Estimación. Diseño Estadístico y Herramientas para la Calidad. Estimación. Estimación. Inferencia Estadística

Texto completo

(1)

Diseño Estadístico y

Herramientas para

la Calidad

Expositor: Dr. Juan José Flores Romero

juanf@umich.mx http://lsc.fie.umich.mx/~juan

M. en Calidad Total y Competitividad

Estimación

Estimación

Inferencia Estadística

z Estimación z Puntual z Intervalos z Pruebas de Hipótesis

Estimación

z Inferencia Estadística es el procedimiento

(2)

Estimadores

z Estimadores: puntuales e intervalos z Estimado vs. Estimador

z Un estimador (fórmula) nos indica como

calcular un estimado de un parámetro.

Propiedades de los

Estimadores

z No Sesgado. El valor medio del estadístico

para todas las posibles muestras aleatorias de un tamaño dado es igual al parámetro que estima. 2 2 2 2 2 2 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( σ σ θ θ = ⇒ − − ≠ ⇒ − =

s E n x x s E n x x E i i

Propiedades de los

Estimadores

z Consistente. Si el tamaño de la muestra

incrementa, el valor del estimado tiende al valor del parámetro.

z Eficiente. Un estimador es mas eficiente que

otro si la varianza del primero es menor que la del segundo.

z Suficiente. Usa toda la información de la

muestra. Si tenemos un estimador suficiente, no necesitamos otra medida.

Estimadores de Intervalo

z Un estimador de intervalo produce un

intervalo, del cual podemos decir, con cierto nivel de convicción, que contiene al

parámetro estimado

z Estamos 100% seguros que el intervalo

(-∞, +∞) contiene el parámetro de interés.

z Estimadores de Intervalo = Intervalos de

(3)

Intervalo de Confianza para la

Media, dada la Varianza

zEj.

zSi la distribución es normal, dentro de 2

varianzas, cae el 95% de la población.

zCoeficiente de confiabilidad = 2 zCoeficiente de confianza = 95

zCoeficiente de confianza = 1-α, donde α es el

área bajo la curva normal, fuera del intervalo de confianza.

σ

2 ± x

Intervalo de Confianza para la

Media

Intervalo de Confianza para la

Media

z Error Estándar o Desviación Estándar

del Estimador

zIntervalo Estimado = (factor de confianza) x

(error estándar) = x σ x x z x± 1−α/2σ z Interpretación Probabilística

z En muestreos repetidos de una población

normalmente distribuida, 100(1-α)% de todos los intervalos de la forma que pueden ser construidos de muestras aleatorias de tamaño n, incluirán la media de la población μ.

z Interpretación Práctica

z Estamos 100(1-α)% seguros de que el intervalo

calculado de muestras aleatorias de tamaño n, contienen la media de la población μ.

Interpretación del Intervalo de

Confianza para la Media

(4)

Interpretación del Intervalo de

Confianza para la Media

Cálculo del Intervalo de

Confianza para la Media

z Es trivial construir un intervalo de confianza

para la distribución normal estándar.

z De las tablas, buscar la z que produzca el

coeficiente de confianza dado.

z P(Z<=z)=1-α/2

z El mapeo de x a z es conocido. La pregunta

es: Dada una media y varianza conocidas, a que x corresponde z? x z x x z ⇒ = x+ − = σ σ μ α/2 1

Cálculo del Intervalo de

Confianza para la Media

Ejemplo

(5)

Ejemplo

z El estimador puntual de μ es ⎯x = 6200 lb. z Para un coeficiente de confianza de 0.95,

z=1.96.

z El error estándar es σ/√n = 200/√16 = 50 z IC = 6200 ±1.96(50) = [6102, 6298] z El 95% de los intervalos de confianza que

sean construidos de esta manera, contendrán a μ.

Estimaciones en Poblaciones

no Normales

z De acuerdo al teorema del límite central,

podemos usar el mismo procedimiento para determinar intervalos de confianza para poblaciones con distribuciones no normales, mientras que el tamaño de la muestra sea grande (n>30).

Intervalo de Confianza para la

Media, Varianza Desconocida

zSi no conocemos la varianza, no podemos

usar la distribución normal para determinar un valor preciso de z.

zCuando usamos el estimador la

variable resultante es

zA esta distribución se le conoce como

distribución “t de student” x xs σ n s x s x t x x x / μ μ = − − =

Cálculo del Intervalo de

Confianza

z El procedimiento es igual, substituyendo la

distribución normal por la t de student.

(6)

Ejemplo

z En un esfuerzo por establecer un tiempo

estándar para realizar cierta tarea, un ingeniero de producción selecciona 16 empleados experimentados para realizarla. La media es de 13 minutos, con una desviación estándar de 3 minutos. El ingeniero desea construir un intervalo de confianza del 95% para el tiempo medio necesario para realizar tal tarea

Ejemplo

z El estimador puntual de μ es ⎯x = 13 min. z El error estándar es s/√n = 3/ √ 16 = 0.75 z Para un coeficiente de confianza de 0.95, (área

a la izquierda del límite derecho = 0.975) y n-1=15 grados de libertad, tenemos

t0.975=2.1315

z IC = 13 ±2.1315(0.75) = [11.4, 14.6]

z El 95% de los intervalos de confianza que sean construidos de esta manera, contendrán a μ.

Uso de Tablas de la

Distribución t

(7)

Parejas de Observaciones

z Medir sujetos antes y después de z Algún tratamiento

z Mejora de condiciones de trabajo z Capacitación

z La diferencia puede ser estimada mediante la

distribución t de student

z Si aplica el teorema del límite central,

podemos usar la distribución normal

Ejemplo

z En una muestra aleatoria de 10 compañías electrónicas se determinó cuanto gastan en capacitación anualmente, en este año y hace una década.

z Construir un intervalo de confianza del 95% para la media de la diferencia d.

Firma A B C D E F G H I J Ahora 12 14 8 12 8 10 8 9 10 10 Hace 10 años 10 11 8 7 9 6 10 9 7 9 d 2 3 0 5 -1 4 -2 0 3 1

Ejemplo

z ⎯d = 1.5 z sd = 2.3 z s⎯d=2.3/√10 = 0.73

z El intervalo de confianza del 95% para μd. z 1.5 ± 2.2622(0.73) = [-0.2, 3.2]

Estudiar Estimaciones para

z Diferencia entre dos medias, varianzas

conocidas

z Diferencia entre dos medias, varianzas

desconocidas

z Proporciones

(8)

Determinación del Tamaño de

la Muestra para Estimar

μ

z ¿Qué tan grande debe ser la muestra? z Se desea estimar, con un intervalo de

confianza, la media de la población.

z Grande → desperdicio de recursos z Chica → resultados sin valor estadístico

Determinación del Tamaño de

la Muestra para Estimar

μ

z Puntos Clave: z Precisión

z Confianza necesaria en el intervalo

z Mitad del intervalo (precisión) z Despejando n n z x± σ n z d= σ 2 2 2 d z n= σ

Determinación del Tamaño de

la Muestra para Estimar

μ

z Intervalo estrecho → d pequeño z z depende del nivel de confianza

z σ2depende de la variabilidad de lo población

2 2 2 d z n= σ

Ejemplo

(9)

Estudiar

z Determinar el tamaño de la muestra para

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :