Análisis y diseño de controladores no lineales sobre un sistema robótico bípedo

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(1)Facultad de Ingenierı́as Maestrı́a en Ingenierı́a Eléctrica. Tı́tulo. ANÁLISIS Y DISEÑO DE CONTROLADORES NO LINEALES SOBRE UN SISTEMA ROBÓTICO BÍPEDO Este trabajo es realizado para obtener el tı́tulo de Magı́ster en Ingenierı́a Eléctrica Presentado por: Ing. Michael Felipe Cifuentes Molano. Director: Ph.D Eduardo Giraldo Suarez.

(2) Nota de aceptación. Firma del presidente del jurado. Firma del jurado. Firma del jurado.

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(4) Dedicado a A mi familia por el apoyo incondicional que me han brindado en cada paso que doy, porque sin ellos este trabajo no serı́a posible. A mis amigos y profesores, de los cuales he aprendido no sólo la ciencia sino también el valor de la amistad.. I.

(5) Índice general Lista de figuras. IV. Lista de tablas. VI. Resumen. 1. Introducción Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objetivos Especı́ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2 3 3. 1. Biomecánica 1.1. Arquitectura Humana . . . . . . . . . . 1.1.1. Sistema Óseo Inferior . . . . . . 1.1.2. Sistema Muscular Inferior . . . . 1.2. Marcha Humana . . . . . . . . . . . . . 1.3. Articulaciones de las piernas humanas .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 2. Principios Cinemáticos y Dinámicos de la Locomoción Bı́peda 2.1. Grados de Libertad (DoF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Patrón de Marcha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Dinámica basada en Euler-Lagrange . . . . . . . . . 2.3.2. Sistemas de Coordenadas Generalizadas . . . . . . 2.3.3. Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Cinemática Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Parámetros Denavit-Hatenberg . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Algoritmo Denavit-Hatenberg . . . . . . . . . . . . . II. 4 5 6 7 8 10 12 12 14 16 17 17 17 19 19 19 22.

(6) 3. Modelado Matemático de la Biomecánica del Tren Inferior Humano 3.1. Cinemática Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Cinemática Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Ecuación Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . .. 24 24 27 34 34 36. 4. Diseño Mecánico del Sistema Robótico Bı́pedo 4.1. Unión de la Cadera . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Unión de la Rodilla y Tobillo . . . . . . . . . . 4.3. ARON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Servomotores . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Encoders . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. Sensor de Ángulo . . . . . . . . . . .. 43 44 45 46 46 48 48 51. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 5. Sistemas de Control Aplicados a la Robótica 5.1. Patrones de Marcha - Set Point . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Control por Par Calculado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Control por Redes Neuronales . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Control Adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Control Adaptativo por Modelo de Referencia - MRAC 5.4.2. Regulador Autoajustable - STR . . . . . . . . . . . .. 52 52 53 57 58 59 62. 6. Simulación de la Mecánica y los Sistemas junto 6.1. Ventajas de la Simulación . . . . . . . . 6.2. Construcción del Robot en Simulink . . 6.3. Simulación Control por Par Calculado . 6.4. Control por Redes Neuronales . . . . .. . . . .. 64 64 65 66 69. 7. Conclusiones 7.1. Análisis de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Problemas Dentro del Proceso de Diseño . . . . . . . . . . 7.3. Conclusiones Finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73 73 74 74. 8. Trabajos Futuros. 76. III. de Control en Con. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . ..

(7) Índice de figuras 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.. Planos del cuerpo humano. [1] . . . . . . . . . . . . Estructura ósea y muscular del cuerpo humano. [2] . Movimientos de Abducción y Aducción. [2] . . . . . Ciclo de la marcha. [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimientos de la Cadera.[4] . . . . . . . . . . . . . Movimientos del Tobillo.[4] . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.. Unión Esférica de la Cadera Humana. [5] . . . . . . . . . . Unión de Revoluta para Dos Eslabones.[6] . . . . . . . . . Marcha Bı́peda vista desde Plano Sagital. [Fuente: Autor] . Cinemática Directa vs. Cinemática Inversa. [Fuente: Autor] Sistema de Articulaciones Denavit-Hatenberg. [Fuente: Autor]. 5 6 8 9 10 11 13 14 15 19 21. 3.1. Extremidad con Parámetros Denavit-Hatenberg. [Fuente: Autor] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Relaciones Geométricas para cualquier Ángulo. [Fuente: Autor] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Relaciones Geométricas desde el Plano Coronal. [Fuente: Autor] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Distribucion de Masas para el Robot. [Fuente: Autor] . . . .. 30 35. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.. Mecanismo de 3 DoF. [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mecanismo para la Cadera. [Fuente: Autor] . . . . . . . . . Implementaciones para Unión de Revoluta. [7] . . . . . . . ARON. [Fuente: Autor] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Configuración Interna de un Servomotor. [8] . . . . . . . . . Diagrama de Explosión de un Motor de DC con Encoder. [9]. 44 45 46 47 49 49. 5.1. Trayectoria Deseada del Tobillo. [Fuente: Autor] . . . . . . .. 53. IV. 25 28.

(8) 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8.. Trayectoria Deseada de la Rodilla. [Fuente: Autor] . . . Trayectoria Deseada de la Cadera. [Fuente: Autor] . . . Diagrama Par Calculado. [Fuente: Autor] . . . . . . . . . Diagrama de uso del Control Adaptativo. [Fuente: Autor] Control Adaptativo por Modelo de Referencia. [10] . . . Diagrama de Bloques para MRAC. [Fuente: Autor] . . . Diagrama de Bloques Regulador Autoajustable. [10] . .. . . . . . . .. 54 54 55 59 60 62 62. 6.1. Bı́pedo para Simulación. [Fuente: Autor] . . . . . . . . . . . 6.2. ARON en Simscape. [Fuente: Autor] . . . . . . . . . . . . . 6.3. Torque Calculado para la Cadera. [Fuente: Autor] . . . . . . 6.4. Torque Calculado para la Rodilla. [Fuente: Autor] . . . . . . 6.5. Torque Calculado para el Pie. [Fuente: Autor] . . . . . . . . 6.6. Posición de la Cadera. [Fuente: Autor] . . . . . . . . . . . . 6.7. Posición de la Rodilla. [Fuente: Autor] . . . . . . . . . . . . 6.8. Posición del Pie. [Fuente: Autor] . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Redes Neuronales Artificiales en Simulink. [Fuente: Autor] . 6.10.Posición de la Cadera por RNA. [Fuente: Autor] . . . . . . . 6.11.Posición de la Rodilla por RNA. [Fuente: Autor] . . . . . . . 6.12.Posición del Pie por RNA. [Fuente: Autor] . . . . . . . . . .. 65 66 67 68 68 69 70 70 71 71 72 72. V. . . . . . . ..

(9) Índice de cuadros 3.1. Tabla de Parámetros Denavit-Hatenberg . . . . . . . . . . .. VI. 26.

(10) Resumen Este trabajo presenta en sus primeros capı́tulos una recopilación breve de los conceptos fundamentales para la formulación de un robot que pueda caminar en dos extremidades, se presentan las caracterı́sticas que posee la marcha humana y las consideraciones que deben realizarse para acercar un modelo matemático a la realidad. En el capı́tulo 4 se muestra el procedimiento realizado para encontrar el modelo de la cinemática y la dinámica del tren inferior humano, donde se muestra detalladamente el proceso y las consideraciones que se tomaron para simplificar el modelo, además de mostrar el cálculo de cada término detalladamente como el tensor de inercia. El capı́tulo 5 muestra el diseño de un robot que se acerca a las caracterı́sticas dinámicas del modelo matemático obtenido, se describe rápidamente el tipo de actuadores usados y su ubicación dentro del sistema. Los capı́tulos 6 y 7 relacionan de forma breve los controladores usados y sus caracterı́sticas por las cuales se tuvieron en cuenta para ser aplicados en simulación al robot bı́pedo, además se describen las ventajas que tiene la simulación en robótica.. 1.

(11) Introducción La locomoción, es la capacidad de trasladar el cuerpo de un punto a otro, es una caracterı́stica definitiva en la vida animal. Esto se logra manipulando el cuerpo con respecto al ambiente y usando la energı́a almacenada para activar los actuadores musculares. En el entorno natural, la locomoción toma muchas formas, como el vuelo de las aves o el caminar de los humanos. Lo mismo ocurre con objetos hechos por el hombre: los aviones poseen alas que crean la elevación para volar, los tanques tienen orugas que permiten que atraviesen el terreno difı́cil, los automóviles tienen ruedas para rodar eficientemente; y ahora los robots caminan sobres sus propias piernas, tratando de imitar a los humanos. En el caso particular donde existen ambientes con anormalidades en el terreno, como una pendiente rocosa, un tramo de unas escaleras o en su defecto los peldaños, es discutible que las piernas son el medio más versátil para desplazarse en este tipo de obstáculos. Las piernas permiten dar soporte en el caso de encontrarse con algún entorno que contenga algunas deformidades en el terreno. Además, las piernas son una elección obvia para la locomoción en ambientes diseñados para caminar, correr y escalar. En la medida en que la máquina equipada con dos piernas puede imitar el paso humano, son denominados biomiméticos1 ; los componentes dados para la creación de un robot bı́pedo, son un poco diferentes de toda la teorı́a dada por la biologı́a. Por ejemplo, se puede hacer la comparación entre el metal y los huesos, motores en lugar de músculos, cables en lugar de nervios y microprocesadores en lugar del cerebro. Además, existen diferencias en las cantidades que se pueden sensar y en la velocidad y precisión con las que se pueden obtener. Mientras que nosotros 1. Se refiere a toda tecnologı́a inspirada en organismos biológicos.. 2.

