1. Si un flujo bidimensional, incompresible y estacionario pasa a través de un ducto convergente (Figura 1), el campo de velocidad para este flujo es:
𝑉⃗ = (𝑢, 𝑣) = (𝑈𝑜+ 𝑏𝑥)𝑖 − 𝑏𝑦𝑗 Donde 𝑈𝑜 es la velocidad horizontal en x = 0.
Y si el campo de presión se da por:
𝑃 = 𝑃𝑜 −𝜌
2[(2𝑈𝑜𝑏𝑥) + 𝑏2(𝑥2+ 𝑦2)]
Donde 𝑃𝑜 es la presión en x = 0.
Determine lo siguiente:
a) Genere una expresión para las componentes de la aceleración 𝑎x, y 𝑎y.
b) Genere una expresión para la razón de cambio de la presión siguiendo una partícula de fluido.
c) Calcule la aceleración en el punto (x, y) = (0.5, 3).
d) Calcule la presión en el punto (x, y) = (0.5,3).
Partimos de nuestras ecuaciones para determinar la aceleración en “x” y “y”:
𝑎⃗⃗⃗⃗ =𝑥 𝑑𝑢
𝑑𝑡 + 𝑢𝑑𝑢
𝑑𝑥+ 𝑣𝑑𝑢
𝑑𝑦+ 𝑤𝑑𝑢 𝑑𝑧
𝑎𝑦
⃗⃗⃗⃗ =𝑑𝑣
𝑑𝑡 + 𝑢𝑑𝑣
𝑑𝑥+ 𝑣𝑑𝑣
𝑑𝑦+ 𝑤𝑑𝑣 𝑑𝑧
Para 𝑎𝑥, la ecuación se reduce a:
𝑎𝑥
⃗⃗⃗⃗ = 𝑢𝑑𝑢
𝑑𝑥+ 𝑣𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑎𝑥
⃗⃗⃗⃗ = (𝑈𝑜 + 𝑏𝑥) (𝑈𝑜 + 𝑏𝑥
𝑑𝑥 ) + (−𝑏𝑦) (𝑈𝑜 + 𝑏𝑥 𝑑𝑦 ) 𝑎⃗⃗⃗⃗ = (𝑈𝑥 𝑜 + 𝑏𝑥)(𝑈𝑜+ 𝑏) + (−𝑏𝑦)(0)
𝑎𝑥
⃗⃗⃗⃗ = (𝑈𝑜+ 𝑏𝑥)(𝑏) + (−𝑏𝑦)(0)
𝑎𝑥
⃗⃗⃗⃗ = 𝑈𝑜𝑏 + 𝑏2𝑥
Calculando la aceleración en el punto (x, y) = (0.5, 3).
𝑎𝑥
⃗⃗⃗⃗ = 𝑈𝑜𝑏 +1 2𝑏2 Para 𝑎𝑦, la ecuación se reduce a:
𝑎𝑦
⃗⃗⃗⃗ = 𝑢𝑑𝑣
𝑑𝑥+ 𝑣𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝑎𝑦
⃗⃗⃗⃗ = (𝑈𝑜+ 𝑏𝑥) (−𝑏𝑦
𝑑𝑥 ) + (−𝑏𝑦) (−𝑏𝑦 𝑑𝑦 ) 𝑎𝑦
⃗⃗⃗⃗ = (𝑈𝑜 + 𝑏𝑥)(0) + (−𝑏𝑦)(−𝑏) 𝑎𝑦
⃗⃗⃗⃗ = (−𝑏𝑦)(−𝑏)
𝑎⃗⃗⃗⃗ = 𝑏𝑦 2𝑦 Calculando la aceleración en el punto (x, y) = (0.5, 3).
𝑎𝑦
⃗⃗⃗⃗ = 3𝑏2
Para la razón de cambio de la presión, partimos de la ecuación:
𝑃 = 𝑑𝑃
𝑑𝑡 + 𝑢𝑑𝑃
𝑑𝑥+ 𝑣𝑑𝑃
𝑑𝑦+ 𝑤𝑑𝑃 𝑑𝑧
Como:
𝑃 = 𝑃𝑜 −𝜌
2[(2𝑈𝑜𝑏𝑥) + 𝑏2(𝑥2+ 𝑦2)]
𝑃 = 𝑃𝑜− 𝜌𝑈𝑜𝑏𝑥 −𝜌
2𝑏2(𝑥2+ 𝑦2) 𝑃 = 𝑃𝑜 − 𝜌𝑈𝑜𝑏𝑥 −𝜌
2𝑏2𝑥2−𝜌 2𝑏2𝑦2
Como es un estado estacionario y no tenemos componente en W, la ecuación de razón de cambio queda como:
𝑃 = 𝑢𝑑𝑃
𝑑𝑥+ 𝑣𝑑𝑃 𝑑𝑦
Se sabe que la presión depende de la velocidad, expresada como:
𝑉⃗ = (𝑢, 𝑣) = (𝑈𝑜+ 𝑏𝑥)𝑖 − 𝑏𝑦𝑗
Por lo tanto, la presión queda así:
𝑃 = (𝑈𝑜+ 𝑏𝑥) (𝑃𝑜− 𝜌𝑈𝑜𝑏𝑥 −𝜌
2𝑏2𝑥2−𝜌 2𝑏2𝑦2
𝑑𝑥 ) + (−𝑏𝑦)(𝑃𝑜− 𝜌𝑈𝑜𝑏𝑥 −𝜌
2𝑏2𝑥2−𝜌 2𝑏2𝑦2
𝑑𝑦 )
𝑃 = (𝑈𝑜+ 𝑏𝑥)(−𝜌𝑈𝑜𝑏 − 𝜌𝑏2𝑥) + (−𝑏𝑦)(−𝜌𝑏2𝑦)
𝑃 = (𝑈𝑜+ 𝑏𝑥)(−𝜌𝑈𝑜𝑏 − 𝜌𝑏2𝑥) + 𝜌𝑏3𝑦2
Determinado la presión en el punto (x, y) = (0.5, 3) 𝑃 = (𝑈𝑜+1
2𝑏) (−𝜌𝑈𝑜𝑏 −1
2𝜌𝑏2) + 9𝜌𝑏3
2. Considere un campo de velocidad uniforme, incompresible, bidimensional (en el plano XY) y estacionario que está dado por:
𝑉⃗ = (𝑢, 𝑣) = (0.66 − 2.1𝑥 + 3.94𝑦)𝑖 + (−2.7 + 2.9𝑥 + 1.88𝑦)𝑗
Determine la aceleración en el punto (x, y) = (-1.55, 2.07).
Sabemos que la aceleración para ax y ay son:
𝑎⃗⃗⃗⃗ =𝑥 𝑑𝑢
𝑑𝑡 + 𝑢𝑑𝑢
𝑑𝑥+ 𝑣𝑑𝑢
𝑑𝑦+ 𝑤𝑑𝑢 𝑑𝑧
𝑎𝑦
⃗⃗⃗⃗ =𝑑𝑣
𝑑𝑡 + 𝑢𝑑𝑣
𝑑𝑥+ 𝑣𝑑𝑣
𝑑𝑦+ 𝑤𝑑𝑣 𝑑𝑧
Como es un estado estacionario y no tenemos componente W (W = 0), las aceleraciones quedan como:
Para
𝑎𝑥
⃗⃗⃗⃗ = 𝑢𝑑𝑢
𝑑𝑥+ 𝑣𝑑𝑢 𝑑𝑦
𝑎𝑥
⃗⃗⃗⃗ = (0.66 − 2.1𝑥 + 3.94𝑦) (0.66 − 2.1𝑥 + 3.94𝑦
𝑑𝑥 ) + (−2.7 + 2.9𝑥 + 1.88𝑦) (0.66 − 2.1𝑥 + 3.94𝑦
𝑑𝑦 )
𝑎𝑥
⃗⃗⃗⃗ = (0.66 − 2.1𝑥 + 3.94𝑦)(−2.1) + (−2.7 + 2.9𝑥 + 1.88𝑦)(3.94)
𝑎𝑥
⃗⃗⃗⃗ = −1.386 + 4.41𝑥 − 8.274𝑦 − 10.638 + 11.426𝑥 + 7.407𝑦
𝑎𝑥
⃗⃗⃗⃗ = −12.024 + 15.836𝑥 − 0.867𝑦
Determinado la aceleración en el punto (x, y) = (-1.55, 2.07)
𝑎𝑥
⃗⃗⃗⃗ = [−12.024 + (15.836)(−1.55) − (0.867)(2.07)](𝑚 𝑠2) 𝑎𝑥
⃗⃗⃗⃗ = −38.36449𝑚 𝑠2
𝑎𝑦
⃗⃗⃗⃗ = 𝑢𝑑𝑣
𝑑𝑥+ 𝑣𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝑎⃗⃗⃗⃗ = (𝑦 0.66 − 2.1𝑥 + 3.94𝑦) (−2.7 + 2.9𝑥 + 1.88𝑦
𝑑𝑥 ) + (−2.7 + 2.9𝑥 + 1.88𝑦) (−2.7 + 2.9𝑥 + 1.88𝑦
𝑑𝑦 )
𝑎𝑦
⃗⃗⃗⃗ = (0.66 − 2.1𝑥 + 3.94𝑦)(2.9) + (−2.7 + 2.9𝑥 + 1.88𝑦)(1.88)
𝑎𝑦
⃗⃗⃗⃗ = 1.914 − 6.09𝑥 + 11.426𝑦 − 5.076 + 5.452𝑥 + 3.534𝑦
𝑎⃗⃗⃗⃗ = −3.162 − 0.638𝑥 + 14.96𝑦 𝑦
Determinado la aceleración en el punto (x, y) = (-1.55, 2.07)
𝑎𝑦
⃗⃗⃗⃗ = [−3.162 − (0.638)(−1.55) + (14.96)(2.07)](𝑚 𝑠2) 𝑎𝑦
⃗⃗⃗⃗ = 28.7941𝑚 𝑠2