Modelo de dispersión en cilindros de longitud finita

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(1)Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Telecomunicaciones y Electrónica. TRABAJO DE DIPLOMA “Modelo de dispersión en cilindros de longitud finita”. Autor: Carlos Manuel Rodríguez Velázquez Tutor: M.Sc. David Beltrán Casanova Santa Clara 2015 “Año 57 de la Revolución”.

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Telecomunicaciones y Electrónica. TRABAJO DE DIPLOMA Modelo de dispersión en cilindros de longitud finita. Autor: Carlos Manuel Rodríguez Velázquez [email protected]. Tutor: M.Sc. David Beltrán Casanova [email protected]. Santa Clara 2015 "Año 57 de la Revolución".

(3) Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingeniería en Automática, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.. Firma del Autor Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Firma del Autor. Firma del Jefe de Departamento donde se defiende el trabajo. Firma del Responsable de Información Científico-Técnica.

(4) i. PENSAMIENTO. “Para el bien de los hombres con diferente mentalidad, la verdad científica debe presentarse en distintas formas y debe considerarse igualmente científica, independientemente de si se presenta en la clara forma y los vivos colores de una ilustración física o tomando el aspecto sencillo y deslucido de una expresión simbólica.” James Clerk Maxwell (1831-1879).

(5) ii. DEDICATORIA. A mis hermanos, y en especial, a mis padres..

(6) iii. AGRADECIMIENTOS. A mi madre, por su pasión desmedida. A mi padre, por ser mi mejor consejero e incitarme siempre a ser mejor cada día. A mis hermanos, por ponerme metas tan altas a seguir. A mi tutor, por haber aprendido de él, incluso fuera del ámbito académico. A mis incondicionales amigos, con quienes compartí mi vida universitaria. A nuestro sistema social, por no cerrarle las puertas al intelecto y brindarnos el privilegio de poder ser profesionales. A mis compañeros de estudio: Julio César y Pablo Miguel, quienes no pusieron reparos en aportar detalles en este trabajo. A todos aquellos que contribuyeron de una forma u otra a mi formación, gracias..

(7) iv. TAREA TÉCNICA. . Recopilación bibliográfica y estudio sobre la dispersión de las ondas electromagnéticas.. . Análisis de los métodos de predicción y los tipos de RCS.. . Selección de un modelo matemático para el análisis de la RCS biestática en cuerpos que puedan aproximarse a cilindros de longitud finita.. . Simulación con ayuda de MATLAB, del comportamiento de la dispersión de las ondas electromagnéticas.. . Análisis del comportamiento de la RCS biestática en las frecuencias en que operan GPS y WiFi, para cilindros conductores y dieléctricos.. . Proposición de un método de estimación de la atenuación causada por la vegetación.. Firma del Autor. Firma del Tutor.

(8) v. RESUMEN. Este trabajo de diploma es dedicado a la simulación de un modelo matemático que posibilita el análisis del comportamiento de la dispersión de las ondas electromagnéticas, cuando a su paso se encuentran con objetos que pueden ser aproximados a cuerpos cilíndricos; para lograrlo, es necesaria una recopilación bibliográfica y el estudio sobre la dispersión de las ondas electromagnéticas. Además, es analizada la dispersión con el empleo de matriz [S], siendo posible arribar a una caracterización más completa del fenómeno, debido a la dependencia de la sección radar (RCS) de las polarizaciones de transmisión y recepción. Asimismo, se evidencia que el modelo utilizado es viable para analizar el comportamiento de dichas ondas al interactuar con el cuerpo humano, siendo posible simular casos de escenarios reales, como los enlaces GPS y WiFi; dependiendo de dicho escenario, se logra determinar en qué posiciones de transmisión y recepción, la comunicación puede ser favorecida por la dispersión..

(9) vi TABLA DE CONTENIDOS. PENSAMIENTO .....................................................................................................................i DEDICATORIA .................................................................................................................... ii AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................ iii TAREA TÉCNICA ................................................................................................................iv RESUMEN ............................................................................................................................. v INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 1 Organización del informe ................................................................................................... 3 CAPÍTULO 1. 1.1. Dispersión de la energía (scattering). ...................................................................... 4. 1.1.1 1.2. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA ................................................................. 4. Regiones de Dispersión. ................................................................................... 5. Sección radar (RCS). ................................................................................................ 8. 1.2.1. Tipos de RCS. ................................................................................................. 12. 1.2.2. RCS monoestática. .......................................................................................... 13. 1.2.3. RCS biestática y ángulo biestático (β). ........................................................... 14. 1.2.4. Métodos de predicción de la RCS................................................................... 15. 1.2.4.1. Métodos analíticos o exactos (baja frecuencia). ......................................... 16. 1.2.4.2. Métodos aproximados (alta frecuencia). ..................................................... 20. 1.3. Matriz de dispersión. .............................................................................................. 23. 1.4. Conclusiones parciales del capítulo. ...................................................................... 24. CAPÍTULO 2.. MODELO MATEMÁTICO .................................................................... 26. 2.1. Matriz de dispersión biestática para un cilindro con orientación arbitraria. .......... 26. 2.2. Matriz de dispersión biestática para un cilindro orientado verticalmente. ............. 31.