(12) necesitamos una cantidad de años de entrenamiento para adquirir las habilidades necesarias para la locomoción para ciertas actividades (como un bebé debe aprender a caminar), y se espera que está capacidad varı́e de un humano a otro. La investigación y observación de la biomecánica ha ayudado a entender con mayor precisión los principios que dominan el acto de caminar [7].. Objetivo General Obtener el modelo matemático de la dinámica del tren inferior humano y la aplicación de técnicas de control no lineal sobre un sistema robótico bı́pedo.. Objetivos Especı́ficos Obtener y diseñar el modelo matemático de un sistema mecánico análogo a la dinámica humana. Plantear los controladores para el sistema robótico bı́pedo. Realizar análisis comparativos entre los controladores no lineales implementados en el sistema simulado.. 3.

(13) Capı́tulo 1 Biomecánica En términos generales la Biomecánica se define como el área del conocimiento que se encarga de estudiar el comportamiento de los fenómenos cinemáticos y dinámicos de los seres vivos, teniendo en cuenta sus variables y caracterı́sticas. Se han realizado numerosos estudios enfocados al análisis de la marcha de los seres vivos (e.g [11] [12] [13]). Los músculos almacenan energı́a que luego se utiliza para generar el desplazamiento de las extremidades, esto ocurre cuando la energı́a cinética del paso se almacena en el músculo como energı́a potencial que se usa para dar el paso siguiente. La energı́a mecánica usada para realizar las diferentes actividades musculares proviene de la transformación de la energı́a quı́mica. Para el caso de este trabajo, importa especialmente el tren inferior humano, ası́ que sólo se enfocará la investigación en dicha parte del cuerpo. Cada pierna tiene 3 articulaciones principales, la cadera, la rodilla y el tobillo. La cadera es una juntura1 de tipo esférica que tiene 3 grados de libertad (DoF2 ). La rodilla posee 1 DoF y finalmente el tobillo tiene 2 DoF; es evidente que en una sola extremidad se cuentan 6 DoF y en conjunto se tienen 12 DoF para ası́ formar un sistema bı́pedo. La locomoción Bı́peda tiene dos únicas formas, caminar y correr; cuando se camina, siempre una de las extremidades se encuentran en contacto con el suelo, mientras la otra realiza el balanceo para lograr el desplazamiento. 1 2. Punto en el que se unen dos cosas. Degrees of Freedom por sus siglas en ingles.. 4.

(14) 1.1.. Arquitectura Humana. Para fines de comprender fácilmente el comportamiento del cuerpo humano, se han determinado los planos que interceptan y cortan el volumen general del cuerpo; esto se hace con el fin de tener una referencia que sirva para describir la disposición de diferentes tejidos, órganos y sistemas. Los planos son sagital, coronal y transversal (ver Figura 1.1), además se acompaña de los ejes de referencia que brindan otro punto en el cual basarse para realizar un estudio anatómico, sabiendo que el cuerpo se encuentra en la posición anatómica vista en la Figura 1.1.. Figura 1.1: Planos del cuerpo humano. [1]. 5.

(15) 1.1.1.. Sistema Óseo Inferior. Como casi todos los sistemas en el cuerpo humano, el sistema óseo, y especialmente el de las piernas es muy complejo. Las extremidades inferiores humanas se componen de 44 huesos, donde el fémur, tibia y peroné son los principales. El fémur es el más largo y fuerte de todos los huesos del cuerpo humano que se conecta a la cadera con el hueso coxal, este está conformado por 3 partes: el ilion, el isquion y el pubis (ver Figura 1.2); está juntura para casos del análisis se determinará como una juntura esférica. La tibia y el peroné son 2 huesos de la pierna que se encuentran paralelos; la tibia es un hueso robusto, siendo el segundo con mayor dimensión del cuerpo, este se encarga de recibir el peso del fémur y distribuirlo hasta los pies; por último el peroné no recibe ningún tipo de carga, pero es de importancia ya que varios músculos se generan en él, además de que se articula con el astrágalo del pie. Para fines de estudio, generalmente se dividen las extremidades inferiores en tres partes, muslo, pierna y pie.. Hueso Coxal Ilion. Tensor Fascia Lata. Pelvis. Isquion Perone. Recto Femoral. Abductores. Femur M. Gemelos. Rotula. Tibial Anterior. Tibia Centro de Gravedad. Metatarsianos Falanges. Cuadriceps Cuadriceps. Tarsiano Triceps Sural. Figura 1.2: Estructura ósea y muscular del cuerpo humano. [2]. 6.

(16) En sı́ntesis, el sistema óseo, es el conjunto de estructuras que dan soporte a los demás sistemas usados no sólo para la locomoción sino también para la vida. En particular el sistema óseo da soporte a lo que se denominan como los actuadores del cuerpo, los cuales son los músculos que cumplen la tarea de activarse para lograr un determinado accionamiento que permita la movilización de los miembros.. 1.1.2.. Sistema Muscular Inferior. El sistema muscular de las extremidades inferiores permiten la locomoción. Existen muchos músculos que realizan diferentes acciones para lograr un movimiento determinado. El sistema muscular de las extremidades inferiores posee 44 músculos que permiten realizar los movimientos necesarios para lograr el desplazamiento bı́pedo; para este trabajo particularmente se analizarán los músculos principales de las extremidades inferiores. Músculos Abductores Es un grupo de músculos, están conformados por varios miembros entre los que se encuentran, el pectı́neo, el aductor largo, el recto interno, el aductor corto, el aductor mayor, glúteo mediano, el glúteo menor y el piramidal. Como su nombre lo indica, su función principal es la de realizar movimientos de aducción y abducción de la articulación de la cadera, es decir, permiten a los muslos realizar movimientos de tijera, este movimiento puede apreciarse de mejor manera en la Figura 1.3. Músculos Extensores Los músculos encargados de realizar los movimientos de extensión de la rodilla son los cuádriceps; además tienen importancia para el movimiento de flexión de la rodilla, los músculos: semimembranoso, semitendinoso y bı́ceps femoral, estos forman el grupo llamado isquiotibiales que se encuentran en la parte trasera del muslo, que además de permitir la flexión de la rodilla, realizan el movimiento de extensión de la cadera. El cuádriceps que se encuentra en la parte frontal del muslo (ver Figura 1.2) está formado por cuatro miembros, los cuales son el músculo recto femoral, 7.

(17) Figura 1.3: Movimientos de Abducción y Aducción. [2] músculo vasto lateral, músculo vasto medial y el músculo vasto intermedio.. 1.2.. Marcha Humana. La marcha humana puede describirse de forma básica como un ciclo [14], donde la secuencia de activación de las articulaciones es la misma mientras se tenga una velocidad constante. Según la convención que se ha realizado, el ciclo de la marcha comienza cuando el talón del pie derecho toca el suelo, seguido de dos pasos dados primero por el pie izquierdo y luego el derecho para finalmente comenzar un nuevo ciclo; se ha realizado divisiones del ciclo de caminar según su porcentaje de duración [15]; se ha considerado que el porcentaje de contacto que realiza el talón con el suelo es de alrededor del 0 % del ciclo de la marcha. Ambos pies de forma general están en contacto con el suelo del 0 % al 15 % del ciclo, esta parte del ciclo corresponde a una fase de doble soporte, donde el 8.

(18) pie derecho se encuentra soportado en el suelo y el pie izquierdo realiza la propulsión para dar el paso, está parte del ciclo se considera finalizada cuando el dedo más grande del pie izquierdo deja de tocar el suelo. Para la parte del ciclo que corresponde del 16 % al 50 %, se denomina como una fase de balanceo; aquı́, sólo el pie derecho se encuentra en contacto con el suelo, y el pie izquierdo realiza un balanceo hacia adelante, luego cuando el talón del pie izquierdo toca el suelo, se llega a una segunda fase de doble soporte para la parte del ciclo que va del 51 % al 65 %; después empieza otra fase de balanceo pero esta vez el pie derecho realiza esta acción mientras que el pie izquierdo se encuentra en contacto total con el suelo, esta última fase va del 66 % al 100 %, dando ası́ por finalizado un ciclo de la marcha (ver Figura 1.4).. Figura 1.4: Ciclo de la marcha. [3] Existe una caracterı́stica de la marcha que depende estrictamente de la velocidad; la fase de doble soporte desaparece cuando se sobrepasa la velocidad de 7.56 km/h; esto corresponde a la transición que existe entre la marcha normal y el proceso de correr [7]. Además varios estudios han demostrado que en cuanto se aumenta la velocidad de recorrido, la distancia recorrida será mayor [11] [12] [13]. Es lógico pensar que cuando se aumenta la velocidad de marcha aumenta la frecuencia de la misma. Tomando la vista desde el plano sagital, el movimiento de la cadera durante la marcha puede asociarse a una onda sinusoidal, el movimiento que se realiza en la rodilla es básicamente de extensión y contracción, siendo 9.

(19) el pivote3 entre el muslo y la pierna, finalmente el tobillo posee los mismos movimientos de la rodilla (extensión y contracción); estos se generan cuando el pie se encuentra en el piso y en la fase de balanceo. Un dato importante es que aproximadamente el centro de gravedad del cuerpo humano se ubica al 55 % de la altura, tomando como referencia el piso.. 1.3.. Articulaciones de las piernas humanas. Como se mencionó anteriormente, el sistema bı́pedo suele dividirse en 3 partes principales, cada una de ellas cuenta con distintos DoF, pero estos grados no son completos por lo que podrı́a decirse que son DoF truncados. Iniciando el análisis por la parte más significativa en términos de masa, la cadera posee 3 movimientos identificados generalmente como Extensión y Flexión (ver Figura 1.5.a), Abducción y Aducción (ver Figura 1.5.b) y Rotación Interna4 y Externa (ver Figura 1.5.c).. Figura 1.5: Movimientos de la Cadera. [4] 3 4. Punto donde se unen dos eslabones y que tiene 1 o 2 grados de libertad. Rotación en sentido de las manecillas del reloj.. 10.

(20) El extremo opuesto a la conexión del fémur y la cadera conecta con la rodilla, este es un punto donde existe un único grado de libertad; dicha articulación vista desde un plano sagital posee rango de movimiento de 0◦ a 155◦ en forma de Rotación Interna. Finalmente los movimientos del tobillo se dividen en 3 como se ve en la Figura 1.6, aunque los mostrados en las Figuras 1.6.a y 1.6.b se logran con el mismo DoF, por lo que el tobillo posee 2 DoF.. Figura 1.6: Movimientos del Tobillo. [4]. 11.

(21) Capı́tulo 2 Principios Cinemáticos y Dinámicos de la Locomoción Bı́peda Una de las partes más importantes a tener en cuenta es la inestabilidad de la plataforma robótica bı́peda, ya que al no tener un enlace fijo al piso la planificación de la marcha y el control son muy importantes para mantener el balance, pero este es un problema difı́cil [16]. También es necesario saber, que la energı́a cinética y potencial del cuerpo cuando se encuentran en el ciclo de marcha son opuestas en fase [7]. En este capı́tulo se describen los principios fundamentales que se deben tener en cuenta para realizar un acercamiento del modelo real, sabiendo que tener un modelo exacto al de los miembros inferiores humanos es casi imposible, ya que ningún modelo matemático en la actualidad es igual a real; para esto se plantean simplificaciones de las articulaciones que generan resultados satisfactorios y funcionan casi como el modelo real. Se sabe que con 12 DoF se tiene un acercamiento cuasi-perfecto.. 2.1.. Grados de Libertad (DoF). Como definición general se pude mencionar que los grados de libertad (DoF) son el número mı́nimo de parámetros necesarios para describir la posición de un elemento. Para realizar una descripción cercana a la construcción de los miembros inferiores se debe tener en cuenta que existen 12.

(22) 3 partes básicas que permiten la locomoción como se menciona en la sección 1.3. Los miembros inferiores humanos están compuestos por 2 segmentos, el muslo y la pierna, y un segmento distal (pie) que hace contacto con el piso. La unión del fémur con la cadera es una unión esférica perfecta [4]; la cabeza del fémur se inserta en el acetábulo1 de la cadera como se muestra en la Figura 2.1. Muchos robots implementan este tipo de unión en la cadera mediante el diseño de 3 uniones de revoluta (ver Figura 2.2) ortogonales entre ellas, esto resulta en los 3 movimientos básicos de la cadera, Extensión y Flexión, Abducción y Aducción, y Rotación Interna y Externa.. Figura 2.1: Unión Esférica de la Cadera Humana. [5]. La rodilla sólo posee 1 DoF de forma simplificada; muchos robots son diseñados teniendo en cuenta esta consideración y aplican una unión de 1. Cavidad del hueso coxal en la que se articula la cabeza del fémur.. 13.

(23) revoluta exactamente como se ve en la Figura 2.2; pero un acercamiento más preciso a la cinemática con la que funciona la rodilla humana, serı́a la implementación de un mecanismo de 4 barras cruzadas, el cual resulta ser un sistema más cercano a la funcionalidad de la rodilla humana, ya que transfiere el movimiento de forma más eficiente. Sin embargo esto no es una restricción forzada para el diseño de un robot bı́pedo, aplicar una unión de revoluta es lo más fácil.. Figura 2.2: Unión de Revoluta para Dos Eslabones. [6]. Una de las partes más complejas en el estudio del movimiento bı́pedo es el tobillo, ya que tiene movimientos complejos al igual que la cadera. Para tener un acercamiento al funcionamiento del tobillo humano se necesitan 2 DoF, los movimientos logrados con los DoF del tobillo en combinación con los propios de la cadera logran un balance que permite tener movimientos fluidos. Además el pie posee otra unión que raramente se incluye en robots, esta es la unión metatarsiana; dicha unión permite que el contacto con el suelo se prolongue durante la fase de propulsión. Incluir esta unión dentro de un robot es particular a cada diseño, por lo que aumentarı́a el sistema en 2 DoF, lo que resultarı́a en añadir más actuadores al sistema.. 2.2.. Patrón de Marcha. Una parte crucial para el diseño de un robot bı́pedo es la generación de los patrones necesarios que debe seguir para lograr pasos que lo lleven 14.

(24) de un punto a otro, esto se conoce como walking patterns. El proceso de caminar como ya se describió en la sección 1.2 es un ciclo repetitivo que va de una extremidad a otra. El análisis dinámico y el control debe tomarse desde varios puntos de vista, ya que es un proceso complejo realizar la coordinación de tantos elementos para lograr el desplazamiento fluı́do del sistema. El ciclo de marcha puede verse de forma muy general desde 2 fases, la fase de doble soporte y la fase de balanceo; es importante tener esto en cuenta puesto que, cuando el sistema se encuentra en la fase de doble soporte, se comportará como una cadena cinemática cerrada, y cuando se encuentra en fase de balanceo tiene el comportamiento de una cadena cinemática abierta; esto quiere decir que la topologı́a del sistema es variante con el tiempo, esto influye de manera significativa en el modelo dinámico del ciclo de la marcha y en el control. Otro concepto que debe tenerse en cuenta es que en la fase de doble soporte, el sistema es sobreactuado por lo que la dinámica del movimiento es indeterminada, ası́ que se deben implementar estrategias para resolver este problema [7].. Figura 2.3: Marcha Bı́peda vista desde Plano Sagital. [Fuente: Autor]. 15.

(25) La fase de balanceo inicia cuando el pie izquierdo deja de tocar el suelo, mientras que el pie derecho se mantiene en contacto total con el suelo, y termina cuando el pie con el que se realizó dicho balanceo vuelve a tocar el suelo, aquı́ empieza la fase de doble soporte y el pie de balanceo pasa a ser el derecho; la fase de doble balanceo contiene el momento donde el pie que va a realizar el balanceo efectuá la propulsión del cuerpo para dar el siguiente paso. Según [7], existen 4 modos generales y distintos en la marcha, de los cuales 3 de ellos, el pie que hace contacto con el suelo permanece realizando esta acción mientras el otro pie realiza el balanceo y llega hasta la siguiente posición.. 2.3.. Dinámica. De manera general la dinámica estudia las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el movimiento que se origina como reacción de la aplicación de dichas fuerzas. Por lo que se puede deducir rápidamente que la dinámica trata de conocer el movimiento de un sistema con base en las fuerzas que en él son aplicadas. Según [17], un modelo dinámico relaciona 3 aspectos diferentes, los cuales son: 1. La localización del robot definida por sus variables articulares, o por las coordenadas de localización de su extremo final, y sus derivadas y aceleración. 2. Las fuerzas y pares aplicados al robot. 3. Los parámetros dimensionales del robot, como longitudes, masas e inercias de sus elementos. Es importante aclarar en este punto que a medida que los grados de libertad (DoF) del robot aumentan, la obtención del modelo dinámico se vuelve más complejo. A pesar de ser una tarea demandante y compleja, no se puede obviar este paso en el diseño de algún sistema robótico, ya que dicho modelo tiene diversas ventajas como poder simular el sistema, la modificación de los parámetros dimensionales o la evaluación de las técnicas de control.. 16.

(26) 2.3.1.. Dinámica basada en Euler-Lagrange. Mecánica de Lagrange La mecánica de Lagrange es uno de los instrumentos más utilizados en la robótica para describir el comportamiento de los sistemas (modelo dinámico). Existen diversas fuentes en donde puede encontrarse información introductoria referente a este tema (e.g [18] [19]). Lagrange hace uso del principio de mı́nima acción; el principio de mı́nima acción establece que todo cuerpo sigue una trayectoria que minimiza la acción, esta trayectoria resulta ser la integral del lagrangiano evaluado en el intervalo de tiempo en el que se analiza, el lagrangiano se obtiene de la diferencia entre la energı́a cinética y la energı́a potencial del sistema.. 2.3.2.. Sistemas de Coordenadas Generalizadas. Las coordenadas generalizadas para un sistema cualquiera son el número de parámetros que sirven para determinar las posiciones relativas de cada elemento que conforma el sistema con respecto a otros miembros. En [7] se realiza un análisis de un sistema bı́pedo planar donde se aplican una serie de simplificaciones a las ecuaciones de movimiento que facilitan el análisis dinámico; pero dichas simplificaciones no se pueden considerar para el caso del sistema tridimensional, ya que existen diversas complicaciones en lo geométrico, cinemático y dinámico. De forma analı́tica, el sistema puede tomarse de dos maneras diferentes, como un sistema multicuerpo libre, o sea el sistema no está anclado al suelo, o por el contrario como un sistema rotativo, que posee unión con el suelo en uno de los elementos. Para el primer enfoque existirá un modelo dinámico restringido para todos los pasos. El segundo enfoque conllevará un número reducido de parámetros con los que se configura el modelo y será restringido sólo en la fase de doble soporte.. 2.3.3.. Matriz Jacobiana. Para comprender como se obtendrá la matriz Jacobiana del modelo, primero debemos dar la definición más conocida de matriz Jacobiana. De forma sencilla el Jacobiano o matriz Jacobiana, es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las 17.

(27) principales aplicaciones de esta matriz es la aproximación lineal de una función en un punto, esto quiere decir que toma una función con componentes no lineales y mediante la aplicación de las derivadas parciales realiza su aproximación lineal a un punto dado. Un texto recomendado para entender más a profundidad la linealización de sistemas no lineales al rededor de un punto es [20]. Teniendo esta definición que es la más conocida, se pude decir que la obtención de la matriz Jacobiana se puede realizar haciendo uso del procedimiento Denavit-Hatenberg (ver sección 2.5.1). Como se describe en [21] la matriz Jacobiana J tiene dimensiones 6 × n donde n es el número de articulaciones que tiene el robot. Cada columna de J puede separarse en dos vectores de 3 × 1, estos dos vectores se denominaran JLi y JAi , donde son asociados a la velocidad lineal y a la velocidad angular respectivamente. Por lo que de forma general cada columna (Ji ) quedará de la forma vista en 2.1. J (2.1) Ji = Li JAi Cada elemento de la matriz J se encuentra en función de una variable o coordenada generalizada (qi ). Las primeras 3 columnas de J describen la velocidad lineal del extremo final del robot respecto a la base. Cada columna de JL (conformada por vectores JL i) está compuesta por la derivada parcial de la posición del extremo final.  ∂x  ∂q.  i    ∂y  JL i =  ∂q   i  . (2.2). ∂z ∂qi. Las últimas 3 filas de J corresponden a la velocidad angular del final del robot. Si hay unión prismática (no de revoluta o rotación) se igualarán los términos a cero (JAi q˙i = 0) para unión prismática en el eslabón i. Donde bi−1 es el vector unitario que apunta en la dirección en la que rota el eslabón. Como se puede notar del procedimiento visto para ubicar los sistemas coordenados de Denavit-Hatenberg, todas las uniones donde existe un movimiento de rotación se realizan sobre el eje zi−1 , es importante 18.

(28) remarcar esto ya que de esta deducción podemos definir instantáneamente el vector bi−1 como [001]T . De nuevo, sabiendo que la matriz de transformación Hii−1 esta compuesta por una matriz 3 × 3 que define la rotación de un vector del eslabón i desde el eslabón i − 1.. 2.4.. Cinemática. De forma general se puede decir que la Cinemática, estudia las caracterı́sticas del movimiento sin tener en cuenta las fuerzas que lo producen. La Cinemática considera la posición de los elementos estudiados y las demás derivadas de orden más alto que influyen en el comportamiento cinemático del sistema [22]. 2.4.1.. Cinemática Inversa. En términos sencillos la cinemática inversa es el área que permite determinar el movimiento de una cadena de articulaciones para lograr que un actuador final se ubique en una posición concreta.. Valor de las. Cinemática Directa. del final del. coordenadas articulares. Orientación. Cinemática Inversa. robot. Figura 2.4: Cinemática Directa vs. Cinemática Inversa. [Fuente: Autor]. 2.5.. Parámetros Denavit-Hatenberg. Recordando que el problema principal de la cinemática directa es encontrar la posición de un robot con respecto a origen dado, se puede decir que existen muchos acercamientos para encontrar dicha posición. Una de las técnicas más comunes es la propuesta por Jacques Denavit y Richard 19.

(29) Hartenberg en [23] donde aprovechando notaciones simbólicas y el uso del álgebra de matrices permiten establecer la ubicación de los sistemas de referencia de los eslabones de un robot mediante el uso de matrices; dicha técnica es ampliamente utilizada ya que sólo hace uso de 4 parámetros para determinar las transformaciones relativas entre eslabones. Los cuatro parámetros son: Ángulo θi : Es el ángulo que forman los ejes xi−1 y xi medido en plano perpendicular al eje zi−1 , utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias. Distancia di : Es la distancia a lo largo del eje zi−1 desde el origen del sistema de coordenadas Si−1 hasta la intersección del eje zi−1 con el eje xi . Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas. Distancia ai : Es la distancia a lo largo del eje xi que va desde la intersección del eje zi−1 con el eje xi hasta que el origen del sistema i-esimo, en el caso de articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, se calcula como la distancia más corta entre los ejes zi−1 y zi . Ángulo αi : Es el ángulo de separación del eje zi−1 y el eje zi , medido en un plano perpendicular al eje xi utilizando la regla de la mano derecha. El concepto es bastante sencillo, teniendo en cuenta la Figura 2.5, sabemos que existen dos sistemas Si−1 y Si , donde el sistema Si es resultado de aplicar una serie de cambios al sistema Si−1 , dichos cambios son inicialmente una rotación sobre el eje zi−1 (θi ), luego una traslación sobre el mismo eje zi−1 de magnitud di , después otra traslación pero esta vez sobre el nuevo eje xi de magnitud ai , finalizando con una rotación sobre el mismo eje xi de magnitud αi , esto nos llevará del sistema Si−1 al nuevo Si . Cada uno de estos cambios que se aplican al sistema Si−1 tiene una matriz de transformación que lo define, ahora se muestran dichas matrices para cada uno de estos parámetros. La matriz que define la rotación sobre el eje z se muestra en 2.3, en 2.4 se nota la traslación sobre el mismo eje, 20.

(30) ai zi. Qi zi-1. yi Si. di. Qi. xi. i. S i-1. yi-1. i. xi-1. Figura 2.5: Sistema de Articulaciones Denavit-Hatenberg. [Fuente: Autor] luego en 2.5 la siguiente traslación sobre el eje x y para finalizar en 2.6 la rotación que se aplica en el mismo eje x.   cos(θi ) −sin(θi ) 0 0 sin(θi ) cos(θi ) 0 0 Rot(z)  Hθi = (2.3)  0 0 1 0 0 0 0 1   1 0 0 0  0 1 0 0 T ras(z)  Hdi = (2.4) 0 0 1 di  0 0 0 1   1 0 0 ai 0 1 0 0   HaTiras(x) =  (2.5) 0 0 1 0  0 0 0 1. 21.

(31) HαRot(x) i.  1 0 0 0 cos(αi ) −sin(αi ) = 0 sin(αi ) cos(αi ) 0 0 0.  0 0  0 1. (2.6). Teniendo cada una de las matrices se procede a multiplicar el conjunto para ası́ obtener la matriz de transformación Hii−1 , para lo que el sistema quedará como se muestra en 2.7. Rot(z). Hii−1 = Hθi. T ras(z). Hdi. HaTiras(x) HαRot(x) i. (2.7). Como las matrices que se muestran en 2.3-2.6 están descritas en la forma general, donde sólo se deben reemplazar los valores, se pueden realizar las multiplicaciones para obtener la matriz Hii−1 directamente sin pasar por el paso intermedio de calcular las 4 matrices de transformación. Aplicando entonces la fórmula vista en 2.7 al sistema de matrices visto en 2.3-2.6, se obtendrá la matriz general como se muestra en 2.8. . Hii−1. 2.5.1..  cos(θi ) −sin(θi )cos(αi ) sin(θi )sin(αi ) ai cos(θi ) sin(θi ) cos(θi )cos(αi ) −cos(θi )sin(αi ) ai sin(θi )  =  0 sin(αi ) cos(αi ) di  0 0 0 1. (2.8). Algoritmo Denavit-Hatenberg. El algoritmo de Denavit-Hatenberg se usa para obtener el modelo cinemático directo, a continuación se muestran los pasos obtenidos de [17]. 1. Numerar los eslabones, empezando con 1 para el primer eslabón móvil de la cadena y acabando con n como el último eslabón. Se numerará 0 a la base fija del robot. 2. Numerar cada articulación comenzando por 1, correspondiente al primer grado de libertad y acabando en n. 3. Localizar el eje de cada articulación. Si la articulación es rotativa, entonces será su eje de giro. Si es prismática (traslación) sera el eje por el cual se produce el desplazamiento. 22.

(32) 4. Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1. 5. Situar el origen del sistema de la base S0 en cualquier punto del eje z0 . Los ejes x0 y y0 se situarán de tal manera que formen un sistema dextro-giro2 con z0 . 6. Para i de 1 a n-1 situar el sistema Si (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi con la lı́nea normal común a zi−1 y zi . Si ambos ejes se cortasen se situarı́a Si en el punto de corte. Si fuesen paralelos Si se situarı́a en la articulación i+1. 7. Situar xi en la lı́nea normal común a zi−1 y zi. 8. Situar yi de modo que forme un sistema dextro-giro con xi y zi . 9. Situar el sistema Sn en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn−1 y xn sea normal a zn−1 y zn . 10. Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi−1 para que xi−1 y xi queden paralelos. 11. Obtener di como la distancia media a lo largo del eje zi−1 , que habrı́a que desplazar Si−1 para que xi y xi−1 quedasen alineados. 12. Obtener ai como la distancia media a lo largo de xi (que ahora coincidirá con xi−1 ) que habrı́a que desplazar el nuevo Si−1 para que su origen coincidiese con Si . 13. Obtener αi como el ángulo que habrı́a que girar entorno a xi (que ahora coincidirı́a con xi−1 ), para que le nuevo Si−1 coincidiese totalmente con Si . 14. Obtener las matrices de transformación Hii−1 . 15. Obtener la matriz de transformación que relaciona la base con el extremo del robot Tn0 . 16. La matriz Tn0 define la orientación (sub-matriz de rotación) y posición (sub-matriz de traslación) del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares. 2. En sentido de las manecillas del reloj.. 23.

(33) Capı́tulo 3 Modelado Matemático de la Biomecánica del Tren Inferior Humano Para iniciar el análisis matemático del sistema, primero se calcularán las matrices de transformación Hii−1 como se vió en la sección 2.5 para lo cual se deben ubicar los ejes de coordenadas haciendo uso del algoritmo visto en la sección 2.5.1, por lo que el sistema de referencia para una extremidad quedará como se muestra en la Figura 3.1.. 3.1.. Cinemática Directa. Es importante mencionar que para el caso de este trabajo y para simplificar el análisis del sistema se realizarán 2 consideraciones; la primera es que, como se mencionó en la sección 2.1 la rodilla de forma natural se comporta como un mecanismo de 4 barras cruzadas, pero para el caso de análisis aquı́ propuesto se tomará como una juntura de rotación o revoluta, y la segunda consideración es que se elimina la parte de la articulación del metatarso del pie, quedando el pie con solo 2 DoF como se ve en la figura 3.1. Ahora bien, como se describe en algoritmo visto en la sección 2.5.1 se deben encontrar los valores de las transformaciones para cada uno de los eslabones i. Los valores de las transformaciones se encuentran en la tabla 3.1.. 24.

(34) y1 z0 y2. θ1 θ3. θ2 x z1 0. x2. l3. y0. x1. z2. y3. θ4 z 3. x3 l4. y4 θ6 z5 xf z 6. l6. x4 x5 θ5 zf z4y. x6. y6 y. 5. f. Figura 3.1: Extremidad con Parámetros Denavit-Hatenberg. [Fuente: Autor] Teniendo los valores exactos de los parámetros de Denavit-Hatenberg (3.1), se deben reemplazar en la matriz vista en la fórmula 2.8. Como se menciona en [17] el cálculo de las relaciones entre eslabones es inmediato reemplazando y calculando los valores que vienen dados por las matrices Hii−1 para los eslabones consecutivos.   −sin(θ1 ) 0 cos(θ1 ) 0  cos(θ1 ) 0 sin(θ1 ) 0  H10 =  (3.1)  0 1 0 0 0 0 0 1 Hay que tener en cuenta que el proceso para calcular la matriz H10 , en 25.

(35) i 1 2 3 4 5 6. θi d i ai 90 90 0 -90 -90 0 0 0 l3 0 0 l4 0 90 0 0 0 l6. αi 0 0 0 0 0 0. Cuadro 3.1: Tabla de Parámetros Denavit-Hatenberg el argumento de las identidades trigonométricas se debe realizar como la suma del ángulo (θ1 + 90), lo mismo ocurre para el cálculo de la matriz H21 donde su argumento se expresa como (θ1 − 90).   sin(θ2 ) 0 cos(θ2 ) 0 −cos(θ2 ) 0 sin(θ2 ) 0  H21 =  (3.2)  0 −1 0 0 0 0 0 1   cos(θ3 ) −sin(θ3 ) 0 l3 cos(θ3 ) sin(θ3 ) cos(θ3 ) 0 l3 sin(θ3 )  H32 =  (3.3)  0  0 1 0 0 0 0 1   cos(θ4 ) −sin(θ4 ) 0 l4 cos(θ4 ) sin(θ4 ) cos(θ4 ) 0 l4 sin(θ4 )  (3.4) H43 =   0  0 1 0 0 0 0 1   cos(θ5 ) 0 sin(θ5 ) 0 sin(θ5 ) 0 −cos(θ5 ) 0  H54 =  (3.5)  0 1 0 0 0 0 0 1   cos(θ6 ) −sin(θ6 ) 0 l6 cos(θ6 ) sin(θ6 ) cos(θ6 ) 0 l6 sin(θ6 )  H65 =  (3.6)  0  0 1 0 0 0 0 1. 26.

(36)  0  0 Hf6 =  1 0.  0 −1 0 1 0 0  0 0 0 0 0 1. (3.7). Para determinar la matriz de transformación que relaciona la base (0) con el extremo final del robot (f ) se debe aplicar la fórmula vista en 3.8 que es particular para el caso de este trabajo. Tf0 = H10 H21 H32 H43 H54 H65 Hf6. 3.2.. (3.8). Cinemática Inversa. Una vez calculada la matriz de transformación Tf0 se puede mencionar que la primera sub-matriz 3x3 describe la rotación del sistema y la siguiente sub-matriz 3x1 muestra la posición de la parte final del robot en función de sus coordenadas articulares, esto da como resultado la solución al problema cinemático directo [17]. El siguiente problema que se debe solucionar es encontrar la cinemática inversa, teniendo en cuenta la definición vista en la sección 2.4.1, lo que se debe encontrar es el ángulo de cada articulación sabiendo la posición final en la que se encontrará el pie del robot. Haciendo uso de la cinemática directa se puede resolver entonces el problema propuesto. Teniendo en cuenta la forma en la que está construı́da la matriz de transformación Tf0 donde posee una parte que describe rotación (primer matriz 3x3) y otra traslación (vector 3x1)como se muestra en la fórmula 3.9 y asumiendo que los valores de los parámetros de Tf0 son conocidos se puede realizar la construcción geométrica desde un plano sagital vista en 3.2 donde se pueden calcular los ángulos de las articulaciones.   r11 r12 r13 Px r21 r22 r23 Py   Tf0 =  (3.9) r31 r32 r33 Pz  0 0 0 1. 27.

(37) l. 3. 3. l. 0-5. 4. l. 4. 5. o. 5. Figura 3.2: Relaciones Geométricas para cualquier Ángulo. [Fuente: Autor] El punto del extremo del robot donde tiene origen la articulación del tobillo (O5 ) puede definirse como {Px + l6 r13 , Py + l6 r23 , Pz + l6 r33 }, este resultado se puede comprobar fácilmente aplicando los procedimientos vistos en [17] donde se explica en la parte de cinemática inversa las técnicas de resolución de problemas de la misma, a partir de la transformación homogénea. Para encontrar la distancia l0−5 se hace uso de Tf0 y la inversa del producto H65 Hf5 donde es necesario encontrar el punto de la articulación 5 para luego calcular la distancia al origen haciendo uso de herramientas básicas de la geometrı́a como el teorema de Pitágoras. H50 = Tf0 (H65 Hf6 )−1 Reemplazando las matrices en la definición vista en 3.10.. 28. (3.10).

(38)    −1 r11 r12 r13 Px 0 −sin(θ6 ) −cos(θ6 ) l6 cos(θ6 ) r21 r22 r23 Py  0 cos(θ6 ) −sin(θ6 ) l6 sin(θ6 )    H50 =  r31 r32 r33 Pz  1  0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 (3.11) Quedando finalmente la matriz de transformación H50 como se muestra en la fórmula 3.12.   R11 R12 R13 Px + l6 r13 R21 R22 R23 Py + l6 r23   H50 =  (3.12) R31 R32 R33 Pz + l6 r33  0 0 0 1 Los términos R11 -R33 son los valores de rotación para el punto (O5 ), que para este caso no importan, solo importan los valores del vector de traslación 3x1 ubicado en la última columna, estos valores son los puntos de coordenadas donde se ubica el punto bajo estudio. Ahora por geometrı́a simple se puede calcular la distancia entre el origen (0) y el punto (O5 ), usando el teorema de Pitágoras. q l0−5 = (Px + l6 r13 )2 + (Py + l6 r23 )2 + (Pz + l6 r33 )2 (3.13) Es fácil determinar el ángulo θ4 de la rodilla del robot (3.2), teniendo las distancia l3 ,l4 y l0−5 . 2 l0−5 − l32 − l42 −1 (3.14) θ4 = cos 2l3 l4 Como se explica en [24], se puede encontrar la matriz inversa de Tf0 para determinar los valores coordenados del vector que va desde el pie del sistema hasta el origen (0). Consideremos el problema ahora desde el plano coronal (frontal). Calculando la inversa, se obtiene la matriz vista en la fórmula −1entonces 3.15 ( Tf0 = T −1 ).. 29.

(39) O. frontal l0-6 frontal l0-5. O5. l6 O6 -θ6 Figura 3.3: Relaciones Geométricas desde el Plano Coronal. [Fuente: Autor]. T. −1.  −1 T11    −1 T21  =  −1 T31   −1 T41. −1 −1 T12 T13. −Px r22 r33 −Px r23 r32 −Py r12 r33+Py r13 r32 +Pz r12 r23 −Pz r13 r22 r11 r22 r33 −r11 r23 r32 −r12 r21 r33 +r12 r23 r31 +r13 r21 r32 −r13 r22 r31. −1 −1 T22 T23. Px r21 r33 −Px r23 r31 −Py r11 r33 +Py r13 r31 +Pz r11 r23 −Pz r13 r21  r11 r22 r33 −r11 r23 r32 −r12 r21 r33 +r12 r23 r31 +r13 r21 r32 −r13 r22 r31  . −1 T32. −1 T33. −Px r21 r32 −Px r22 r31 −Py r11 r32 +Py r12 r31 +Pz r11 r22 −Pz r12 r21   r11 r22 r33 −r11 r23 r32 −r12 r21 r33 +r12 r23 r31 +r13 r21 r32 −r13 r22 r31 . −1 T42. −1 T43.     . 1 (3.15). −1 −1 deTeniendo entonces el cálculo de esta inversa, los términos T24 y T34 finen uno de los puntos que va desde el pie del robot hasta el origen. Con los puntos del pie del robot y visto desde el plano coronal, se pueden. 30.

(40) f rontal f rontal calcular las distancia l0−5 y l0−6 haciendo uso nuevamente de teoremas básicos de geometrı́a. Quedando las distancias como se muestran en las fórmulas 3.16 y 3.17. El ángulo (θ6 ) puede ser calculado fácilmente f rontal f rontal teniendo las distancias l0−5 , l0−6 y l6 como se describe en [24]. q f rontal (3.16) l0−5 = T − 1224 + T − 134. Ahora se calcula la distancia del origen al pie. q f rontal l0−6 = T − 1224 + T − 134 − l6. (3.17). Se puede calcular el ángulo de rotación del pie (θ6 ).   2 2 2 f rontal f rontal + l0−5 + (l6 )   (l0−6 θ6 = sign(T −1 )cos−1   f rontal f rontal 2l0−6 l0−5. (3.18). Luego, se puede realizar el cálculo del ángulo (θ2 ) de la cadera, el cálculo se hace realizando procedimientos similares como se hicieron para (θ6 ) [24]. H10 H21 H32 H43 = Tf0 H54 H65 H56. −1. (3.19). Donde se obtendrán las siguientes matrices.  ∗ ∗  ∗ 0. ∗ −sin(θ1 )cos(θ2 ) ∗ cos(θ1 )cos(θ2 ) ∗ sin(θ2 ) 0 0.   ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ 1 0. ∗ r12 cos(θ6 ) − r13 sin(θ6 ) ∗ r22 cos(θ6 ) − r23 sin(θ6 ) ∗ r32 cos(θ6 ) − r33 sin(θ6 ) 0 0.  ∗ ∗  (3.20) ∗ 1. Donde por comparación se puede encontrar el ángulo θ2 . θ2 = sin−1 (r32 cos(θ6 ) − r33 sin(θ6 )). 31. (3.21).

(41) De las mismas matrices se puede calcular el ángulo θ1 , realizando comparaciones entre los elementos (1, 3) = (1, 3) y (2, 3) = (2, 3) se obtienen los despejes vistos en las fórmulas 3.22 y 3.23. r22 cos(θ6 ) − r23 sin(θ6 ) −1 (3.22) θ1 = cos cos(θ2 ) r12 cos(θ6 ) − r13 sin(θ6 ) −1 (3.23) θ1 = sin −cos(θ2 ) Teniendo estos 2 despejes el autor en [24] propone hacer uso de la tangente inversa de cuatro cuadrantes, por lo que el sistema quedará como se muestra en 3.24. θ1 = atan2. r12 cos(θ6 ) − r13 sin(θ6 ) r22 cos(θ6 ) − r23 sin(θ6 ) , −cos(θ2 ) cos(θ2 ). (3.24). Se deben encontrar los demás ángulos para tener resuelto por completo el problema cinemático inverso, para esto se vuelve a aplicar el procedimiento anterior quedando la fórmula general para este paso de la forma vista en 3.25. H32 H41 H54 = H10 H21. −1. Tf0 H65 Hf6. −1. (3.25). Donde se obtendrán las matrices vistas en 3.26 y 3.27.  ∗ ∗   ∗ ∗.  ∗ ∗ (l3 + l4 cos(θ4 ))cos(θ3 ) − l4 sin(θ4 )sin(θ3 ) ∗ ∗ l4 sin(θ4 )cos(θ3 ) + (l3 + l4 cos(θ : 4))sin(θ3 )   ..  ∗ ∗ . ∗ ∗. (3.26). 1  ∗ ∗   ∗ ∗.  ∗ ∗ α ∗ ∗ β  ..  ∗ ∗ . ∗ ∗ 1. 32. (3.27).

(42) Donde. α = −Px sin(θ1 )sin(θ2 ) + Py cos(θ1 )sin(θ2 ) − Pz cos(θ2 ) − . . . . . . l6 (r12 sin(θ1 )sin(θ2 ) − r23 cos(θ1 )sin(θ2 ) + r33 cos(θ2 )) β = −Px cos(θ1 ) − Py sin(θ1 ) − l6 (r13 cos(θ1 ) + r23 sin(θ1 )) Donde se tienen las ecuaciones por comparación con 3.26. (l3 + l4 cos(θ4 ))cos(θ3 ) − l4 sin(θ4 )sin(θ3 ) = α. (3.28). l4 sin(θ4 )cos(θ3 ) + (l3 + l4 cos(θ : 4))sin(θ3 ) = β. (3.29). Encontrando los valores de seno y coseno para θ3 de las ecuaciones vistas en 3.28 3.29. sin(θ3 ) =. −l4 sin(θ4 )α + (l3 + l4 cos(θ4 ))β l32 + l42 + 2l3 l4 cos(θ4 ). (3.30). (l3 + l4 cos(θ4 ))α + l4 sin(θ4 )β l32 + l42 + 2l3 l4 cos(θ4 ). (3.31). sin(θ3 ) =. Es pertinente recalcar que la expresión l32 + l42 + 2l3 l4 cos(θ4 ) ≥ 0. Luego de tener las expresiones de θ3 en forma de seno y coseno, se puede aplicar de nuevo la forma de tangente inversa de cuatro cuadrantes para lo que finalmente θ3 quedará de la forma vista en 3.32. θ3 = atan2(−l4 sin(θ4 )α + (l3 + l4 cos(θ4 ))β, (l3 + l4 cos(θ4 ))α + l4 sin(θ4 )β) (3.32) Por último se debe encontrar el ángulo de rotación θ5 , para esto se define un θpitch 1 = θ3 + θ4 + θ5 . Por lo que θpitch se define como se muestra a continuación [24]. θpitch = atan2(−r11 sin(θ1 )sin(θ2 ) + r21 cos(θ1 )sin(θ2 ) − r31 cos(θ2 ), . . . r11 cos(θ1 ) + r21 sin(θ1 )) 1. Rotación en torno al eje X.. 33.

(43) Ahora bien como el objetivo es encontrar el ángulo de rotación θ5 , se puede despejar de la forma vista en 3.33. θ5 = θpitch − θ3 − θ4. 3.3.. (3.33). Dinámica. La dinámica es una de las partes más importantes, de las ecuaciones obtenidas en esta sección y en conjuntos con las cinemáticas se podrá plantear un modelo que se pueda simular y en el cual se puedan evaluar diversas técnicas de control.. 3.3.1.. Matriz Jacobiana. Como se describe en [21] la matriz Jacobiana se puede obtener mediante las matrices de transformación ya obtenidas en la cinemática directa, por eso se aplicará esta técnica para encontrar la matriz Jacobiana. Entonces en primer lugar se puede deducir que la matriz tendrá un tamaño de 6 × 6, donde tendrá la forma vista en 3.34.   Ji11 Ji12 Ji13 Ji14 Ji15 Ji16 Ji21 Ji22 Ji23 Ji24 Ji25 Ji26    Ji31 Ji32 Ji33 Ji34 Ji35 Ji36    Ji =  (3.34)  J J J J J J i i i i i i 42 43 44 45 46   41 Ji51 Ji52 Ji53 Ji54 Ji55 Ji56  Ji61 Ji62 Ji63 Ji64 Ji65 Ji66 Para empezar a realizar el análisis dinámico del sistema debemos considerar las masas de los elementos (eslabones), para simplificar dicho análisis, consideramos cada masa concentrada en punto como se muestra en la Figura 3.4. Ahora debemos considerar una matriz Jacobiana para cada eslabón del sistema, por lo que tendrán la construcción vista en 3.35 [25]. J Ji = Li (3.35) JAi 34.

(44) θ1 θ3. θ2 m3. l3/2 l3 θ4. m4. l4/2 θ5 l 4. θ6 m6. l6. Figura 3.4: Distribucion de Masas para el Robot. [Fuente: Autor] Donde JL3 tiene la construcción vista en 3.36. JL3 = z0 × (o3c − o0 ) z1 × (o3c − o1 ) z2 × (o3c − o2 ) 0 0 0. (3.36). Con la parte de velocidad angular. JA3 = z0 z1 z2 0 0 0. (3.37). De forma similar se pueden construir las relaciones para J4 y J6 . JL4 = z0 × (o4c − o0 ) z1 × (o4c − o1 ) z2 × (o4c − o2 ) z3 × (04c − 03 ) 0 0 (3.38). JL6 =. JA4 = z0 z1 z2 z3 0 0. (3.39). [z0 × (o6c − o0 ) z1 × (o6c − o1 ) z2 × (o6c − o2 ) . . . . . . z3 × (o6c − o3 ) z4 × (o6c − o4 ) z5 × (o6c − o5 )]. (3.40). 35.

(45) JA6 = z0 z1 z2 z3 z4 z5. 3.3.2.. (3.41). Ecuación Euler-Lagrange. Para finalizar el análisis dinámico se recurre a una de las herramientas más utilizadas en la robótica, el análisis por energı́as del sistema. Planteando entonces la forma vista en 3.42. d ∂L ∂L − = τi dt ∂ q̇i ∂qi. (3.42). L=K −P. (3.43). Donde.. Como ya se sabe, L es el lagrangiano, K es la energı́a cinética y P la energı́a potencial. La energı́a cinética de un cuerpo se expresa como la suma de 2 términos [24]. 1 1 K = mv T v + ω T Iω 2 2. (3.44). El tensor de inercia I debe ser modificado para convertirlo en una coordenada global, para hacer esto se puede multiplicar por la matriz rotacional R como se muestra en la ecuación 3.45 [25] [24]. 1 1 K = mv T v + ω T RIRT ω 2 2. (3.45). O lo que es lo mismo en forma vectorial.. 1 K = m vx vy 2 .   vx 1 vz vy  + ωx ωy ωz RIRT 2 vz.   ωx ωy  ωz. (3.46). La ecuación 3.45 muestra el cálculo de la energı́a cinemática para un componente del sistema, y como el objetivo es calcular la energı́a cinética de todo el robot, K será igual a la suma de las todas las energı́as cinéticas como se muestra en 3.47. 36.

(46) K=. n X 1 i=1. 2. mi viT vi. 1 + ωiT Ri Ii RiT ωi 2. (3.47). Como en 3.47 se requieren conocer las velocidades lineales v y las angulares ω de cada elemento, se puede hacer uso del Jacobiano ya calculado para encontrar K. " n # 1 T X T T K = q̇ mi JLi JLi + JAi Ri Ii RiT JAi q̇ (3.48) 2 i=1 Ahora en 3.49 se muestra de forma explı́cita la manera de calcular la energı́a cinética.  T T T m3 JL3 JL3 + m4 JL4 JL4 + m6 JL6 JL6 + . . . 1 T T R3 I3 R3T JA3 + JA4 R4 I4 R4T JA4 + . . .  q̇ K = q̇ T  JA3 2 T JA6 R6 I6 R6T JA6 . (3.49). Para simplificar los cálculos, se puede definir una matriz de inercia D(q) de la forma vista en 3.50. T T T JL6 + . . . JL4 + m6 JL6 JL3 + m4 JL4 m3 JL3 T T T T D(q) = JA3 R3 I3 R3 JA3 + JA4 R4 I4 R4 JA4 + . . . T JA6 R6 I6 R6T JA6. (3.50). Ahora se puede escribir K de forma general como se ve en 3.51. n. n. 1 1 XX (q)q˙i q˙j K = q̇ T D(q)q̇ = 2 2 j=1 i=1 Donde D(q) tiene la construcción vista en 3.52.. 37. (3.51).

(47)  d11 (q)   d21 (q)    d31 (q)  D(q) =   d41 (q)    d51 (q)   d61 (q).  d12 (q) d13 (q) d14 (q) d15 (q) d16 (q)   d22 (q) d23 (q) d24 (q) d25 (q) d26 (q)    d32 (q) d33 (q) d34 (q) d35 (q) d36 (q)    d42 (q) d43 (q) d44 (q) d45 (q) d46 (q)    d52 (q) d53 (q) d54 (q) d55 (q) d56 (q)   d62 (q) d63 (q) d64 (q) d65 (q) d66 (q). (3.52). Se procede a calcular ahora la energı́a potencial para la extremidad del robot. Teniendo en cuenta que por definición general P se calcula como se muestra en 3.53. P = mgh =. n X. (3.53). mi ghci (q). i=1. Ahora se tienen todos los elementos para construir el Lagrangiano como se muestra en 3.54. n n n X 1 XX 1 T dij (q)q̇i q̇j − mi ghci (q) (3.54) L = K −P = q̇ D(q)q̇ −P (q) = 2 2 j=1 i=1 i=1. La derivada parcial del lagrangiano respecto a la velocidad se muestra en 3.55. ∂L ∂ = ∂ q̇k ∂ q̇k. n. n. 1 XX dij (q)q̇i q̇j 2 j=1 i=1. !. n. X ∂ − P (q) = dkj (q)q̇j ∂ q̇k j=1. (3.55). Derivando la fórmula 3.55. n. n. n. n. n. X X d X X X ∂dkj d ∂L = dkj q̈j + dkj q̇j = dkj q̈j + q̇i q̇j dt ∂ q̇k dt ∂qi j=1 j=1 j=1 j=1 i=1 38. (3.56).

(48) Y la derivada parcial del Lagrangino respecto a la posición. n. n. 1 X X ∂dij ∂P ∂L = q˙i q˙j − ∂qk 2 j=1 i=1 ∂qk ∂qk. (3.57). Quedando entonces la ecuación de Euler-Lagrange. n X. dkj q̈j +. j=1. n X n X ∂dk j j=1 i=1. 1 ∂di j − ∂qi 2 ∂qk. q̇i q̇j +. ∂P = τk ∂qk. (3.58). En este punto del procedimiento se definen los sı́mbolos de Christoffel Cijk y las fuerzas de gravedad que afectan a cada uno de los elementos gk (q). 1 ∂dkj ∂dki ∂dij (3.59) + − Cijk ≡ 2 ∂qi ∂qj ∂qi k Y. gk (q) ≡. ∂P (q) ∂qk. (3.60). Llegando finalmente a una forma general para las ecuaciones de movimiento. Donde se sabe entonces que n = 6 para el caso particular del sistema. 6 X j=1. dkj (q)q̈j +. 6 X 6 X. Cijk (q)q̇i q̇j + gk (q) = τk. (3.61). j=1 i=1. Finalmente se obtienen 6 ecuaciones de movimiento que describen la dinámica del sistema. τ1 = d11 θ¨1 + d12 θ¨2 + d13 θ¨3 + d14 θ¨4 + d15 θ¨5 + d16 θ¨6 + 2 2 2 2 2 2 . . . C111 θ˙1 + C221 θ˙2 + C331 θ˙3 + C441 θ˙4 + C551 θ˙5 + C661 θ˙6 + g1 (3.62). 39.

(49) τ2 = d21 θ¨1 + d22 θ¨2 + d23 θ¨3 + d24 θ¨4 + d25 θ¨5 + d26 θ¨6 + 2 2 2 2 2 2 . . . C112 θ˙1 + C222 θ˙2 + C332 θ˙3 + C442 θ˙4 + C552 θ˙5 + C662 θ˙6 + g2 (3.63). τ3 = d31 θ¨1 + d32 θ¨2 + d33 θ¨3 + d34 θ¨4 + d35 θ¨5 + d36 θ¨6 + 2 2 2 2 2 2 . . . C113 θ˙1 + C223 θ˙2 + C333 θ˙3 + C443 θ˙4 + C553 θ˙5 + C663 θ˙6 + g3 (3.64). τ4 = d41 θ¨1 + d42 θ¨2 + d43 θ¨3 + d44 θ¨4 + d45 θ¨5 + d46 θ¨6 + 2 2 2 2 2 2 . . . C114 θ˙1 + C224 θ˙2 + C334 θ˙3 + C444 θ˙4 + C554 θ˙5 + C664 θ˙6 + g4 (3.65). τ5 = d51 θ¨1 + d52 θ¨2 + d53 θ¨3 + d54 θ¨4 + d55 θ¨5 + d56 θ¨6 + 2 2 2 2 2 2 . . . C115 θ˙1 + C225 θ˙2 + C335 θ˙3 + C445 θ˙4 + C555 θ˙5 + C665 θ˙6 + g5 (3.66). τ6 = d61 θ¨1 + d62 θ¨2 + d63 θ¨3 + d64 θ¨4 + d65 θ¨5 + d66 θ¨6 + 2 2 2 2 2 2 . . . C116 θ˙1 + C226 θ˙2 + C336 θ˙3 + C446 θ˙4 + C556 θ˙5 + C666 θ˙6 + g6 (3.67). Siendo entonces.   θ1 θ2    θ3   q= θ4    θ5  θ6. (3.68). Ahora se puede definir el tensor de inercia; en [26] se muestra como calcular dicha matriz 3 × 3 para un sistema el cual su masa se encuentra 40.

(50) concentrada en un punto y no distribuida a lo largo del volumen. Por lo que se puede definir una matriz general para hallar el tensor de inercia.. I=. X.    2  −xi zi Ixx Ixy Ixz yi + zi2 −xi yi mi  −xi yi x2i + zi2 −yi zi  = Iyx Iyy Iyz  −xi zi −yi zi x2i + yi2 Izx Izy Izz. (3.69). Por lo que cada tensor de inercia para los eslabones 3, 4 y 6 quedarán de la siguiente manera, haciendo uso de las matrices de transformación H30 , H40 y H60 , donde solo importarán para este caso el vector de posición de las masas y siendo necesario cambiar la longitud del elemento parar realizar el cálculo de estas nuevas matrices las cuales se nombrarán H300 , H400 y H600 , este cambio serı́a de la siguiente manera l3 cambiarı́a por l3/2 , l4 cambiarı́a por l4/2 y l6 permanecerı́a igual.   0 ∗ ∗ ∗ P3x 0  ∗ ∗ ∗ P3y  (3.70) H300 =  0  ∗ ∗ ∗ P3z ∗ ∗ ∗ ∗   0 ∗ ∗ ∗ P4x 0  ∗ ∗ ∗ P4y  (3.71) H400 =  0  ∗ ∗ ∗ P4z ∗ ∗ ∗ ∗   0 ∗ ∗ ∗ P6x 0  ∗ ∗ ∗ P6y  (3.72) H600 =  0  ∗ ∗ ∗ P6z ∗ ∗ ∗ ∗ Para cada tensor de inercia, interesan solamente los elementos de la diagonal principal (Iix , Iiy y Iiz ) los cuales corresponden a los momentos de inercia respecto a cada eje [27]. X Iix = mi (Piy02 + Piz02 ) (3.73) i. Iiy =. X. 02 mi (Pix + Piz02 ). i. 41. (3.74).

(51) Iiz =. X. 02 mi (Pix + Piy02 ). (3.75). i. Finalmente se puede expresar el sistema de forma general. τ = Dq̈ + C q̇ + G. (3.76). Donde las matrices D, C y G representan la inercia del sistema, la coriolis/fuerza centrı́fuga y la gravedad respectivamente.. 42.

