E xpe ri me nt ar un modelo visual para calcular el volumen de un prisma rectangular.

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Vo lumen co n mitad es Vo lumen co n mitad es

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Obj et i vos Obj et i vos

E

E xpe ri me nt ar xpe ri me nt ar un modelo visual para calcular el volumen de un prisma rectangular.

P

P rac t i c ar rac t i c ar el cálculo del volumen de un prisma rectangular cuyas dimensiones están expresadas en números fraccionarios.

Apre nde r

Apre nde r que el volumen de un prisma rectangular se refiere al producto a × b × c.

De sarro l l ar

De sarro l l ar la visión espacial.

I ni c i o |

I ni c i o | 8 min

Lleve a la clase muestras de diferentes prismas.

Di ga

Di ga: Hoy vamos a tratar de calcular el volumen de los prismas.

Dibuje en la pizarra un prisma. Indique los nombres de las partes del prisma y escríbalas en la pizarra.

Eje m plo : Eje m plo :

Di ga

Di ga: La arista es un intervalo que medimos en unidades de

longitud. La cara es un área que medimos en unidades de superficie.

El volumen del prisma se mide en unidades cúbicas.

Identifique los vértices, las aristas, las bases y las caras en la pizarra, y también en los prismas que trajo a la clase (entrégueselos a los alumnos).

P re gunt e

P re gunt e : ¿Cómo podemos calcular el área de una cierta cara?

Calculamos el área de la cara de la misma manera que calculamos el área de esa figura en 2 dimensiones: largo x ancho.

Escriba diferentes longitudes en las aristas del prisma en la pizarra.

Eje m plo

Eje m plo :

Di ga

Di ga:Vamos a calcular el área de la cara gris. La cara gris es un cuadrado, por lo que su área es lado × lado: × = . Calculemos el área de la base superior. La base superior es un rectángulo, por lo que su área es base × altura: 2 × = 1.

P re gunt e

P re gunt e : ¿Cómo calcularíamos el volumen de un prisma?

El volumen de un prisma se calcula a partir del producto de las tres aristas que parten del mismo vértice: largo x ancho x altura.

Podemos pensar en ello como el área de una determinada cara multiplicada por la altura (número de capas) que extiende desde esa cara.

Di ga

Di ga: Calculemos el volumen del prisma en la pizarra: 2 × × = .

E l do c e nt e mue st ra e l jue go de M at e mát i c a: M ás v o l ume n E l do c e nt e mue st ra e l jue go de M at e mát i c a: M ás v o l ume n - V o l ume n de pri smas: mi t ade s |

- V o l ume n de pri smas: mi t ade s | 15 min

Presente a la clase el episodio de Matific M á s v o lu m e n - Vo lu m e n de M á s v o lu m e n - Vo lu m e n de pris m a s : m it a de s

pris m a s : m it a de s , utilizando el equipo de proyección en el Modo Predeterminado.

Este episodio trabaja el volumen de prismas cuyas dimensiones están

expresadas en números fraccionarios. En el mismo se debe determinar el

volumen de un prisma cubriéndolo con cubos, cuyas aristas podrían tener

longitudes expresadas en números fraccionarios.

Eje m plo : Eje m plo :

Di ga

Di ga: En este episodio tenemos que determinar el volumen de diferentes prismas. Para determinar el volumen de la caja A, utilizamos la caja B.

P re gunt e

P re gunt e : ¿Cómo podría la caja B ayudarnos a determinar el volumen de la caja A?

Primero, determinamos cuántas cajas A caben en el largo, ancho y altura de la caja B. A partir de esto podremos determinar el largo, ancho y altura de la caja A. Una vez que sepamos la longitud de las aristas de la caja A, podríamos calcular su volumen.

Introduzca varias cajas A en la caja B para que muestre cuántas cajas caben en el largo, ancho y altura.

Di ga

Di ga: Observen que el lugar donde cabe la caja A está marcado en azul. Además, cuando es posible añadir una caja más dentro de la caja B, se enciende una luz de color verde en la máquina.

Eje m plo :

Eje m plo :

P re gunt e

P re gunt e : ¿Cuál es el volumen de la caja B?

Las aristas de la caja B miden 1 unidad de largo, por lo que el volumen de la caja B mide 1 unidad cúbica (1 × 1 × 1 = 1).

P re gunt e

P re gunt e : ¿Cuántas cajas A caben dentro de la caja B?

Caben 2 cajas A en cada arista de la caja B, de modo que 8 cajas A caben dentro de la caja B.

P re gunt e

P re gunt e : Si el volumen de la caja B es de 1, y caben 8 cajas A en la caja B, ¿cuál es el volumen de la caja A?

unidades cúbicas.

Di ga

Di ga: De modo que podemos determinar el volumen de una caja basándonos en la cantidad de veces que dicha caja cabe dentro de la otra caja, cuyo volumen ya sabemos.

P re gunt e

P re gunt e : ¿Tenemos otro método para determinar el volumen de

la caja A?

Sí. Vamos a determinar la longitud de las aristas de la caja A y a multiplicarlas.

P re gunt e

P re gunt e : ¿Cuáles son las aristas de la caja A?

Si 2 cajas A caben en cada arista de la caja B, entonces las aristas de la caja A miden .

P re gunt e

P re gunt e : Entonces, ¿cuál es el volumen de la caja A?

× × = .

Introduzca y presente la siguente pregunta.

Eje m plo : Eje m plo :

P re gunt e

P re gunt e : Ahora nos están preguntando el volumen de la caja B.

¿Qué debemos hacer?

Necesitamos conocer el volumen de la caja A y el número de

veces que la caja A cabe centro de la caja B.

P re gunt e

P re gunt e : ¿Cuál es el volumen de la caja A?

Las aristas de la caja A miden unidades, por lo que el volumen es × × = .

P re gunt e

P re gunt e : ¿Cuántas cajas A caben en cada arista de la caja B?

Muestre cuantas cajas A caben en cada arista de la caja B.

Caben 4 cajas A en el largo de la caja B, 4 cajas A en el ancho de la caja B y 2 en la altura de la caja B. Las aristas de la caja A miden

, por lo tanto ,las aristas de la caja B miden 2 unidades, 2 unidades, y 1 unidad.

P re gunt e

P re gunt e : ¿Cuál es el volumen de la caja B?

4 = 2 × 2 × 1.

P re gunt e

P re gunt e : ¿Hay alguna otra forma de saber el volumen de la caja B?

Sí. Sabemos el volumen de A ( unidades). Vamos a determinar cuántas veces cabe la caja A en la caja B y luego a multiplicar ese número por el volumen de la caja A. La cantidad de veces que cabe la caja A dentro de la caja B es 32 = 4 × 4 × 2. 4 = × 32.

Introduzca 4 y presente la siguiente pregunta.

Eje m plo :

Eje m plo :

P re gunt e

P re gunt e : ¿Cómo podemos determinar el volumen de la caja A?

Comprobamos cuántas veces cabe la caja A en el largo, ancho y altura de la caja B, y así determinamos el largo, ancho y altura de la caja A. Luego, multiplicamos el largo, ancho y altura de la caja A y determinamos su volumen.

Muestre que 3 cajas A llenan el largo, 2 cajas A el ancho, y 4 cajas A la altura.

Eje m plo :

Eje m plo :

P re gunt e

P re gunt e : ¿Cuál es el largo, el ancho y la altura de la caja A?

¿Cómo lo saben?

El largo de la caja B mide 1 unidades, y caben 3 cajas A, por lo que el largo de la caja A mide unidad. El ancho de la caja B mide 1 unidad, y caben 2 cajas A, por lo tanto, el ancho de la caja A

mide unidad. La altura de la caja B mide 2 unidades, y caben 4 cajas A, por lo que la altura de A mide unidad.