(10) vii 2.3. Formulación para calcular la RCS en cilindros metálicos y dieléctricos. .............. 34. 2.3.1. Incidencia de ondas TM. ................................................................................. 35. 2.3.2. Incidencia de ondas TE. .................................................................................. 36. 2.3.3. Términos contenidos en las expresiones. ........................................................ 36. 2.4. Conclusiones parciales del capítulo. ...................................................................... 38. CAPÍTULO 3.. RESULTADOS Y DISCUSIÓN ............................................................. 39. 3.1. Presentación del software. ...................................................................................... 39. 3.2. Cilindro conductor. ................................................................................................ 40. 3.3. Cilindro dieléctrico................................................................................................. 41. 3.3.1. Análisis de la matriz de dispersión. ................................................................ 42. 3.3.2. Análisis de la RCS biestática. ..................................................................... 43. 3.3.2.1. Escenario WiFi. ....................................................................................... 43. 3.3.2.2. Escenario GPS. ........................................................................................ 47. 3.4. Regiones de dispersión de los distintos escenarios. ............................................... 48. 3.5. Estimación de la atenuación causada por la vegetación......................................... 50. 3.6. Conclusiones del capitulo ...................................................................................... 51. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................... 52 Conclusiones ..................................................................................................................... 52 Recomendaciones ............................................................................................................. 53 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 54 ANEXOS .............................................................................................................................. 56 Anexo I. Funciones de Bessel. ....................................................................................... 56.

(11) INTRODUCCIÓN. 1. INTRODUCCIÓN. E. n los enlaces de comunicación inalámbrica, reviste especial interés la predicción de la propagación. Al modelar la propagación de las ondas radioeléctricas en estos ambientes, es importante caracterizar el canal de comunicaciones, especialmente. cuando no se disponen de datos medidos para el área dada, es por ello que han aparecido los conceptos asociados a ambientes virtuales basados en el conocimiento de las características estadísticas de dichos ambientes. Los sistemas inalámbricos actuales son de naturaleza física compleja si se analizan los canales por los cuales se propaga la señal, más aún, al referir los sistemas móviles urbanos, constituidos por estructuras constructivas disímiles en cuanto a su forma y materiales constructivos, gran cantidad de vehículos móviles y peatones y finalmente la existencia de varios objetos distribuidos en cada una de las áreas, tales como: árboles, señales de tráfico entre otros, donde todos en su conjunto hacen de la propagación por canales de radios en estos entornos un fenómeno complicado tanto para la investigación como para su modelado. Además, estos ambientes son áreas densamente pobladas en cuanto a teléfonos móviles y otros tipos de dispositivos inalámbricos, como consecuencia de ello el estudio de la propagación en estos entornos se hace aún más interesante. En la predicción de la propagación, es importante poder modelar los efectos de ensombrecimiento y multitrayecto que provocan diferentes elementos en la escena, que pueden ser considerados en el análisis como formas cilíndricas, y analizar estos efectos de tal modo, que se puedan obtener valores que indiquen cuanto puede enriquecerse o afectarse un radioenlace producto de la dispersión y el multitrayecto provocado por estas formas cilíndricas..

