CAPITULO 1 INTEGRAL INDEFINIDA

2007

VICERRECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES

SECCION DE MATEMÁTICA

ASIGNATURA : MATEMÁTICA II

CAPITULO 1

INTEGRAL INDEFINIDA

Lic. ELIZABETH VARGAS

CIUDAD GUAYANA 2007

1.1 PRIMITIVAS O ANTIDERIVADAS. PROPIEDADES

En el cálculo diferencial se plantea el siguiente problema: dada una función f, encuentre su derivada f’. Ahora se propone el problema inverso: dada la derivada g’ de una función, encuentre la función g.

Por ejemplo: si g’(x) = sen(x) entonces g(x) = -cos(x); pero la función g también puede ser g(x) = -cos(x) + 3, o g(x) =

-

cos(x) – 8, ya que en los tres casos g’(x) = sen(x).

Una simple observación nos señala que g(x) =

-

cos(x) + C, donde C es una constante arbitraria. Por lo tanto la función g no es única.

A continuación se presenta una tabla con un listado de funciones denotada como F, completaremos la tabla determinando en cada caso una función G tal que G’(x) = F(x).

( Se deja al lector para que complete la tabla)

Función F Función G Comprobar que G’(x)=F(x).

3^x + x 1

(

^secx

)

²

cos(2x)

(

x−²¹

)

²

1 2

1 + x

4 2

1 1 + x

3 2

1 1

− x

2 8

3+x + x

+1

ex

En cada caso nos preguntamos, ¿Si la función G es única?, la respuesta es no; por ejemplo para F(x) =

4 2 1

1

+ x se tiene que G también puede ser G(x)= arctan( 2x) 2

1 +3,

G(x)= arctan( 2x) 2

1

-

5, en general si G(x) = arctan( 2x) 2

1 +C donde C es una constante, entonces se cumple que G’(x) = F(x)

Nuestro problema consiste en: dada una función F, encontrar otra función G cuya derivada sea F, es decir G’(x) = F(x). A la función G se le llama una primitiva o una antiderivada de F.

La operación de determinar la función original a partir de su derivada es la operación inversa de la derivación y se le llama antiderivación.

Definición 1.1 Primitivas o antiderivadas

Una función G es una primitiva o antiderivada de una función f en un intervalo I⊆ lR si G es derivable en I y G’(x) = f(x), para todo x∈I .

Ejemplo 1.1 Halle una primitiva de la función f definida por f (x) = -6sen(6x), x∈lR.

Solución: Hay que hallar una función G que sea derivable y que G’(x) = f(x) para todo x∈lR; así una primitiva de f es G(x) = cos(6x) puesto que G’(x) = - 6 sen(6x) = f(x) para todo x∈lR.

Ejemplo 1.2 Sean h y f definidas por h(x) = 3e^3x y f(x) = e^3x . ¿Es f una primitiva de h en lR ?.

Solución: Como f’(x) = 3e^3x = h(x), para todo x∈lR, entonces, f si es una primitiva de h en lR. Las funciones definidas por: g(x) = e^3x + 3, M(x) = e^3x + π, Q(x) = e^3x + 3 y en general N(x) = e^3x + C con C∈lR , son primitivas de h en lR.

Ejemplo 1.3 Sean las funciones g y f definidas por: g (x) = 3

1 x³ + 8,

f (x) =







−

=

=

±

≠

1 1

, 8

1

2,

x o x

si x si x

. ¿ Es g una primitiva de f en lR ?.

Solución: La función g(x) = 3

1x³ + 8 no es una antiderivada de f en lR ya que

g’(x) = x² = f(x) excepto en x = 1 y en x = -1. Note que: g’(1) = g’(-1) = 1 y f(1) = 8.

Teorema 1.1 Si F y G son antiderivadas de la función h en el intervalo I⊆lR, entonces existe una constante real C tal que G(x) = F(x) + C, para todo x ∈ I.

