Datos de Panel

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos

TEMA 6. Modelos para Datos de Panel

Profesor: Pedro Albarrán Pérez

Universidad de Alicante. Curso 2010/2011.

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos

Contenido

1 Introducción

2 Modelos estáticos

Modelo con Efectos Individuales: Fijos y Aleatorios Extensiones del Modelo Básico

3 Estimación de Modelos estáticos. Predicción Estimadores Agrupados (“Pooled”) Estimador “Between”

Estimador de Efectos Aleatorios Estimadores de Efectos Fijos Test de Hausman

Predicción.

4 Paneles largos

5 Variables instrumentales

6 Modelos Dinámicos para datos de panel Introducción

Estimador de Arellano y Bond

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Consideraciones básicas

Datos de Panel

Los datos de panel (o datos longitudinales) consiste en observaciones de un corte transversal de unidades individuales (hogares, empresas, países, etc.)

repetidas sobre el tiempo

{Yit, X_it⁰_} i=1, . . . , N; t=1, . . . , T Algunos ejemplos:

PSID (Panel Study of Income Dynamics) ECHP (European Community Household Panel) SHIW (Survey on Household Income and Wealth) EPA (Encuesta de Población Activa)

ESEE (Encuesta sobre Estrategías Empresariales) FES (Family Expenditure Survey)

CEX (Consumers Expenditure Survey)

ECPF (Encuesta Continua de Presupuestos Familiares) paneles de estados americanos, de países, etc.

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Consideraciones básicas

Consideraciones básicas

En general, los datos se observan a intervalos regulares de tiempo Los datos de panel pueden ser balanceados (Ti=T para todo i ) o no balanceados (Ti 6=T para algún i )

la selección muestral debe ser aleatoria (no correlacionada con los regresores) para que los estimadores sean consistentes

Se pueden tener paneles:

de muchos individuos y pocos periodos temporales (“short panels) de pocos individuos y muchos periodos temporales (“long panels”) de muchos individuos y muchos periodos temporales

Se puede hacer inferencia asintótica NT →∞

N→∞, T →∞ N→∞, T fijo T →∞, N fijo

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Consideraciones básicas

Consideraciones básicas (cont.)

Los errores estarán probablemente correlacionados (en el tiempo para un individuo y/o entre individuos)

Se pueden tener regresores invariantes en el tiempo (xit=xi), que no varían con los individuos (xit=xt) o que varían tanto con el tiempo como con los individuos (xit)

Algunos coeficientes del modelo pueden variar entre individuos o en el tiempo

Los datos de panel permiten la estimación de modelos dinámicos

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estadística descriptiva para datos de panel

Descripción de los datos

Para cada observación debe conocerse el individuo i y el periodo temporal t al que se refiere .

p.e., un panel balanceado p.e., un panel NO balanceado

individuo año renta edad individuo año renta edad sexo

1 2000 1800 29 1 2000 800 19 2

1 2001 1950 30 1 2001 950 20 2

2 2000 800 20 2 2000 1900 29 1

2 2001 850 21 2 2001 1950 30 1

2 2002 2100 31 1

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

500 2000 2200 54 1000 2000 2100 49 1

500 2001 2400 55 1000 2001 2200 50 1

Obviamente preferiremos una descripción resumida de la estructura del panel en nuestros datos

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estadística descriptiva para datos de panel

Descripción de los datos (cont.)

Para paneles balanceados, describir el número de observaciones implica:

número de individuos distintos N total de periodos cubiertos por el panel T

el número total de observaciones es simplemente NT Para paneles NO balanceados, además debemos considerar:

periodos concretos en que se observa cada individuo Ti (o su media) número total de observaciones^PN_{i =1}Ti

También se puede presentar el patrón de observaciones; p.e.,

t = 1 t = 2 t = 3 t = 4

| | | | n1, Ti =4

. | | | n2, Ti =3

. . | | n3, Ti =2

| | | . n4, Ti =3

Notad que no tiene porque haber individuos observados todos los periodos y que individuos con el mismo Ti pueden ser observados en periodos diferentes.