(12) INTRODUCCIÓN. 2. Si se quiere tener una medida que caracterice la dispersión de las ondas electromagnéticas, entones es valioso utilizar la sección radar (Radar Cross Section), que es un parámetro que se utiliza para caracterizar la reflectividad de un determinado objeto ante la iluminación por parte de una onda electromagnética. Con los años, se han venido desarrollando modelos de ensayo cada vez con mayores prestaciones para medir este parámetro. Esta tesis trata sobre el cálculo de la RCS mediante un modelo matemático, usado para realizar ensayos de escenarios que simulan ondas electromagnéticas interceptadas por un objeto. En ella se discuten aplicaciones e ideas planteadas según las distintas utilidades que han surgido en el análisis de escenarios reales, como comunicaciones WiFi y GPS. También se destaca el interés en profundizar en la RCS biestática y en afrontar la investigación de una nueva técnica de simulación y estimación de la misma. Y es que, en efecto, posiblemente la característica más relevante que se pueda resaltar es que el modelo evaluado permite llevar a cabo medidas biestáticas. Además, en el escenario económico actual, un sistema versátil de este tipo, que concentra gran número de valores físicos que caracterizan un entorno real, cobra aún mayor interés. Estudios de la dispersión provocada por diferentes objetos han demostrado que el aporte a la potencia recibida en un dispositivo, proveniente de estos objetos que provocan la dispersión de la onda radioeléctrica, en ocasiones es considerable. Por ejemplo, en pequeños escenarios la dispersión que se produce en postes y luces de tráfico es comparable en con la reflexión especular que ocurre en las paredes de los edificios y la difracción en los bordes de éstos. Siendo así, es evidente la necesidad del estudio y el modelado de la dispersión en los diferentes objetos presentes en los sistemas móviles inalámbricos, y su posterior implementación en herramientas de predicción de la propagación en estos sistemas. Por tanto, el objetivo de esta investigación es modelar la dispersión que se provoca en cuerpos cilíndricos de longitud finita. Partiendo del hecho de que gran cantidad de los objetos que componen una determinada escena o canal de propagación pueden modelarse a partir de cilindros. Por ejemplo: el cuerpo humano se puede modelar como un cilindro dieléctrico de radio y longitud finita, con sus constantes eléctricas bien definidas, la vegetación puede también ser modelada como cilindros, los postes de alumbrado eléctrico en la generalidad de los casos son cilíndricos, por solo enumerar algunos ejemplos. Como objetivos específicos se proponen:.

(13) INTRODUCCIÓN. . 3. Obtener la matriz de dispersión para cuerpos cilíndricos tanto conductores como dieléctricos.. . Evaluar la dispersión en función de la sección radar equivalente.. . Analizar el comportamiento de la dispersión en escenarios reales (WiFi y GPS).. . Plantear las ecuaciones requeridas para el cálculo de la atenuación en función de la matriz de dispersión.. Organización del informe El informe que se presenta se encuentra organizado en introducción, tres capítulos, conclusiones, recomendaciones, referencias bibliográficas y anexos. Introducción: constituye una breve descripción de los aspectos fundamentales del trabajo. Capítulo I, “Revisión Bibliográfica”: recoge el resultado del estudio del estado del arte y aspectos teóricos relacionados con los temas que serán tratados. Capítulo II, “Modelo Matemático”: muestra las ecuaciones correspondientes para el análisis de la dispersión electromagnética en cilindros de longitud finita y la formulación para calcular la RCS. Capítulo III, “Resultados y Discusión”: recoge los resultados de las simulaciones en cuanto al comportamiento de la RCS, aproximando el cuerpo humano a cilindros en escenarios reales de entornos WiFi y GPS. Conclusiones y Recomendaciones: expresa criterios concluyentes a partir de los resultados obtenidos y emite sugerencias acerca de los resultados y aportes del trabajo. Anexo I, “Funciones de Bessel”: muestra una descripción físico-matemática del empleo de dichas funciones..

(14) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 4. CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. T. anto la industria aeronáutica, como algunos grupos de trabajo de diversas universidades, han realizado un gran esfuerzo en la aplicación de las técnicas numéricas del electromagnetismo para el cálculo de la sección radar1 puesto que. disponer de métodos de cálculo numérico y modelización. Durante el desarrollo de este capítulo se relacionan los aspectos teóricos fundamentales que aportan compresión al tema. Primeramente se describe lo referente a la dispersión (scattering) que provoca una onda electromagnética al encontrarse a su paso con un objeto2, así como las regiones de dispersión. Seguidamente se aborda la sección radar (RCS), los tipos de RCS y se exponen los métodos de predicción más usados para su estimación. Además se define la matriz de dispersión y de esta manera, su uso para el cálculo de la sección radar. 1.1. Dispersión de la energía (scattering).. Cuando una onda electromagnética alcanza una discontinuidad en el medio por el que se propaga, se provoca, dependiendo de las características y geometría de ambos medios, una determinada re-radiación. A esta radiación, que en general puede ser en cualquier dirección del espacio, es a lo que se denomina dispersión o scattering (Escot, 2012). Cuando las ondas electromagnéticas inciden sobre un objeto con una polarización específica, normalmente se difractan o dispersan en “todas” las direcciones. Estas ondas dispersas se dividen en dos partes. La primera parte, está compuesta de ondas que tienen la misma. 1. Medida de la capacidad dispersiva de un cuerpo. En el documento actual, cuando se expresa cuerpo u objeto, se refiere, a cualquier discontinuidad que interfiere con una onda electromagnética. 2.

