Cap´ıtulo 7 Funciones de varias variables: l´ımite y continuidad

Cap´ıtulo 7

Funciones de varias variables:

l´ımite y continuidad

Con este tema iniciamos el c´alculo diferencial en varias variables, cuyo ob- jetivo es el estudio de las propiedades de variaci´on de las funciones reales de varias variables reales. Aunque con algunas complicaciones t´ecnicas propias del c´alculo de varias variables, en buena medida se seguir´a un camino para- lelo al seguido en el desarrollo del c´alculo de una variable. Estudiaremos los conceptos de l´ımite y continuidad de funciones y seguidamente abordaremos los conceptos de derivada parcial y diferencial. Para facilitar el aprendizaje, desarrollaremos el tema para el caso de funciones de dos variables reales, aunque todas las nociones que consideraremos son v´alidas para funciones de cualquier n´umero de variables. Por ello, cuando sea conveniente, al final de cada tema mencionaremos brevemente el caso de funciones de tres variables considerando alg´un ejemplo adecuado.

7.1. El plano R ² .

Del mismo modo que iniciamos el estudio de las funciones de una va-

riable considerando el cuerpo R de los n´umeros reales, al enfrentarnos con

las funciones de dos variables debemos ocuparnos del conjunto R

, donde se

‘mover´a’ el par de variables (x, y).

Recordemos que R

denota el conjunto de todos los pares ordenados de n´umeros reales: R

= {(x, y) : x, y ∈ R}. x e y reciben el nombre de compo- nentes del par (x, y). Con los elementos de R

pueden realizarse dos opera- ciones naturales:

- Suma: (x

, y

) + (x

, y

) = (x

+ x

, y

+ y

).

- Producto por un n´umero real: α · (x, y) = (α · x, α · y).

La suma es una operaci´on interna y el producto por un n´umero real, externa. Con estas dos operaciones R

es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los n´umeros reales. Es f´acil comprobar que su dimensi´on es 2, pues se verifica (x, y) = x·e

+y ·e

, para cualquier par (x, y) ∈ R

, siendo e

= (1, 0) y e

= (0, 1). Por tanto, {e

, e

} es una base de R

, que recibe el nombre de base can´ onica. En esta base, las coordenadas de (x, y) son sus propias componentes x e y.

Los elementos de R

pueden representarse como puntos de un plano. Para ello, debemos escoger un sistema cartesiano de coordenadas en el plano en cuesti´on. Si P es el punto del plano que tiene por coordenadas en dicho sistema x e y, le haremos corresponder el par (x, y) ∈ R

. Se dir´a que P es la representaci´on gr´afica del par (x, y). Esta correspondencia entre R

y los puntos del plano es biun´ıvoca.

Ejemplos 7.1.1. a) Representar gr´aficamente en el plano el conjunto A = {(x, y) : y ≥ x

, x ≥ 0, y ≥ 0}.

Se trata de un conjunto contenido en el primer cuadrante y que queda

‘por encima de la par´abola’ y = x

. Un punto de coordenadas (x, y) tal que

y = x

pertenece a la par´abola y = x

. Si trazamos por este punto una recta

perpendicular al eje OX, los puntos de esta recta que est´an por encima de

la par´abola tienen por coordenadas (x, y) con y > x

, mientras que los que

est´an por debajo son de la forma (x, y) con y < x

.

Y

X O

y = x² A

b) Idem con el conjunto A = {(x, y) : 0 ≤ x · y ≤ 1}.

El producto x · y es no negativo; por tanto, x e y tienen el mismo signo.

Entonces el conjunto consta de dos partes, una en el primer cuadrante y la otra en el tercero. En el caso del primer cuadrante y ≤

. Por tanto, se trata de la regi´on que queda por debajo de la curva y =

. En el tercer cuadrante se trata de la regi´on que queda por encima de dicha curva

Y

O

X y = 1/x

A

c) A = [a, b] × [c, d] se representa en el plano como un rect´angulo paralelo a los ejes. En efecto, (x, y) ∈ A si y s´olo si a ≤ x ≤ b y c ≤ y ≤ d.

Y

X

O a b

c d

A

Dados dos puntos de R

, a = (x

, y

) y b = (x

, y

), se define su dis- tancia por d(a, b) = + p

(x

− x

)

+ (y

− y

)

. N´otese que se trata de la distancia entre los correspondientes puntos del plano P

(x

, y

) y P

(x

, y

).

La distancia tiene las propiedades siguientes:

D1) d(a, b) = 0 si y s´olo si a = b.

D2) d(a, b) = d(b, a).

D3) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b), cualesquiera que sean a, b y c en R

.

