Óptica geométrica R 2. f, distancia focal: punto donde convergen los rayos que vienen desde el infinito. l o. n 1 n 2. s o

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(1)

Óptica geométrica

Ecuación del espejo esférico (aproximación paraxial)

f b a

1 1

1 + =

con

2 f = − R

f, distancia focal: punto donde convergen los rayos que vienen desde el infinito.

R < 0: espejo cóncavo R > 0: espejo convexo

Refracción en superficie esférica:

R n n s n s n

i o

1 2 2

1

= +

Largo del Camino Optico (LCO)=

2 1

l n n l

o

+

i

( ) = 0

ϕ d LCO d

Lentes delgadas Introducción:

_ Una lente es un sistema óptico formado por dos o más interfases refractoras, donde al menos una de estas está curvada.

_ Nos limitaremos a sistemas centrados, es decir, sistemas que tienen simetría de revolución.

Deducción de la ecuación de las lentes (n2 > n1)

real imagen

1

0

2

1

< − ⇒

i

>

o

R s n n s n

infinito el

en imagen

1

2

1

= − ⇒

i

= ∞

o

R s n n s n

1 2 1 i

0 imagen virtual

o

n n n

s R s

> − ⇒ <

A P

l1

l2

α α o Q

R b a

lo li

so si

n1 v ϕ n2

θt θr

θi

R

n1 n2 P

s

n1 n2

s

n1 n2

s P’

(2)

nl: índice de refracción de la lente

nm: índice de refracción del medio (ej. aire) 1ª superficie:

los rayos paraxiales que parten de S (en S01) se encontrarán en P’ a una distancia Si1 de V1.

1 1

01

R

n n S

n S

n

l m

i l

m

=

+

(1)

tengamos en cuenta que:

 

=

− + =

=

02 02

1 1

1

02

S S

S d S

S

S

i i i

2ª superficie

2 2

02

R

n n S

n S

n

m l

i m

l

= +

(

1

)

2

R

2

n n S n d S

n

m l

i m i

l

= + +

(2)

m

l

n

n R

2

< 0 ; >

Sumando las ecuaciones (1) y (2)

(

1

)

1

2 1

2

01 i

l i

l l

m m l i m m

S n S

d n R

n n R

n n S

n S

n

− − + −

= − +

( )

1 2

(

1

)

1

2 01

1 1

i i

m l l i

m m

S d S

d n R

n R S n

n S n

+ −

 

 

 −

= +

-- lente delgada ⇒

d → 0

-- lente inmersa en el aire: nm = 1

P’

R2 R1

C2 C1

V1 V2

nl

nm

nm

P S

d S01

Si1

S02

Si2

(3)

( ) 

 

 −

= +

2 1 2

01

1 1 1

1 1

R n R

S

S

i l “Fórmula del fabricante”

También se ve fácilmente de esta ecuación:

S o

f

i

=

S

o

lim

; i

S

f

o

=

S

i

lim

,

donde

( )

1

2 1

1 1 1

 

 

 

 

 −

=

= f n R R

f

o i l ,

con lo que podemos eliminar los subíndices y llegamos a la fórmula gaussiana para lentes delgadas:

f S

S

i

1 1 1

0

= +

Ej. Distancia focal de una lente plano-convexa en aire R1 = ∞, R2 = -50 mm, nl = 1.5

( ) ( ) mm

R n R

f

l

100

50 1 1 1

5 . 1 1

1 1

1 1

2 1

 =

 

 

 

− −

− ∞

 =

 

  

 

 −

=

También vale:

Si R1 = 50 mm; R2 = ∞ ⇒ f = 100 mm Óptica Gaussiana por el método matricial

A los Rayos se les asocia un vector de la forma:

 

 

=  α r G d

Rayos paraxiales significa que los rayos que estamos considerando forman un pequeño ángulo con el eje óptico del sistema, así podemos aproximar

sin α ≈ tg α ≈ α << 1

. La relación entre dos rayos

r G

1

y

r G

2

(antes y después de un elemento óptico) está dada por:

1 2

M r r G = G

,

donde M es una matriz de 2x2 correspondiente al elemento óptico en cuestión.

Cuando se rata de un sistema óptico formado por varios elementos, la matriz de dicho sistema se obtiene multiplicando las matrices correspondientes a cada elemento.

d

α

Eje óptico

(4)

Convención de signos:

Matriz de propagación:

1 1

2

= 1 ⋅ d + L ⋅ α d

N

2

1 1

2

0 1

α

α α

=

⋅ +

= d

 

 

= 

1 0 1

.

M

propag

L

Matriz de refracción:

2

1

d

d =

;

Snell : n

1

α

1

= n

2

α

2

1 1

2

= d 1 ⋅ + 0 ⋅ α d

1 2 1 1

2

0 α

α = ⋅ + ⋅ n

d n

 

 

= 

2 1

.

0

0 1

n n M

refrac

Matriz de transición en una superficie esférica:

2

1

n

n

R > 0

 

 

 −

=

2 1 2

2 . 1

sup

0 1

n n Rn

n M

esférica

n

Matriz de lentes delgadas:

R

1

> 0

R

2

< 0

d

α

-d α −α -d

d R1>0 −α

R2<0 R2 R1

e.o.

d2

L d1

α2

α1

n1 n2

α1

α2 d1 d2

n1 n2

s p R o

R1

R2

n2

n1

(5)

( ) = ( )( )

 

 − −

=

1

0 0 1

1 0

1

2 1 1

2

1 1 1

2 1 2

1 2 1 1 2 1

2 2 . 1

.

R R n

n d n

l

n

n n

R n n n n n

R n M n

 

 

= −

1 1

0 1

.

.

f

M

ld

Ejemplos:

Deducción de la ecuación de las lentes: un objeto P se encuentra a una distancia a delante de una lente. ¿Dónde se encuentra su imagen Q?

Para todo rayo que forma un ángulo α saliendo de P y un ángulo β llegando a Q tiene que cumplirse:

 

 

 

 

 

 

 −

 

= 

 

 

α β

0 1 0 1 1 1

0 1 1 0 1

0 a

f b

( )

 

 

 

 

+

= −

 

 

α β

0 1

1

1 1

0

f a f

b f b a f b

 α

 

   +

 

 −

 +

 

 −

=

b

f a b f d

d

2

1 b

1

1

con

d

2

= d

1

= 0

a b f

1 1 1 + =

Matriz correspondiente a lentes gruesas:

De acuerdo a estos parámetros la lente gruesa se puede representar por:

 

 

 

 

 −

 

 −

= 0 1

1 1 1

0 1 1

0

1

2 1

. .

h f

M

lg

h

f

a α f b

R1 R2

n1 n1

n2

H1 H2

d1 d2

h1 h2

f fL

(6)

Ecuación de lentes gruesas:

f h b h a

1 1

1

2 1

+ = + +

a,b: distancia al objeto e imagen respectivamente medidas desde los vertices de la lente.

Ec. De Newton:

x y = f

2 teniendo en cuenta los planos principales

Sistemas de lentes:

( )

2

( )

. .

( )

1

. . .

.

M f M L M f

M

Sl

=

ld P ld

1 1 1

1

2 2 1 2 1

1 .

.

 

 

 

 

 −

 

 + −

=

L f f

f L f

f

f L L M

Sl

Al comparar ésta matriz con la de lentes gruesas, obtenemos distancia focal resultante:

2 1 2 1

1 1 1

f f

L f

f

f

r

= + −

Distancia de los planos principales:

2

1

f

h = Lf

r ;

1

2

f

h = − Lf

r

Definiciones

Aumento lateral transversal:

o i o

T i

s s y

My = −

MT > 0: imagen derecha

L

f1 f2

(7)

MT < 0: imagen invertida

o

T i

x

f f

M = − x = −

(Newton)

Aumento longitudinal:

o L i

dx Mdx

2 2

2

T o

L

M

x

M = − f = −

Poder de aumento P.A. o aumento angular MA de un instrumento visual se define como: la razón entre el tamaño de la imagen en la retina cuando se ve a través del instrumento, y el tamaño de la imagen en la retina cuando se ve con el ojo desnudo a la distancia de visión normal (25.4 cm)

u

A

a

P α

= α . .

