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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS PROGRAMA DE LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA ÉNFASIS: MATEMÁTICAS.

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Academic year: 2022

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ÉNFASIS: MATEMÁTICAS.

NÚCLEO TÉMATICO: TEORÍA DE CONJUNTOS.

MÓDULO: 4.

TEMA: RELACIONES.

PRODUCTO CARTESIANO.

Par o pareja ordenada. En ocasiones se requiere escribir en orden los elementos de un conjunto, para ello es necesario definir algún criterio para hacerlo. Supongamos que deseamos escribir los elementos del conjunto A = {a, b, c, d} en el orden b, a, d, c. ¿Cómo queda definido este orden?

1. Formemos un conjunto con el primer elemento b: {b}

2. Formemos un conjunto con el primer y segundo elemento: { a, b }

3. Formemos un conjunto con el primer, segundo y tercer elemento: {b, a, d}

4. Por último escribimos el conjunto formado por los cuatro elementos: {b, a, d, c}

Ahora integramos un conjunto con los anteriores conjunto y lo representaremos con la letra , esto es:

= {{b, a, d}, {b}, { a, b },{b, a, d, c}}, siendo indiferente como sean dispuestos los conjuntos y sus elementos. A partir de aquí, se puede restablecer el orden inicial (b, a, d, c), así:

1. Escogemos un conjunto que esté contenido en los demás conjuntos, en este caso {b}. Su único elemen- to b, será el primer elemento. Eliminamos {b} del conjunto .

2. De los conjuntos que quedan, escogemos el que esté contenido en los restantes: {a, b}. Este conjunto tendrá los dos primeros elementos de la ordenación y como b es el primero, a será el segundo. Elimi- namos {a, b} del conjunto .

3. Escogemos {b, a, d} por estar contenido en {b, a, d, c}. El conjunto {b, a, d} tiene a los tres primeros elementos de nuestro orden pero como b y a son los dos primeros, d será el tercero. Eliminamos {b, a, d} de

4. Nos queda {b, a, d, c} que tendrá los cuatro elementos de nuestro orden. Como b, a y d son los tres primeros, c será el cuarto.

DEFINICIÓN.

Dados dos elementos a y b, llamaremos par o pareja ordenada a, b, al conjunto {{a}, {a, b}} y lo repre- sentaremos (a, b). La letra a es la primera componente y b, la segunda. Usualmente es empleada la pala- bra coordenada como sinónima de componente.

TEOREMA.

Demostración.

Primera parte:

1. D.C

2. Simplificación 1 3. Simplificación 1

4. Igualdad conjuntos o sustitución.

5. Sustitución 2 y 3 6. Definición par ordenado.

7. Sustitución 2 y 3 en 6

8. Definición par ordenado.

Segunda parte:

1. D.C

2. Definición par ordenado

3. La pareja tiene componentes iguales.

4. Sustitución b por a de 3 en 2.

(2)

5. Teorema 6. Transitividad 1 y 5 7. Definición par ordenado.

8. Igualdad entre conjuntos.

9. Simplificación 8 10. Igualdad entre conjuntos.

11. Sustituyendo a por b de 3 en 2

12. Siguiendo un proceso análogo llegamos a que d = b

13. Finalmente tendremos que: Por adjunción Si ahora en el paso 3 suponemos que: tendremos:

14. Definición de par ordenado en 1

15. porque de lo contrario el conjunto a la derecha del igual en 14, tendría menos elementos que el conjunto de la izquierda.

16. Igualdad de conjuntos en 14

17. porque tienen diferentes números de elementos y por ello será verdad que 18. a = c Igualdad conjuntos

19. Igualdad de conjuntos en 14.

20. porque tienen diferentes números de elementos y por ello será verdad que

21. Sustituyendo 18 (a por c) en 20.

22. b = d Igualdad conjuntos 23. Por adjunción de 18 y 22, se tiene el teorema.

Observaciones.

1. Queda claro que si entonces . Esto es así porque mientras que y por lo que dichas parejas no pueden ser iguales.

2.

PRODUCTO CARTESIANO.

Definición.

Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados con primera componente en A y segunda en B , lo denominamos “producto cartesiano de los conjuntos A y B ” y lo notamos A x B . Este conjunto lo escribimos por comprensión así:

Cuando A = B, se acostumbra a emplear el símbolo A2 para representar el producto A x A.

Consecuencias.

a) b) Ejemplo:

1. Si A = {1, 2, 3} y B = {1, 2} entonces A x B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}

2. Si A = {0} y B = {1, 2} entonces B x A = {(1, 0), (2, 0)}

Representaciones gráficas particulares del producto cartesiano.

En el conjunto de los números reales, es su producto cartesia-

no. Se puede establecer una correspondencia entre cada par de números reales y los puntos de un plano de modo que cada par quede asociado con un punto y viceversa, el resultado es denominado plano cartesiano.

Se trata de dos rectas numéricas que se intersecan perpendicularmente en su origen. En la recta horizontal (llamada eje de las abscisas) se ubican las primeras componentes y en la vertical (denominada eje de las ordenadas), las segundas, así:

(3)

Eje y o Eje de Ordenadas

Eje x o eje de abscisas P(x,y)

A(x,0) B(0,y)

I Cuadrante II Cuadrante

III Cuadrante IV Cuadrante

o

Ejemplo:

Si y B , mostrar en un plano cartesiano A x B

Solución:

1 2 3

2 1 3

-1 -1 -2

"y"

"x"

-2

Todos los puntos situados en el rectángulo rayado y en su interior, correponden al producto A x B PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO.

TEOREMA. Si son conjuntos, entonces se tiene que:

a) b) c) d)

e)

( B C)

f) g)

(4)

Demostración de a):

1.

2. Producto cartesiano.

3. Simplificación en 2.

4. D.C 5. Inclusión.

6. Simplificación en 2.

7. D.C 8. Inclusión 9. Adjunción 5 y 8 10. Producto cartesiano.

Demostración de d):

1. Producto cartesiano

2. Intersección

3. Equivalencia

4. Conm. y Asoc

5. Producto Cartesiano

6. Intersección.

7. Igualdad entre conjuntos

ACTIVIDADES.

1. Si y , mostrar la región del plano cartesiano co-

rrespondiente al producto A x B.

2. Si y , mostrar la región del plano cartesiano corres-

pondiente al producto A x B.

3. Demostrar las partes restantes del teorema anterior.

RELACIONES.

DEFINICIÓN. Sean A y B dos conjuntos. Si , se dice que es una relación de A en B. Los conjuntos A y B se denominan de partida y llegada, respectivamente; es decir que una relación es un con- junto de pares ordenados. Cuando , se tiene una relación en el conjunto A. Si se dice que x está relacionado con y mediante y se escribe .

Ejemplos:

A = {1, 2, 3, 4}, A x A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}

1. 1 = {(1, 2), (3, 4)} es una relación definida arbitrariamente.

2. 2 = {(x, y) / x + y = 5}

3. 3 = {(x, y) / y = x – 1}

4. 4 = {(x, y) / y = 1}

Representación de una relación.

Sea una relación. En el caso de conjuntos finitos podemos utilizar las siguientes formas de representa- ción.

1. Notación conjuntista (extensión y/o comprensión) 2. Mediante diagramas de Venn

3. Mediante un gráfico cartesiano. En este caso se consideran como abscisas las primeras componentes y como ordenadas las segundas componentes. Mediante paralelas a los ejes trazados por los puntos de divi- sión se forma una cuadrícula cuyos elementos son los vértices de un producto cartesiano; de estos se seña- lan los que pertenecen a la relación .

4. Mediante una matriz. Sobre una columna se anotan los elementos correspondientes a las primeras com- ponentes y sobre una fila las correspondientes a las segundas. En el extremo superior izquierdo se coloca

(5)

el designante de la relación. En la intersección entre el elemento correspondiente a una fila y el respectivo de la columna se coloca 1 si están relacionadas y 0 si no lo están.

Representemos la relación 2;

A R A

1 2 3 4

1 2 3 4 y

x 1 2 3 4

A 3

2 4

1 A

. .

. .

R

1 2 3 4

2 3 4

1

1 1

1 1

0 0 0

0 0 0

0

0 0

0 0 0

DOMINIO DE UNA RELACIÓN.