Esta propiedad recibe el nombre de desigualdad triangular, pues ex-

presa la conocida propiedad de los lados de un tri´angulo que afirma: En un

tri´angulo la longitud de cualquier lado es menor o igual que la suma de las

longitudes de los otros dos. Necesitaremos tambi´en el concepto de producto

escalar (o interior.

a b

c Y

X O

Si a = (a

, a

) y b = (b

, b

), se define a · b = a

b

+ a

b

. Propiedades obvias son las siguientes:

(1) a · (b + c) = a · b + a · c.

(2) λ(a · b) = (λa) · b = a · (λb).

(3) a · a = a

+ a

.

p a

+ a

es el m´odulo del vector ~ OP , si P es el punto del plano de coordenadas (a

, a

), y se suele denotar por kak (norma de a). Con esta notaci´on, (3) adopta la forma

(3’) a · a = kak

.

N´otese que d(a, b) = ka − bk.

Para abordar el concepto de l´ımite de una funci´on, necesitamos introducir un m´ınimo de nociones topol´ogicas que nos ayudar´an a expresar de forma m´as simple y precisa las definiciones y resultados que encontraremos en nuestro estudio del c´alculo diferencial en varias variables (topolog´ıa, del griego topos y logia, es la parte de las matem´aticas que se ocupa del espacio).

Definici´ on 7.1.2. Si (x

, y

) ∈ R

y r > 0, se llama entorno cerrado de

centro (x

, y

) y radio r al conjunto formado por todos los pares (x, y) ∈ R

tales que su distancia a (x

, y

) es menor o igual que r, y se denota por E

(x

, y

). Es decir, se trata del conjunto

{(x, y) ∈ R

: p

(x − x

)

+ (y − y

)

≤ r}.

Por tanto, E

(x

, y

) representa gr´aficamente el c´ırculo de radio r y centro (x

, y

). Se llama entorno abierto al conjunto

{(x, y) ∈ R

: p

(x − x

)

+ (y − y

)

< r}

y se denota por E

(x

, y

). En este caso no forman parte del entorno los pun- tos de la circunferencia de centro (x

, y

) y radio r. En el c´alculo de l´ımites, se usar´a a menudo el entorno perforado E

(x

, y

) que se diferencia del anterior en el hecho de que no incluye el centro (x

, y

).

Definici´ on 7.1.3. Sean D un subconjunto de R

y (x

, y

) ∈ R

. Diremos que (x

, y

) es un punto de acumulaci´ on de D si D ∩ E

(x

, y

) 6= ∅, para cada r > 0; es decir, en todo entorno de (x

, y

) (por peque˜no que sea su radio) existen puntos de D diferentes de (x

, y

). S´olo para estos puntos tiene sentido calcular el l´ımite de una funci´on cuyo dominio sea D.

Definici´ on 7.1.4. Sean D un subconjunto de R

y (x

, y

) ∈ R

. Diremos que (x

, y

) es un punto interior de D si este conjunto contiene ´ıntegramen- te un entorno de (x

, y

). Si todos los puntos de D son interiores, diremos que D es un conjunto abierto de R

.

Definici´ on 7.1.5. Un conjunto D se llama cerrado si contiene todos sus puntos de acumulaci´on. Es f´acil demostrar que los conjuntos cerrados son precisamente los conjuntos cuyo complemento en R

es un conjunto abierto.

Efectivamente, si el complemento de D es abierto, entonces un punto (x

, y

)

que no pertenezca a D no puede ser de acumulaci´on para D, debido a que es

interior a D

y, por ello, existe un entorno de (x

, y

) contenido en D

. Tal entorno tiene intersecci´on vac´ıa con D. Conviene destacar que un conjunto que no es abierto tambi´en puede ser no cerrado.

Definici´ on 7.1.6. Sean D un subconjunto de R

y (x

, y

) ∈ R

. Diremos que (x

, y

) es un punto frontera de D si en todo entorno de (x

, y

) existen puntos de D y puntos que no pertenecen a D. El conjunto formado por todos los puntos frontera de D recibe el nombre de frontera de D.

Ejemplos 7.1.7. a) Encontrar los puntos de acumulaci´on, puntos frontera y los puntos interiores del conjunto D = {(x, y) ∈ R

: x > 0, y > 0}.

- Todo par (x

, y

) con x

≥ 0 e y

≥ 0 es un punto de acumulaci´on de D (n´otese que todo entorno de centro en tal punto tiene en com´un con D como m´ınimo un cuadrante).

- D es abierto, pues todos sus puntos son interiores. En efecto, si (x

, y

) ∈ D, entonces x

> 0 e y

> 0. Si tomamos r = min{x

, y

}, se verifica clara- mente E

(x

, y

) ⊂ D.

- El conjunto frontera es el formado por los semiejes positivos.

b) D = {(x, y) ∈ R

: x ≥ 0, 0 ≤ y < x

}.

