GRÁFICA DE CUÁDRICAS CON APOYO DEL GEOGEBRA
José V. Giliberti1, Florencia M. Alurralde2
1,2 Consejo de Investigación de la Universidad Nacional de Salta (CIUNSa) – Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de Salta - Av. Bolivia 5150 – Salta – Argentina
gilijv@gmail.com florencialurralde@gmail.com
RESUMEN
Este trabajo forma parte de un proyecto de investigación del Consejo de Investigaciones de la Universidad Nacional de Salta (CIUNSa), cuyo objetivo es la integración de las TIC en los procesos de enseñanza y aprendizaje, en particular del software de geometría dinámica Geogebra, como herramienta complementaria al papel y lápiz, de la asignatura Álgebra Lineal y Geometría Analítica (ALGA), correspondiente al primer año de las carreras de Ingeniería. Reflexionando acerca de las dificultades que presentan los estudiantes que ingresan a las carreras de ingeniería en la realización de gráficas en tres dimensiones, surge la necesidad de hacer algún aporte como docentes, a través de cambios en las estrategias de enseñanza, que apunten a mejorar las condiciones para un aprendizaje significativo, desarrollando capacidades de creatividad, exploración, verificación y autoevaluación.
Geogebra presenta grandes ventajas: es gratuito, de manejo sencillo y permite realizar gráficas en tres dimensiones de manera similar al trabajo usual en las clases de la asignatura. Además existen versiones para el celular, lo que posibilita su uso a la casi totalidad de los alumnos. En particular en la asignatura ALGA se desarrolla el tema Cuádricas; siendo fundamental la identificación de las trazas y su representación gráfica, lo que en general resulta complicado para el estudiante.
Gracias a la incorporación del Geogebra en su tratamiento, se facilitó la interpretación geométrica de las ecuaciones de segundo grado en tres variables y la visualización de las superficies en el espacio, lo que se vio reflejado en el resultado de las evaluaciones de la asignatura.
Palabras Claves: Cuádricas, Gráficas, Geogebra.
1. INTRODUCCIÓN
Dando continuidad al trabajo de investigación de un proyecto del CIUNSa, sobre la incorporación de las TIC en la enseñanza y aprendizaje del álgebra y la geometría, se decidió incorporar en las clases teóricas el Geogebra como herramienta complementaria en el desarrollo del tema Ecuación general de segundo grado en tres variables: Cuádricas, con el objetivo de favorecer un aprendizaje significativo del tema. Esta experiencia se llevó a cabo, en el período lectivo 2017, con estudiantes de primer año de ingeniería, que cursan la asignatura Álgebra Lineal y Geometría Analítica (ALGA) de la Universidad Nacional de Salta. Schilardi, Repetto, Segura y León [1] manifiestan que los alumnos de álgebra y geometría en los primeros cursos universitarios, tienen mayores dificultades en la comprensión de situaciones de la geometría espacial. Dentro del marco constructivista es importante pensar actividades en las clases que tiendan a favorecer un aprendizaje significativo.
Ramírez Toledo [2], considera que el aprendizaje humano es una construcción interior que no puede ser significativa si sus conceptos no encajan en los conceptos previos de los alumnos. Este autor incluye entre los requerimientos necesarios para potenciar la enseñanza constructivista propiciar las condiciones para que el estudiante sea partícipe del proceso de enseñanza- aprendizaje, de la planeación, selección de las actividades, las consultas de fuentes de información, entre otros. Reforzando esta idea Sánchez Rosal [3] recomienda una paulatina incorporación de los recursos tecnológicos como complemento de la enseñanza tradicional en el ámbito universitario y pone énfasis en la importancia de los procesos de visualización, que permite la asimilación de conceptos abstractos en base de imágenes o representaciones que las TIC proporcionan.
2. DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA
La asignatura ALGA corresponde al primer cuatrimestre del primer año y es común a todas las carreras de ingeniería de la Facultad de Ingeniería.. En el presente trabajo se relata una experiencia que se llevó a cabo en las clases teórico-práctica. Como docentes de la asignatura observamos las dificultades de los alumnos ingresantes para interpretar ecuaciones en tres variables y realizar las gráficas correspondientes. Esto nos llevó a elaborar una guía para graficar cuádricas e incorporar el soft Geogebra en las clases con la intención que los alumnos transitaran el paso a paso de la representación gráfica y al mismo tiempo visualizaran de manera ágil y concreta el significado de las trazas sobre los planos coordenados, así como también las superficies representadas por dichas ecuaciones. La metodología de trabajo en las tres clases destinadas al tema cuádricas, fue la siguiente:
Se comenzó con el estudio de la ecuación general de segundo grado en tres variables
2 2 2
A x B y C z D xy E xz F yz G x H y I z J 0
(1) conA, B, C, D, E y F
no nulos simultáneamente.Esta ecuación representa una superficie, que en el caso de las cuádricas puede expresarse mediante su ecuación normal o canónica.
Se estudió en primer lugar el caso en el que los denominados términos rectangulares son nulos (es decir
D E F 0
), lo que significa que los ejes de simetría de la cuádrica son los ejes cartesianos x, y, z. Se realiza una clasificación de las cuádricas y se presenta la ecuación normal de cada una de ellas:Tabla 1. Tipos de cuádricas y sus ecuaciones
Nombre de la cuádrica Ecuación normal o canónica
Esfera
x
2 y
2 z
2 r
2Elipsoide 2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b c
Hiperboloide de 1 hoja 2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b c
Hiperboloide de 2 hojas 2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b c
Paraboloide elíptico 2 2
2 2
x y
a b z
Paraboloide hiperbólico 2 2
2 2
x y
a b z Cono
Superficies Cilíndricas
Circular
x
2 y
2 z
2Elíptica 2 2
2 2 1
x y
a b Parabólica
y
2 kz 0
Hiperbólica 2 2
2 2 1
x y
a b
Caso contrario los alumnos deben primeramente eliminar estos términos mediante un cambio de base (rotación de ejes) trabajando en forma matricial y utilizando los conceptos vistos previamente:
subespacios, transformaciones lineales, autovalores y autovectores, diagonalización ortogonal para lograr obtener la ecuación normal de la cuádrica.
A continuación se transcriben los ejemplos de la guía sobre la realización de la gráfica del elipsoide y del paraboloide hiperbólico.
Elipsoide
Sea el elipsoide de ecuación:
2 2 2
1
9 16 4
x y z
Como el mayor de los denominadores está debajo de la variable “y” esto indica que el elipsoide estará alargado en la dirección de ese eje. La elección de la unidad a considerar sobre el eje “y”
nos debe permitir visualizar al elipsoide de manera completa; una mala elección de unidades hará que la gráfica exceda los límites de la hoja.
En este ejemplo se trata de una superficie finita que se extenderá a partir del origen 4 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia la izquierda.
Traza sobre el plano xy
Para obtener la traza sobre el plano xy, realizamos la intersección de la superficie con el plano de ecuación z = 0. Es decir:
2 2 2
1 9 16 4
0
x y z
z
2 2
1 9 16
0
x y
z
Elipse con a4 y b3El segundo sistema representa los puntos de una elipse sobre el plano de ecuación z = 0 (plano xy). Esta elipse tiene eje mayor sobre el eje “y” y la gráfica de la misma debe quedar similar a la de la siguiente figura.
Figura 1. Gráfica de la traza sobre el plano xy realizada con Geogebra
Nota: las tangentes a la elipse en los puntos (0, 4, 0) y (0, 4, 0) son paralelas al eje “x” y las tangentes en los puntos (3, 0, 0) y (3, 0, 0) son paralelas al eje “y”, es por ello que la elipse toma la forma de la figura. Si sólo se pretende una gráfica esbozada, no es necesario tener en cuenta este detalle. Es decir que la gráfica de la misma elipse se verá como la siguiente:
Figura 2. Gráfica rápida de la traza sobre el plano xy Traza sobre el plano xz
De manera análoga a lo hecho anteriormente, podemos obtener la traza del elipsoide sobre el plano xz, realizando la intersección de la superficie con el plano de ecuación y = 0 (plano xz).
2 2 2
1
9 16 4
0
x y z
y
2 2
1
9 4
0
x z
y
Elipse con a3 y b2El último sistema representa una elipse ubicada sobre el plano xz del espacio. Dicha elipse tiene eje mayor sobre el eje “y” y la gráfica de la misma debe quedar semejante a la siguiente:
Figura 3. Gráfica de la traza sobre el plano xz realizada con Geogebra Traza sobre el plano yz
Para hallar la traza sobre el plano yz consideramos la intresección de la superficie con el plano de ecuación x = 0 (plano yz). El sistema resultante es:
2 2 2
1
9 16 4
0
x y z
x
2 2
1 16 4
0
y z
x
Elipse cona 4 y b 2
El último sistema representa una elipse ubicada sobre el plano yz del espacio. Dicha elipse tiene eje mayor sobre el eje “y” y la gráfica de la misma debe quedar semejante a la siguiente.
Figura 4. Gráfica de la traza sobre el plano yz realizada con Geogebra
Es importante notar que una vez elegido el origen O de coordenadas y las unidades en los ejes (escala), se debe mantener esta elección para hacer la gráfica de todas y cada una de las trazas.
Esto hará que la representación final sea lo más aproximada posible a la realidad.
Es conveniente antes de visualizar la figura final de un elipsoide, que grafiquemos el conjunto de las trazas en un mismo sistema de ejes coordenados, con lo cual obtendremos lo siguiente:
Figura 5. Gráfica de las trazas del elipsoide realizadas con Geogebra Finalmente la gráfica del elipsoide será:
Figura 6. Gráfica del elipsoide realizada con Geogebra
Paraboloide hiperbólico
Sea el paraboloide hiperbólico de ecuación:
2 2
4 4
x y
z (4)
Aquí también el término lineal z nos da el eje sobre el cual se desarrolla el paraboloide y como su coeficiente es positivo, abre hacia arriba y es una superficie infinita. Observamos que a diferencia del paraboloide elíptico, en este caso del lado izquierdo de la igualdad tenemos una diferencia de cuadrados.
Trazas sobre el plano xy
Si hacemos la intersección de la superficie con el plano de ecuación z = 0 (plano xy), el sistema resultante es:
2 2
4 4
0
x y
z z
2 2
0
4 4
0
x y
z
Par de rectasy
2 x
2 y x
En este caso las trazas son un par de rectas sobre el plano xy, que pasan por el origen cuyas ecuaciones son y = x e y = x.
Figura 7. Gráfica de las trazas del paraboloide hiperbólico sobre el plano xy realizada con Geogebra
Traza sobre el plano xz
Si hacemos la intersección de la superficie con el plano de ecuación y = 0 (plano xz), el sistema resultante es:
2 2
4 4
0
x y
z y
2 40
x z
y
Parábola 2 4 x zAhora tenemos una parábola sobre el plano xz, que tiene como eje de simetría al eje “z” y que abre hacia arriba. Además
4 p 4
y su gráfica será similar a la siguiente:Figura 8. Gráfica de las trazas del paraboloide hiperbólico sobre el plano xz realizada con Geogebra
Traza sobre el plano yz
Si hacemos la intersección de la superficie con el plano de ecuación x = 0 (plano yz), el sistema resultante es:
2 2
4 4
0
x y
z x
2 40
y z
x
y
2 4 z
Esta es una parábola sobre el plano yz, que tiene como eje de simetría al eje z y que abre hacia abajo. Además
4 p 4
.Figura 9. Gráfica de las trazas del paraboloide hiperbólico sobre el plano yz realizada con Geogebra
Trazas auxiliares
Primero encontraremos la traza sobre el plano de ecuación z = 3. Para ello intersectamos la superficie con este plano.
y
2 2
4 4
3
x y
z z
2 2
3
4 4
3
x y
z
Hipérbola 2 2 1 12 12x y
El resultado es una hipérbola sobre el plano z = 3, cuyo eje real es paralelo al eje “x”, de longitud de semieje real a =
12
y de longitud de semieje imaginario b = 12 .Si ahora consideramos la traza sobre el plano z = 3, tendremos:
2 2
4 4
3
x y
z z
2 2
3
4 4
3
x y
z
Hipérbola 2 2 1 12 12y x
Esta última es una hipérbola sobre el plano de ecuación z = 3, cuyo eje real es paralelo al eje “y”, y cuyos valores de a y b son iguales a 12 .
Figura 10. Gráfica de las trazas auxiliares del paraboloide hiperbólico sobre los planos
z 3
realizada con Geogebra
La gráfica del conjunto de las trazas será:
Figura 11. Gráfica de las trazas del paraboloide hiperbólico realizada con Geogebra
Finalmente la gráfica del Paraboloide Hiperbólico será:
Figura 12. Gráfica del paraboloide hiperbólico realizada con Geogebra
3. RESULTADOS
Una vez finalizadas las tres clases del tema cuádricas, se realizó una encuesta a los 200 estudiantes que asistieron, acerca de su opinión de las clases utilizando geogebra.
El 95% de ellos indicó como muy positiva la experiencia. Del 5% restante, el 1% no respondió, y el 4% indicó que le pareció regular porque no conocían bien el manejo básico del soft, entonces no podían seguir el ritmo de la clase. Las justificaciones que dieron los estudiantes a por qué consideraban positiva la experiencia fueron:
- Claridad en las gráficas de las trazas y en la gráfica final, lo que hizo que comprendiera mejor el tema (92%).
- El soft me permitió visualizar las cuádricas desde diferentes ángulos, lo que no puedo hacer en el papel (86%).
- Clase más amena y ágil (79%).
- Pude verificar todos los resultados de los ejercicios del práctico, que había realizado con lápiz y papel (70%).
En la evaluación que se hace en la asignatura ALGA sobre cada unidad, se observó que la nota promedio obtenida por los estudiantes en la evaluación de cuádricas fue de 86 sobre un total de 100 puntos. Comparando con los tres años anteriores se observa una mejora de 10 puntos.
4. CONCLUSIONES
Desde la versión 5.0 Geogebra permite trabajar en tres dimensiones, y si bien al comienzo se notaba la mejora entre las representaciones de ecuaciones ingresadas en forma paramétrica por
sobre las ingresadas en forma cartesiana, actualmente esa brecha es casi imperceptible y actúa contribuyendo a la forma de trabajo que se realiza con papel y lápiz.
La experiencia ha incrementado el número de alumnos que utilizan Geogebra principalmente en la verificación de los resultados de los trabajos prácticos a modo de autoevaluación y como herramienta de experimentación basada en la facilidad de acceso y simpleza del manejo del soft.
Teniendo en cuenta el 5% que no respondió positivamente, se propondrá dictar un curso de manejo básico del soft Geogebra antes del inicio del cursado.
De acuerdo a los resultados obtenidos y la opinión de los estudiantes, se podría decir que se cumplió en gran parte con el objetivo planteado: intentar que los estudiantes relacionen la ecuación de segundo grado en tres variables con su sentido geométrico, integrando el álgebra lineal con la geometría analítica, lo que consideramos como un aporte al aprendizaje significativo del tema.
REFERENCIAS
[1] Schilardi, A., Repetto, L., Segura, S. y León, O. Análisis ontosemiótico del estudio de la ecuación vectorial de la recta en R3 mediante recursos tecnológicos. Recuperado de:
enfoqueontosemiotico.ugr.es/civeos/schilardi.pdf. 2017.
[2] Ramirez Toledo. A. El Constructivismo Pedagógico. Recuperado de:
http://ww2.educarchile.cl/UserFiles/P0001/File/El%Constructivismo/%20Pedag%C3%B3gico.pdf 2012.
[3] Sanchez Rosal, A. - Incorporación de las TIC en el aprendizaje de las matemáticas en el sector universitario. Revista de Educación Matemática, Unión Matemática Argentina, Vol. 27. (Nº 3), p.
23-28. 2012.