IES “Salvador Serrano” – Departamento de Matemáticas.
MATEMÁTICAS APLICADAS - CUARTO DE ESO C 2019 / 20 1
TEMA 7: SISTEMAS DE ECUACIONES.
1.- Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas.
DEFINICIÓN: (Ecuación Lineal con dos Incógnitas)
Se define una ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS como sigue:
+ = : , , ∈ ℝ INCÓGNITAS: ,
COEFICIENTES DE LAS INCÓGNITAS: , TÉRMINO INDEPENDIENTE:
DEFINICIÓN: (Solución)
Se define una SOLUCIÓN de la ecuación anterior como una pareja de números reales, , que verifica la ecuación, es decir que sustituidos los valores e por las incógnitas e , respectivamente en la ecuación, la igualdad es cierta.
EJEMPLO:
2 + 3 = 1
−1, 1 es solución, 2 · −1 + 3 · 1 = −2 + 3 = 1 1, 1 no es solución, 2 · 1 + 3 · 1 = 2 + 3 = 5 ≠ 1
Se puede comprobar que la ecuación anterior tiene más soluciones, además de la del ejemplo. Es fácil razonar que podemos generar todas las soluciones que queramos, asignando un valor arbitrario a una de las incógnitas y obteniendo el valor de la otra, despejando en una sencilla ecuación de primer grado.
Si despejamos la incógnita previamente el proceso será más cómodo.
2 + 3 = 1 3 = 1 − 2
= 1 − 2 3 Con esta estrategia hemos demostrado que:
TODA ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS TIENE INFINITAS SOLUCIONES.
Veamos copmo obtener cuatro de ellas, ordenando los cálculos en una tabla:
= 1 − 2
3 Soluciones
−2 = 1 − 2 · −2
3 = 5
3 ( = −2, = 5
3)
−1 = 1 − 2 · −1
3 = 3
3 = 1 = −1, = 1
0 = 1 − 2 · 0
3 = 1
3 ( = 0, = 1
3) 2 = 1 − 2 · 2
3 = −3
3 = −1 = 2, = −1
… … …
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Podemos representar las soluciones como PUNTOS en un plano determinado por los ejes cartesianos.
Se puede demostrar que:
TODA ECUACIÓN LINEAL, + = , TIENE INFINITAS SOLUCIONES que representan los PUNTOS de una RECTA.
2.- Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Clasificación.
Si nos proponemos buscar soluciones comunes de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas estaremos planteando un SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS . En general todos se reducen a la forma que sigue:
9 + =
:
+
:= ′ , , ,
:,
:, ′ ∈ ℝ<
DEFINICIÓN: (Solución)
Se define la SOLUCIÓN DE UN SISTEMA como el anterior como la soluciones comunes de ambas ecuaciones por separado. Es decir una pareja de números reales = , = que sustituidos por las incógintas transforman las ecuaciones en igualdades (verifican las ecuaciones).
Dado que cada ecuación se interpreta como una recta de infinitos puntos, las soluciones del sistema serán los puntos en común de las dos rectas (puntos de corte de las rectas).
A partir de distintas posibilidades que pueden presentar dos rectas dibujadas en el plano (POSICIÓN RELATIVA DE LAS RECTAS), en cuanto a sus puntos de corte, podemos clasificar los sitema en tres tipos:
CLASIFICACIÓN SEGÚN EL NÚMERO DE SOLUCIONES:
Dado el sistema: 9 + =
: