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Capítulo 8: Comparación del modelo PSSA (Makespan) con CPT y sin CPT
8.1. Introducción
Como se ha ido viendo a lo largo del documento, el modelo principal de la tesis es la programación de tareas y asignación de personal con tiempos de proceso controlables. En este capítulo nos queremos centrar en este último aspecto del modelo, los tiempos de proceso controlables (CPT). Veremos cómo influye la introducción de dichos tiempos en el problema con el objetivo de justificar su introducción. Para ello, compararemos el modelo PSSA(Makespan) (descrito en el capítulo 5 y resuelto en el 8) con el mismo modelo PSSA, pero ahora, sin tiempos de proceso controlables.
El presente capítulo está dividido en cinco apartados siendo el primero la introducción en la que nos encontramos ahora. El siguiente (9.2) describe el modelo PSSA(Makespan) cuando se utiliza sin tiempos de proceso variables. A continuación, en el punto 9.3, se resolverá dicho modelo mediante el software de resolución exacta, Gurobi Optimizer 4.5, y se mostrarán los resultados junto con los del capítulo anterior a fin de comparar ambas resoluciones. Posteriormente, en el apartado 9.4 mostramos un resumen de los resultados centrándonos en lo que varían las funciones objetivo y en la comparación entre los tiempos de ejecución de un modelo y otro. Por último, en el punto 9.5, se presentarán algunos ejemplos ayudándonos de una interfaz gráfica realizada en el lenguaje orientado a objetos C#, sobre la plataforma Visual Studio 2010, con el objetivo de poder visualizar las soluciones mucho más claramente (explicado en Anexo III).
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8.2. Secuenciación de tareas y asignación de personal sin tiempos de proceso controlables.
En primer lugar, presentaremos en este punto el modelo PSSA(Makespan) sin tiempos de proceso controlables. Se trata exactamente del mismo modelo PSSA(Makespan) del capítulo 5 pero en el que se han suprimido las restricciones relacionadas con dichos tiempos. Puesto que ya se explicó el modelo detenidamente en el capítulo 5, hablaremos ahora únicamente de las restricciones que deben ser modificadas para obtener el modelo.
8.2.1. Empleados asignados a tareas
Las restricciones referidas a los empleados asignados a tareas venían dadas, con anterioridad, por los siguientes conjuntos de restricciones:
(9) ∑
( )
(10) ( )
(11) ( )
(12) ,s
(13) ,s
(14) ,s
(15) ,s
(16) ∑ ∑
Sin embargo, al no utilizar los tiempos de proceso controlables, dichos tiempos serán datos de entrada y no dependerán del número de empleados asignados. Esto conlleva que no puedan existir holguras en los empleados para realizar tareas (h=0), con lo que el número de empleados asignados a las tarea j con la habilidad s deberá ser igual al número requerido por dicha tarea y habilidad, Rjs, siempre que la tarea se esté ejecutando. En consecuencia, y deben ser 0, así como la variable auxiliar, , que introdujimos
142
para solucionar posibles infactibilidades producidas por el hecho de que las holguras no fuesen cero en determinados instantes de tiempo. Teniendo en cuenta esto, las restricciones anteriores pasarán a ser únicamente los dos conjuntos de restricciones siguientes:
∑
∑ ∑
8.2.2. Tiempos de proceso controlables (CPT)
Con respecto a los tiempos de proceso recordemos, del capítulo 5, que vienen definidos por el siguiente conjunto de restricciones:
(17) ( ( ∑
∑ ∑
∑ ))
Estas restricciones se corresponden con la definición de la duración de las tareas y deberán ser modificadas para que las duraciones sean constantes y no dependen de nada. Se reemplazará entonces por una restricción muy sencilla en donde pj sea igual a la duración óptima, pdj:
Puesto que se trata de una restricción redundante, será suprimida en la implementación del modelo para ser ejecutado mediante Gurobi.
8.2.3. Modelo
Teniendo en cuenta todo lo visto más arriba, mostramos a continuación el modelo para la secuenciación de las tareas de un proyecto y la asignación del personal a dichas tareas sin
143
tener en cuenta tiempos de proceso controlables. Las definiciones de los índices, datos y variables no han sido añadidas en este punto por ser idénticas a los que se vieron cuando se presentó el modelo PSSA(Makespan) (ver apartado 4.6).
(1)
(2) ∑
(3) ( )
(4)
(5)
(6)
(7) ∑
∑
( )
(8) ∑
∑
( )
(9) ∑
(10) ∑ ∑
(11)
(12) ∑
(13)
(14) ∑
(15)
(16) ,t
(17)
144
(18) { }
(19) { }
(20) { }
(21)
(22)
(23)
(24)
145
8.3. Resultados
En este apartado, se resolverá el modelo que acabamos de ver. Para ello se utilizará el software Gurobi en un ordenador con procesador Intel Core i3 CPU a 2.40 GHz. Con el objetivo de poder comparar los resultados de este modelo con los vistos en el capítulo anterior, ejecutaremos exactamente la misma batería de instancias ProGen que se ha visto en el Capítulo 7. Los resultados son mostrados en la siguiente tabla en donde las primeras cuatro columnas se corresponden con la variación de los parámetros de la batería (los resultados al completo son mostrados en el Anexo III). A continuación, se presentan dos columnas de resultados con la media de las diez instancias de la misma configuración, la primera para el modelo PSSA(Makespan) y la segunda para el modelo que acabamos de analizar (PSSA sin CPT). Por último, en las dos últimas columnas se comparan los resultados de los dos enfoques. La primera muestra la desviación de la función objetivo para el modelo PSSA con CPT con respecto a la del modelo PSSA sin CPT. Por otro lado, la última indica el incremento de tiempo de ejecución que se produce al introducir los tiempos de proceso controlables en el modelo:
MEDIA DE RESULTADOS Reducción del Cmax
con CPT
Aumento tiempo con CPT J NC RF RS Media CPT Media Sin CPT
Cmax Tiempo Cmax Tiempo
30,00 1,50 0,25
0,20 80,8 15,2 98,0 12,2 -17,55% 24,56%
0,50 82,1 19,9 99,9 15,1 -17,82% 31,72%
0,70 82,3 23,7 101,5 18,7 -18,92% 26,50%
1,00 78,7 31,8 97,5 23,6 -19,28% 34,93%
0,50
0,20 78,3 23,6 97,9 16,4 -20,02% 44,20%
0,50 79,4 32,3 98,3 25,2 -19,23% 28,21%
0,70 88,0 51,8 109,4 37,7 -19,56% 37,13%
1,00 89,2 72,6 111,6 56,0 -20,07% 29,61%
0,75
0,20 79,3 38,9 97,6 24,4 -18,75% 59,25%
0,50 90,0 89,1 109,0 48,3 -17,43% 84,35%
0,70 77,3 73,0 92,5 59,2 -16,43% 23,24%
1,00 82,1 127,5 101,1 97,7 -18,79% 30,47%
1,00
0,20 77,1 80,6 93,2 27,9 -17,27% 188,72%
0,50 77,9 114,8 96,9 54,7 -19,61% 109,92%
0,70 83,8 120,2 102,4 82,8 -18,16% 45,10%
1,00 76,3 182,4 94,2 140,5 -19,00% 29,83%
146 1,80
0.25
0,20 83,7 13,8 99,8 12,0 -16,13% 14,74%
0,50 87,8 20,1 108,3 16,3 -18,93% 23,19%
0,70 83,3 21,0 104,6 16,2 -20,36% 29,55%
1,00 84,6 27,7 103,3 22,7 -18,10% 22,04%
0,50
0,20 92,7 18,2 113,4 14,5 -18,25% 25,52%
0,50 84,1 34,1 107,0 27,5 -21,40% 23,89%
0,70 86,9 39,7 105,3 33,5 -17,47% 18,61%
1,00 84,4 50,7 102,8 46,3 -17,90% 9,40%
0,75
0,20 83,2 27,2 101,7 20,3 -18,19% 33,69%
0,50 94,7 48,4 118,6 42,2 -20,15% 14,55%
0,70 89,8 62,2 108,2 57,1 -17,01% 9,07%
1,00 77,1 97,1 97,3 79,6 -20,76% 22,07%
1,00
0,20 85,9 56,4 101,7 24,9 -15,54% 125,95%
0,50 86,8 102,9 104,6 53,4 -17,02% 92,56%
0,70 93,5 131,8 115,3 81,3 -18,91% 62,01%
1,00 85,0 197,5 103,9 138,2 -18,19% 42,84%
2,10 0.25
0,20 92,6 15,2 114,0 12,3 -18,77% 23,18%
0,50 90,7 17,8 112,1 13,0 -19,09% 37,66%
0,70 95,0 23,4 118,3 18,0 -19,70% 30,20%
1,00 98,7 27,4 119,0 21,6 -17,06% 27,10%
0,50
0,20 95,7 17,9 116,8 13,1 -18,07% 36,25%
0,50 91,1 29,0 108,1 22,6 -15,73% 28,46%
0,70 98,9 41,0 118,5 34,8 -16,54% 18,04%
1,00 85,5 51,0 107,3 43,4 -20,32% 17,63%
0,75
0,20 92,2 20,2 112,8 18,7 -18,26% 8,13%
0,50 95,7 45,8 118,1 39,5 -18,97% 15,92%
0,70 89,5 56,3 110,2 51,4 -18,78% 9,57%
1,00 100,1 96,9 121,2 90,6 -17,41% 6,99%
1,00
0,20 102,2 33,6 122,5 23,9 -16,57% 40,68%
0,50 99,3 77,1 121,8 52,7 -18,47% 46,50%
0,70 91,3 155,4 111,7 82,2 -18,26% 88,89%
1,00 88,0 131,0 109,2 123,4 -19,41% 6,15%
60,00 1,50 0,25
0,20 146,4 156,0 185,1 113,1 -20,91% 37,92%
0,50 142,9 218,4 179,8 162,2 -20,52% 34,64%
0,70 138,1 332,1 165,3 220,3 -16,45% 50,75%
1,00 156,7 426,6 193,5 288,6 -19,02% 47,84%
0,50
0,20 148,6 201,6 186,4 199,7 -20,28% 0,93%
0,50 134,9 385,3 167,9 307,7 -19,65% 25,21%
0,70 154,2 588,0 192,1 416,0 -19,73% 41,35%
1,00 151,3 945,1 186,7 680,6 -18,96% 38,85%
0,75 0,20 142,0 292,1 173,6 220,7 -18,20% 32,39%
0,50 148,1 783,9 186,4 462,9 -20,55% 69,34%
147
0,70 140,9 1202,4 169,9 854,5 -17,07% 40,71%
1,00 --- 1770,1 152,0 1452,5 ---- 21,86%
1,00
0,20 130,6 670,7 162,7 278,9 -19,73% 140,43%
0,50 158,9 1140,5 197,6 782,4 -19,61% 45,77%
0,70 132,4 1626,3 163,2 1250,8 -18,87% 30,02%
1,00 --- 1800,0 --- 1763,2 ---- 2,09%
1,80 0.25
0,20 149,7 136,9 183,7 95,9 -18,51% 42,82%
0,50 168,1 206,6 206,0 168,5 -18,40% 22,57%
0,70 159,1 264,0 197,2 187,2 -19,32% 41,02%
1,00 169,9 339,8 211,3 232,5 -19,59% 46,17%
0,50
0,20 166,2 172,8 209,9 183,1 -20,82% -5,60%
0,50 150,7 367,8 185,5 273,6 -18,76% 34,42%
0,70 165,4 533,9 207,4 400,9 -20,25% 33,17%
1,00 157,9 901,7 197,9 705,5 -20,21% 27,82%
0,75
0,20 158,9 318,6 198,4 191,2 -19,91% 66,59%
0,50 168,4 636,4 210,1 464,3 -19,85% 37,06%
0,70 168,8 834,8 209,1 780,8 -19,29% 6,92%
1,00 166,8 1539,0 203,5 1376,8 -18,02% 11,78%
1,00
0,20 145,2 377,6 179,0 248,7 -18,88% 51,82%
0,50 157,6 1182,4 196,6 731,1 -19,84% 61,72%
0,70 149,6 1506,8 181,1 1252,0 -17,43% 20,35%
1,00 --- 1800,0 --- 1774,0 ---- 1,46%
2,10 0.25
0,20 182,0 135,1 222,4 78,2 -18,17% 72,71%
0,50 179,8 196,9 218,8 152,5 -17,82% 29,12%
0,70 174,2 251,7 208,9 169,5 -16,61% 48,46%
1,00 175,1 297,2 215,5 213,7 -18,75% 39,10%
0,50
0,20 169,6 159,4 209,6 155,9 -19,08% 2,23%
0,50 169,8 308,3 208,0 246,1 -18,37% 25,30%
0,70 173,5 424,8 215,4 391,0 -19,45% 8,63%
1,00 174,2 811,0 215,4 630,1 -19,13% 28,71%
0,75
0,20 168,0 492,8 211,8 199,0 -20,68% 147,59%
0,50 181,4 517,1 219,7 463,2 -17,43% 11,63%
0,70 163,9 834,6 203,9 749,0 -19,62% 11,43%
1,00 157,5 1653,9 194,3 1415,4 -18,95% 16,85%
1,00
0,20 172,9 416,0 212,7 222,1 -18,71% 87,36%
0,50 178,4 943,1 218,1 766,3 -18,20% 23,07%
0,70 191,0 1463,2 238,4 1355,2 -19,87% 7,97%
1,00 --- 1800,0 --- 1800,0 ---- 0,00%
GENERAL -18,73% 37,07%
Tabla 8-I: Compación entre el modelo PSSA con CPT y sin CPT
148
8.4. Resumen de resultados
De los resultados se pueden obtener ciertas conclusiones. En primer lugar, resaltar que el modelo PSSA sin CPT representa siempre un límite inferior con respecto al modelo PSSA con CPT, ya que la solución del PSSA sin CPT es siempre una solución factible del modelo con CPT al fijar únicamente los tiempos de proceso.
Resulta de interés analizar la diferencia que se produce entre las funciones objetivo y los tiempos de ejecución de ambos modelos. Estas diferencias han sido mostradas como un porcentaje en las dos últimas columnas de la tabla anterior. Se puede observar una muy importante reducción del tiempo de terminación gracias a la introducción de los tiempos de proceso controlables. Se ha conseguido de media una reducción de casi un 20% lo que ocasionaría unas indudables ventajas a la empresa. El tiempo de terminación de un proyecto es uno de los factores principales por los que los clientes seleccionan las empresas para las contrataciones. Su reducción es fundamental y es una de las principales dedicaciones de estas empresas. Sin embargo, esta reducción del tiempo de terminación viene acompañada por un incremento muy considerable de los tiempos de ejecución del modelo de decisión, que aumentarán hasta alcanzar el 37.07%. En principio, parece un incremento excesivo de los tiempos de ejecución. No obstante, la amplia reducción en el tiempo de finalización del proyecto compensa sobradamente este hecho dada la importancia en la empresa de dicho tiempo de finalización al ser, adicionalmente, los tiempos computacionales prácticamente del mismo orden de magnitud.
La amplia disminución del tiempo de finalización del proyecto justifica la introducción de la dependencia de los tiempos de proceso respecto a la cantidad de recursos asignados, demostrándose así que la utilización de los recursos, con las baterías de problemas empleadas, puede ser mejorada ajustando de manera más precisa los empleados a las tareas.
149
8.5. Ejemplos
A continuación, mostramos un ejemplo de la interfaz gráfica en el que se ha resuelto tanto el modelo PSSA(Makespan), como el mismo sin CPT. Hemos utilizado un ejemplo sencillo con 8 empleados, 6 tareas, 2 habilidades y 15 días.
Como datos de entrada en el ejemplo se ha tomado que la tarea 3 precede a la 1 y la 5 a la 3. En cuanto a las duraciones óptimas y número de empleados óptimos en las tareas tenemos un día y seis empleados para la tarea cero, seis días y seis empleados para la tarea uno, tres días y dos empleados para la tarea dos, dos y tres para la tercera, un día y un empleado para la tarea cuatro y seis días y tres empleados para la cinco (ver Tabla 8-II). El resto de datos de entrada han sido definidos siguiendo el mismo planteamiento visto en la batería de problemas del punto 7.2.
Número de la tarea Cantidad óptima de empleados Duración Optima Precede a
0 6 1 -
1 6 6 -
2 2 3 -
3 3 2 1
4 1 1 -
5 3 6 3
Tabla 8-II: Datos ejemplo I
Podemos observar cómo mediante el uso del modelo con CPT podemos emplear un empleado más (cuatro en total) en la tarea cinco, consiguiéndose reducir la duración de dicha tarea que pasará a tener cinco días en vez de seis. Con esto se ha conseguido reducir además el tiempo de terminación global de quince a catorce.
Los resultados son mostrados en la siguiente imagen:
150
Ilustración 8-I: Solución ejemplo 1
151
A continuación, veremos otro ejemplo dónde la reducción de la función objetivo es más considerable. En este caso trabajamos con una instancia de 8 empleados, 6 tareas y 2 habilidades de la batería mostrada en 7.2. En la siguiente tabla mostraremos los datos óptimos de duración y cantidad de empleados para cada tarea junto con las precedencias:
Número de la tarea Cantidad óptima de empleados Duración Optima Precede a
0 5 1 2
1 5 1 -
2 5 4 5
3 2 5 4
4 6 2 -
5 6 4 3
Tabla 8-III: Datos Ejemplo II
De la aplicación del modelo con tiempos de proceso controlables se obtienen las siguientes duraciones de las tareas con sus correspondientes empleados asignados:
Número de la tarea Cantidad empleados asignados Duración Real
0 5 1
1 2 3
2 7 3
3 4 3
4 6 2
5 6 4
Tabla 8-IV: Empleados asignados y Duración Tareas en Ejemplo II
Observamos como la utilización de dos empleados más en la tarea 2 consigue que su duración se reduzca en una unidad, a su vez se pasa de dos a cuatro empleados en la tarea 5 lo que consigue reducir su duración en dos unidades. Por el contrario, con el objetivo de reducir al máximo el tiempo de terminación, se deberán emplear tres empleados menos en la habilidad 0 de la tarea 1 alcanzando una duración de tres días. Gráficamente tenemos:
152
Ilustración 8-II: Solución ejemplo II
153
En cuanto a la relaciones de precedencia, se comprueba fácilmente cómo son satisfechas sin ningún problema en la solución mostrada. Además la disminución de la tarea dos en una unidad y de la tarea cinco en dos unidades consigue disminuir el tiempo de terminación global en tres unidades pasando de 20 a 17 días. No se ha visto afectado por el aumento de la duración de la tarea uno en dos días, puesto que se consigue sin penalizar ninguna otra tarea. Se trata de un ejemplo muy interesante pues no tenemos claramente una abundancia de empleados, sino que para conseguir disminuir duraciones de algunas tareas tenemos que penalizar otras mejorándose el resultado final significativamente.