PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Depto. Ms. Básicas

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Probabilidad y Estadística – Dra. Ana M. Craveri Página 1

CÁTEDRA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Depto. Ms. Básicas

ESPECIALIDADES

Ingeniería Eléctrica

Ingeniería Mecánica

Ingeniería Metalúrgica

DOCENTES

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CAPÍTULO 3

PROBABILIDAD

4.1.- INTRODUCCIÓN

La teoría de la probabilidad, que actualmente es una parte importante de las matemáticas puras, con un campo de aplicación que se extiende prácticamente sobre todas las ramas de la ciencia, tiene su origen en Francia a mediados del siglo XVII en la teoría matemática de los juegos de azar con los aportes de matemáticos y filósofos de la época tales como Pascal, Fermat, Laplace.

En todos los juegos corrientes de azar como dados, cartas, ruleta, existe un número conocido de resultados posibles de ser observado en una prueba, además si el aparato de juego (dado, mazo de naipes, plato de ruleta) está correctamente hecho y el juego se realiza en forma adecuada, no es posible predecir el resultado de una prueba, esta aleatoriedad de los resultados es lo que justamente caracteriza a un juego de azar. Por otra parte existe entre los posibles resultados del juego una simetría que los hace a todos equivalentes desde el punto de vista del juego, de manera que es igualmente favorable para un jugador arriesgar su apuesta a uno cualquiera de los resultados posibles.

Con este razonamiento si un juego tiene un número c de resultados posibles y desde el punto de vista de un jugador A estos casos posibles pueden dividirse en un grupo de a casos favorables y otro de c-a casos no favorables, entonces si nos interesa estimar la probabilidad p que tiene A de ganar parece natural que se considere

c a p =

De esta manera la definición clásica de probabilidad dice: La probabilidad de que se presente determinado suceso es igual al cociente entre el número de casos que son favorables a este suceso y el número total de casos posibles con tal que todos estos casos sean mutuamente simétricos.

Resulta entonces que si se lanza una moneda al aire la probabilidad de que se observe cara es 0.5, de acuerdo a esto podríamos decir que aproximadamente en la mitad de los lanzamientos repetidos de la moneda debe observarse cara, parece natural que dudemos de que en 10 lanzamientos aparezcan exactamente 5 caras o que en 50 aparezcan exactamente 25 caras. Pero si este juego se repite en condiciones uniformes un gran número de veces resulta que los dos casos posibles (cara, cruz) tenderán a la larga a presentarse el mismo número de veces. Por lo tanto se supone que 0.5 puede interpretarse como una frecuencia relativa a largo plazo, o sea, frecuencia relativa límite a medida que aumenta el número de lanzamientos. Simbólicamente:

n f p

n→∞

= lim donde f es el número de veces que apareció cara en las n tiradas de la moneda.

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punto de vista matemático por lo que se requiere de otra definición de probabilidad que se presentará más adelante como definición axiomática de la probabilidad.

4.2.- EL LENGUAJE ESPECÍFICO DE LA PROBABILIDAD

4.2.1.- Experimento aleatorio (E): es un experimento que cumple con las siguientes condiciones:

• Es posible repetir el experimento indefinidamente en condiciones uniformes (es decir sin cambiar esencialmente las condiciones)

• Aunque no se puede predecir el resultado de una prueba, podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.

• A medida que el experimento se repite, los resultados pueden ocurrir en forma caprichosa (sin ninguna ley). Sin embargo si el experimento se repite un gran número de veces aparece cierta regularidad.

4.2.2.- Espacio muestra o espacio muestral (S): es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, listados de modo completo y mutuamente excluyente. Por ejemplo, los siguientes experimentos cumplen con las condiciones anteriores:

E1: tirar un dado, su espacio muestra sería S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6

}

E2: tirar una moneda, su espacio muestral: S2 = {c, x}

E3: observar el estado prendido (P) o apagado (A) de tres interruptores de luz donde

S3 = {PPP, PPA, PAP, APP, PAA, APA, AAP, AAA}

E4: elegir una comisión de tres delegados de un sector de 25 empleados. Nos interesa saber,

solamente, cuántos elementos tiene S. El análisis combinatorio nos dice que el número de elementos, n(S)= C25;3 = 2.300

En todos estos ejemplos es posible determinar el n(S) pues se trata de conjuntos finitos. Pero si se define el experimento:

E5: observar el largo de varillas producidas hasta encontrar una que no satisface las

especificaciones. En este ejemplo teóricamente S5=N=

{

1;2;3;4;...

}

conjunto de

números naturales por lo que S será un conjunto infinito contable.

En todos los ejemplos presentados anteriormente estaríamos frente a espacios muestrales discretos. Pero si definimos el experimento:

E6: medir la longitud de las varillas producidas en determinado periodo de tiempo.

Teóricamente nuestro espacio S6=

{

x∈R/a〈x〈b;x〉0

}

puesto que la medida se

correspondería con cualquiera de los infinitos puntos de un cierto segmento lo que nos lleva a considerar a S un espacio muestral continuo.

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4.2.4.- Suceso o Evento: se denomina así a cualquier subconjunto del espacio muestra. Es decir, que un suceso asociado a un determinado experimento aleatorio es simplemente un conjunto de resultados posibles. Por lo tanto:

• un punto muestra es un suceso o evento • el espacio muestra S es un suceso

• el conjunto vacío es un suceso

Un suceso es elemental si está formado por un solo punto muestra y compuesto cuando está formado por más de uno. En general los sucesos o eventos se simbolizan con letras mayúsculas. Así por ejemplo se podrían definir los siguientes eventos relacionados con E1: A: que aparezca el número 2 ; A=

{ }

2

B: que aparezca número par ; B=

{

2;4;6

}

C: que aparezca un número impar ; C=

{

1;3;5

}

D: que aparezca un número 4 o mayor ; D=

{

4;5;6

}

E: que aparezca un número del 1 al 6 ; E=S1

F: que aparezca el número 7 ; F=φ

Eventos mutuamente excluyentes: son dos sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. En el ejemplo sería el caso de los sucesos Ay C donde se verifica que A∩ C=φ. En tanto no serían sucesos mutuamente excluyentes B y D porque B∩ D=

{ }

4;6 .

El siguiente paso es definir una probabilidad para los eventos planteados.

4.3.- DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

La probabilidad de un evento simple A que se simboliza p(A) es un número que mide la verosimilitud de que el evento ocurra cuando se realiza el experimento. Según lo que hemos expuesto en la introducción, este número se puede calcular, bajo ciertas condiciones, como un cociente entre el número de puntos muestras del suceso planteado sobre el número de puntos muestra del espacio muestral S, por ejemplo en los sucesos definidos en 4.2.4, si el dado es no viciado, la p(A)=

6 1 ; la p(B)=p(C)=p(D)= 6 3 ; la p(E)= 6 6 = 1 y la p(F)= 6 0 = 0. Por otro lado, cuando no se cumplen las condiciones para aplicar la definición clásica, y teniendo en cuenta la regularidad que está presente en los resultados de un experimento aleatorio a largo plazo, esta probabilidad se puede estimar como el límite de la frecuencia relativa del suceso

( )

n A f

cuando el número n de repeticiones del experimento aleatorio es muy alto.

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Sea S el espacio muestral asociado al experimento aleatorio E, sean A1, A2, ….Ak los

eventos simples de S entonces p(Ai) (probabilidad del suceso Ai) verifica los siguientes

axiomas_:

1) Todas las probabilidades de los eventos simples son números reales entre 0 y 1 1

) (

0≤ p Ai ≤

2) La probabilidad del espacio muestral es igual a 1 P(S) = 1

3) Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes (no pueden presentarse juntos en una prueba del experimento aleatorio) resulta:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

Observación: de esta propiedad se deduce de inmediato que para cualquier espacio finito de K elementos, resulta:

          =

A

K i P i U 1 = ( ) 1

∑

= K i i A p

De los axiomas se desprende que: 1) P(φ) =0

Demostración: ∀ A⇒ A=A∪ donde ambos conjuntos son disjuntos, por lo tanto φ P(A)=P(A∪φ)=P(A)+P(φ)⇒ P(φ)=0

La recíproca no es verdadera, esto es si P(A)=0 no implica que A=φ. Hay situaciones en que se asigna probabilidad cero a un evento que puede ocurrir, pero por tratarse de un evento muy raro la probabilidad de que ocurra es prácticamente nula.

2) Dado el suceso A, llamaremos con al suceso no ocurrencia de A (es decir suceso complementario o contrario), resulta A ∩ = ∅

Luego P (A ∪ ) = P (A) + P ( ) = 1 ⇒ P (A) = 1 - P ( )

3) Sean A y B sucesos cualesquiera ⇒ P (A ∪ B) = P(A) + P (B) – P (A ∩ B)

Si A y B son dos sucesos definidos en el experimento E, cada uno de los cuales puede presentarse o no cada vez que se realiza el experimento, nos interesa considerar el suceso aparición de “al menos uno de ellos”. Esto lo simbolizamos:

P (A ∪ B)

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Por el axioma 3 si estos sucesos son mutuamente excluyentes, entonces: P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

Si A y B no son mutuamente excluyentes entonces A∩B≠ φ

Podemos pensar en definir un suceso Ā (complemento de A) tal que:

A∪ B = A ∪ ( Ā ∩ B)⇒ B=(A∩B) ∪ ( Ā ∩ B) Luego

P(A∪ B)=P(A)+P(Ā∩B) P(B)=P(A∩B) + P( Ā ∩ B)

Restando miembro a miembro resulta: P(A∪ B) - P(B)=P(A) - P(A∩B) ⇒

⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P(A∩B) En base a lo expuesto, a modo de síntesis, podemos decir que:

Dados dos sucesos A y B definidos en el experimento E, cada uno de los cuales puede presentarse o no cada vez que se realiza el experimento. Nos interesa considerar otro suceso definido como aparición de “al menos uno de ellos”. Esto lo expresamos “probabilidad de que ocurra A ó B y se simboliza: P (A ∪ B). Es decir, este suceso se cumplirá si aparece A, si aparece B o si aparecen ambos.

Para calcular esta probabilidad se pueden presentar dos casos: Caso I: A ∩ B = ∅ (Sucesos mutuamente excluyentes)

Donde resulta: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Caso II: A ∩ B ≠ ∅ (Sucesos no mutuamente excluyentes)

Donde resulta: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P(A∩B) Ejemplos:

1.- Consideremos el experimento E1 : tirada del dado presentado en 4.2.2.- y los sucesos

definidos a partir del mismo en el punto 4.2.4.- P(A ∪ C) = P(A)+P(C) = 6 4 6 3 6 1 = +

P(A∪ B) = P (A) + P (B) - P(A∩B) =

6 3 6 1 6 3 6 1 = − +

2.- Clasificación de 100 piezas según su estado y la máquina que las produjo A A∩B

B

S Ā∩B

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Tabla Nº1

Máquina Sin Defecto Con Defecto Recuperable Con Defecto Irrecuperable Total A 32 12 6 50 B 37 9 4 50 Total 69 21 10 100

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una pieza al azar sea sin defecto o con defecto recuperable?

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una pieza al azar provenga de la máquina A o tenga un defecto irrecuperable?

Si notamos a los sucesos como:

A: Que la pieza provenga de la máquina A ; B: Que la pieza provenga de la máquina B C: Pieza sin defecto; D: con defecto recuperable; E: con defecto irrecuperable

P(C∪ D) = P(C)+P(D) = 100 90 100 21 100 69 = +

La probabilidad de que una pieza cualquiera no tenga defecto o presente un defecto recuperable es 0.9

P(A∪ E) = P(A) +P(E) – P(A∩E) =

100 54 100 6 100 10 100 50 = − +

La probabilidad de que una pieza cualquiera provenga de la máquina A o presenta un defecto irrecuperable es 0.54.

4.4.- PROBABILIDAD CONDICIONAL

Hay situaciones en las que, definidos por ejemplo dos sucesos A y B, interesa calcular la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos conocida la ocurrencia previa del otro suceso. Esta ocurrencia previa constituye una información adicional que modifica el espacio muestra original. De esta forma la probabilidad de un suceso será diferente si se tiene o no esa información adicional.

Este tipo de probabilidad se denomina probabilidad condicional y se expresa:

P (A / B) que se lee: probabilidad de que habiendo ocurrido B ocurra A, o probabilidad de A condicionada a la ocurrencia previa de B. Partiendo de las frecuencias de A y B resulta:

Se interpreta como la probabilidad de que aparezcan A y B simultáneamente en el conjunto de resultados de B

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Probabilidad y Estadística – Dra. Ana M. Craveri Página 8 P(A/B)= B B A f f _∩ Dividiendo numerador y denominador por n:

P(A/B)= ) ( ) ( B P B A P ∩

De la misma manera obtenemos:

Cuando se calcula la P(A / B) calculamos la P(A) respecto al espacio muestral reducido B, en consecuencia respondemos a la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de estar en A sabiendo que estamos en B? (se ha reducido el espacio muestral S al conjunto B)

Ejemplos

1.- Consideremos el experimento E1 : tirada del dado presentado en 4.2.2.- y los sucesos

definidos a partir del mismo en el punto 4.2.4.-

A=

{ }

2 ; B=

{

2;4;6

}

P(A/B) = 3 1

2.- A un curso de capacitación laboral concurren regularmente 28 de los 35 empleados convocados. Historicamente se sabe que el 60% de los empleados que concurren al curso logran un ascenso en el corto plazo, mientras que sólo el 5% de los que no concurren a la capacitación logran ascender en el corto plazo. Si se elige al azar uno de los 35 empleados convocados, calcular las siguientes probabilidades:

a) No asiste al curso y logre un asceso a corto plazo b) Asiste al curso y logre un asceso a corto plazo c) Logre un ascencos a corto plazo

3.- Considere la tabla del ejercicio 2 del punto 4.3.- ¿Cuál es la probabilidad de extraer una

pieza sin defecto del lote producido por la máquina B?

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4.- Consideremos la tabla del ejercicio 2, supongamos que se deben seleccionar 2 piezas al azar para ser ensambladas en un motor ¿cuál es la probabilidad de que la segunda pieza retirada no tenga defecto sabiendo que la primer pieza retirada no lo tuvo?

Definamos los sucesos:

C1: que la primer pieza no tenga defecto

C2: que la segunda pieza no tenga defecto

La probabilidad buscada se plantea:

P(C1∩C2) = P(C1).P(C2/C1) ⇒ P(C1∩C2) = 99 68 . 100 69 = 0.4739

Observación: Notemos que si no se retira la primer pieza, es decir si se extraen las piezas con reposición, entonces esta misma probabilidad sería:

P(C1∩C2) = P(C1).P(C2/C1)⇒ P(C1∩C2)= P(C1).P(C2)= = 100 69 . 100 69 0.4761

Esta observación nos lleva a un concepto muy importante que es el de independencia Sean dos sucesos Ay B se dice que son independientes si la ocurrencia previa de uno de ellos no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro

De la definición resulta: P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) En consecuencia: P(A∩B) = P(A).P(B) 4.5.- REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

Podemos ver que, de la definición de probabilidad condicional se desprende: ) / ( ) ( ) (A B P B P A B P ∩ = y P(A∩B)=P(A)P(B/A)

El primer miembro de las igualdades expresa la probabilidad de que los eventos A y B se presenten simultáneamente en una prueba del experimento aleatorio. Estaríamos respondiendo a la siguiente pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de observar el suceso A y el B simultáneamente?

Si definimos el experimento E: tirar un dado dos veces. Queremos responder la pregunta:¿Cuál es la probabilidad de observar 2 en la primer tirada y un número impar en la segunda?

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evidentemente la P(C/A) = P(C) ⇒ P(A∩C)=P(A).P(C)=

36 3 6 3 . 6 1 =

Los sucesos A y C son independientes por lo que la probabilidad buscada es directamente el producto de las probabilidades simples de cada suceso.

Consideremos ahora los datos de la Tabla Nº1. Si nos proponemos calcular la probabilidad de extraer una pieza producida por la máquina A y con defecto irrecuperable, resulta: P(A∩E)=P(A).P(E/A)= 100 6 50 6 . 100 50 =

Observamos que este resultado no es el producto de las probabilidades simples de cada suceso (P(A)= 100 50 y P(E)= 100 10

) puesto que no podemos afirmar, a priori, que la presencia de defectos irrecuperables sea independiente de la máquina que produce la pieza.

Además si nos planteamos lo siguiente: se extrae una pieza al azar y resulta que tiene un defecto irrecuperable ¿cuál es la probabilidad de que la haya producido la máquina A?

En este caso tenemos que calcular: P(A/E)=

10 6 100 10 100 6 ) ( ) ( ∩ ₌ ₌ E P E A P

Es decir en el cálculo de probabilidades condicionadas evidentemente el resultado cambia al cambiar el suceso condicionante. Esto nos conduce a un importante teorema, el Teorema de Bayes.

4.6.- TEOREMA DE BAYES

Sea un Espacio Muestral S compuesto por Ai eventos mutuamente excluyentes y un evento

B asociado a S tal que todos los eventos Ai tienen intersecciones con el evento B.

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La probabilidad de un evento cualquiera Aj dada la ocurrencia previa de B es igual a:

∑

= = _n i i i k k k A B P A P A B P A P B A P 1 ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ; 1≤k ≤n EJEMPLO:

Suponga que el 60% de los circuitos integrados de una computadora provienen de la fábrica A y el resto de la fábrica B. Las tasas de defectuosos para A es del 35% y para B del 25%. Al encontrar un circuito defectuoso cualquiera ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica A?

Sean:

A: el circuito proviene de la fábrica A ; B: el circuito proviene de la fábrica B D: circuito defectuoso P(A∩D)=P(A).P(D/A) P(D)= P [(A∩D) U (B∩D)] = P ( A ) . P ( D / A ) + P ( B ) . P ( D / B ) P (A /D) = ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( B D P B P A D P A P A D P A P + P (A /D) = 25 , 0 . 4 , 0 35 , 0 . 6 , 0 35 , 0 . 6 , 0 + =0,31 0,68 21 , 0 =

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fábrica. La relevancia de este teorema es su vinculación con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

EJERCICIOS

1.- Un conjunto mecánico armado está compuesto por tres piezas distintas: A; B y C . Se dispone de:

10 piezas A de las cuales 1 es defectuosa 15 piezas B de las cuales 3 son defectuosas 20 piezas C de las cuales 2 son defectuosa

a) El conjunto es defectuoso si tiene 1 o más piezas defectuosas. Calcular la probabilidad de encontrar un conjunto defectuoso.

b) Calcular la probabilidad de que un conjunto cualquiera tenga exactamente una de las tres piezas defectuosas.

2.- En una línea de producción de placas de circuitos electrónicos se sabe, a partir de registros históricos, que el 5% de las placas no satisface las especificaciones de longitud. El 3% de las placas no satisface las especificaciones de ancho. Teniendo en cuenta que los cortes de longitud y ancho son hechas por máquinas distintas e independientes, determine:

a) Probabilidad de elegir una placa conforme a especificaciones b) Porcentaje de placas que no satisfacen por lo menos una de las

especificaciones

3.- Una fábrica tiene 100 telares industriales para hacer tejidos de lona industrial. Algunos con tecnología mecánica (M) y otras con tecnología digital (D). Además entre estos telares hay nuevos (N) y usados (U).

Telares mecánicos (M) digitales (D) total Nuevos 40 30 70 Usados 20 10 30 Totales 60 40 100 Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un telar al azar:

a) sea un telar mecánico nuevo b) sea un telar digital o nuevo

c) Entre los telares que se adquirieron nuevos ¿cuál es la proporción de telares digitales?

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5.- Cierta marca produce sus televisores en 3 fábricas Este mes la fábrica “A” produjo 1000 televisores, la fábrica “B” 4000, y la “C” produjo 5000. Histórica el porcentaje de productos defectuosos de la fabrica “A” es 1%, de la fabrica “B” el 2% y de la “C” el 0.5%. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un televisor elegido aleatoriamente del depósito esté defectuoso?

b) Sabiendo que el televisor es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la fábrica “A”?.

6.- Un centro de cómputo tiene tres impresoras: A, B y C que imprimen a velocidades distintas. Los programas se envían a la primera impresora disponible. Las probabilidades de que un programa se envíe a las impresoras A, B o C son de 0.6, 0,3 y 0.1., respectivamente. En ocasiones los impresos se atoran en la impresora y se destruyen. Las probabilidades de que se atore el papel en las impresoras A, B o C son de 0.01, 0.05 y 0.04 respectivamente. Calcular:

a) La probabilidad de que el papel se atore.