P re gunt e

P re gunt e : ¿Cuál es el volumen de la caja A?

× × = .

Lo s al umno s prac t i c an e l jue go de M at e mát i c a: M ás Lo s al umno s prac t i c an e l jue go de M at e mát i c a: M ás v o l ume n - V o l ume n de pri smas: mi t ade s |

v o l ume n - V o l ume n de pri smas: mi t ade s | 12 min

Mantenga a los alumnos jugando M á s v o lu m e n - Vo lu m e n de M á s v o lu m e n - Vo lu m e n de pris m a s : m it a de s

pris m a s : m it a de s en sus dispositivos personales.

Camine entre los alumnos respondiendo las preguntas que sean necesarias.

R e paso de M at e mát i c a: V o l ume n e je rc i c i o s

R e paso de M at e mát i c a: V o l ume n e je rc i c i o s || 8 min

P re gunt e

P re gunt e : Supongamos que tenemos 16 cubos idénticos, ¿qué prismas podemos construir a partir de ellos (si queremos utilizar los 16 cubos)?Traten de determinar la respuesta por ustedes mismos. Puede utilizar hojas para hacer dibujos.

Con el fin de encontrar todos los prismas que podemos construir a partir de 16 cubos idénticos, tenemos que determinar todos los productos de largo × ancho × altura que den como resultado 16. Las posibilidades son:

1. 1 × 1 × 16 2. 1 × 2 × 8 3. 1 × 4 × 4 4. 2 × 2 × 4 P re gunt e

P re gunt e : Supongamos que tenemos 22 cubos idénticos, ¿cuáles prismas podemos construir a partir de ellos (si queremos utilizar los 22 cubos)?

Con el fin de encontrar todos los prismas que podemos construir

a partir de 22 cubos idénticos, tenemos que determinar todos los

productos de largo × ancho × altura que den como resultado 22.

Las posibilidades son:

1. 1 × 1 × 22 2. 1 × 2 × 11 P re gunt e

P re gunt e : Supongamos que tenemos 17 cubos idénticos, ¿cuáles prismas podemos construir a partir de ellos (si queremos utilizar los 17 cubos)?

Si comprobamos todos los posibles productos de 3 factores que son iguales a 17, encontramos que sólo existe una opción, 17 × 1

× 1, porque 17 es un número primo.

Ci e rre |

Ci e rre | 2 min

Di ga

Di ga: Hoy hemos visto cómo determinar el volumen de los prismas, cuando las aristas no son números enteros.

P re gunt e

P re gunt e : ¿Qué datos debemos conocer para calcular el volumen de un prisma?

Debemos conocer el largo, el ancho y la altura del prisma . P re gunt e

P re gunt e : Si conocemos el volumen del prisma y la longitud de una de las aristas, ¿podemos saber la longitud del resto de las aristas?

Podríamos, pero no es seguro. Si (al menos) una de las caras del prisma fuese cuadrada podríamos conocer el resto de las aristas, pero si el prisma no tiene caras cuadradas, no podemos saberlo.

P re gunt e

P re gunt e : Si sabemos el volumen del prisma y la longitud de dos de las aristas, ¿podemos saber la longitud del resto de las aristas?

Sí.

P re gunt e

P re gunt e : ¿Podemos colocar cualquier caja pequeña dentro una caja más grande, de modo que no quede ningún espacio vacío?

No, las aristas de la caja pequeña tienen que dividir exactamente las aristas de la caja grande. Por ejemplo, si las aristas de la caja pequeña miden × 2 × 6, y las aristas de la caja grande miden 1 × 4 × 10, no podemos colocar la caja pequeña dentro de la caja

grande de modo que no queden espacios vacíos porque divide a 1, y 2 divide a 4, pero 6 no divide a 10.

1 × 3 × 6, 2 × 4 × 10