Una pirámide regular es un poliedro en donde una de sus caras es una región poligonal cualquiera y las otras son regiones triangulares con un vértice común. La cara que es una región poligonal cualquiera se llama base de la pirámide, y las otras, se denominan caras laterales. El vértice común de las caras laterales es el vértice de la pirámide.
En toda pirámide los lados de la base se llaman aristas básicas y las intersecciones de las caras laterales se denominan aristas laterales.
La distancia entre el vértice y el plano de la base es la altura de la pirámide.
Una pirámide es triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., según
que su base sea una región triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.
El volumen de cualquier pirámide es igual a la tercera parte del área de su base por la altura.
PIRÁMIDE BASE
V 1 (S ) Altura
= 3 ⋅
Una pirámide es recta, si la altura cae en el centroide de la base.
Caso contrario será una pirámide oblicua.
OBSERVACIONES
Si las aristas laterales de una pirámide son congruentes, entonces la base limita a un polígono inscriptible, o sea la altura cae en el circuncentro de la base.
Si las caras laterales forman el mismo diedro con la base, entonces la base limita un polígono circunscriptible, o sea la altura cae en el incentro de la base.
Arista básica Base Cara
lateral
Vértice
Arista lateral Altura
P
Una pirámide es regular si la base es una región poligonal regular que tiene como centro el pie de la perpendicular trazada desde el vértice a la base.
Siendo la base una región poligonal regular, su centro equidista de los vértices del polígono base, y por consiguiente, las aristas laterales de la pirámide son todas congruentes. De aquí resulta que las caras laterales de una pirámide regular son regiones limitadas por triángulos isósceles congruentes.
Se llama apotema de una pirámide regular al segmento que une el vértice de la pirámide con el punto medio de cualquiera de sus aristas básicas. Este apotema no es sino la altura de una cualquiera de las caras laterales.
Donde:
SL : Área de la superficie lateral Ap : Apotema de la pirámide pbase : Semiperímetro de la base SB : Área de la base
L base p
S = (p ) A⋅
B L
S = S cos⋅ α A
B
V
O C
D
SB α
Base Centro de
la base
Apotema de la base
Apotema de la pirámide
A
P
M
B C
a D
a S
L N
En toda pirámide cuadrangular regular, al trazar un plano secante no paralelo a la base se cumple:
1 1 1 1
PM PL+ = PN PS+
Si en una pirámide se traza un plano paralelo a la base y secante a la superficie lateral, entonces la pirámide parcial determinada será semejante a la pirámide original, cumpliéndose que todos sus elementos homólogos son proporcionales; se cumple también que la relación de sus áreas es igual a la relación de los cuadrados de sus elementos homólogos, y la relación de sus volúmenes es igual a la relación de los cubos de sus elementos homólogos.
Luego se cumple:
Si Q // P
2.
3.
1. OM NL h ...
OA = BC = H = = k
2 2 2
1 2
2 2 2
2
S OM NL h ...
S = OA = BC = H = = k
Pirámide O MNL Pirámide O ABC
⇒ − −
3 3
(O MNL) 3
3 3
(O ABC)
V OM h
V − OA H ... k
−
= = = =
B
A C
H h
O
L M
Sección
Transversal Q
P
S1 N
S2
Si en una pirámide se traza un plano paralelo a su base y secante a la superficie lateral, entonces el sólido comprendido entre la base y el plano paralelo trazado se denomina tronco de pirámide.
S1 S2
h Pirámide deficiente Tronco de
pirámide
TRONCO 1 2 1 2
V h(S S S S )
= 3 + + ⋅
P
D
F
E
A Apotema
del tronco B
C
θ O
h AT
O1 S1
S2
Es el tronco de pirámide cuyas bases son regiones poligonales regulares semejan- tes y sus caras laterales son regiones tra- peciales isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas del tronco.
Si los semiperímetros de las bases son P1 y P2:
L 1 2 T
S = (P + P ) A⋅
1 2 L
S − S = S ×cosθ
Q r
C D
O R
P
B A
a
A
1. Para toda pirámide triangular al trazar un plano secante se cumple:
2. En el tetraedro ABCD si ha, hb, hc y hd son alturas y r: radio de la esfera inscrita:
3. En un tetraedro regular de arista a:
r : radio de la esfera inscrita
R : radio de la esfera circunscrita Ra : radio de la esfera exinscrita h : altura
4. En un octaedro regular de arista “a”:
r : radio de la esfera inscrita
R : radio de la esfera circunscrita
(P ABC) (P QRS)
V (PA)(PB)(PC) V (PQ)(PR)(PS)
−
−
=
1 1 1 1 1
ha + hb + hc + hd = r
r R 6
1 3 6
= = a Ra
r R h 6
1 2 3 4 12
= = = = a
S Q
P
B
C A
R
ha
D
C B
A
r
a
R Or
B
C
h D