Este conjunto no es abierto porque no todos sus puntos son interiores. Por

ejemplo, los puntos de la forma (x, 0) con x ≥ 0. Tampoco es cerrado ya que

no contiene a todos sus puntos de acumulaci´on. En efecto, los puntos de la

forma (x, x

) con x ≥ 0(pertenecen a la par´abola y = x

) son claramente de

acumulaci´on y no pertenecen a D. El conjunto frontera consta de los puntos

del eje OX positivo y de los puntos de la par´abola de la forma (x, x

) con

x ≥ 0.

Y

O X

y = x

D

Terminamos este apartado con la definici´on de conjunto acotado. Di- remos que D es acotado si las distancias entre dos puntos cualesquiera de D permanecen acotadas. Es decir, existe una constante positiva c tal que d(a, b) ≤ c, para todos a y b pertenecientes a D. Todo conjunto acotado est´a contenido en un entorno de uno de sus puntos (basta tomar el radio igual a c).

7.2. Funciones de dos variables.

En las ciencias experimentales, cuando se estudia un determinado fen´o- meno, se da a menudo el caso de que ´este quede completamente descrito me- diante una ley que establece una relaci´on funcional entre varias magnitudes fundamentales. As´ı, por ejemplo, la ley que establece para los gases perfectos que, si P , V y T son la presi´on, el volumen y la temperatura absoluta de 1 mol de un tal gas, se verifica la relaci´on

P V = RT,

donde R es cierta constante (recibe el nombre de ecuaci´on de estado). Si despejamos P en la igualdad anterior, resulta P = RT /V . La expresi´on anterior nos dice que la presi´on P es funci´on de T y V y, por tanto, queda completamente determinada cuando conocemos T y V .

Si mediante alg´un procedimiento hacemos que V y T sean cada vez m´as pr´oximos a cero, ¿hacia qu´e valor se acerca la presi´on P ?, ¿c´omo podemos determinar un valor aproximado del incremento de la presi´on en funci´on de los incrementos (peque˜nos) ∆V y ∆T ? Entre otras cuestiones, en este tema veremos c´omo es la respuesta a estas preguntas.

Una funci´on de dos variables f es una regla o ley que asocia a cada par (x, y), perteneciente a cierto conjunto D ⊂ R

, un ´unico n´umero real f (x, y). D recibe el nombre de dominio de la funci´on y x e y son las variables independientes. Es usual usar z para designar a la imagen f (x, y) y se dir´a que z es la variable dependiente. Una funci´on queda determinada cuando damos la ecuaci´on z = f (x, y) y el dominio D donde se mueve el par (x, y).

A veces, s´olo se da la ecuaci´on z = f (x, y), en cuyo caso se entiende que el dominio es todo el campo de existencia, es decir, el conjunto formado por todos los pares (x, y) para los que la ecuaci´on en cuesti´on permite obtener la correspondiente imagen.

Ejemplos 7.2.1. a) f (x, y) = log(x

+ y

) es una funci´on cuyo dominio es todo R

menos el origen (0, 0).

b) f (x, y) = √

x · y tiene por dominio la parte del plano que consta de los cuadrantes primero y tercero, pues s´olo tienen imagen los puntos (x, y) con coordenadas de igual signo: D = {(x, y) ∈ R

: x ≥ 0, y ≥ 0} ∪ {(x, y) ∈ R

: x ≤ 0, y ≤ 0}.

Las funciones de dos variables pueden representarse gr´aficamente en el

espacio de la siguiente forma: Dada f : D ⊂ R

→ R, escogemos un sistema

de coordenadas cartesianas OXYZ en el espacio y en el plano OXY represen-

tamos el dominio D. Para cada (x, y) ∈ D, dibujamos en el espacio el punto

de coordenadas (x, y, f (x, y)). El conjunto formado por todos los puntos de

la forma (x, y, f (x, y)), con (x, y) ∈ D, es una superficie. Se dir´a que es la representaci´on gr´afica de la funci´on f o que la superficie tiene por ecuaci´on z = f (x, y).

Ejemplos 7.2.2. a) f (x, y) = ax + by tiene por representaci´on gr´afica un plano.

b) f (x, y) = x

+ y

tiene por representaci´on gr´afica un paraboloide de revoluci´on con v´ertice el punto (0, 0, 0).

c) f (x, y) = x

tiene por gr´afica otro tipo de paraboloide (cil´ındrico).

