La fuerza total en un bloque está dada por:

Texto completo

(1)

Resumen –– El autómata celular resorte-bloque de Olami, Feder

y Christensen (OFC) ha sido ampliamente utilizado para reproducir cualitativamente las características físicas de la sismicidad real. Entre ellas destacan la reproducción de la Ley de Gutenberg-Richter, que relaciona el número de eventos ocurridos con la magnitud de éstos en una región determinada durante un periodo de tiempo medible. También es posible reproducir el diagrama de Ruff-Kanamori que relaciona la edad de la placa de subducción con la velocidad de convergencia y el sismo máximo característico de la zona de subducción considerada. Del mismo modo, este trabajo busca demostrar que es posible reproducir la Ley de Utsu con este modelo OFC.

Palabras Clave –sismicidad, ley de Utsu, resorte-bloque

Abstract –– The spring-block cellular automaton proposed by

Olami, Feder and Christensen (OFC) has been widely used to qualitatively reproduce some physical characteristics of real seismicity. Among them stand out the Gutenberg-Richter’s law, which relates the number of events that have taken place in a given region during a measurable time lapse. It is also possible to reproduce the Ruff-Kanamori’s diagram, which relates the age of the subduction plate with the convergence velocity and the maximum characteristic earthquake of the considered subduction zone. Similarly, this work aims to probe that it is possible to reproduce the Utsu’s Law with this OFC model.

Keywords –– Seismicity, Utsu’s law, spring-block

I. INTRODUCCIÓN A. Autómata celular resorte-bloque

Los autómatas celulares fueron introducidos por Von Neumann [1] con la intención de imitar el comportamiento del cerebro humano para conseguir que una máquina resolviera problemas complejos. En el caso de la sismología, el primer autómata celular unidimensional fue desarrollado por Burridge y Knopoff en 1967 [2] el cual sirvió como base

al modelo de dos dimensiones de Olami, Feder y Christensen (OFC) [3].

El modelo OFC se caracteriza por ser un sistema continuo no conservativo en dos dimensiones. Consiste en un sistema de bloques interconectados por resortes. Cada bloque estáconectado a otros cuatro bloques de manera horizontal. Asimismo, cada bloque está conectado a una placa rígida móvil por otro conjunto de resortes y en contacto con una placa fija como se ilustra en la Fig. 1. El movimiento de los bloques se da a través del movimiento relativo entre las dos placas, cuando la fuerza en uno de los bloques es mayor que cierto umbral, al cual llamaremos 𝐹𝑇𝐻, los bloques se mueven

y regresarán a la posición inicial con una fuerza cero después de haberla transferido a los vecinos más cercanos, lo que eventualmente puede llevar a crear una reacción en cadena.

Fig. 1. Esquema del modelo resorte-bloque La fuerza total en un bloque está dada por:

𝐹𝑖,𝑗= 𝐾1[2𝑥𝑖,𝑗− 𝑥𝑖−1,𝑗− 𝑥𝑖+1,𝑗] + 𝐾2[2𝑥𝑖,𝑗−𝑥𝑖,𝑗−1𝑥𝑖,𝑗+1] + 𝐾𝐿𝑥𝑖,𝑗(1)

Cuando un bloque ha sido perturbado por la acción de otro bloque, las fuerzas se redistribuyen de manera no conservativa de la siguiente forma:

𝐹𝑖±1,𝑗→ 𝐹𝑖±1,𝑗+ 𝛿𝐹𝑖±1,𝑗 (2) 𝐹𝑖,𝑗±1→ 𝐹𝑖,𝑗±1+ 𝛿𝐹𝑖,𝑗±1 (3)

𝐹𝑖,𝑗→ 0 (4) La fuerza ejercida en los vecinos más cercanos está dada por:

𝛿𝐹𝑖±1,𝑗= 𝐾1

2𝐾1+2𝐾2+𝐾𝐿𝐹𝑖,𝑗 = 𝛼1𝐹𝑖,𝑗 (5)

𝛿𝐹𝑖,𝑗±1= 𝐾1

2𝐾1+2𝐾2+𝐾𝐿𝐹𝑖,𝑗 = 𝛼2𝐹𝑖,𝑗 (6)

Donde, K1, K2 y KL son constantes elásticas y 𝛼1 y 𝛼2 los

coeficientes que mide el novel de conservación.

Este “modelo de juguete” ha sido clave para el entendimiento de cómo se comportan los sismos puesto que

El autómata celular resorte-bloque y su relación con la ley de Utsu

para sismos

A. Salinas Martínez1, J. Pérez Oregon2, A. Muñoz Diosdado3, F. Angulo Brown4 1Departamento de Física, ESFM-IPN, México D.F., México

Teléfono (55) 5729-6000 Ext. 55017 Fax (55) 5729-55015 E-mail: asalinasm@ipn.mx 2National and Kapodistrian University of Athens, Atenas, Grecia. E mail: jnnfr.po@gmail.com

3Departamento de Ciencias Básicas, UPIBI-IPN, México D.F., México Teléfono (55) 5729-6000 E-mail: amunozdiosdado@gmail.com

4Departamento de Física, ESFM-IPN, México D.F., México

Teléfono (55) 5729-6000 Ext. 55017 Fax (55) 5729-55015 E-mail: angulo@esfm.ipn.mx

Este trabajo está patrocinado en parte por la Secretaría de Investigación y Posgrado del IPN, proyecto SIP-20211415

(2)

reproduce características intrínsecas del fenómeno tales como emergencia, autoorganización crítica y una distribución de ley de potencias conocida como ley de Gutenberg-Richter [11] la cual relaciona la frecuencia de un evento con la magnitud de éste.

B. La ley de Utsu para terremotos

En 1970 Tokuji Utsu propuso una relación entre la magnitud de un sismo y el área en la que pueden suceder réplicas del evento principal [5]. En ese trabajo, Utsu propone que todo sismo que suceda dentro de un lapso de un mes después del evento principal y cuyo epicentro se coloque dentro del área de réplicas propuesta y que además su magnitud sea menor al evento principal, debería ser considerado como una réplica y no como un evento aislado, esto se ilustra en la Fig. 2.

Fig. 2. La elipse en línea punteada representa el área de réplicas. Todos los eventos con epicentros dentro de esta elipse se consideran réplicas del evento principal marcado con un doble círculo (imagen tomada de [5]).

La primera relación entre la magnitud del sismo y el área de réplicas fue propuesta en 1955 por Utsu y Seki [6] como se muestra en (7):

𝐿𝑜𝑔 𝐴 = 1.02 𝑀 − 4.01 (7) Donde A es el área de réplicas en km2 y M es la magnitud

del sismo.

Sin embargo, esta relación no es única, es decir, para diferentes magnitudes se ajustan de mejor forma distintas ecuaciones.

Para magnitudes bajas propone:

𝐿𝑜𝑔 𝐴 = 𝑀 − 3.7 (8) Para magnitudes entre 5.5 y 7.5:

𝐿𝑜𝑔 𝐴 = 𝑀 − 4.1 (9) Goto [7] propone para magnitudes > 6.5:

𝐿𝑜𝑔 𝐴 = 1.74 𝑀 − 9.92 (10) Sin embargo, Utsu menciona un mejor ajuste de (10) con los siguientes valores:

𝐿𝑜𝑔 𝐴 = 𝑀 − 4.4 (11) Por otro lado, Bath y Buda [8] proponen la siguiente relación:

𝐿𝑜𝑔 𝐴 = 1.21 𝑀 − 5.05 (12)

A su vez, Pucarú [9] propone una relación para magnitudes 5 ≤ M ≤8.5:

𝐿𝑜𝑔 𝐴 = 1.08 𝑀 − 4.17 (13) En este trabajo se realiza una comparación de estas ecuaciones usando como base el modelo OFC.

II. METODOLOGÍA A. Simulaciones

Basándose en el trabajo de Pérez Oregon et al. [4, 11], en el cual simularon varias regiones sísmicas tomando en cuenta la edad de la placa y la velocidad de convergencia para obtener el sismo de magnitud máxima para cada una de dichas zonas; usando el modelo OFC se realizaron 29 simulaciones en redes de 100x100 bloques y 1 millón de iteraciones. Los resultados de estas simulaciones pueden verse en la Tabla 1.

La magnitud del sismo sintético se determinó aplicando el logaritmo base 3 al tamaño del sismo, este tamaño se refiere al número de bloques o elementos matriciales que se relajaron durante la simulación.

Comparando el valor de la magnitud máxima reportada en cada una de las regiones sísmicas con el valor máximo de la magnitud sintética de la simulación, es posible ver que se corresponden en gran medida los valores sintéticos con los valores reales. Esto resulta de gran importancia puesto que se puede hablar de simulaciones de las regiones sísmicas con buenos resultados.

B. Ley de Utsu

Dado que en nuestro modelo de autómata resorte-bloque no se modelan replicas, no es posible hablar de un área de réplicas como tal, sin embargo, tomando en cuenta que los elementos relajados en la simulación pueden identificarse de manera gráfica y estos generan un “área de relajación” (ver Fig. 3) la cual equivale al tamaño del sismo sintético, se propone la equivalencia del tamaño sintético con el área de ruptura entre dos regiones de subducción, que a su vez tendrían equivalencia con el área de réplicas de la que habla Utsu. Esto es válido porque la energía liberada en este sismo sintético se encuentra concentrada en dicha área relajada por lo que el siguiente sismo tiene una mayor probabilidad de suceder en el espacio comprendido en esta región.

Para poder realizar las comparaciones entre la magnitud real (máxima reportada en una región sísmica) y el área de réplicas real con la magnitud y área de réplicas sintética se realizó el cálculo equivalente del tamaño de sismo (real) asumiendo el comportamiento como si de una simulación Spring-Block se tratara. Por lo que se aplicó la siguiente transformación:

Tamaño esperado = 3M (14)

Posteriormente se realizó el cálculo del área de réplicas para las ecuaciones (7) a (12) y se resaltó la ecuación cuyo resultado se aproxima más al tamaño esperado. Los resultados de estos cálculos se muestran en la Tabla 2.

Por último, se realizó una tabla con los resultados obtenidos en las simulaciones del Spring-Block (Tabla 3).

(3)

III. DISCUSIÓN

En las tablas 2 y 3 se puede ver un comportamiento similar en cuanto a la tendencia de que una ecuación en particular se ajuste mejor al modelo de datos. En la Tabla 1 se observa que para los valores de magnitudes menores a 7.6 el mejor ajuste lo da (7); mientras que para valores de magnitud comprendidos entre 7.6 ≤M ≤ 8 el mejor ajuste lo da (9) y para magnitudes mayores a 8 el mejor ajuste lo da (11). En la Tabla 3, al existir variaciones en la magnitud de los sismos sintéticos, se puede observar que para la magnitud de 6.8 el mejor ajuste lo da (12); por otro lado, para la magnitud de 7.2 hay ligeras variaciones y en un caso el mejor ajuste lo hace (8) y en el otro (7) mientras que el comportamiento para

las magnitudes de 7.6 y mayores, el comportamiento es casi idéntico a la Tabla 1.

Fig. 3. Área relajada en la simulación Spring-Block. El epicentro del sismo se señala con un punto negro y rodeado por un círculo negro [1].

IV. CONCLUSIONES

De las Tablas 2 y 3 es posible concluir que existe una posible reproducción de la Ley de Utsu usando el modelo de autómata celular de resorte-bloque OFC dado el comportamiento tan similar de las regiones sísmicas reales en comparación con la simulación. Sin embargo, al no contar aún con un modelo que incluya las réplicas y/o los sismos precursores, no es posible afirmar de manera contundente que lo que se observa es, en efecto, la Ley de Utsu. Cabe mencionar que estos resultados son prometedores en cuanto al uso del autómata celular y su capacidad para reproducir características tan complejas del fenómeno de la sismicidad.

REFERENCIAS

[1] Von Neumann, J, “Theory of self-reproducing automata” University of Illinois Press, 1966.

[2] Burridge, R and Knopoff, L, “Model and theoretical seismicity.” Bulletin of the Seismological Society of America Vol. 57, No. 3, pp. 341-371. June, 1967.

[3] Olami, Z., Feder, H., & Christensen, K. (1992). Self-Organized Criticality in a Continuous, Nonconservative Cellular Automaton Modeling Earthquakes. Physical Review Letters, 1244-1247. [4] Pérez Oregon, J; Muñoz Diosdado, A.; Rudolf-Navarro, A.H.;

Angulo-Brown, F. A simple model to relate the elastic ratio gamma of a critically self-organized spring-block model with the age of a lithospheric downgoing plate in a subduction zone. Entropy (Basel). 2020 Aug 7;22(8):868

[5] Utsu, T. Aftershocks and Earthquake Statistics (1) : Some Parameters Which Characterize an Aftershock Sequence and Their Interrelations. Journal of the Faculty of Science, Hokkaido University. Series 7, Geophysics, 3(3): 129-195

[6] Utsu, T. and Seki, A.: Relation between the area of afterhock region and the energy of the main shock. Zisin (J. Seism. Soc. Jap.) ii, 7 (1955), 233-240, (in Japanese with English summary).

[7] Goto, K.: On the relation between the distribution of aftershocks and the magnitude. Zisin (J. Seism. Soc. Jap.) ii, 15 (1962), 116--121, (in Japanese with English summary).

[8] Bath, M. and Duda, S.I.: Earthquake volume, fault plane area, seismic energy, strain, deformation and related quantities. Ann. Geofis., 17 (1964), 363-368.

TABLA I

CARACTERIZACIÓN DE LAS REGIONES SÍSMICAS UTILIZANDO EL MODELO OFC

Región sísmica de subducción α (Edad sintética) Sismo de magnitud máxima (real) Magnitud máxima del sismo sintético Caribe 0.094 7.5 6.8 Marianas 0.016 7.5 7.2 Arco de Escocia 0.148 7.6 7.2 Vanatu (Nuevas Hébridas) 0.156 7.9 7.6 Izu Bonin 0.016 7.9 7.6 S. Java 0.039 7.7 7.7 Kermadec 0.063 7.9 7.7 Nueva Zelanda 0.063 7.8 7.7 Isla Sumba 0.031 8.3 7.8 Patagonia 0.219 7.8 8.0 Tonga 0.063 8.1 8.1 NE Japón 0.047 9.1 8.2 Kuriles 0.094 8.5 8.2 Ryukyus 0.156 8 8 Kamchatka 0.125 9 8 Oeste de Alaska 0.172 8.2 8.4 Komandorski 0.156 8.7 8.4 Sumatra-Andaman 0.172 9.2 8.4 Aleutianas occidentales 0.172 8.6 8.4 Perú 0.180 8.1 8.4 Este de Alaska 0.188 9.2 8.6 América central 0.203 8.1 8.7 Centro de Chile 0.188 8.8 8.8 México- Oaxaca 0.211 7.9 8.9 México- Guerrero 0.219 7.9 9.1 México-Michoacán 0.227 8.1 9.3 Colombia-Ecuador 0.219 8.8 9.3 México- Jalisco 0.234 8.2 9.4 Sur de Chile 0.219 9.5 9.6

(4)

[9] Purcaru, G.: Some problems of the Vrancea earthquakes and their aftershocks.St. Cerc. Geol. Geofiz. Geogr., Ser. Geofiz., 4 (1966). 87-99, (in Rumanian)

[10] Pérez Oregon, J. On some little known properties of the Gutenberg-Richter relationship for the frequency of earthquakes. Tesis Doctoral. Instituto Politécnico Nacional, ESFM 2018.

[11] Perez-Oregon, J., Muñoz-Diosdado, A., Rudolf-Navarro, A.H. et al. Some Common Features Between a Spring-Block Self-Organized

Critical Model, Stick–Slip Experiments with Sandpapers and Actual Seismicity. Pure Appl. Geophys. 177, 889–903 (2020)

[12] Gutenberg, B, y Richter, C. (1944). Frequency of earthquakes in California. Bulletin of the Seismological Society of America, 34: 185-188

. TABLA II

VALORES DEL ÁREA DE RÉPLICAS SEGÚN LAS DIFERENTES ECUACIONES PRESENTADAS Se resalta en color verde el resultado de la ecuación que más se acerca al valor del tamaño esperado

Región sísmica de

subducción Magnitud Tamaño M-3.7

1.02M -4.01 M-4.1 1.74M -9.92 M-4.4 1.21 M-5.05 1.08M - 4.17 Caribe 7.5 3788 6310 4365 2512 1349 1259 10593 8511 Marianas 7.5 3788 6310 4365 2512 1349 1259 10593 8511 Arco de Escocia 7.6 4228 7943 5521 3162 2014 1585 13996 10914 S. Java 7.7 4719 10000 6982 3981 3006 1995 18493 13996 Nueva Zelanda 7.8 5267 12589 8831 5012 4487 2512 24434 17947 Patagonia 7.8 5267 12589 8831 5012 4487 2512 24434 17947 Vanatu (Nuevas Hébridas) 7.9 5878 15849 11169 6310 6699 3162 32285 23014 Izu Bonin 7.9 5878 15849 11169 6310 6699 3162 32285 23014 Kermadec 7.9 5,878 15849 11169 6310 6699 3162 32285 23014 México- Oaxaca 7.9 5878 15849 11169 6310 6699 3162 32285 23014 México- Guerrero 7.9 5878 15849 11169 6310 6699 3162 32285 23014 Ryukyus 8 6,561 19953 14125 7943 10000 3981 42658 29512 Tonga 8.1 7,323 25119 17865 10000 14928 5012 56364 37844 Perú 8.1 7323 25119 17865 10000 14928 5012 56364 37844 América central 8.1 7,323 25119 17865 10000 14928 5012 56364 37844 México-Michoacán 8.1 7,323 25119 17865 10000 14928 5012 56364 37844 Oeste de Alaska 8.2 8,173 31623 22594 12589 22284 6310 74473 48529 México- Jalisco 8.2 8,173 31623 22594 12589 22284 6310 74473 48529 Isla Sumba 8.3 9,122 39811 28576 15849 33266 7943 98401 62230 Kuriles 8.5 11364 63096 45709 25119 74131 12589 171791 102329 Aleutianas occidentales 8.6 12,684 79433 57810 31623 110662 15849 226986 131220 Komandorski 8.7 14156 100000 73114 39811 165196 19953 299916 168267 Centro de Chile 8.8 15,800 125893 92470 50119 246604 25119 396278 215774 Colombia-Ecuador 8.8 15800 125893 92470 50119 246604 25119 396278 215774 Kamchatka 9 19683 199526 147911 79433 549541 39811 691831 354813 NE Japón 9.1 21,969 251189 187068 100000 820352 50119 914113 454988 Sumatra-Andamán 9.2 24,520 316228 236592 125893 1224616 63096 1207814 583445 Este de Alaska 9.2 24,520 316228 236592 125893 1224616 63096 1207814 583445 Sur de Chile 9.5 34,092 630957 478630 251189 4073803 125893 2786121 1230269

(5)

TABLA III

RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN SPRING-BLOCK DE LAS REGIONES SÍSMICAS. Se muestran en color verde los valores que más se acercan al tamaño sintético del sismo utilizando

Región sísmica de

subducción Magnitud Tamaño M-3.7

1.02M -4.01 M-4.1 1.74M -9.92 M-4.4 1.21 M-5.05 1.08M - 4.17 Caribe 6.8 1832 1376 924 548 95 275 1678 1644 Marianas 7.2 2738 3195 2181 1272 413 638 4650 4082 Arco de Escocia 7.2 2786 3314 2263 1319 440 661 4860 4246 Vanatu (Nuevas Hébridas) 7.6 4187 7783 5407 3099 1944 1553 13655 10677 Izu Bonin 7.6 4216 7897 5488 3144 1993 1576 13896 10845 S. Java 7.7 4561 9312 6493 3707 2655 1858 16964 12959 Kermadec 7.7 4598 9471 6606 3770 2735 1890 17315 13198 Nueva Zelanda 7.7 4610 9523 6643 3791 2761 1900 17430 13276 Isla Sumba 7.8 5,175 12134 8505 4831 4209 2421 23369 17247 Patagonia 8.0 6298 18313 12942 7291 8614 3654 38454 26902 Tonga 8.1 7099 23536 16718 9370 13330 4696 52096 35276 NE Japón 8.2 7,959 29910 21347 11908 20227 5968 69622 45697 Kuriles 8.2 8,405 33531 23986 13349 24677 6690 79946 51700 Ryukyus 8.3 9043 39088 28047 15561 32223 7799 96245 61012 Kamchatka 8 9,994 48202 34732 19190 46402 9618 124025 76509 Oeste de Alaska 8.4 10,054 48811 35179 19432 47426 9739 125923 77553 Komandorski 8.4 10,124 49526 35705 19717 48641 9882 128158 78780 Sumatra-Andaman 8.4 10,283 51170 36914 20371 51486 10210 133324 81609 Aleutianas occidentales 8.4 10,352 51892 37446 20659 52757 10354 135604 82853 Perú 8.4 10572 54231 39168 21590 56962 10820 143033 86893 Este de Alaska 8.6 13,084 84779 61781 33751 123944 16916 245601 140784 América central 8.7 14301 102152 74719 40667 171431 20382 307743 172181 Centro de Chile 8.8 15,020 113213 82980 45071 205012 22589 348509 192401 México- Oaxaca 8.9 18605 177309 131131 70588 447499 35378 599742 312341 México- Guerrero 9.1 21842 248163 184770 98795 803235 49515 900807 449072 México-Michoacán 9.3 26,583 374578 281198 149122 1644232 74738 1482470 700528 Colombia-Ecuador 9 28,450 431843 325111 171920 2106040 86164 1760938 816868 México- Jalisco 9.4 29,780 475240 358469 189197 2487879 94823 1977267 905871 Sur de Chile 9.6 36,428 724982 551485 288621 5187635 144653 3296066 1429399

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :