ACTIVIDADES DE AMPLIACIO
´N
1.
Calcula las medidas de los segmentosx,y,z, ten la siguiente figura, sabiendo que las medidas de los segmentos conocidos esta´n expresadas en metros.x G F E t y z B C D A 3 3 2 2 4
2.
Dibuja un hexa´gono regular y, tomando como ve´rtices los puntos medios de sus lados, traza un nuevo hexa´gono. ¿Son semejantes ambos hexa´gonos? ¿Cua´l es la razo´n de semejanza entre ambas figuras? Si el primero tiene 6 cm de lado, calcula el a´rea del segundo hexa´gono.3.
Demuestra que en cualquier recta´ngulo ABCD se pueden determinar tres tria´ngulos semejantes 1, 2 y 3 comoindica la figura, trazando desde un ve´rtice la perpendicular a la diagonal opuesta. Basa´ndote en ello, calcula las longitudes x, y, z del recta´ngulo de la figura.
B D E x y z A C 3 4 2 1 3
4.
En el tria´ngulo recta´ngulo ABC recta´ngulo en A, cuyos catetos AC y AB miden, respectivamente, 6 y 8 m, se traza la altura ADy desde D se traza una paralela al cateto AC, que corta en E al otro catetoAB. Calcula el perı´metro y el a´rea del trapecio de ve´rtices ACDE.B D
E A
C
5.
En el recta´ngulo ABCD, cuyos lados miden AB ⫽ 24 cm y BC ⫽ 10 cm, se traza unaparalela EF a la diagonal AC. Sabiendo que DF ⫽ 4 cm, ¿cua´nto miden el perı´metro y
el a´rea del trapecioACEF?
B D E
F
A
C
6.
En un tria´ngulo iso´sceles ABC, cuyos lados iguales AB⫽ AC miden 10 cm y el lado ba´sico BC mide 12 cm, se inscribe un recta´ngulo DEFG centrado respecto a la altura del tria´ngulo, como indica la figura. Calcula las medidas de los lados del recta´ngulo para que su perı´metro sea de 20 centı´metros.A N F G D M E B C
7.
En el tria´nguloADE, recta´ngulo enD, se construye el trapecio ABCDtal que los ladosAByBCtienen la mismamedida, x. Calcula el perı´metro del trapecio, teniendo en cuenta las medidas de los segmentos AD ⫽ 27 m y
BE ⫽ 36 m. B D E x x A C 27 m 36 m
Gauss 4.oESO - Opcio´n B Actividades de ampliacio´n
SOLUCIONES
1.
Por el teorema de Tales:⫽ ⫽ ; ⫽ ⫽ ; x ⫽ ;t ⫽ AG GE EF 4 x 3 8 9 AB BC CD 3 2 t 3 4 ⫽ ⫽ ; ⫽ ⫽ ;y⫽ ;z⫽ AB AC AD 3 5 5 ⫹ t 10 29 BG CE DF 2 y z 3 6 A F E' F' E A' C C' B' D O D' B
2.
Son semejantes por teneriguales sus a´ngulos interio-res (120⬚). SiL yap son el
lado y la apotema del dado, aplicando el teorema de Pi-ta´goras al tria´ngulo recta ´n-gulo OA⬘B: ap ⫽ ⫽ ⫽ 2 L 2 L ⫺
冢 冣
兹
36⫺ 9兹
27兹
2 Su a´rea esS ⫽ 3L · ap ⫽ 18 27兹
Como el lado del hexa´gono inscrito es L⬘ ⫽ ap, la
razo´n de semejanza es k ⫽ L · 6 .
L⬘
兹
27 El a´rea S⬘ del hexa´gono inscrito es:⫽ S⬘ ⫽ ⬇ 70,14 cm2
S 36 3S
S⬘ 27 4
3.
En efecto, ABDr ⫽ BDCr determinados por dos para-lelas y una secante y ABDr ⫽ ECDr de lados perpen-diculares. En el tria´ngulo 1:BD ⫽ 32 ⫹ 42⫽ 5.兹
Por semejanza, en los tria´ngulos 1 y 2:
⫽ ⫽ ; ⫽ ⫽ ; x ⫽ 3,2 cm;
AD AB DB 3 4 5
EC ED DC z x 4
z ⫽ 2,4 cm
Por semejanza, en los tria´ngulos 1 y 3:
⫽ ⫽ ; ⫽ ⫽ ; y ⫽ 1,8 cm AD AB DB 3 4 5 EB EC BC y z 3
4.
En ABC: CB ⫽ 2 2 ⫽ 10 6 ⫹ 8兹
2 CB · CD ⫽ 6 ; CD⫽ 3,6 2冦
CB · BD ⫽ 8 ; BD⫽ 6,4冧
AD2⫽ CD · DB AD ⫽ 4,8Por semejanza: EDA ⬇ DAC, se tiene
⫽ ⫽ ⫽ ⫽ AD ED EA 4,8 ED EA AC DA DC 6 4,8 3,6 ED⫽ 3,84; EA⫽ 2,88 El perı´metro es: P ⫽ AC ⫹ CD ⫹ DE ⫹ EA ⫽ 16,32 m El a´rea es: S ⫽ (AC ⫹ ED) · AE ⬇ 14,17 m2 2
Actividades de ampliacio´n Gauss 4.oESO - Opcio´n B
5.
En el tria´nguloACD:AC⫽ AD2 ⫹ DC2⫽ 26 cm,兹
sean EC ⫽ x, FA ⫽ 10 ⫺ 4 ⫽ 6 cm y EF ⫽ z.
Por la semejanza de los tria´ngulos DEF y DAC:
⫽ ⫽ ⫽ ⫽
FE DE DF z 24⫺ x 4
AC DC AD 26 24 10
x ⫽ 14,4; z⫽ 10,4
El perı´metro del trapecio es:
P ⫽ AF⫹ FE ⫹ EC ⫹ CA ⫽ 56,8 cm
El a´rea es:
SAFEC⫽ SDCA ⫺ SDEF⫽ AD ·DC⫺ FD ·ED ⫽
1 1
2 2
⫽ 100,8 cm2
6.
Los tria´ngulosAMEyANBson semejantes por estaren posicio´n de Tales: AM ⫽ ME
AN NB
Por otro lado:
AN ⫽ AB2 ⫺ NB2 ⫽ 100 ⫺ 36 ⫽ 8 cm
兹
兹
y llamando 2x ⫽ DE, y ⫽ MN, de la relacio´n de
Tales, se tiene: 8 ⫺ y⫽ x y ⫽ 4(6⫺ x)
8 6 3
Teniendo en cuenta que el perı´metro es 20 cm:
4x ⫹ 2y⫽ 20 4x ⫹ 8(6 ⫺ x) ⫽ 20
3
{x ⫽ 3; y⫽ 4}
Los lados del recta´ngulo miden 6 cm y 4 cm.
7.
Los tria´ngulos DAEyCBEesta´n en posicio´n deTa-les: AE ⫽ AD x ⫹ 36 ⫽ 27, cuya u´nica
solu-BE BC 36 x
cio´n posible esx ⫽ 18 m.
Por otro lado:
PROPUESTAS DE EVALUACIO
´N
CRITERIOS
ACTIVIDADES
6
La semejanza en el plano
Gauss 4.oESO - Opcio´n B Propuestas de evaluacio´n
A. Reconocer figuras semejantes y calcular la razo´n de semejanza entre sus
magnitudes: lados, perı´metros y a´reas.
1. Calcula las medidas de los segmentosx,y,zen la siguiente figura. ¿Cua´ntas soluciones hay? E D C F B y x x z A y 2 4 6
2. Las diagonales de un rombo miden 12 y 16 cm, respectivamente. Halla el a´rea de otro rombo semejante de 100 cm de perı´metro.
B. Conocer el teorema de Tales y aplicarlo para representar puntos que determinan segmentos de razones dadas.
3. Dibuja sobre una recta 4 puntos A, B, Cy Dde modo que se verifiquen las siguientes razones: AB ⫽ 2 yAD ⫽ 5. ¿Que´ teorema utilizas para hacerlo?
AC CB
C. Aplicar los criterios de semejanza de tria´ngulos en la resolucio´n de problemas.
4. Para determinar la altura de un objeto, una persona de 1,70 m de altura situ´a un espejo en el suelo entre ella y el objeto, de forma que todos ellos, objeto, espejo y persona, quedan en un mismo plano. Si el espejo dista 10 m del objeto y 2 m de la persona, ¿que´ altura tiene el objeto?
D. Conocer los teoremas relativos a los tria´ngulos recta´ngulos y aplicarlos para resolver problemas.
5. En el tria´ngulo recta´ngulo de la figura, calcula el cateto b, la altura h, correspondiente al ve´rtice A, y el a´rea.
12 27 h b a
E. Conocer los teoremas relativos a los tria´ngulos cualesquiera y aplicarlos en la solucio´n de problemas.
6. Calcula el lado b y la altura h del tria´ngulo de la figura. ¿Se trata de un tria´ngulo recta´ngulo?
10 2 5 B h b C A F. Resolver problemas
geome´tricos en los que incida la semejanza.
7. La buhardilla de una casa es el trapecioABCDde la figura. Se desea colocar el marco de una ventanaDEFGrectangular de 18 metros de perı´metro. Halla las dimensiones del marco.
SOLUCIONES
1.
Por el teorema de Tales:⫽ y ⫽ 3
2 y
4 6
Por la semejanza de los tria´ngulos EDF yECA:
x x ⫹ z 3x
⫽ z⫽
4 10 2
Para cada valor de x se obtiene un valor de z. Hay infinitas soluciones.
2.
Sean D ⫽ 8, d ⫽ 6 las semidiagonales del rombodado, D⬘ y d⬘ las del rombo semejante,x su lado,k
la razo´n de semejanza, ySel a´rea pedida. Se tiene:
D⬘ ⫽ k · D⫽ 8k d⬘ ⫽ k · d ⫽ 6k k⫽ 2,5 2 2 x⫽
兹
D⬘ ⫹d⬘ ⫽10k D⬘⫽20cm冧
冦
4x⫽100 40k⫽100 d⬘⫽15cm S ⫽ 2D⬘d⬘ ⫽ 600 cm23.
Dibujamos una recta, r, y marcamos en ella un pun-to, A. Por este punto, trazamos otra recta, r⬘.r r'
A
Sobre r⬘ llevamos 5 segmentos de igual longitud u, y en ella los puntos C⬘, B⬘ y D⬘. Trazando tres
pa-ralelas por C⬘, B⬘ y D⬘ se obtienen los puntos C, B
y D, que cumplen con las condiciones del problema.
B B' D D' u u u u u A C C'
Efectivamente, aplicando el teorema de Tales:
⫽ ⫽ AC AB AD AB AC⬘ AB⬘ AD⬘ C⬘B⬘ Por tanto: AC AB AB ⫽ ⫽ 2 u 2u AC AD CB
冧 冧
AD ⫽ ⫽ 5 5u u CB4.
Si AP es la persona, BO el objeto, E el espejo,i p ⫽ rp. B O A E r P 10 2 1,7 i
Por la semejanza de los tria´ngulosEAP yEBO, po-demos escribir: BO ⫽ 8,50 BO EB ⫽ AP AE BO 10
冧
⫽ 1,70 2 El objeto mide 8,50 m.5.
Se aplica el teorema de la altura para hallar h:h2⫽ 12 · 27;
h ⫽ 18
La alturah mide 18 cm.
Se aplica el teorema de Pita´goras al tria´nguloAHB:
c⫽ 182 ⫹ 122 ⬇ 21,63
兹
b ⫽ 182 ⫹ 272⬇ 32,45兹
El cateto b mide 32,45 cm. A´rea: S ⫽ (12 ⫹ 27)18⫽ 351 2 El a´rea mide 351 cm2.6.
Se aplica el teorema del cateto:b2 ⫽ 122⫹ 52 ⫺ 2 · 12 · 10; b ⫽ 11
El lado b mide 11 cm.
Teorema de Pita´goras:h ⫽ 52 ⫺ 22 ⫽ 21
兹
兹
El tria´ngulo no es recta´ngulo: 112 ⫹ 52 ⬆ 122
7.
Seanx ey las dimensiones del marco.El lado CB se calcula por el teorema de Pita´goras:
CB ⫽ (3 ⫺ 1,5) ⫹ 4,52 2 ⬇ 4,74
兹
ABCDy EFCD son semejantes, luego sus bases son
proporcionales: ⫽ ; ⫽ ; y⫽ ⬇ 2,12 BA FE 1,5 y 4,5
兹
FE CD y 3De la condicio´n del perı´metro:
2x ⫹ 2y⫽ 18; x ⬇ 6,88
Las dimensiones del marco son: 2,12 m y 6,88 m
ACTIVIDADES DE REFUERZO
6
La semejanza en el plano
1.
Dibuja sobre una recta tres puntos A, B y C, de forma que los segmentos AB y AC tengan una razo´n igual a. ¿En que´ teorema te basas para la construccio´n? 3
2
2.
Un padre y su hijo contemplan una torre de 45 metros de altura. El padre tiene una altura de 1,80 m y proyectauna sombra de 50 cm. El hijo proyecta una sombra de 30 cm. Se pide: a) ¿Que´ altura tiene el hijo?
b) ¿Cua´nto mide la sombra que proyecta la torre en ese momento del dı´a?
3.
Se ha hecho una fotocopia, reducida al 40 %, de un plano en el que aparece dibujado un recta´ngulo. Como eldibujo aparece muy pequen˜o, se ha hecho una ampliacio´n de la fotocopia del plano al 150 %, de modo que en ella los lados del recta´ngulo miden 3 cm y 4 cm. Calcula el a´rea del recta´ngulo original que aparece en el plano.
4.
En un papel rectangular de 90 ⫻ 60 centı´metros se dibuja un recta´ngulo semejante al contorno del papel ycentrado respecto a los lados, cuya a´rea es de 2 400 cm2. ¿A que´ distancia de los bordes del papel quedan los
lados del recta´ngulo?
5.
Las bases de un trapecio iso´sceles miden 18 cm y 30 cm, y la altura, 6 cm. Calcula la altura del tria´ngulo que tiene como lados la base menor del trapecio y las prolongaciones de sus lados no paralelos.6.
La base de un tria´ngulo iso´sceles mide 6 cm, y la altura correspondiente a uno de los lados iguales mide 4 cm. Halla el a´rea del tria´ngulo y el a´rea de otro semejante tal que la razo´n de semejanza respecto del anterior sea de 1,2.7.
La figura muestra parte de la estructura del entramado de la nave de una fa´brica. Con las medidas que se dan, en metros, determina la altura x de la misma.B D E A C x 20 25 20 18 25
8.
Para medir la capacidad de un pozo cilı´ndrico, un agricultor introduce un palo recto de 9,5 m de largo, segu´n se indica en la figura, de forma que la parteCDque sobresale mide 1,5 m, y el extremo del palo,D, esta´ situado a 1 m del suelo. Calcula cua´ntos litros es capaz de almacenar el pozo.A B D h C E 8 1 1,5
SOLUCIONES
1.
Dibujamos r yr⬘.Trazamos sobre r⬘
AB⬘ ⫽ 3 y AC⬘ ⫽ 2.
Las paralelas, por B⬘ y C⬘, cortan arenByC, respectivamente. Por el teorema de Tales, se tiene: u a u u u A B r B' r' C' C ⫽ ⫽ ⫽ AB AC AB AC AB 3 AB⬘ AC⬘ 3 2 AC 2
2.
Sean P, H y T lasal-turas del padre, el hijo y la torre, respectiva-mente, y SP, SH y ST
las longitudes de sus respectivas sombras, en centı´metros. Por seme-janza: H T P ST SP SH ⫽ ⫽ ⫽ ⫽ P H T 180 H 4 500 SP SH ST 50 30 ST H ⫽ 108 cm; ST ⫽ 1 250 cm
3.
Sean L y L⬘ las longitudes, en centı´metros, delob-jeto original y de la u´ltima fotocopia, y S y S⬘ sus
respectivas superficies. Se tiene:
⫽ 0,4 · 1,5 ⫽ 0,6; ⫽ 0,62⫽ 0,36 L S L⬘ S⬘ ⫽ 0,36 S ⫽ 4,32 cm2 S 12
4.
Sean S y S⬘ lassuper-ficies de la hoja de pa-pel y del recta´ngulo, respectivamente. Su ra-zo´n es: a a' b b' ⫽ ⫽ 2,25, por tanto: S 90 · 60 S⬘ 2 400 ⫽ ⫽ ⫽ 1,5 a b 2,25
兹
a⬘ b⬘ a⬘ ⫽ 60 cm; b⬘ ⫽ 40 cm.Al estar centrados, las separaciones son:
⫽ 15 cm; ⫽ 10 cm
a ⫺ a⬘ b ⫺ b⬘
2 2
5.
Los tria´ngulos recta ´n-gulosAEByDECesta´n en posicio´n de Tales. Se tiene: AB ⫽ AE CD DE ⫽ 15 6 ⫹ x 9 x A D x E B C 6 9 15x ⫽ 9 cm, que es la medida de la altura.
6.
Aplicando el teoremade Pita´goras al tria ´n-gulo recta´ngulo DAB:
AD ⫽ x2 ⫺ 9. El
兹
a
´rea S del tria´ngulo
puede calcularse de dos formas: 4 3 A D x E B C S ⫽ AC · BE ⫽ CB · AD 2 2 2x ⫽ 3 x2 ⫺ 9
兹
x ⫽兹
16,2 ⫽ 4,02 cmSu a´rea valeS⫽4,02 · 4⫽ 8,05 cm2. El a´rea del
2
otro tria´ngulo es:S⬘ ⫽ 8,05 · 1,22⫽ 11,59 cm2
7.
Tomando los tria´ngulosACD y ABE,
semejan-tes, por estar en posi-cio´n de Tales, se puede escribir: B D E A C x 20 + 25 25 18 ⫽ ⫽ CD AC x 70 EB AB 18 45 x ⫽ 28 m
8.
Los tria´ngulos recta´ngulosABCyCDEson semejan-tes. Sih es la profundidad del pozo, se tiene:⫽ h ⫽ 5,33 m
h 8
1 1,5
El dia´metro del pozo es:AB⫽ 82 ⫺ h2 ⫽ 5,96 m