(52) Capı́tulo 4 Diseño Mecánico del Sistema Robótico Bı́pedo Teniendo el modelo matemático definido para el sistema bı́pedo, se procede a realizar el diseño mecánico teniendo como preferencia el uso de actuadores de tipo eléctrico para lograr los movimientos descritos en las secciones anteriores, ya que las caracterı́sticas de estos dispositivos los hacen adecuados para la implementación en sistemas del tipo robóticos, su sencillez, forma de control y precisión entregan diversas ventajas para lograr los objetivos descritos; además de que su precio es considerablemente más bajo que sus contra-partes del tipo neumáticos o hidráulicos. Uno de los factores más importantes en el diseño de robots es la precisión, este es un factor determinante ya que entre más precisión se deba tener para realizar una tarea, más costoso será el sistema que se deba añadir al robot. Unos de los principales problemas para el diseño mecánico es definir una estructura apropiada para la unión de la cadera, ya que como se ha mencionado varias veces esta posee una unión que intrı́nsecamente tiene 3 grados de libertad, es evidente que cada unión de la cadera debe tener 3 motores (actuadores) que permitan realizar los movimiento ya descritos en la sección 2.1.. 43.

(53) 4.1.. Unión de la Cadera. La cadera del robot tiene 3 grados de libertad para cada extremidad, desde un punto de vista mecánico es una de las partes más complejas, ya que el sistema que logre los movimientos no deberá ser muy robusto en términos de volumen, si esto fuera ası́ podrı́a añadir inestabilidades al robot. Es importante aclarar que las posiciones alcanzadas por un sistema de 3 grados de libertad se pueden obtener con sólo 2 actuadores, pero para llegar a esto, el sistema debe acomodarse de una forma determinar, por lo que no resultarı́a practico y serı́a mucho más complejo de controlar, ası́ que para el diseño de los movimientos de la unión de la rotula con la cadera se dispondrá de 3 actuadores rotacionales (motores, motoreductores). En [7] proponen un mecanismo para la cadera que resulta especialmente adecuado para el diseño planteado en este trabajo.. Figura 4.1: Mecanismo de 3 DoF. [7] Además se puede considerar el diseño para la unión de la rodilla que 44.

(54) se muestra en [28], donde por medio de un gearbox acoplado a un motor rotativo se logra un movimiento de tipo lineal, similar al de un cilindro neumático. Teniendo esto en cuenta se puede considerar usar 2 motores para generar los movimiento descritos por θ1 y θ2 , y usar un actuador lineal que se sostenga en el muslo del sistema para generar el movimiento en θ3 , dicha construcción puede observarse en la Figura 4.2. 1. ServoMotor. 2. GearBox. 3. Motor DC. Figura 4.2: Mecanismo para la Cadera. [Fuente: Autor]. 4.2.. Unión de la Rodilla y Tobillo. Pueden considerarse como las partes del sistema que son más sencillas, ya que solo es una unión de revoluta para ambos casos, pero su simplicidad trae un conjunto amplio de soluciones como las que se muestran en la Figura 4.3. Como el movimiento que se desea conseguir es en un solo plano, puede considerarse utilizar de nuevo un actuador lineal como el implementado en el movimiento de la cadera, teniendo en cuenta que como. 45.

(55) se mostró en la Figura 1.5 la rotación de la rodilla y tobillo no es considerablemente amplia. Se deben tener también presentes las caracterı́sticas del tipo mecánicas; un motor convencional (3-12V DC) sin caja reductora cuyo torque se aplique directamente sobre el eje o masa que debe mover no es práctico, por ello se debe contar con un sistema tal que disminuya su velocidad pero aumente su torque, es ası́ que para el movimiento de la rodilla y tobillo se pueden usar nuevamente actuadores lineales.. Figura 4.3: Implementaciones para Unión de Revoluta. [7]. 4.3.. ARON. Realizando revisiones bibliográficas donde se presentan problemas de similares caracterı́sticas a las abordadas por este trabajo, en muchas de ellas se diseña y se le da nombre al sistema diseñado, para no ser menos el robot diseñado en esta sección se denominará ”Autonomous Robot ON bipedal walking” o por sus siglas en inglés ”ARON”.. 4.4.. Sensores. Un sensor es un dispositivo que, a partir de la energı́a del medio donde se mide, da una señal de salida transducible que es función de la variable 46.

(56) Figura 4.4: ARON. [Fuente: Autor]. 47.

(57) medida. Sensor y transductor se emplean a veces como sinónimos, pero sensor sugiere un significado más extenso: la ampliación de los sentidos para adquirir un conocimiento de cantidades fı́sicas que, por su naturaleza o tamaño, no pueden ser percibidas directamente por los sentidos. Transductor, en cambio, sugiere que la señal de entrada y la de salida no deben ser homogéneas [29]. Se hace mención de lo que es un sensor ya que es importante tener claridad sobre lo que es y la importancia que tiene en cualquier sistema del cual se quieran adquirir datos; para el caso especı́fico de ARON se pueden emplear varios tipos de sensores.. 4.4.1.. Servomotores. Internamente los servomotores poseen una tarjeta de control y un elemento para medir el ángulo en que se encuentran como se observa en la figura 4.5, es importante mencionar la parte del potenciómetro ya que el mismo servo entrega el dato de su ángulo y esta puede ser modificada a voluntad por lo que no se requiere estrictamente otro mecanismo para medición, aunque se puede incluir otro sensor de posición si se quiere tener un control muy preciso sobre la ubicación del servo. Ademas la tarjeta de control es uno de los elementos que lo hacen diferente a un simple motor DC, ya que ejerce control mediante un bucle de realimentación de la salida, el circuito compara la señal de entrada de referencia o posición deseada con la posición actual medida por el potenciómetro. La diferencia entre la posición actual y la posición deseada se amplifica y se utiliza para mover el motor en la dirección necesaria para reducir el error de posición [8].. 4.4.2.. Encoders. Dentro de los elementos con los que se diseñó el sistema robótico, se propusieron motores DC que permiten el acople sencillo de un encoder incremental como el que se muestra en la figura 4.6. En la figura 4.6 se hace referencia a los siguientes elementos: 48.

(58) Figura 4.5: Configuración Interna de un Servomotor. [8]. 1. 3 4 5 7. 6. 10. 2. 9. 8. Figura 4.6: Diagrama de Explosión de un Motor de DC con Encoder. [9] 49.

(59) 1. Motor 2. Conexión al motor. 3. Conexión al motor. 4. Alojamiento para el encoder. 5. Rueda multipolar magnética. 6. Sensor MR. 7. PCB. 8. ASIC. 9. Conexiones eléctricas y encoder. 10. Tapa protectora. Este tipo de enconder es de tipo incremental; un encoder incremental o codificador incremental como también se conoce, existe un elemento lineal o un disco con poca inercia que se desplaza solidario a la pieza cuya posición se desea determinar. Dicho elemento posee dos tipos de zonas o sectores, con una propiedad que las diferencia, dispuestas en forma alternativa y equidistante. De este modo, un incremento de posición produce un cambio definido en la salida se detecta dicha propiedad cambiante con la posición mediante un dispositivo o cabezal de lectura fijo. La resolución, de un sensor angular, dada como número de impulsos de salida es como se muestra en 4.1 [29]. N=. πD 2X. (4.1). Donde D es el diámetro del disco y X la anchura de cada sector codificado.. 50.

(60) 4.4.3.. Sensor de Ángulo. Los sensores de ángulo son de tipo magnéticos y son ventajosos ya que pueden servir para corroborar la posición de un elemento que se este comandando con un servo motor; los sensores de posición angular cuentan con dos elementos principales, un detector y un emisor, el emisor es principalmente un imán que al variar su posición, también lo harán sus polos.. 51.

(61) Capı́tulo 5 Sistemas de Control Aplicados a la Robótica El control para el robot (ARON) puede verse desde el punto de vista de los manipuladores robóticos, ya que al igual que estos últimos, el sistema modelado es una cadena cinemática abierta; en este punto se debe hacer la aclaración que dependiendo del análisis y de como se tomó el sistema se comportará como una cadena cinemática abierta o cerrada variante en el tiempo. Como uno de los objetivos es la aplicación de controles no lineales se tomará la definición de control no lineal para robótica vista en [22]. La teorı́a de control no lineal es muy amplia y existen muchos métodos para determinar la ley de control que actuara sobre las entradas de un sistema. Para el caso particular se analizarán métodos que se adaptan bien a este tipo de sistemas.. 5.1.. Patrones de Marcha - Set Point. La finalidad de todo sistema de control es llevar la salida de cualquier sistema a una referencia o comportamiento deseado, esta meta es aplicable al sistema diseñado, donde se desea que cada articulación siga una trayectoria dada, las figuras 5.1 - 5.3 muestran las trayectorias que deben seguir las articulaciones para conseguir que el sistema tenga una marcha parecida a la humana. 52.

(62) Figura 5.1: Trayectoria Deseada del Tobillo. [Fuente: Autor] Es necesario especificar que cada trayectoria mostrada se encuentra en grados y se definió un ciclo de marcha de 0.8s, esto quiere decir que cada 0.8s se empieza un nuevo ciclo de marcha para cada extremidad; además para facilitar el control, las trayectorias para cada extremidad son las mismas, con la diferencia que entre cada una existe un delay lo que hace que una extremidad vaya retrasada con respecto a la otra, logrando ası́ un patrón de marcha bı́peda.. 5.2.. Control por Par Calculado. En [30] se define esta técnica de control para un manipulador de 6 grados de libertad, dicho sistema es estrechamente parecido al modelo que se obtuvo para una pierna con todos sus grados de libertad. Este control basa su funcionamiento en la dinámica inversa. Como el objetivo de esta técnica es seguir una referencia dada, resulta especialmente adecuada para aplicar al robot (ARON). La representación en diagrama de bloques se observa en la Figura 5.4.. 53.

(63) Figura 5.2: Trayectoria Deseada de la Rodilla. [Fuente: Autor]. Figura 5.3: Trayectoria Deseada de la Cadera. [Fuente: Autor] 54.