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1.- Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas.

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Academic year: 2021

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IES “Salvador Serrano” – Departamento de Matemáticas.

MATEMÁTICAS APLICADAS - CUARTO DE ESO C 2019 / 20 1

TEMA 7: SISTEMAS DE ECUACIONES.

1.- Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas.

DEFINICIÓN: (Ecuación Lineal con dos Incógnitas)

Se define una ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS como sigue:

+ = : , , ∈ ℝ INCÓGNITAS: ,

COEFICIENTES DE LAS INCÓGNITAS: , TÉRMINO INDEPENDIENTE:

DEFINICIÓN: (Solución)

Se define una SOLUCIÓN de la ecuación anterior como una pareja de números reales, , que verifica la ecuación, es decir que sustituidos los valores e por las incógnitas e , respectivamente en la ecuación, la igualdad es cierta.

EJEMPLO:

2 + 3 = 1

−1, 1 es solución, 2 · −1 + 3 · 1 = −2 + 3 = 1 1, 1 no es solución, 2 · 1 + 3 · 1 = 2 + 3 = 5 ≠ 1

Se puede comprobar que la ecuación anterior tiene más soluciones, además de la del ejemplo. Es fácil razonar que podemos generar todas las soluciones que queramos, asignando un valor arbitrario a una de las incógnitas y obteniendo el valor de la otra, despejando en una sencilla ecuación de primer grado.

Si despejamos la incógnita previamente el proceso será más cómodo.

2 + 3 = 1 3 = 1 − 2

= 1 − 2 3 Con esta estrategia hemos demostrado que:

TODA ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS TIENE INFINITAS SOLUCIONES.

Veamos copmo obtener cuatro de ellas, ordenando los cálculos en una tabla:

= 1 − 2

3 Soluciones

−2 = 1 − 2 · −2

3 = 5

3 ( = −2, = 5

3)

−1 = 1 − 2 · −1

3 = 3

3 = 1 = −1, = 1

0 = 1 − 2 · 0

3 = 1

3 ( = 0, = 1

3) 2 = 1 − 2 · 2

3 = −3

3 = −1 = 2, = −1

… … …

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Podemos representar las soluciones como PUNTOS en un plano determinado por los ejes cartesianos.

Se puede demostrar que:

TODA ECUACIÓN LINEAL, + = , TIENE INFINITAS SOLUCIONES que representan los PUNTOS de una RECTA.

2.- Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Clasificación.

Si nos proponemos buscar soluciones comunes de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas estaremos planteando un SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS . En general todos se reducen a la forma que sigue:

9 + =

:

+

:

= ′ , , ,

:

,

:

, ′ ∈ ℝ<

DEFINICIÓN: (Solución)

Se define la SOLUCIÓN DE UN SISTEMA como el anterior como la soluciones comunes de ambas ecuaciones por separado. Es decir una pareja de números reales = , = que sustituidos por las incógintas transforman las ecuaciones en igualdades (verifican las ecuaciones).

Dado que cada ecuación se interpreta como una recta de infinitos puntos, las soluciones del sistema serán los puntos en común de las dos rectas (puntos de corte de las rectas).

A partir de distintas posibilidades que pueden presentar dos rectas dibujadas en el plano (POSICIÓN RELATIVA DE LAS RECTAS), en cuanto a sus puntos de corte, podemos clasificar los sitema en tres tipos:

CLASIFICACIÓN SEGÚN EL NÚMERO DE SOLUCIONES:

Dado el sistema: 9 + =

:

+

:

= ′ < , =olo puede ajustarse a alguno de los tipos que siguen:

 COMPATIBLE Y DETERMINADO: Las rectas solo tienen un punto en común (RECTAS SECANTES).

′ ≠ ′

El sistema tiene una SOLUCIÓN ÚNICA.

 COMPATIBLE E INDETERMINADO: Las rectas tienen infinitos punto en común (RECTAS COINCIDENTES).

′ = ′ = ′

El sistema tiene INFINITAS SOUCIONES.

 INCOMPATIBLE: Las rectas no tienen ningún punto en común (RECTAS PARALELAS).

′ = ′ ≠ ′

El sistema NO TIENE SOLUCIONES.

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3.- Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Métodos de Resolución.

Veremos en esta pregunta tres procedimientos por etapas con el objetivo de encontrar la solución única de un SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. Lo haremos explicando en cada caso su aplicación con la ayuda de un ejemplo:

Sea el sistema:

93 + = 13 2 + 3 = 4 <

NOTA: Antes de la aplicación de los procedimientos hay que reducir el sistema como el del ejemplo.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

i) DESPEJAMOS una de las dos incógnitas en cualquiera de las ecuaciones.

Decidimos despejar la incógnita en la primera ecuación:

3 + = 13

= 13 − 3

ii) A continuación, SUSTITUIMOS la expresión obtenida en la ecuación no utulizada antes:

Sustituimos la expresión en la segunda ecuación:

2 + 3 = 4 2 + 3 13 − 3 = 4 iii) RESOLVEMOS la ecuación planteada con una sola incógnita:

2 + 3 13 − 3 = 4 2 + 39 − 9 = 4

−7 = −35 7 = 35

= 5

Hemos obtenido la mitad de la solución, el valor de la primera incógnita, .

iv) Por último, SUSTITUIMOS el valor de la incógnita encontrado en la expresión obtenida en la primera etapa:

= 13 − 3 = 13 − 3 · 5 = 13 − 15 = −2 Ya hemos encontrado la SOLUCIÓN COMPLETA del sistema:

= 5, = −2

MÉTODO DE REDUCCIÓN:

93 + = 13 2 + 3 = 4 <

i) MULTIPLICAMOS las ecuaciones por números adecuados con el objeto de que una de la incógnitas tenga coeficientes opuestos.

Decidimos multiplicar por −3 la primera ecuación:

9−9 − 3 = −39 2 + 3 = 4 <

ii) A continuación, SUMAMOS las dos ecuaciones resultantes:

−7 = −35 iii) RESOLVEMOS la ecuación planteada con una sola incógnita:

7 = 35

= 5

Hemos obtenido la mitad de la solución, el valor de la primera incógnita, .

iv) Por último, SUSTITUIMOS el valor de la incógnita encontrado en alguna de las ecuaciones del sistema y resolvemos la ecuación planteada:

Sustituimos = 5 en la primera ecuación del sistema:

3 · 5 + = 13 15 + = 13

= −2 Ya hemos encontrado la SOLUCIÓN COMPLETA del sistema:

= 5, = −2

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MÉTODO DE IGUALACIÓN:

93 + = 13 2 + 3 = 4 <

i) DESPEJAMOS la misma incógnita en las dos ecuaciones:

Decidimos despejar la incógnita :

A = 13 − 3

= 4 − 2 3

<

ii) A continuación, IGUALAMOS las expresiones de la incógnita despejada:

13 − 3 = 4 − 2 iii) RESOLVEMOS la ecuación planteada con una sola incógnita: 3

3 13 − 3

3 = 4 − 2

3 13 − 3 = 4 − 2 3 39 − 9 = 4 − 2

−7 = −35

= 5

Hemos obtenido la mitad de la solución, el valor de la primera incógnita, .

iv) Por último, SUSTITUIMOS el valor de la incógnita encontrado en alguna de las expresiones obtenidas en la primera etapa:

Sustituimos = 5 en la primera de la expresiones:

= 13 − 3 = 13 − 3 · 5 = 13 − 15 = −2 Ya hemos encontrado la SOLUCIÓN COMPLETA del sistema:

= 5, = −2

Referencias

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