Demostración: Se define la función H por:

H(x) = G(x) – F(x), para todo x ∈ I (1.1) Se debe probar que H es constante en I. Por hipótesis se tiene que F y G son primitivas de h en I, es decir:

F’(x) = h (x) , G’(x) = h (x) para todo x ∈ I (1.2) Derivando H se tiene:

H’(x) = G’(x) – F’(x) para todo x ∈ I. (1.3) Sustituyendo (1.2) en (1.3) resulta: H’(x) = h(x) – h(x) = 0 para todo x ∈ I.

Así, H’(x) = 0 para todo x ∈ I, entonces existe una constante C∈lR tal que H(x)=C, para todo x ∈ I , por lo tanto se cumple que:

G(x) = F(x) + C , para todo x ∈ I. (1.4)

Observaciones:

i) El teorema anterior establece que dos primitivas de una función en un intervalo I difieren en una constante.

ii) El teorema anterior es válido en intervalos, en otros conjuntos puede suceder que una función tenga antiderivadas que no difieran en una constante, como se ilustra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.4 Las funciones f y h definidas por:









<

−

>

+

=

0 1 7

0 1 6

x x Si

x x Si

x f

, , )

( y

h(x) = 1+3

x para todo x ≠ 0, son primitivas de g (x) = 1₂

− x en (-∞, 0) ∪(0,+∞), ya que f ‘(x) = h’(x) = g (x) en (-∞, 0)∪(0,+∞) , sin embargo:







<

−

= >

−

0 ,

10

0 ,

3 )

( ) (

x x x

h x

f . Es decir f y h no difieren en una constante en (-

∞, 0) ∪ (0,+∞). Surge la pregunta ¿Falla el teorema 1.1?, la respuesta es no, lo que sucede es que no se cumple la hipótesis y por tanto el teorema no es aplicable en este caso.

Teorema 1.2 Si F y G son primitivas de h en [ a, b] entonces F(a) – F(b) = G(a) –G(b).

Demostración: De acuerdo al teorema 1.1 se tiene que por ser F y G antiderivadas de h en [ a, b], existe C ∈ R tal que F(x) = G(x) + C, para toda x ∈ [ a, b].

Evaluando F en x = a y en x = b se obtiene: F(a) = G(a) + C y F(b) = G(b) + C , de lo cual resulta:

F(a) – F(b) = G (a) – G (b).

Este teorema nos dice que el valor F(a) – F(b) se mantiene fijo cualquiera que sea la primitiva de h en [ a, b].

Teorema 1.3 Si f es una función continua en un intervalo cerrado I entonces existe una primitiva de f en I.

Este teorema establece que si f es continua en un intervalo cerrado entonces se garantiza la existencia de una primitiva en ese intervalo; el problema está en hallar dicha primitiva. Por ejemplo, la función f (x) =

x2

e

es continua en todo su dominio, por lo tanto tiene primitiva, pero no es posible expresar dicha primitiva en términos de las funciones elementales.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1

1) En cada caso demuestre que la función F es una primitiva de la función G : (a) F(x) = e^ax

a

1 , G(x) = e^ax , a ≠ 0 , x∈ ^lR.

(b) F(x) = Ln sec(x) + tg(x), G(x) = sec(x) , _



 



 0 π4

,

(c) F(x) = Ln 



 



 +

2 4 tg π x

, G(x) = sec(x)

d)

( )

a x

a x x a

F −

= ln + 2

1

( )

₂ ¹ ₂

x a x

G = −

e) ^F

( )

^{x = Ln }_^{x+ x2 −a2}_^

( )

2 2

1 a x x

G = −

f)

( )

^



 



= 

a x x a

F 1arctg

( )

₂ ¹ ₂

a x x

G = +

g)

( )

x x x

F = ²−1

( )

1 1

2

2 −

= x x x G

h)

( )

x x x

F 2

2 +

=

( )

^



 



 −

= x x

x

G 1

2 1 1

i)

( )

( )

^x

x F

2 cos 1

1 + 2

=

( ) ( )

(

^{1 cossen2}

( )

^42xx

)

³²

x G

+

=

j) ^F

( )

^{x =arccos}

(

^senx

)

( )

x x x

G cos

−cos

=

k)

( )

_^









= 

arctg 7 7

1 e^x

x

F

( )

^x _x

e x e

G 2

7+

=

l) ^F

( )

^{x = 2 x⋅arccot}

( )

^{x +ln}

⁽

^1+x

^{) ( )} ( )

x x x arc

G cot

=

m) ^F

( )

^{x =−2cscx+3cosx+c}

( )

x x x x

G sen

sen 3 cot

2 − ²

=

2) Sean F una primitiva de f, G una primitiva de g y

α

∈ lR en un intervalo I.

Responda las siguientes preguntas, justificando sus respuestas:

a) ¿ F + G es una primitiva de f + g en I ? b) ¿ F.G es una primitiva de f.g en I ? c) ¿α.F es una primitiva de α.f en I ? d) ¿

G

F es una primitiva de g

f en I ?

3) ¿La función F(x) =







≥ +

−

<

1 ,

1 1 ,

2 x x

x

x x

es una primitiva de h (x) = x + x – 1  en lR ?

4) Decida si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

i) Si F y G son primitivas de f en un intervalo I entonces F(x) = G(x) + C, C ∈ lR.

ii) La función







>

≤

= +

2 4

2 2

x ,

x , x ) x (

F es una primitiva de







≤

= >

2 1

2 0

x ,

x , ) x (

g en lR .

iii) La función f(x) = . 5 2x x +

es una primitiva de la función h(x) = x en lR - {0}.

5) Encuentre una antiderivada de F de f(x)=³ x tal que F(1)=2.

6) Encuentre f tal que f’’(x)= x + cos(x) , f(0)=1 , f’(0)=2.

1.2 LA INTEGRAL INDEFINIDA.

Al proceso de encontrar primitivas se le llama antiderivación, también se usa el término integral indefinida.

Definición 1.2 Si F es una primitiva de h en un intervalo I, entonces se escribe:

∫

^{h(x) dx= F(x)+C} (1.5) donde F’(x) = h (x), y el símbolo

∫

se lee la integral indefinida .

A h (x) se le llama el integrando, h (x)dx : elemento de integración, dx: diferencial de la variable x ( identifica cual es la variable de integración) , x : variable de integración, C ∈ lR constante de integración

Geométricamente, la integral indefinida puede interpretarse como una familia de curvas que se obtienen al trasladar la curva y = F(x) hacia arriba o hacia abajo. Por ejemplo, sabemos que F(x)= x² es una primitiva de la función h(x)=2x, entonces se puede escribir:

∫

^{2x dx = x2+C.}

Si C = 0 entonces F(x)= x² ; para C = 1 se tiene que F(x)= x²+1; con C = - 1 entonces F(x)= x²-1. En la siguiente figura se muestran las gráficas de estas funciones:

Figura 1.0

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

Si F es una primitiva de h entonces

∫

^{h(x) dx=F(x)+C}, se cumplen las siguientes propiedades:

a) La derivada de una integral indefinida es igual al integrando:

( ∫

^h(x)dx

)

^'=

⁽

^F(x)+C

⁾

^{'= F'(x) = h(x)}

Así,

( ∫

^h(x)dx

)

^{' =h(x)} (1.6)

b) La diferencial de una integral indefinida es igual al elemento de integración, es decir:

^d

( ∫

^h(x)dx

)

^=h(x)dx (1.7) En efecto: ^d

( ∫

^h(x).dx

)

^{= d}

⁽

^F(x)+C

⁾

=

(

^F(x)+^C

)

^'dx

( por definición de diferencial ) = F’(x)dx

= h (x)dx ( pues F es una primitiva de h )

c)

∫

^{H'(x).dx =H(x)+C} (1.8)

d)

∫

^{d(H(x))=H(x)+C} (1.9)

e) Linealidad de la integral indefinida:

∫ (

α ^f1^(x)+β ^f2^(x)

)

^dx=α

∫

^f1^(x)dx+β

∫

^f2^(x).dx

En general:

∫ ∑ ∑ ( ∫ )

=

=  = α









 α ⁿ

i

i i n

i

i

i f (x) .dx f (x).dx

1 1

, α_i

, i =1,..,n son constantes.

1.3 INTEGRALES INMEDIATAS

La siguiente tabla resume las integrales de las funciones elementales, y son una consecuencia inmediata de las correspondientes reglas de derivación.

1)

∫

^du=u+C 2)

∫

₊^{+ + , ≠−1}

1 u

= du u

1 n n

n n C

3)

∫

^{du =Ln u +C}

u

1 4)

∫

= +^{C, a}>0^{, a}≠1 a

Ln du a a

U u

5)

∫

^{eUdu =eU +C} 6)

∫

^{secu.tgu.du =secu+C}

7)

∫

^{senu.du =−cosu+C} 8)

∫

^cosec2u^.du=−^cotu+C 9)

∫

^{cosu.du=senu+C} 10)

∫

^{cosecu.cotu.du=−cosecu+C}

11)

∫

^{tgu.du=Lnsecu +C} =−^Ln cos^u +^C

12)

∫

^secu^.du=Ln^sec u+tgu +C

13)

∫

^{cosecu.du=Lncosecu−cotu +C} 14)

∫

^{sec2u du=tgu+C}

15) arcsen u C u C

u

du = + =− +

∫

− ^arccos

1 ²

16)

∫

^cotu^.du =Lnsenu +C

17)

∫

₁₊^du_u^{2 =arctg u+C =−arccotu+C}

18)

∫

₋ ^{= u + C =− u +C}

u u

du arcsec arccosec

2 1

Las reglas anteriores se pueden comprobar usando las reglas de derivación y la definición 1.2, para ello derive el lado derecho de la igualdad, luego simplifique hasta obtener el integrando.

Ejemplo 1.5 Sin calcular la integral, demuestre que:

∫

sec cosecx. x.dx =Ln tg x +C Solución: Se debe probar que ( Ln |tg x |)’ = sec x . cosec x. En efecto:

( )

^{' 1 .}

( )

^{tgx '}

tgx tgx

Ln = ⁼ _tgx^{1 .}_tgx^tgx.

(

^sec2x

)

tgx

2 x

= sec = cosecxsecx

Ejemplo 1.6 Usando las propiedades de la integral indefinida y la tabla anterior, calcule las siguientes primitivas:

a)

∫

^{(x3 +2x2 - 3ex ).dx} b)

∫

^_^{x / −} 3^x_x ^{−7 2x }_^dx 2

1 2

c)

∫

^{(2 cost- 5sent).dt}

d)

∫

^{(cot x+cos y) .dy} e)

∫

^{(2x .3x) .dx} f )

∫

− dx x² 1

2

Solución:

(

³

)

2 3 1

4

2 3

x 2 3

3 3 4 2

. 3 2

x dx ) 3e - 2x (x )

C e x C

x C

dx e dx x dx a

x x

+

−











 +

+ +

=

− +

=

∫

+

∫ ∫ ∫

Haciendo C = C1 + 2C2 – 3 C3, se tiene:

∫

^{(x3+2x2 -3ex ) .dx =} ₄^1x4+₃^{2x3-3ex +C}

b) En esta integral se debe “preparar” el integrando, para ello los radicales se escriben en forma de potencias:

∫

∫

^_^{x −} 3^x_x ^−7x2_^{ dx= }_^{x1/2−x x−1/3−x2/7}_^{ dx} 2

/

1 .

2 2

⁼

∫

^x1/2dx−₂¹

∫

^x2/3dx−

∫

^x2/7dx

= x^{3 2}− x^{5 3}− x^{9 7} +C 9

7 10

3 3

2 _{/ / /}

∫

^{(2cost- 5sent).dt=2}

∫

^{cos t.dt- 5}

∫

^sent.dt

)

c =2 sent+5cos t +C

C y sen cot x y.

dy . y cos dy . cot x dy

. y) cos (cot x

)

∫

+ =

∫

+

∫

= + +

d

Observe que la variable de integración es y.

e)

( )

^C

Ln dx . dx .

. ^x = ^x = ^x = ^x+



 





∫

∫ ∫

⁶

6 6 1

3

3 dx 2

2^x

∫

^{= ⋅}

− 2 ( )

1 ) 2

2 dx arcsen x x

f

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.2

Calcular las siguientes integrales : 1)

∫

x .x ^dx









 +

− 3

7 2

3

2 2) dx

x x .

∫

x ^

 



 +2

5 2 3)

∫

x₊^{+ dx} x

1

3 1

4) dx

x x

∫

⁴ x^{3 −3+ 23} 5) dx

x x e x

x ^x

∫

^{2 − −}₋₁ ⁻¹ 6)

∫

^e2xdx

7)

∫

^{e2x 5− dx} 8)

∫

^3e2Lnxdx 9)

∫

^cos2

( )

^{x dx}

10)

∫

_ax^x2₊^dx_b^{, a≠0 11)}

∫

^cos2(₃^x_cos⁾⁻

_{( )}

⁴_x^tan(x)dx 12)

∫

_^









 +

x dx x

x 2

2 3 2

13)

_∫ ( )

+

− dx x

x 2

3 5

2 3

14)

∫ (

^1+tgx

)

^2dx 15)

( ) ( )

∫

₊^{− dx}

x x

1 1 2 2

16)

∫

^ln

( )

^{e2x dx} 17)

∫

− +

−

+ − dx

x x x

3 2

1 1

4

3 9

3 18)

∫

^{cos( 2y)dy}

19) dz

) z cos(

) z (

∫

sen ² 20) ( )

∫

^e₁^arctg_+4t^{22t dx} 21)

∫

⁻ sen(x)^{+ dx} ) x cos(

) senx ( ) x tan(

3

2 4

22)22)

∫

^{Log(100x )dx 23)}

∫

^{3.arcsen(sen(2x))dx} 24)

∫

^{3.arcsen(x))dz}

1.4 INTEGRACION POR SUSTITUCIÓN (CAMBIO DE VARIABLE)

La integral

∫

^{y8 dy} se puede calcular aplicando las reglas básicas de integración, obteniéndose:

∫

^{y8dy = y9 +C}

9

En cambio, en la integral

∫

^{(x3+4)8(3x2)dx} es necesario transformar el integrando, para ello se realiza un cambio de variable. Veamos, haciendo y = (x³ + 4) se tiene dy = 3x²dx, se sustituye en la integral dada :

^∫

^{(x3 +4)8(3x2)dx =}

^∫

^{y8 dy = y}₉^{9 +C =} ₉¹

( )

^{x3+4 9+C}

En el siguiente teorema se resume el proceso anterior:

Teorema 1.4 Sean f una función definida en el intervalo

I

y F una primitiva de f en

I.

Supóngase que

g una función con derivada continua en un intervalo

J, tal que g(x) ∈ I para toda x ∈ J.

Entonces F(g(x)) es una primitiva de f(g(x)).g’(x), en el intervalo

J

, es decir:

∫

^f

( )

^{g(x) g'(x)dx=F}

(

^g(x)

)

^+C

Demostración: Como F es una primitiva de f entonces: F’(g (x) ) = f (g (x) ) (1.10) Aplicando la regla de la cadena a F(g (x) ) se obtiene:

Dx [ F(g (x) )] = F’(g (x) ) g’(x) (1.11) Sustituyendo (1.10) en (1.11): Dx [F (g (x) )]= f (g (x) ) g’(x)

Integrando se obtiene:

∫

^f

( )

^{g(x)g'(x)dx=F}

(

^g(x)

)

^+C (1.12)

OBSERVACIONES:

i) Si en (1.12) se hace la sustitución u = g (x) entonces du = g’(x) dx, luego:

∫

^f

( )

^g(x)g'(x)dx=

∫

^{f(u)du=F(u)+C=F}

(

^g(x)

)

^+C

Al efectuar la sustitución, el integrando debe quedar en función de la nueva variable.

ii) Para calcular una integral usando cambio de variable se elige la sustitución u =h(x) de tal modo que du =h’(x)dx aparezca en el integrando y la nueva integral se pueda calcular de manera más fácil.

1.5 INTEGRALES QUE CONTIENEN POLINOMIOS DE GRADO 2

Son ejemplos de este tipo de integrales:

dx . c bx

∫

ax^{2+ + ,}

^{( )}

^.dx

c bx ax

e

∫

dx

+ +

+

2 ,

( )

( )

∫

+ +

+

n m

c bx ax

dx . e dx

2

Para resolver este tipo de integrales se procede así:

i) Se completa cuadrados en (ax² + bx + c ):



















 − +



 



 +

= +

+ ²₂

2 2

4

2 a

b a c a

x b a c bx ax

haciendo ²

2 2

4

k a b a

c− =± , resulta: 



 



  ±



 



 +

= +

+ ^{2 2}

2

2 k

a x b a c bx

ax

ii) Luego hacer la sustitución

a x b

u= +2 ^{: ax2+bx+c=a.}

(

^u2±k2

)

El polinomio (ax² + bx + c) se ha transformado en una suma o en una diferencia de cuadrados .

iii) La integral resultante (después de haber realizado la sustitución) se puede calcular aplicando el método de sustitución trigonométrica (se estudiara en la sección 3.5) o simplemente resulta una integral cuya primitiva es una función trigonométrica inversa. En esta sección sólo se trata el último caso.

Por ejemplo, para calcular la integral

∫

− +16 4 ²

9 x x

dx completamos cuadrados:

( )



 



 − −

−

=

−

+ 4

2 25 4

4 16

9 x x² x ²

( )



 



 − −

= 2²

4 4 25 x

Hacer la sustitución u = x – 2 , de donde du = dx , luego:

( )

∫

∫





 



 − −

− =

+ ² 2²

4 4 25 4

16

9 x

dx x

x dx

.

∫

−

=

2

4 2 25 1

u du

u C arcsen +



 



= 

5 2 2

1 x C

arcsen +



 



 −

= 5

4 2 2

1

ALGUNAS RECOMENDACIONES AL UTILIZAR CAMBIO DE VARIABLE:

TIPO DE INTEGRAL SUSTITUCION TIPO DE INTEGRAL SUSTITUCION

∫

^{sen(p(x)).p'(x)dx u=p(x)}

∫

_ax¹_±b^{dx, a≠0 u=ax ±b}

q(x) u=

∫

^q_q^´(_(x^x₎^)dx

u=p(x)

∫

− ₂

1 (p(x)) dx ) x ( p^'

p(x) u=

∫

^{n(p(x))m.p´(x)dx}

u=q(x)

∫

+ ^dx

)) x ( q (

) x ( q^' 1 2

∫

^{ep(x). p'(x)dx ,}

∫

^{ap(x)p'(x)dx, a>0, a≠1 u=p(x)}

Ejemplo 1.7 Calcule las siguientes integrales:

1)

∫

^xcos(x2+8)dx 2)

∫

^{e2x+1 .dx} 3)

∫

− . dx x² 4 9

4 4)

∫

− dx x x

4 2 9

8

5)

∫ ( )

−

− dx x x 4 2 9

8

4 6)

∫

^(x2+8)8dx 7)

∫

^{senx .cos x .dx}

8)

∫ (

₊

)

^dx

x x

/ 2 7 2

3 2

9)

( )

( )

∫

−

+ dy y y

3 3 2

3 10)

( )

_dx

x x

∫

₊x⁺ ₊ 5 6 9

3 2 2

Solución: Para calcular estas integrales es necesario hacer un cambio de variable, para reemplazar las funciones que se van a integrar por otras funciones cuyas primitivas se puedan hallar con más “facilidad”.

1) Haciendo u = x² + 8 se tiene du = 2x dx, x

2

dx= du , luego sustituyendo :

( )

( )

^{8 ( )}

) (

) (

). 2 cos(

8 cos

2 2 1 2 1 2

cambio el

retornando C

x sen

u de función en

Integrando C

u sen

u du dx

x x

+ +

=

+

=

=

+

∫

∫

2) En la integral

∫

^e2x+1dx, se hace la sustitución u = 2x +1, de allí que du = 2dx, luego:

C e

C e du

e

dx = ^u = ^u + = ^x+ +

+

∫

∫

2 ^{2 1}

1 2

1 2

. 1 1

e2x

Otra forma de resolver esta integral es aplicando propiedades de la función exponencial

∫

^e2x+1.dx=

∫ ( )

^{e2 x.e dx}

( ) ( )

_C ^ee _{C e C}

e e e dx e

e ^x

x x

x = + = + = +

=

∫

2 ^{2 2 +1}

2 2

2 1 2

. .ln

.

3) En esta integral, el radical se expresa así: ^{9−4x2 =3 1−}

( )

₃^2x2 ; luego hacer la

sustitución: u ^x du dx dx du

2 3 3

2 3

2 = =

= , de donde , sustituyendo en la integral resulta

( )

^{du arcsen(u) C arcsen}

( )

^{x C}

u dx

x dx

x

+

= +

− =

=

−

− =

∫

∫ ∫

3

2 2

2 3

2 2 2 2

1 1 2 3 3 4 1

3 4 4

9 4

4) En la integral

∫

₋ ^dx

x x

4 2

9

8 , observe que d(9 – 4 x²) = -8x dx, por lo que haciendo

u = 9 – 4x² se obtiene: du = - 8x dx, luego:

C x C

u du

u dx u dx du

x

x = − =− =− + =− − +

−

∫ ∫

∫

^{−2 1 2 2}

1

2 2 2 9 4

4 9

8 _/

5) Esta integral se expresa como la suma de dos integrales:

∫ (

⁻₋

)

2 ⁼

∫

₋ 2 ⁺

∫ ( )

⁻₋ 2

4 9

8 4

9 4 4

9 8 4

x dx x x

dx x

dx x

las cuales se resolvieron en los ejercicios 3 y 4, respectivamente; luego:

( )

∫

⁻₋ ^{= arcsen}_^{ x}_^{+ − x +C}

x dx

x ₂

2 2 9 4

3 2 2

4 9

8

4 ,

6) En la integral

∫

(x²⁺8)⁸ dx usted puede estar tentado a hacer la siguiente sustitución u = x²+8, entonces du = 2x.dx, para después concluir que:

u C

2x. u 1

2x 1 2x . du u dx 8) (x

9 8

8 8

2+ = =

∫

= +

∫ ∫

^du ₉

lo cual no es correcto ya que 12x no es una constante. Para calcular esta integral, resuelva la potencia y después integre.

7) En

∫

^senx.cosxdx hacer z = sen x, entonces dz = cos x dx, y:

C x sen C

z dz

z dx

x

senx = = + = +

∫

^cos

∫

^. ₃^{2 3/2} ₃^{2 3}

8) Hacer p = 2 + 3x, de donde dp = 3dx y x = 3

−2

p luego:

( )

( )

( )

∫

∫

∫ ∫

−

−

− − +

=

+

= −



 



 −

+ =

dp p

p p

dp p

p p

.dp p

p dx

x x

/ /

/ / / /

2 7 2

5 2

3 2 7 2

2 7

2

2 7 2

4 27 4

1

4 4 27

1

3 3

2

3 2

(

^x

) (

^x

) (

^{( x)}

)

^C

C p

p p

/ /

/

/ /

/

+













− + + +

+

= −

+



 



− + −

= ^{− − −}

2 5 2

3 2

1

2 5 2

3 2

1

3 2 5

8 3

2 3

8 3

2 2 27

1

5 8 3

2 8 27

1

9) En

( )

( )

∫

₃ ⁺₋ 2 ^,

3 3

y dy

y hacer u = 3 – y, sustituya, simplifique e integre para

obtener :

( )

( ) ( ) ( )

∫

^{=− − + − +}

−

+ y y C

y dy

y _{1/3 4/3}

3 2 3

4 3 3

18 3

3

10) Para resolver

( )

x dx x

∫

₉ ²²₊x₆⁺³₊₅ , se completa cuadrados resultando :











  +



 



 +

= +

+ 9

4 3 9 1

5 6 9

2

2 x x

x . .

Luego, hacer

3 +1

= x

u , de donde du = dx ,

3

−1

=u

x , lo cual se sustituye en la integral

( )

₌

+ +

∫

_9x^22x₆+_x³ ₅^dx ₉¹

∫ ^{( )}

^dx

x x

9 4 3 1

3 2

2

+



 



 +

+

∫

₊ ^





 +



 



 −

= du

u u

9 4 3 3 2 1

9 1

2

⁼

∫

₊ ⁺

∫

₊

9 27 4

7 9 9 4

2

2

2 u

du u

u.du

C u arctg u

Ln +



 

 + 



 



 +

= 2

3 18

7 9 4 9

1 ₂

.

Finalmente:

( )

^{dx Ln}

(

^{x x}

)

^{arctg x C}

x x

x +



 



 +

+ + + + =

+

∫

+ 2

1 3 18

5 7 6 9 9

1 5 6 9

3

2 ₂

2 .

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.3

PARTE I. Calcule las siguientes integrales.

1)

∫

+ dx e e

x x

1 2 2)

∫

−1 e

x

dx

₃₎

∫

_sen(2x^dx_).Ln(tgx)

4)

∫

− dx e e

x x 1 2

5 5)

∫

− dx e e

x x 1 2

6 6) ( )

∫

₊ ^dt

t e^{arctg t}

2 2

4 1

7)

( )

∫

₊

( )

^dy

y tg

y sec

2 9

2 2 2

8)

∫

− dt e e

t t

6 3

4

9)

∫

x₊x

( )

Lnx2 dx

10)

^∫

^x

(

^1+ln

( )

^lnxx2

)

^{dx 11)}

^∫

^4+xx3dx 12)

∫

−ln x x

dx 4 2

13)

∫ (

₋ ⁺₊

)

^dx

x x

x 11 6

5 4

2 14)

_∫ ( )

−

−

+ dx e e e e

x x x x

4 2 5

8 15)

∫ (

^{1+y 1}

)

^{−y dx}

16)

∫ ( )

+

−

−

+ dx

x x

x

5 4 2

3

2 17)

∫

−

−

dx x

x 3 ²

4

1 18)

∫ ( )

+ +

+ dx x x

x 2 2

2

2

19)

∫

−

−x² 2,5 x

dx 20)

∫ ( )

− +

+ 11 2 66 3

5 2

x x

dx

x 21)

∫ (

⁺

( ) )

^dx

x x x

2 ln 1

22)

∫

^x53

( )

^{1+x3 2dx 23)}

∫ ^{( )}

−

−

− dx

x x

x 5 4 12

3 8

2

24) dz

z z

∫

z

+

−4 3 2

2

2 3

25)

_∫ ( ( ) )

+

+ +

+ dx

x x ln x e^arctgx

1

1 1

2

2 26)

∫

^sec2

( )

^{x .e−tg( )x dx 27)}

∫

^cot

^{( )}

^{x ln}

⁽

^sen

^{( )}

^x

⁾

^dx

28)

( )

∫ ( )

−

dy y tg

y 2 2

9 1

sec 29)

∫

₊ ^dy

y y 2 4 5

30)

∫

_{− +}

9 8 2x² x

dx

31)

∫ ( )

− + dy

y y 1 2

3

2 32)

∫

_{− +}

1 2 2x x

dx 33)

∫

+

−

−y² 6y 7 dy

34)

∫ ( )

₊

2 . cos² x tgx

dx 35)

∫

_1+cos^dx

( )

_x ³⁶⁾

∫

_1+sen^dx

_{( )}

_x

37)

∫ ( ) ( )

x tg x

dx . cos

6 ² 38)

∫

−

−3 ² 4x x

dx 39)

( )

dx x x

∫

x

+ +

− 17 2

3 2

2

40)

∫

₊ ^dx

e^x 1

1

43)

∫

+p) .(

p dp

1

46)

∫

x ^{. +(Lnx) .dx} )

Lnx

( ⁵ ₂

1 41)

∫

⁴

(

^{1+ x}

)

^3dx

44)

∫

^{(x3+4)5/2. x5dx} 47)

∫

−

− dx x

x x 1 2

) ) (arccos(

42)

∫

_1−sen^tgx2_x^{. dx}

45)

∫

^cos(Ln_x^{(4x2)). dx}

48) dx

x

∫

⁺₃²x 1 1

49)

∫

⁻₋ ^dx

x x

2 3

3

4 )

( 50)

∫

₊ ^{+ dx}

x x xsen

4 4

2

2 )

( 51)

∫

^{(tg2x+ senx}_tgx^+sec2x)dx