L

tg α

a

= y

i

o u o

d

tg α = y

o o i

Ld y A y

P . . =

con do = 250 mm

Instrumentos ópticos:

Lupa: lente convergente, donde el objeto debe ser situado entre el foco y la lente (o plano principal)

Microscopio: es un sistema que está formado por un objetivo (distancia focal muy pequeña) y un ocular.

Se llama poder de aumento del microscopio, al producto del aumento lineal transversal del objetivo por el aumento del ocular

A T

M M A P . . =

Telescopio

real virtual

f

L yo

yi

(8)

T. holandés o de Galileo:

2

1

f

f L = −



 



 

 −

=

2 1

2 1 1 2

.

0 f

f f f f

f

M

T H 1

2

2 1

α

α f

= f

- imagen derecha

- factor de amplificación

2 1

f f

T. astronómico

2

1

f

f L = +

1 2

2 1

α

α f

f

=

⇒ imagen invertida

Aberraciones

! ...

5

! sin 3

5

3

+ −

= ϕ ϕ ϕ

ϕ

Teoría paraxial Æ Teoría de 1er orden

Las diferencias entre los resultados de la teoría de 1er orden y la de 3er orden se llaman aberraciones primarias

- aberraciones esféricas - coma

- astigmatismo - curvatura de campo - distorsión

+ aberraciones cromáticas

( n

l

( ) λ )

L

f2

f1

L

f2

f1

(9)

Aberración esférica

Rayos no paraxiales no convergen en f

Coma: - para objetos puntuales fuera del eje

- planos principales, no son planos para rayos no paraxiales.

Astigmatismo: curvatura de la lente en direcciones perpendiculares no es la misma

⇒ foco de planos perpendiculares no coinciden

Curvatura de campo: Si hacemos la imagen de un plano, no obtenemos todo el plano enfocado a la vez; sino una superficie curva.

Distorsión: amplificación transversal, es función de la distancia al eje.

Resumen de matrices

Propagación

 

 

= 

1 0 M

a

1 L

______________________________________________________________________

Refracción

n

1

n

2

 

 

= 

2

0

1

0 1

n M

b

n

______________________________________________________________________

lámina plana





=

1 0 1

2 1

L n n M

pl

______________________________________________________________________

f

imagen

L

n2

n1

L n1

n2

n1

n1 R

n2

(10)

Medio esférico

 

 

 −

=

2 1 2

2 1

0 1

n n Rn

n

M

S

n

______________________________________________________________________

Lente delgada

0

0

2 1

<

>

R

R

 

 

= −

1 1

0 1

.

.

f

M

ld

______________________________________________________________________

Lente gruesa



 

= +

f h f

n n L f M

lg

h

1 2 1 2

.

.

1 1

. 1

_____________________________________________________________________

Serie de Lentes

f L 1 2 cos θ = −

( ) [ ( ) ]

{ } { ( ) }

( ) ( ) [ ( ) ]

 

 

 

   − −

 

 −

 

 

 −

= θ θ θ

θ θ

θ

θ 1 sin 1 sin sin 1

sin 1

sin sin

sin

1 m m

f m L

f

m L m

m S

______________________________________________________________________

Lente térmica

 

 

= −

β β

β β

cos sin

1 sin cos

a a

S

th

o o

n L j

jn a

2 2

= −

= β

______________________________________________________________________

Espejo esférico

 

 

= −

1 2

0 1

.

.

R

M

Ee

______________________________________________________________________

n2

n1

n1 R1

R2

h2

h1

n1 n2 n1

L

R1 R2

...

L L

f f f f

L n = no . jr2 r

R

Figure

Actualización...

Referencias

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