En muchos casos, puede ayudar a la visualizaci´on de una funci´on de dos

variables el conocer la forma que tienen las curvas de nivel. Dada f : D ⊂

R

→ R, la curva de nivel que pasa por (x

, y

) ∈ D es el conjunto de

puntos (x, y) ∈ D tales que f (x, y) = f (x

, y

). Se trata, pues, de una curva

que pasa por el punto (x

, y

) y que se caracteriza porque f tiene un valor

constante a lo largo de ella. La familia de todas las curvas de nivel tiene por

ecuaci´on f (x, y) = c, donde c es una constante arbitraria. La curva de nivel

f (x, y) = c es la proyecci´on sobre el plano OXY de la curva C que determina

el plano z = c al cortar a la superficie de ecuaci´on z = f (x, y). En la figura

siguiente puede verse como cada punto (x, y, c) de esta curva (en rojo) se

proyecta en el punto (x, y, 0) de la curva de nivel f (x, y) = c (en negro). Es

decir, las coordenadas de ambos puntos s´olo se diferencian en la coordenada

z que es igual a 0 en la curva de nivel e igual a c en la curva intersecci´on C.

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1 −0.5

0

0.5 1

1.5 2

Eje OX C

curva de nivel f(x,y)=c z=c Eje OZ

Eje OY

Estas ideas nos pueden ayudar a la hora de representar gr´aficamente una funci´on.

Ejemplos 7.2.3. a) z = x

+ y

. Al cortar la superficie con los planos de la forma z = c (c ≥ 0) resulta una curva plana C cuyas ecuaciones son

( z = c

x

+ y

= c (7.1)

La curva de nivel x

+ y

= c no es otra cosa que la circunferencia de centro el origen y radio √

c en el plano OXY. La curva C tiene la forma de esta misma circunferencia, pero colocada en el plano z = 0. Cuando c = 0 el corte se reduce a un punto: (0, 0, 0). En los dem´as casos, se trata de circunferencias cuyos radios √

c aumentan con c (ver la figura siguiente).

Intuimos que la superficie puede ser un paraboloide o un cono de v´ertice el origen. Finalmente, podemos cortar la superficie con el plano y = 0 y resulta una curva en el plano OXZ que tiene por ecuaci´on z = x

. Esto nos confirma que se trata de un paraboloide.

−2

−1 0 1 2

−2

−1 0

1 2 0

1 2 3 4 5 6

Eje OY Eje OZ

Eje OX

b) f (x, y) = p

x

+ y

.

Las curvas de nivel son las circunferencias con centro el origen x

+ y

= c

. Como en el ejemplo anterior, al cortar la superficie con un plano de la forma z = c (c > 0) se obtiene una circunferencia con centro en el eje OZ y radio c cuya proyecci´on sobre el plano z = 0 es la curva de nivel x

+ y

= c

. Al aumentar c, el plano z = c cada vez se aleja m´as de z = 0 y la circunferencia interceptada tiene mayor radio, como en el ejemplo anterior.

La diferencia ahora radica en que al cortar la superficie con el plano y = 0, resulta z = |x| que es la ecuaci´on de un par de rectas en el plano OXZ. Por tanto, la superficie es un cono de revoluci´on con v´ertice (0, 0, 0) y eje OZ.

−4

−2 0 2 4

−4 −2

0 2

4 0

1 2 3 4 5

Eje OY Eje OZ

Eje OX

Gr´afica de z = x

−2 0

2

−2 −1 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5

Eje OY Eje OZ

Eje OX

c) Si T (x, y) representa la temperatura en cada punto (x, y) de cierta regi´on D del plano, entonces las curvas de nivel T (x, y) = c son las isotermas (curvas de temperatura constante).

Para una funci´on de m´as de dos variables no es posible una representaci´on gr´afica, pero puede ser muy ´util conocer qu´e forma tienen las superficies de nivel. Si f : D ⊂ R

→ R es una funci´on de tres variables, se llaman superficies de nivel a las que tienen por ecuaci´on f (x, y, z) = c.

Ejemplos 7.2.4. a) Si V (x, y, z) es el potencial el´ectrico creado en el espacio por una determinada distribuci´on de cargas el´ectricas, las superficies de nivel son las superficies equipotenciales.

b) Si f (x, y, z) = x

+ y

+ z

, las superficies de nivel son superficies

esf´ericas de centro el origen.

7.3. Superficies

Algunas superficies, que nos encontraremos en las aplicaciones, no se ob- tienen como representaci´on gr´afica de una funci´on de dos variables; es decir, no responden a una ecuaci´on de la forma z = f (x, y). Basta pensar en una superficie cil´ındrica de eje OZ y radio R. N´otese que, si (x

, y

) es un punto de la circunferencia x

+ y

= R

, los puntos de coordenadas (x

, y

, z) (al variar z) describen la generatriz que pasa por (x

, y

, 0). Por tanto, todos pertenecen a la superficie. Por ello, es imposible que una ecuaci´on de la for- ma z = f (x, y) pueda describir la superficie en cuesti´on (fijado (x

, y

), s´olo el punto (x

, y

, f (x

, y

)) pertenece a la superficie de ecuaci´on z = f (x, y)).

Superficies como la anterior se describen matem´aticamente mediante ecua- ciones de la forma f (x, y, z) = 0. M´as precisamente, adoptaremos la siguiente definici´on. El lugar geom´etrico de los puntos del espacio que verifican la ecua- ci´on

f (x, y, z) = 0

es ( en general) una superficie S, pues se trata de un conjunto de puntos con dos grados de libertad. En efecto, pueden escogerse los valores de x e y libremente y el valor de z queda determinado por la ecuaci´on. ´ Esta recibe el nombre de ecuaci´on impl´ıcita de la superficie.

Terminamos el apartado deduciendo de forma razonada la ecuaci´on de

una superficie cil´ındrica. Denotemos por S la superficie cil´ındrica de eje OZ

y radio R. Vamos a probar que su ecuaci´on en forma impl´ıcita es x

+y

= R

.

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Eje OY

(x0,y0,0) Eje OZ

Eje OX

Con la ayuda de la figura, vemos que, si (x

, y

, z

) es un punto cualquiera de la superficie S, su proyecci´on sobre el plano z = 0 es el punto (x

, y

, 0), que pertenece a la circunferencia C de centro el origen, radio R y contenida en el plano OXY. Esta circunferencia tiene por ecuaci´on x

+ y

= R

(en el plano OXY). Por tanto, debe ser tambi´en x

+ y

= R

. Es decir, hemos probado que, si (x

, y

, z

) es cualquier punto de S, entonces necesariamente se verifica x

+ y

= R

. Para poder asegurar que la ecuaci´on de S es x

+ y

= R

, debemos probar tambi´en que, si el punto (x

, y

, z

) es tal que x

+ y

= R

, entonces dicho punto pertenece a S. Esto es obvio pues (x

, y

, 0) pertenece a C y (x

, y

, z

) pertenece a la generatriz que pasa por (x

, y

, 0).

Ejemplos 7.3.1. a) x

+ z

= R

es la ecuaci´on de la superficie cil´ındrica

de radio R y eje OY.

−2

−1 0

1 2

−2 0 2 4

−2

−1 0 1 2

Ejee OX Eje OY

Eje OZ

b) z

= x

+ y

es la ecuaci´on impl´ıcita de la superficie c´onica siguiente

−2 −4 0 4 2

−4

−2 0

2 4

−4

−2 0 2 4 6

Eje OY Eje OZ

Eje OX

7.4. L´ımite doble.

Sean f : D ⊂ R

→ R y (x

, y

) un punto de acumulaci´on de D. Cuando escribimos

(x,y)→(x

l´ım

f (x, y) = l

queremos significar que f (x, y) se aproxima m´as y m´as al n´umero l, a medida que (x, y) se acerca a (x

, y

), movi´endose libremente en su dominio D (sin llegar a ser (x

, y

)). Y si queremos que f (x, y) se diferencie de l en menos de una cantidad peque˜na (² > 0), bastar´a con que (x, y) se tome en un entorno perforado de (x

, y

) con radio (δ > 0) suficientemente peque˜no. Estas ideas quedan recogidas de una forma simple y precisa en la siguiente definici´on.

Definici´ on 7.4.1. Diremos que

(x,y)→(x

l´ım

f (x, y)

existe y es igual a l si se verifica lo siguiente: Para cada ² > 0, puede encon- trarse un entorno E

(x

, y

) tal que

(x, y) ∈ D ∩ E

(x

, y

) ⇒ |f (x, y) − l| < ².

Ejemplo 7.4.2. Comprobar que

(x,y)→(3,2)

l´ım 1 + (x − 3)

+ (y − 2)

1 + x

= 1.

|f (x, y) − 1| = (x − 3)

+ (y − 2)

1 + x

≤

≤ (x − 3)

+ (y − 2)

.

Luego, si queremos que |f (x, y) − l| < ², bastar´a escoger (x, y) ∈ E

(x

, y

), siendo δ = √

².

Las propiedades del l´ımite son formalmente las mismas, independiente- mente del n´umero de variables, por lo que no parece necesario volver a men- cionarlas todas. A t´ıtulo de ejemplo, vamos a precisar algunas de ellas.

- Si el l´ımite doble de una funci´on, cuando (x, y) → (x

, y

), es distinto de

0, entonces existe un entorno perforado E

(x

, y

) tal que el signo de f (x, y)

es igual al de su l´ımite l, para cada (x, y) ∈ D ∩ E

(x , y ).

- El l´ımite de una suma, un producto o un cociente de dos funciones es igual a la suma, producto o cociente de los l´ımites de cada una (si el l´ımite del denominador no es 0, en el caso del cociente).

7.5. L´ımites direccionales.

El c´alculo de l´ımites de funciones de varias variables s´ı presenta algunas diferencias importantes de las que nos vamos a ocupar a continuaci´on.

En el c´alculo de un l´ımite doble se proceder´a de la forma siguiente:

I) C´alculo de los l´ımites a trav´es de las rectas que pasan por (x

, y

). Se trata de descubrir el valor hacia el que se aproxima f (x, y) cuando (x, y) se acerca a (x

, y

), movi´endose a lo largo de la recta y = y

+ m(x − x

).

Y

X O

y=y +m(x-x )

0 0

x y

0 0

La definici´on precisa y la notaci´on habitual es la siguiente

l´ım (x, y) → (x

, y

) y = y

+ m(x − x

)

f (x, y) =

= l´ım

x→x0

f (x, y

+ m(x − x

)).

Una vez calculados estos l´ımites, pueden darse dos posibilidades:

a) No todos los l´ımites a trav´es de las rectas y = y

+ m(x − x

) tienen el mismo valor. En este caso, concluimos que no puede existir el l´ımite doble, ya que f (x, y) es oscilante en las cercan´ıas de (x

, y

).

b) Todos los l´ımites a trav´es de las rectas mencionadas tienen el mismo valor l. En este caso concluimos que el l´ımite doble, de existir, debe valer tambi´en l. Sin embargo, no podemos asegurar, con este ´unico dato, que el l´ımite doble exista realmente. Vamos a ver un ejemplo que muestra esto claramente:

Ejemplo 7.5.1. Sea f (x, y) = x/(x + y

), si (x, y) ∈ D, siendo D = {(x, y) : x, y > 0}. Calcular l´ım

(x,y)→(0,0)

f (x, y).

Las rectas que pasan por el origen tienen la ecuaci´on y = mx y procedemos a calcular los l´ımites a trav´es de tales rectas

l´ım (x, y) → (0, 0)

y = mx

x

x + y

= l´ım

x→0

f (x, mx) =

= l´ım

x→0

x

x

+ m

x

= l´ım

x→0

1

1 + m

x = 1.

Por tanto, en este ejemplo se da la igualdad de todos los l´ımites a trav´es

de las rectas y = mx. Pero vamos a probar que, sin embargo, no existe el

l´ımite doble en el origen. Para ello, necesitamos considerar un nuevo tipo

de l´ımite unidimensional: el l´ımite a trav´ es de una curva (se les llama

tambi´en l´ımites direccionales). Antes de dar la definici´on precisa, vamos a

acabar con nuestro ejemplo. Nos proponemos descubrir hacia qu´e valor se

aproxima f (x, y) cuando (x, y) se acerca a (0, 0), movi´endose a lo largo de

la par´abola x = y

. Bastar´a calcular el siguiente l´ımite (l´ımite de f (x, y) a

trav´es de la par´abola l´ım (x, y) → (0, 0)

x = y

x

x + y

= l´ım

y→0

y

y

+ y

= 1 2 .

Esto muestra que nuestra funci´on es oscilante en las proximidades de (0, 0):

de hecho, toma el valor constante

sobre la curva x = y

; pero al acercarse (x, y) al origen por una recta y = mx, f (x, y) se aproxima a 1.

El ejemplo precedente muestra la conveniencia de disponer de otros l´ımites direccionales a parte de los l´ımites a trav´es de rectas. Vamos a establecer la definici´on precisa de l´ımite a trav´es de una curva. Supongamos que una curva en el plano OXY pasa por el punto (x

, y

) y tiene por ecuaciones

param´etricas (

x = x(t)

y = y(t),

donde t ∈ [a, b]. Sea t

∈ [a, b] tal que (x

, y

) = (x(t

), y(t

)). El l´ımite a trav´es de la curva se define por

l´ım (x, y) → (x

, y

) x = x(t), y = y(t)

f (x, y) = l´ım

t→t0

f (x(t), y(t)).

Es evidente que cuando existe el l´ımite doble de una funci´ on, tambi´ en existen los l´ımites direccionales y tienen el mismo valor que el doble. Pero no conviene olvidar que, como muestra el ejemplo anterior, aunque coincidan todos los l´ımites a trav´ es de las rectas que pasan por el punto (x

, y

), nada puede asegurarse sobre la existencia del doble. Precisamente, ahora pasamos a indicar qu´ e debe hacerse en estos casos.

II) Si todos los l´ımites direccionales que hemos intentado calcular tienen el mismo valor l, no podemos asegurar a´un que el l´ımite doble existe, pero s´ı podemos estar seguros de que, caso de existir, su valor debe ser l. Por tanto, debemos proceder a calcular la diferencia |f (x, y)−l|, tratando de comprobar que se hace peque˜na para (x, y) cercano a (x

, y

). Vamos a aclarar esto con un ejemplo.