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Descomposición “within”-“between”

Las variables pueden tener variación tanto en el tiempo como entre individuos

Variabilidad “within”, s_W² : variación en el tiempo para un individuo dado

Variabilidad “between”,s_B²: variación entre individuos

La variabilidad total (“overall”),s_O² , se puede descomponer en

“within” y “between”

s_O² ≈s_W² +s_B²

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Descomposición “within”-“between” (cont.)

Variabilidad “overall” (en torno a la media total x =¹/NTP

i

P

txit) s_O² = 1

NT−1 X

i

X

t

(xit−x)²

Variabilidad “within” (en torno a la media individual xi =¹/TP

txit) s_W² = 1

NT−1 X

i

X

t

(xit−xi)²= 1 NT−1

X

i

X

t

(xit−xi+x)²

Variabilidad “between” (variación de xi en torno a x ) s_B² = 1

N−1 X

i

(xi−x)²

Nota: NT debe entenderse como total de observaciones es decir, para paneles no balanceados debe ser^PN_{i =1}Ti

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Estadísticas Descriptivas

Las estadísticas pueden describir los datos totales (“overall”): xit

“within”: xit−xi+x

“between”: xi

Existe una distribución de cada uno de ellos que caracterizar: su máximo, mínimo, percentiles, varianza, etc.

Para variables discretas, una tabulación de valores (histograma) puede ofrecer

“overall”: observaciones que toman ese valor

“between”: individuos para los que alguna vez toma ese valor porcentaje de individuos que nunca cambia de valor (“within”) Para variables binarias, se puede calcular una matriz de transiciones (ofrecen idea de persistencia, dinámica)

Xit+1=0 Xit+1=1 Xit=0 Pr (Xit+1=0|Xit=0) Pr (Xit+1=1|Xit=0) X_it=1 Pr (X_it+1=0|Xit=1) Pr (X_it+1=1|Xit=1)

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Gráficos

Se puede representar la evolución de algunas o de todos los individuos i

Se pueden representar gráficos de dispersión para dos variables

“overall”

o “within” (cada variable en desviaciones respecto a la media de cada individuo)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Modelo con Efectos Individuales: Fijos y Aleatorios

Modelo con efectos individuales

yit = β1x1it+· · · + βkxkit+uit

= β₁x1it+· · · + β_kxkit+α_i+ ε_it donde

x1it, . . . , xkit: variables explicativas (observables)

uit= α_i+ ε_it: término de error compuesto (inobservado)

αi: efectos individuales (heterogeneidad inobservada permanente en el tiempo)

εit: error idiosincrásico

Existen dos modelos sustancialmente diferentes según el tratamiento de α_i

1 Modelo de efectos fijos

2 Modelo de efectos aleatorios

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Modelo con Efectos Individuales: Fijos y Aleatorios

Efectos Individuales “Fijos”

Permite que los regresores x1it, . . . , x_kit estén correlacionados con αi

sin especificar la forma concreta todo el análisis será condicional enαi

El supuesto fundamental es

E [εit|αi, x_1it, . . . , x_kit] =0 los regresores deben seguir siendo incorrelados conεit

Esto implica E [yit|αi, x1it, . . . , x_kit] = β1x1it+· · · + β_kxkit+ αi y δE [yit|αi, x_1it, . . . , x_kit]

δxj ,it

= β_j

Se puede identificar el efecto marginal βj aunque el regresor es endógeno, respecto al término de error compuesto uit

los regresores pueden estar correlacionados uit, pero sólo con su parte constante en el tiempo

ej.: y_it=renta,α_i =habilidad inobservada permanente

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Modelo con Efectos Individuales: Fijos y Aleatorios

Efectos Individuales “Fijos”: problemas

En principio, se necesitan estimar α1, . . . , αN junto con los parámetros βj

en paneles cortos, estimar los parámetrosβj necesita N→∞ Problema de parámetros incidentales: la estimación de losβj puede estar sesgada por estimar “infinitos” parámetros auxiliaresα_i Alternativamente, se puede estimar el modelo transformado para eliminar αi

sólo se identificaβj para regresores que varían en el tiempo Estimar consistentemente β puede NO ser suficiente:

Para predecir yit:

E [yit|x1it, . . . , xkit] = β1x1it+· · · + β_kxkit+E [αi|x1it, . . . , xkit] en paneles cortos, E[αi|x1it, . . . , xkit]no se estima consistentemente En modelos no lineales, el efecto marginal no está estimado consistentemente (depende de αi)

δE [yit|αi, x1it, . . . , xkit] δxj ,it

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Modelo con Efectos Individuales: Fijos y Aleatorios

Efectos Individuales “Aleatorios”

El efecto individual αi se trata como puramente aleatorio debe especificarse su distribución, condicional en los regresores Supuesto habitual: αi no está correlacionado con los regresores

α_i|Xit ∼ N 0, σ²α

Se puede estimar el modelo por Mínimos Cuadrado Generalizados Factibles:

todos los coeficientes y efectos marginales, incluyendo de las variables que no varían en el tiempo

la predicción E[y_it|x_1it, . . . , xkit]

PERO la estimación es inconsistente si el supuesto sobre la distribución de αi es incorrecto

p.e.,αi sí está correlacionado con los regresoresαi|Xit∼N π⁰Xit,σ²_α

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Extensiones del Modelo Básico

Extensiones

Modelo con dos efectos

yit = β1x1it+· · · + β_kxkit+α_i+ γt+ ε_it

la constante varía tanto entre individuos,αi, como en el tiempo,γt

en paneles cortos,γ_t se modeliza como “fijo” (con una dummy para cada t)

Modelo agrupado (“pooled”) o de promedio poblacional yit = α + β1x1it+· · · + β_kxkit+uit

supone que los regresores están incorrelados con uit

pero no una estructura en uit (a diferencia de efectos aleatorios) se puede estimar consistentemente por MCO

la inferencia debe usar errores estándar robustos

por la probable correlación entre individuos y en el tiempo para un individuo

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Extensiones del Modelo Básico

Modelos Lineales mixtos

Se puede generalizar el modelo para permitir pendientes diferentes para cada individuo

yit = β_1ix1it+· · · + βkixkit+ α_i+ ε_it

= α_i+X_it⁰β_i+ ε_it

En paneles largos, se pueden estimar fácilmente los parámetros α_i, β_i⁰

mediante regresiones separadas para cada individuo En paneles cortos, se necesita suponer una distribución para

αi, β_i⁰
, condicionales en los regresores

como en el modelo de efectos “aleatorios”, se suele suponer que son independientes de los regresores

por ejemplo,

(αi,β⁰_i)|Xit∼N(β,Σ)

También se puede considerar que los parámetros varíen con el tiempo o variables observables

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimadores Agrupados (“Pooled”)

Estimador “Pooled” por MCO

Un modelo lineal estático para datos de panel yit = α + β1x1it+· · · + β_kxkit+uit

Se puede estimar consistentemente por MCO si se supone que los regresores son exógenos:

E [uit|x1it, . . . , x_kit] =0 Pero los errores uit no serán i.i.d.:

las observaciones están agrupadas de forma natural por individuos i (“clusters”)

probablemente existirá heterocedasticidad entre “clusters”

Deben usarse errores estándar robustos, al menos por la presencia de “clusters”

Este estimador es simple y aprovecha tanto la variabilidad temporal como entre individuos de los datos

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimadores Agrupados (“Pooled”)

Estimador “Pooled” por MCGF

Bajo el mismo supuesto de exogeneidad E [uit|x1it, . . . , x_kit] =0 (garantiza que el estimador es consistente)

Se puede obtener un estimador de MCGF, asintóticamente más eficiente que el de MCO

supone una estructura concreta para la matriz de correlaciones de uit

es más eficiente solo si el supuesto es correcto Se puede suponer:

independenciaρts=0 equicorrelaciónρts= ρ

proceso estacionario AR(p) o MA(q)

sin estructura (salvo porque deben ser iguales entre individuos) En general, se siguen utilizando errores estándar robustos

(no se considera que el supuesto sea realmente correcto)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimador “Between”

Estimador “Between”

El estimador “between” explota sólo la variación de corte transversal es decir, utiliza los datos “between” y_i, x1i, . . . , xki

Resulta de estimar por MCO el modelo

y_i = α + β₁x1i+· · · + β_kxki+ui

(deberían usarse errores estándar robustos)

Será consistente bajo el mismo supuesto anterior de exogeneidad de los regresores respecto al término de error compuesto

En la práctica apenas se utiliza porque el estimador “pooled” y el de efectos aleatorios son superiores

son consistentes bajo las mismas condiciones son más eficientes (asintóticamente)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimador de Efectos Aleatorios

Estimador de Efectos Aleatorios

Sea un modelo de efectos individuales

yit = β1x1it+· · · + β_kxkit+ αi+ εit

donde

E[α_i|Xit] =0; Var[α_i|Xit] = σ²_α E[εit|Xit] =0; Var[εit|Xit] = σ²_ε

Esto implica que los regresores son exógenos respecto al término de error compuesto uit= α_i+ ε_it

E [uit|Xit] =0

Además, se tiene una estructura de correlación particular Corr (uit, uis) = σ²_α

σ²_α+ σ²_ε, t 6= s

Por tanto, se puede estimar eficientemente mediante MCGF

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimador de Efectos Aleatorios

El estimador de efectos aleatorios (MCGF) se obtiene estimando por MCO el modelo transformado

yit− bθ_iy_i

= α 1 − bθ_i

+

Xit− bθ_iXi

0

β+α_i 1 − bθ_i

+

ε_it− bθ_iε_i

θb_i es un estimador consistente de θi=1 −

q

σ²_ε/(^Tiσ²α+σ²ε)

El estimador de Efectos Aleatorios usa tanto variación “within” como

“between”

Otros estimadores se pueden obtener como casos especiales del estimador de efectos aleatorios

cuandoθi →0, se tiene el estimador agrupado por MCO cuandoθi →1 (porque Ti o^σ2α/σ²εson grandes), se tiene el estimador “within”

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimadores de Efectos Fijos

Estimadores de Efectos Fijos

Sea un modelo de efectos individuales

yit = β₁x1it+· · · + βkxkit+ α_i+ ε_it Suponemos

E [εit|αi, x1it, . . . , xkit] =0

La estimación de los parámetros β requiere la eliminación de αi

Estos estimadores sólo utilizan variación “within” de los datos la estimación de los datos con poca variación “within” será bastante imprecisa

no se puede estimar el coeficiente de variables que no varíen en el tiempo

Son consistentes tanto si los regresores están correlacionados con la heterogeneidad permanente como si no

si no existe correlación, otros estimadores son más eficiente

en cualquier caso, los errores estándar serán mayores que los de otros estimadores

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimadores de Efectos Fijos

Estimadores “within”: Desviaciones respecto a la media

Se puede transformar el modelo restando a cada variable su media individual

(yit−y_i) =



Xit−Xi

0

β + (ε_it− ε_i) donde Xi =¹/T_iP

tXit

Este modelo se puede estimar consistentemente por MCO

porque los regresores Xit eran endógenos por su correlación conαi

pero están incorrelados conε_it (en cualquier periodo temporal) Cuando se disponga de estimaciones de β, se pueden obtener estimaciones de los efectos individuales

bα_i=y_i−X_i⁰βb sólo serán consistentes si T_i →∞

Se deben utilizar errores estándar robustos si se piensa que εit no son i.i.d.

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimadores de Efectos Fijos

Estimadores “within” con “dummies” de individuo

También se pueden estimar conjuntamente α1, . . . , α_N y el vector β Mediante MCO en el modelo original con N “dummies” para los efectos individuales

yit = X_it⁰β +



 XN

j=1

α_idj ,it



+ ε_it

donde dj ,it=1 para el individuo i y dj ,it=0 en caso contrario Este estimador de β es numéricamente igual al obtenido en desviaciones respecto a la media

Asimismo, también los efectos individuales estimados son αb_i=y_i−X_i⁰βb

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimadores de Efectos Fijos

Estimador en primeras diferencias

Existen muchas formas de eliminar los efectos individuales αi

Se puede estimar por MCO el modelo en primeras diferencias (yit−yit−1) = (Xit−Xit−1)⁰β + (εit− εit−1) Este estimador en primeras diferencias (por MCO) es consistente El estimador en desviaciones respecto a la media y el estimador en primeras diferencias son, en general, similares pero diferentes

ambos utilizan el mismo número de observaciones para T=2, son numéricamente iguales

En modelos estáticos, se suele preferir el estimador en desviaciones respecto a la media porque es más eficiente cuando εit es i.i.d.

el error en primeras diferencias está autocorrelacionado

por tanto, MCO no es eficiente (y deben usarse errores estándar robustos)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimadores de Efectos Fijos

Exogeneidad estricta y Exogeneidad débil

El estimador en desviaciones respecto a la media requiere que (εit− ε_i)esté incorrelado con

Xit−Xi



Esto sucederá cuando se cumpla el supuesto de exogeneidad estricta (o fuerte)

E [εit|αi, Xi 1, . . . , XiT] =0

El estimador en desviaciones respecto a la media requiere que (εit− ε_it−1)esté incorrelado con (Xit−Xit−1)

Esto sucederá cuando se cumpla el supuesto de exogeneidad débil E [εit|αi, Xi 1, . . . , Xit] =0

a diferencia del anterior, permite que valores futuros de los regresores estén correlacionados con el error

ej., un regresores es la variable dependiente retardada Esta distinción no suele ser relevante en modelos estáticos

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Test de Hausman

¿Efectos Fijos o Efectos Aleatorios?

El estimador de Efectos Fijos permite estimar el modelo bajo supuestos menos restrictivos

permite correlación entre los regresores y los efectos individuales permite estimar el modelo incluso si los regresores son “endógenos”

PERO es menos deseable en otras dimensiones es menos eficiente (al explotar solo variación “within”)

no identifica los coeficientes de regresores que no varíen en el tiempo El estimador de Efectos Aleatorios es más eficiente

si se cumplen supuestos adicionales a los de Efectos Fijos PERO puede ser inconsistente

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Test de Hausman

α1

α2

α3

α₄

x₁ x₂ x₃ x₄

+ +

+ ++

+ +

+ + +

+ + + +

+ +

+

+ +

+ + + + +

+ +

++ +

+

+ +

+ + +

++ + +

+ + + +

+

+ +

+ + +

+ + +

+ + + + +

++ +

+ +

MCO/MCGF Estim. “within”

y_it

x_it +

+

+ + ++

+

+ + +

++ +

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Test de Hausman

Contraste de Hausman

Resulta muy importante conocer si el modelo adecuado para analizar nuestros datos es el de efectos fijos o el de efectos aleatorios Bajo la hipótesis nula de que se cumplen los supuestos del modelo de Efectos Aleatorios, ambos estimadores, el de efectos fijos y el de efectos aleatorios, deben ser similares

ambos son consistentes

El contraste compara los coeficientes estimables de los regresores que varían con el tiempo

El estadístico de contraste mide la “distancia” entre ambas estimaciones: si es “grande” se rechaza H0



bβ_EF− bβ_EA

0h Var

βb_EF



−Var bβ_EA

i⁻¹

bβ_EF− bβ_EA

 _a

H∼o

χ²_(k)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Predicción.

Predicción

Se puede predecir el valor de la variable dependiente, incondicional en los efectos fijos E (yit|Xit), como

ycit=X_it⁰β +b αb dondeα =_{b N}¹P

iαbi

Se puede predecir el valor de la variable dependiente dado su efecto individual E (yit|Xit, αi), como

cyit=X_it⁰β +b bα_i Asimismo, se pueden obtener:

los efectos individuales estimadosα_bi =y_i−X_i⁰βb el residuo idiosincrásico_bεit=yit−X_it⁰bβ −αbi

el residuo compuesto_buit=bεit+bαi =yit−X_it⁰βb

Notad que αb_i (y, por tanto, la predicción de yit que la utiliza) requieren que T →∞ para ser predicciones consistentes

(_bαsolo necesita NT→∞)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Predicción.

R

total, “within” y “between”

Se pueden obtener obtener un R² del modelo para los datos totales,

“within” y “between”

dependiendo del modelo, el R² habitual será uno de estos tres Estos R² se obtienen como correlaciones entre los datos observados y los datos predichos por el modelo observado

R_o²=h

Corr^yit, X_it⁰βbi²

R_w² =

 Corr



(yit−y_i),^Xit−Xi

⁰ βb

²

R_b²=h

Corr^y_i, Xi 0

βbi²

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Predicción.

No existe una descomposición para los R² como en la varianza: cada uno se interpreta independientemente

También puede resultar interesante obtener estimaciones separadas de la varianza de los efectos individuales_bσ²_α

de la varianza del error idiosincrásico_bσ²_ε

por tanto, automáticamente de la varianza del término de error compuesto

de la autocorrelación del término de error compuesto uit

bρ = dCorr(uituit−1)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos

Introducción

En los paneles largos, se tienen muchos periodos temporales para pocos individuos: N pequeño, T →∞

por ejemplo, unas pocas industrias, empresas o regiones observadas durante muchos periodos de tiempo.

Se puede estimar estimar un modelo de efectos fijos mediante

“dummies” de individuo como regresores

En la práctica, se suelen preferir modelos agrupados para estimar por MCGF

para incorporar estructuras de covarianza más generales del término de error

También se pueden estimar modelos más flexibles con pendientes específicas para cada individuo mediante regresiones separadas

yit =X_it⁰β_i+ α_i+ ε_it

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos

Introducción (cont.)

La longitud temporal de los datos supone la principal característica a considerar cuando se estima un modelo con un panel largo

En todos los casos, debe tenerse en cuenta la probable autocorrelación en εit o directamente en uit

mediante errores estándar robustos a autocorrelación

o estimando por MCGF si se considera apropiado un determinado proceso (estacionario)

Aunque tampoco puede olvidarse la posibilidad de heterocedasticidad en uit o εit

Se pueden estimar modelos con efectos temporales yit=X_it⁰βi+ αi+ γt+ εit

estimarγt con “dummies” puede suponer un problema de parámetros incidentales (T →∞)

PERO se pueden reemplazar por una tendencia (aprovechando que el tiempo está ordenado de forma natural)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos

Análisis de Series Temporales con datos de panel

Cuando se tiene un panel largo con pocos individuos, se podría tratar como un sistema de N series temporales

PERO ya hemos visto que debemos considerar aspectos ignorados por la econometría de series temporales puras

controlar por heterogeneidad inobservado

comportamiento asintótico cuando tanto N como T van a infinito la posibilidad de dependencia de corte transversal

En cualquier caso, también hemos visto que los paneles largos permiten analizar la evolución temporal de una variable Los datos de series temporales se pueden modelizar

como procesos estacionarios: bien la variable dependiente o bien el término de error siguen procesos ARMA(p,q)

o como procesos no estacionarios, aunque éstos sólo se pueden analizar convincentemente cuando la serie temporal es muy larga

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos

Raíces unitarias y cointegración

Se pueden estudiar modelos dinámicos como

yit = ρ_iyit−1+ φ_{i 1}∆yit−1+· · · + φ_ipi∆yit−p_i +Z_it⁰γ_i+uit

donde los cambios retardados garantizan que uit sea i.i.d.

El proceso será estacionario para el individuo i si ρ_i=1

Cuando dos procesos son no estacionarios, pueden estar correlacionados (espúreamente) sólo por serlo

Por tanto, cuando se estudian varias variables en una serie temporal larga, debe analizarse si están cointegradas

es decir, si siguen relacionadas descontando el efecto de la no estacionariedad

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Introducción

Variables instrumentales con datos de panel

Se pueden extender fácilmente los métodos de variables instrumentales al caso de datos de panel

Si el modelo agrupado es apropiado yit= α +X_it⁰β +uit, un instrumento válido debe cumplir

E [uit|Zit] =0

Se puede estimar por mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E) (con errores robustos a “clusters” de individuos)

Si el modelo de efectos fijos es apropiado yit=X_it⁰β + α_i+ ε_it, un instrumento válido debe cumplir (exogeneidad estricta)

E [εit|αi, Zi 1, . . . , ZiT] =0

Se puede estimar también por MC2E en el modelo transformado para eliminar los efectos individuales (en desviaciones respecto a la media, etc.)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimador de Hausman-Taylor

Estimador de Hausman-Taylor

Este estimador de V.I. permite estimar los coeficientes de los regresores invariantes en el tiempo

El modelo de efectos individuales se puede escribir como yit=X_1it⁰ β1+X_2it⁰ β2+W_1i⁰γ1+W_2i⁰γ2+ α_i+ ε_it Supuestos:

1 algunos regresores invariantes en el tiempo W1i NO están correlacionados conαi

2 algunos regresores que sí varían con el tiempo X1it NO están correlacionados conα_i

3 otros regresores, W2i y X2it, sí pueden estar correlacionados conαi 4 todos los regresores están incorrelados conε_it

Este estimador es más restrictivo porque se basa en supuestos adicionales a los del estimador de efectos fijos

la existencia de regresores no correlacionados con los efectos individuales

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimador de Hausman-Taylor

Usando la transformación de efectos aleatorios del modelo

eyit= eX_1it⁰ β₁+ eX_2it⁰ β₂+ fW_1i⁰γ₁+ fW_2i⁰γ₂+eα_i+eε_it Cada variable ha sido transformada

Xe1it=X1it− bθ_iX1i

dondeθbi es un estimador consistente deθi =1− q

σ²_ε/(^Tiσ²α+σ²ε) Esta transformación no elimina los regresores invariantes en el tiempo

se puede estimarγ1yγ2

Tampoco elimina los efectos individuales: por tanto, eX2it y fW2i

están correlacionados con eα_i

esta endogeneidad se remedia mediante el uso de variables instrumentales

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimador de Hausman-Taylor

yeit= eX_1it⁰ β1+ eX_2it⁰ β2+ fW_1i⁰γ1+ fW_2i⁰γ2+αe_i+eε_it Un instrumento para eX2it es eXe2it=X2it−X2i

está correlacionado conXe_2it

se puede comprobar que NO está correlacionado con_eαi

Un instrumento para fW2i es X1i

Supone que el número de regresores exógenos que varían con el tiempo es mayor que el número de regresores endógenos invariantes en el tiempo

Se usan datos de otros periodos para formar los instrumentos:

X1i 1, . . . , X1iT también servirían

Un instrumento para eX1it es eXe1it=X1it−X1i

se usa X_1i dos veces

Un instrumento para fW1i es W1i

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Modelos dinámicos

Por simplicidad, consideremos un modelo AR(1) yit = γ1yit−1+X_it⁰β + αi+ εit

Se puede generalizar a más retardos fácilmente

La correlación en el tiempo de yit tiene distintas fuentes

1 directamente a través de valores pasado de y_it (verdadera dependencia temporal)

2 directamente a través de los regresores Xit (heterogeneidad observada)

3 indirectamente a través de los efectos individualesαi

(heterogeneidad inobservada)

4 (correlación serial enεit)

Las implicaciones de cada fuente de correlación son muy diferentes

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Introducción

Problemas de los Estimadores

yit = γ1yit−1+X_it⁰β + α_i+ ε_it, ε_it∼ i.i.d.

NO se puede suponer que yit−1está incorrelado con αi

Por tanto, los estimadores de “pooled” y de efectos aleatorios NO son adecuados para modelos dinámicos

El estimador “within” es inconsistente (yit−yi) = γ1 yit−1−yi ,−1
+

Xit−Xi

0

β + (εit− εi) porque yit−1−y_{i ,−1}
está correlado con (εit− ε_i)

εi incluye los errores de todos los periodos

Todos los estimadores de efectos fijos tienen el mismo problema (yit−yit−1) = γ1(yit−1−yit−2) + (Xit−Xit−1)⁰β + (ε_it−ε_it−1)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimador de Arellano y Bond

Estimador de Arellano-Bond

Sea el modelo transformado en primeras diferencias

∆yit= γ1∆yit−1+ ∆X_it⁰β + ∆εit

Si εit es i.i.d., un instrumento válido para ∆yit−1será yit−2

yit−2está correlacionado con∆yit−1=yit−1−yit−2

y_it−2NO está correlacionado con∆ε_it= ε_it− ε_it−1

De hecho, son instrumentos válidos cualquier valor de yit retardados dos periodos o más

E



















 yit−2

yit−3

... yi 1











∆εit











=0 ⇔ E[yis∆εit] =0, s₆t−2

Se pueden obtener estimaciones consistentes de un modelo dinámico de datos de panel utilizando

la transformación adecuada del modelo (este argumento NO funciona en desviaciones respecto a la media)

y los instrumentos adecuados

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimador de Arellano y Bond

Arellano-Bond (cont.)

El estimador asintóticamente más eficiente utiliza todos los retardos posibles para estimar el modelo dinámico

se denomina estimador de Arellano-Bond

se estima mediante el Método Generalizado de los Momentos (para utilizar todos los instrumentos)

Este estimador permite estimar un modelo dinámico sin necesidad de instrumentos externos

El modelo puede incluir regresores (estrictamente) exógenos Eεit|αi, xj ,i 1, . . . , xj ,iT = 0

son sus propios instrumentos E[xj ,itεit] =0

aunque también se pueden utilizar todos sus retardos y adelantos E[xj ,itεis] =0, s6=t

Además, el argumento utilizado para obtener instrumentos de yit−1

se puede generalizar al otros regresores que no sean estrictamente exógenos

sin necesidad de buscar un instrumento nuevo

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimador de Arellano y Bond

Arellano-Bond (cont.)

Si se tienen regresores que, como yit−1, son predeterminados (débilmente exógenos) Eε_it|αi, x_{j ,i 1}, . . . , x_{j ,it} = 0

están correlacionados con los errores pasados E[xj ,itεis]6=0, s<t pero no con errores futuros E[xj ,itεis] =0, s_>t

Algunos regresores pueden ser contemporáneamente endógenos E[xj ,itεis]6=0, s₆t

pero estar incorrelado con los errores futuros E[xj ,itε_is] =0, s>t

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos Estimador de Arellano y Bond

Arellano-Bond (cont.)

Este estimador necesita que εit sea i.i.d. para ser consistente Este supuesto se puede contrastar, porque:

Cov (∆εit, ∆ε_it−1) 6= 0

Cov (∆εit, ∆εit−k) = 0 k > 2

Si este supuesto no se cumple, se puede seguir estimando el modelo siεit∼AR(p), se puede re-escribir el modelo original como un proceso autorregresivo y se tendrá un nuevo error i.i.d.

siε_it∼MA(q), se pueden utilizar valores más retardados como instrumentos

También se dispone un test de Sargan para contrastar la

“coherencia” entre los instrumentos