i Ca fi que les funcions següents siguin contínues:
{ x2 - 4
f(:r) = :e - 2 '
A
si :r ;!:-2:
SI .f' = 2;
{
(1 + .-z:)" - 1
_r¡(:r) = X ' s1 :e# O;
B s1 :e= O;
:c"+3x-+x_
{
- ?
/i(.J) = :¡;2 + l SI :f' # O:
e SI :r = IJ.
27. Dernostre11 que l'eq11ació In .r :i:2
- -h té alinenvs una solució real a l'interval (L +oc)
28. Demostrt-u q11<e pcr alg1111 :1 E IR es compleix la igualtat
133 -'- _ _ _ ,_J(_i-_I - - l.
29. De111ostreu q11e si f : [O, J] --+ [O. 1] és una funció co11tínua. lla,vors existeix un :e E IR tal que f(.-z:) = l .
30. Sigui f: (11 .. '1]-+ [O. +ex:) 1111;i f'u11rió co11tí111¡;1. Dernost.reu <!'"', donats n p1111t.s :r1, . . . . rn de l"interval [a,'1], existcix 1111 p1111t 1· E [11.b) tal que f(J;) = (f(:c¡) · · ·f(:i;n))1!"_
31. Sig11i11 f i !J ciuPs fu11cio11s contí1111es e11 [a. u] tals que f([a. b]) C g([a, b]) = (0, I]. De111ostreu que existeix e E (11. '1] Lil que .f(c) = y(r).
32. Sigui f [O, l] --+ IR 1111<1 1'1111ció cuntí1111<1 tal que .f(O)
t E (O, 1] tal que f(1) = f(.r+ jl
f( 1). 1Je111ostre11 que exisreix 1111
33. Cst11die11 \;i co11t.i11uúat de les h111ciu11s segiie11ts e11 <·I p1111t O:
a)f(.r)= ~-
:) - t ·'
34. Den1ost.re11 q11e l'<·q11ació sin .r :r - l té 11na. so\11ció real.
35. És possible aplicar el teorema. de Bolzano a la funció f(x) = - - -, en l'iuterval [-1, l]'I l - e>
Üi'niostrc11 q11e l'equació f(.r) + ~ =O té solució, i trobeu un ini.crval de longit11d menor o igual ;¡
1/:1 que l;i contingui.
36. Trobeu les solucio11s de les equacions segiients an1b error més petit que 0.01.
o) J3=3x-3; b) X = ex - 1:
e) 2x - In x = 4; d) 2x4 = 141·2 - 142· + l.
Funcions reals de variable real. Derivabilitat
l. Calculeu. urilirzant la. cletiuició. la derivada de la funció f(:i;) = sin J; eu el punt x =a.
2. Sig11i f 1111<-1 funció derivable a R. Se su posa. que PXisteix Ulla successió (an) de punts fixos de la.
funció f ;rn1b lí1nit. a E R. Calculeu J(11) i f'(a).
f(x) = {1·2.
º·
Sl ;f E !QI;
Sl T fc !QI.
4. Sigui f R-+ IR. De1nostre11 que si lf(:c)i ::; l"·'I° pera tot x E R ambo > 1, llavors f és deri1·ablc en ZPJO. rnentre '!"''si J s;it.isfa la condició lf(:r)l 2: icciil amb O< f3 < 1 i /(O)= O, !lavors
r 110 (__',~ deriv;--¡\ij(' ('!J zero.
5. Sigui f la C11nció defi11icla pcr
{
x2. s1 :e::; 2;
f(1) = .
llT + /J. SI :r > 2.
Dctern1i1iC-'u el' 1·;ilors de les co11sta11rs CL i b per ral que f sigui derivable en el punt ;¡; = 2.
6. Den1ost r''" q11e si f és derivable en d punt 1; =a llavors tarnbé ho és la funció IJl1 sernpre que f(11) # O. Do111•11 1111 cunt.raexcmple pcl casque /(a)= O.
7. J)p¡¡¡ostre11 '!'"'si f é·s una funció contínua en .T =a, aleshorcs la funció F(:r) = (x - a)f(x) és derÍY;d\I(• ( ' \ I ) = (/, c¿11;1nt 1·;11 F'(a)?
8. Sigui11 / 1 (2 . . 'li i q1 qu;itre C1111cio11s derivables en l'ir1Lerval (a, b). I'vlítja.r1i:;a.11t el deterrninant sl'giienl, deli11Í1!1 c>11 (o,&) 1111a nm'<l filncíó F:
l
f¡( .. r) F(r) =
(j¡ 1 ,/')
fz(:r)I
(!2( :r)
I
I{ (r) P1(T) =
(l¡(.r)
IH'll + 1/:(1)
Y1(r)I .'/¡ (7 )
11
h(x)I
(!~ (:r)
9. Sigui r¡ una funció contínua. en !'origen. Proveu que la funció f definid<t per /(x) = xg(x) és derivable en !'origen i trobeu J'(O) en termes de g.
10. Trobeu f' en termes de r¡' en els casos segiients:
a) f(x) = g(:r + q(a)): b) J(:c) = g(3; · q(a));
e) f(:r) = g(x + q(:c)); d) J(:c) = q(:c) ·(:e - a);
e) J(x) = g(a) · ("; - a)
11. Ca.lculeu i sirnplifiqueu les derivades de les funcions segiienl.s:
.i:' - 1
a) . y=ln-,,.., .- -+J.·: .
:t (/
b) y= sin(ln :1;):
. l el) y= arcs111 - :
,fo
} tan "2 + t.a n 2" .
a·) 1j = _-_ In X a '
0
. si 11 a tan -· - tan -
1 :b:+ l h) y= In )x2 + :1; + 1- r.; arct.<111 ----¡:;---·
v:) V:)
2 2
12. Signi /(1;) = :c(x - J)(x - 2) ... (:e - 1000) Trobeu f'(O).
13. Trolwu els ,·a.lors ele a, b, e ¡wr als quals les grafiques de .f(:t) = .1:'1+u.1·+11 i y(:r) = x3 - e es tallen al p11nt ( 1. 2) i te11e11 la. mateixa tangent. en a.quest punt.
14. Dc'111ost.r<>u qnc' pera. l.ot r11 E IR:.. la f1111rió polini:llnic;i j;,.(:i:) = .r" - :l.r + 111 110 if' dues arrels en (O. l]
15. Sig11i J: [O. l] -t [O, 1] una f'u11ció contínua i derivitb!e L1I qne f'(ci:) fe l ¡wr il tot ";E [O, .l].
Dc11ws1.r<"ll qnt~ existeix 11n 1í11ic :cu E (O. l] tal qne J(:1;0) ="'u·
16. l'::s co11sidera la 1·1111riú poli11irn1ic;1 J,, (:r) = .r" +:e" -1 + · · + .r - 1 ¡wr a tot. n > J. Dernostrell q11e .fn(.r) té llila 1í11ica. arre! positiv;1. Si es representa aqnesta arre! ¡)\'r n,,. prov<"I qne l~successi<Í
(01,,) é~ convergent.
17. Si f és una funció que posseeix tercera derivada finita en [a. b] i si f(a) = J(b) = J'(a) = J'(b) =O
dernostreu que la tercera. derivada també s'anul-la. en u11 p111it dP 1·intcrval (a, b).
18. Demostren que si f i g són contínues en [a, b] i deri\«1bles !!ll (a.. /J) i r¡'(x) i= O per a t.ot :t de (a, b). lla.vors existeix algun x de (a, b) amb
J'(x) g'(x)
J(x) - J(a) g(b) - g(~c) ·
19. Su posen que f és derivable en [n, b]. Demostreu que si PI rnu11rn de f sobre [a., b] e.st.a en a llavors f'(a) ;: O i que si esta eu b llavors J'(b) S:: O.
20. Sigui i\.l,, el \il.lor mhim de la funció fn(x) = nx(l - .1:)n a l"i11ten·al t'ir1rnt [0.1].
( )
n+I
n
ri +J .
b) Calculc•u li111 .\/".
11--~ -"<
21. Sigui f deriYable ral que}'._;~ xJ'(x) =O. Proveu que 11.'!1~ (.f(:h + 2) - f(J:)) =O.
22. Ü<'111ost.r<>11 'I '"' 1 01;, fit 11ció f dt>li niela en u u cert interval [a. b] i dPri1«1 ble PII (a,/,) q ne co111 pleixi
pera qnalsS<•\ol .c1 .. r2 1 per a u11a certa constant m > l és una funció constant.
23. Si~11i f: ["· '']--:-?; 1IJ1a fu11ció cont.ínua a l'interval [o. b) i d<>riv;ible a l"ohert (a. b). Den1ost.reu
""" PXÍSl<'iX 1¿(o.11) I<il que
24. De111ust r<'ll ll's dl'siguallat.s segiient.s:
.r
;\);\n:\;1n.r> ~-
b) ln(l + r2) e:: .r-.
(/, J" . r
r) l - - < In - <
.r ,, 11
~¡ :e > lL
pera tot. .r 1. si O < a < J;.
1:1