Ejemplo 7.5.2. Calcular l´ım

(x,y)→(0,0)

xy

x

+ y

. Empezamos calculando los l´ımi- tes a trav´es de las rectas que pasan por el origen

l´ım (x, y) → (0, 0)

y = mx

xy

x

+ y

= l´ım

x→0

x

m

x

+ m

x

= 0.

La igualdad de los l´ımites a trav´es de las rectas y = mx nos permite afir- mar que el posible l´ımite doble debe valer 0. Para confirmarlo, procedemos a evaluar la diferencia |f (x, y) − l|

|f (x, y) − 0| = |x| · y

x

+ y

≤ |x| · y

y

= |x|.

Tenemos pues 0 ≤ |f (x, y) − 0| ≤ |x|. La propiedad del sandwich nos asegura que f (x, y) tiende a 0.

Terminamos este apartado mostrando que el uso de coordenadas polares puede ayudar en muchos casos a calcular el l´ımite doble. Empezaremos re- cordando c´omo se obtienen las coordenadas polares del punto (x, y) 6= (0, 0):

se definen ρ = + p

x

+ y

y ω ∈ [0, 2π] tal que tg ω =

(si x = 0, se toma ω igual

o

, seg´un que sea y > 0 ´o y < 0). Las coordenadas polares de (x, y) son (ρ, ω) y se verifican las siguientes relaciones entre ambos tipos de coordenadas: x = ρ cos ω, y = ρ sen ω. Si al expresar f (x, y) en coordenadas polares obtenemos

f (x, y) = f (ρ cos ω, ρ sen ω) = F (ρ) · G(ω),

siendo G acotada y verificando F que l´ım

F (ρ) = 0, entonces podemos estar seguros de que l´ım

(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0, pues se tiene 0 ≤ |f (ρ cos ω, ρ sen ω) − 0| ≤ c · |F (ρ)|,

para cualesquiera ρ y ω (c > 0 es una constante tal que |G(ω)| ≤ c).

7.6. Continuidad.

Sean f : D ⊂ R

→ R y (x

, y

) ∈ D. Diremos que f es continua en (x

, y

) si se verifica lo siguiente: Para cada ² > 0, podemos encontrar un entorno E

(x

, y

) tal que

si (x, y) ∈ D ∩ E

(x

, y

) entonces |f (x, y) − f (x

, y

)| < ².

Por tanto, si (x

, y

) es un punto de acumulaci´on de D, la continuidad de f en (x

, y

) equivale a que l´ım

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) sea precisamente f (x

, y

). Por ello,

las propiedades de las funciones continuas se deducen de las correspondientes

de los l´ımites.

Hemos visto, al estudiar la continuidad de funciones de una variable, que toda funci´on definida y continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un m´aximo y un m´ınimo absolutos. En el caso de funciones de varias variables existe un resultado similar v´alido para funciones definidas y continuas en un conjunto cerrado y acotado.

Teorema 7.6.1. (Bolzano-Weierstrass). Si f es una funci´on de varias va- riables definida y continua en un conjunto D cerrado y acotado, entonces f alcanza un m´aximo y un m´ınimo absolutos en D.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Calcular l´ım

(x,y)→(0,0)

x sen xy x

+ y

.

Multiplicando y dividiendo por xy, escribimos la funci´on en la forma

³ x

y x

+ y

´ ³sen xy xy

´ .

El segundo factor tiene l´ımite 1, debido a que sen t y t son infinit´esimos equivalentes en el origen. Entonces calculamos por separado el l´ımite del primer factor y habremos terminado. Empezamos calculando los l´ımites direccionales a trav´es de las rectas que pasan por el origen:

l´ım (x, y) → (0, 0)

y = mx

x

y

x

+ y

= l´ım

x→0

mx

x

(1 + m

) =

= l´ım

x→0

mx

1 + m

= 0.

Todos los l´ımites a trav´es de las rectas y = mx valen 0. Por tanto, de existir, el l´ımite doble debe ser 0. Vamos a probar que esto es as´ı haciendo uso de la propiedad del sanduich

0 ≤ | x

y

x

+ y

− 0| ≤ |y|x

x

+ y

≤ |y|x

x

= |y|,

lo que prueba que el l´ımite doble es 0.

2. Calcular l´ım

(x,y)→(0,0)

x

x

+ y

. Expresamos f (x, y) en polares

f (ρ cos ω, ρ sen ω) = ρ

cos

ω

ρ

(cos

ω + sen

ω) =

= ρ · cos

ω = F (ρ) · G(ω),

siendo F (ρ) = ρ y G(ω) = cos

ω. Vemos que G est´a acotada por 1 y que l´ım

F (ρ) = 0. Por tanto

(x,y)→(0,0)

l´ım x

x

+ y

= 0.

3. Calcular l´ım

(x,y)→(0,0)

xy y + x

.

En primer lugar, calculamos los l´ımites direccionales a trav´es de las rectas que pasan por el origen

l´ım (x, y) → (0, 0)

y = mx

xy

y + x

= l´ım

x→0

mx

mx + x

=

= l´ım

x→0

mx m + x = 0.

Ahora vamos a buscar curvas de nivel de f (x, y) =

que pasen por el origen. La ecuaci´on de las curvas de nivel es

xy

y + x

= c,

donde c es una constante arbitraria. Despejando y en la igualdad anterior,

resulta y =

. N´otese que se trata de una curva de nivel de f que pasa

por el punto (0, 0). Por tanto, f (x, y) tiene el valor constante c cuando

(x, y) recorre la curva y =

. Por ello, el l´ımite direccional a trav´es de dicha curva es 0, es decir, se tiene

l´ım (x, y) → (0, 0)

y =

xy

y + x

= c.

Se deduce de lo anterior que no puede existir el l´ımite doble en el origen.

4. Calcular l´ım

(x,y)→(0,0)

xy

x

+ y

.

Calculamos los l´ımites a trav´es de las rectas y = mx l´ım

(x, y) → (0, 0) y = mx

xy

x

+ y

= l´ım

x→0

m

x

x

+ m

y

=

= l´ım

x→0

m

x

1 + m

x

= 0.

Ahora vamos a ver que el l´ımite a trav´es de la curva x = y

, el l´ımite es igual a 1/2

l´ım (x, y) → (0, 0)

x = y

xy

x

+ y

= l´ım

y→0

y

y

+ y

=

= l´ım

y→0

1 2 = 1

2 .

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Representar gr´aficamente los subconjuntos de R

siguientes:

A = {(x, y) : xy < 1}, B = {(x, y) : xy < 0}, C = {(x, y) : 2x + 3y <

1},

D = {(x, y) : |x| < 1, |y| < 1}, E = {(x, y) : x > 0, y > x

, |x| < 2},

F = {(x, y) : x ≥ y, x ≥ 0, y > 0}.

2. Determinar los puntos interiores, de acumulaci´on y frontera de cada uno de los conjuntos del ejercicio anterior.

3. Calcular los l´ımites dobles en el origen de las siguientes funciones:

f (x, y) =

, g(x, y) =

, h(x, y) = √

x²+y²

,

k(x, y) =

, p(x, y) =

, q(x, y) =

, s(x, y) =

. Soluciones: (1) los l´ımites a trav´es de las rectas y = mx dependen del valor de m, luego no existe el l´ımite doble. (2) Igual que el anterior. (3) 0.

(4) No existe el l´ımite doble ( considerar la curva x = y

). (5) No existe el l´ımite doble (considerar la curva x

= y

). (6) No existe, considerar la curva de nivel q(x, y) = 1. (7) No existe, considerar la curva de nivel s(x, y) = 1.

4. Determinar las curvas de nivel de la funci´on a)f (x, y) = x

+ y

x + y , b)f (x, y) = xy.

5. Comprobar que las rectas y = mx son curvas de nivel de la funci´on f (x, y) = xy

x

+ y

.

Deducir que no existe el l´ımite doble en el origen de la funci´on f . 6. Comprobar que las par´abolas x = y

son curvas de nivel de la funci´on

f (x, y) = xy

x

+ y

.

Deducir que no existe el l´ımite doble en el origen de la funci´on f .

7. Determinar las curvas de nivel de f (x, y) =

. Deducir que no existe el

l´ımite doble en el origen.

8. Calcular el l´ımite doble en el origen de a)f (x, y) = x

x

+ y

, b)f (x, y) = sen x

y

x

+ y

. 9. Estudiar la continuidad en el origen de las funciones siguientes:

a) f (x, y) =

( 1 +

si (x, y) 6= (0, 0) 1 si (x, y) = (0, 0) b) f (x, y) =

(

x²+y²

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) c) f (x, y) =

(

x²+y²

sen

si x · y 6= 0 0 si x · y = 0 .

Soluciones: a) continua, b) discontinua, pues no existe el l´ımite doble y c) continua.

10. Representar gr´aficamente las funciones:

a) f (x, y) = 1 − (x

+ y

), b) f (x, y) = − p

x

+ y

, c) f (x, y) = y

. 11. Estudiar la continuidad en el origen de las funciones siguientes:

a) f (x, y, z) =

y f (0, 0, 0) = 0.

b) f (x, y, z) =

y f (0, 0, 0) = 0.

Soluciones: a) Continua. b) discontinua( el l´ımite de f (x, y, z) a trav´es del

plano z = 0, se reduce a calcular el l´ımite doble de xy/(x

+ y

) en el

origen y ´este no existe.