Es el conjunto formado por las primeras componentes de las parejas de la relación, se representa D ( ).

Si la relación está definida en el conjunto A, D ( ) = {

RECORRIDO DE UNA RELACIÓN.

Es el conjunto formado por las segundas componentes de las parejas de la relación, se representa R ( ).

Si la relación está definida en el conjunto A, R ( ) = {y Ejemplos:

Considerando el ejemplo 3 dado anteriormente: D ( ) = {2, 3, 4} y R ( ) = {1, 2, 3}.

Observando el ejemplo 4 descrito anteriormente: D ( ) = {1, 2, 3, 4} y R ( ) = {1}.

RELACIÓN INVERSA.

DEFINICIÓN. Sea una relación. Definimos la relación inversa de y la notamos , al conjunto con la siguiente propiedad:

Consecuencias.

1.

2.

Ejemplos:

1. Si A = {1, 2, 3, 4}, la relación definida en A así: 3 = {(x, y) / y = x – 1}= {(2, 1), (3, 2), (4,3)} tiene como inversa a

2. Si A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} definimos una relación de A en B así: ,

por lo tanto tendremos que y

ACTIVIDADES.

1. Si A = {2, 3, 4, 5} y B = {3, 5, 6, 7}, se define una relación de A en B de la siguiente manera:

a. Escribir por extensión a .

b. Indicar cuál es el dominio y el recorrido.

c. Halla por extensión a

2. Si A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, se define una relación de A en B de la siguiente mane- ra:

a. Escribir por extensión a .

b. Indicar cuál es el dominio y el recorrido.

(6)

c. Halla por extensión y por comprensión a

3. Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y una relación definida en A con gráfico cartesiano el dibujado:

a. Hallar el dominio y el recorrido de b. Hallar y representar en el plano cartesiano a

1 2 3

2 1 3

"y"

"x"

.

5 4 4

5

. ...

4. Si es el conjunto de los números naturales y en él definimos la relación :

a. Escribir por extensión a .

b. Indicar cuál es el dominio y el recorrido.

c. Halla por extensión y por comprensión a

5. Representa en el plano cartesiano la siguiente relación definida en el conjunto de los números enteros:

6. Representa en el plano cartesiano la relación definida en el conjunto de los números naturales:

RELACIÓN COMPUESTA.

DEFINICIÓN. Sean y dos relaciones. Definimos “la relación compuesta de y ” y la nota- mos , al conjunto con la siguiente propiedad:

Ejemplos:

1. Si A = { - 1, 0, 1}, B = {0, 1, 2, 3} y C = {0, 1, 2, 3, 4}, se definen las siguinetes relaciones:

De A en B:

De B en C:

En el siguiente diagrama mostramos estas relaciones:

2. Si se tienen las siguientes relaciones:

y ,

Hallemos y

Solución:

a. . Empezamos con las parejas de y observamos si su segunda componente coincide con alguna de las primeras componentes de . En caso afirmativo, la pareja formada por la primera componente de y la segunda de será la pareja de la compuesta:

(7)

, pero en no existe alguna pareja que empiece con – 1.

, pero en no existe alguna pareja que empiece con 0.

En definitiva,

b. Encuentra los elementos de

Consecuencias.

1.

2.

TEOREMA.

Sean: G, H, J relaciones, entonces:

a) b) c)

Demostración de a):

1.

2.

3.

4.

5.

Demostración de c):

Primera parte:

1.

2. Definición de inversa.

3. Definición de compuesta

4. Definición de inversa.

5. Conmutativa.

6. Definición de compuesta ACTIVIDADES.

1. Demostrar la parte b) del teorema anterior.

2. Hallar y cuando cada una de ellas está definida de la siguiente manera:

a. ,

b. ,

c. ,

Referencias.

Lipschutz, Seymour. Teoría de conjuntos y temas afines. Colección Schaum.

Oubiña, Lia. Introducción a la teoría de conjuntos. Editorial Universitaria de Buenos Aires.

Muñoz, José. Introducción a la teoría de conjuntos. Universidad Nacional de Colombia.

http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/presentacion.htm

Referencias

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