(15) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 5. polarización que la antena receptora. La otra porción de las ondas dispersas, tendrá una polarización diferente, a la cual la antena receptora no responde. Las dos polarizaciones son ortogonales entre sí. La intensidad de la energía retransmitida por el objeto, que tiene la misma polarización que la antena receptora, se utiliza para definir la RCS de un objeto. Cuando el objeto es iluminado por una onda de radiofrecuencia, este se comporta como una antena (Mahafza, 2002). La onda dispersada por un objeto es proporcional a la relación de su tamaño con la longitud de onda de la onda incidente. De hecho, un cuerpo mucho más pequeño que la longitud de onda incidente no dispersa energía prácticamente. La región de frecuencia donde el tamaño del cuerpo y la longitud de onda son comparables, se conoce como la región de Rayleigh. Así mismo, la región de frecuencia donde el tamaño del objeto es mucho mayor que la longitud de onda del emisor se conoce como la región óptica (Mahafza, 2002). Por lo anterior, se puede decir que el fenómeno de la dispersión se produce cuando la energía electromagnética incide en objetos cuyas dimensiones son del orden de su longitud de onda o inferiores. En estos casos se origina una distribución aleatoria de la energía incidente. El resultado es una disminución de la amplitud de la onda. Estos efectos son mayores cuando el tamaño de los objetos (o de las inhomogeneidades del material en el que se propaga la energía o del reflector en el que incide) es del orden de la longitud de onda (Escot, 2012). 1.1.1 Regiones de Dispersión. Debido a que la RCS depende de la frecuencia de la onda incidente, es necesario nombrar las tres regiones de frecuencia donde la RCS de un objeto es diferente. Las regiones se definen basándose en el tamaño del objetivo en términos de la longitud de onda incidente. Para un objetivo de longitud L, las tres regiones de frecuencia son (Chatzigeorgiadis, 2004): . Región de Rayleigh o de baja frecuencia: En este caso el tamaño típico del cuerpo es mucho menor que la longitud de onda de la onda incidente. A estas frecuencias la variación de fase de la onda plana incidente a lo largo de toda la extensión espacial del objeto es pequeña. Por lo tanto, la corriente inducida en el objeto es aproximadamente constante en amplitud y fase. La forma particular del cuerpo no es importante. Se trata de una situación quasi-estática ya que en cada instante de tiempo, el objeto entero se encuentra bajo la influencia de un campo prácticamente constante..

(16) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 6. Esto provoca una redistribución de cargas y que se induzca un momento dipolar, que es el causante de la re-radiación y, por lo tanto, el mecanismo de dispersión predominante en esta zona. El efecto de la dispersión de Rayleigh es inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda:. 𝑰𝑹 ∝. 𝑰𝟎 𝝀𝟒. (1.1). Donde 𝐼0 es la radiación incidente e 𝐼𝑅 , la debida a Rayleigh. Luego, las longitudes de onda cortas son mucho más dispersadas que las largas. En términos de la RCS: 𝝈 ∝ 𝒇𝟒 . (1.2). Región de Resonancia: Aunque no existen definiciones absolutas, típicamente se toma que la zona resonante se extiende para un tamaño eléctrico que va de uno a diez, (1 ≤ 𝐿⁄𝜆 ≤ 10). Para estas frecuencias, la variación de fase de las corrientes a través del cuerpo es significativa y todas las partes contribuyen a la dispersión. En esta ocasión, la longitud de onda incidente es del orden del tamaño del objeto y la fase va variando notablemente a lo largo del mismo. Esto implica que la interacción entre distintas partes del objeto es importante y que el campo en una de ellas es la suma del campo incidente más el dispersado por las otras partes del objeto. La energía electromagnética queda ligada a la superficie del objeto y se propaga por ella, algo que se conoce como ondas de superficie (surface waves).. . Región Óptica o de alta frecuencia: Tamaño típico del cuerpo es mucho mayor que la longitud de onda de la onda incidente. Para estas frecuencias hay muchos ciclos en la variación de fase de las corrientes a través del cuerpo y en consecuencia, el campo disperso será muy dependiente del ángulo de incidencia. Las interacciones colectivas son muy débiles, de modo que se puede tratar al objeto como un conjunto de centros de dispersión (scattering) independientes. La dispersión neta procedente del objeto es la suma compleja de las contribuciones individuales de cada centro de dispersión. Aunque, las ondas de superficie también están presentes en esta zona, su influencia es menor. En esta zona hay que entender la onda casi como si fuera un rayo de los empleados en óptica..

(17) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 7. La RCS monoestática de una esfera es un ejemplo ilustrativo que permite distinguir estas tres zonas de dispersión (figura 1.1). En la zona Rayleigh, se aprecia cómo, pese a que es pequeña, la RCS aumenta considerablemente con la frecuencia. Cuando la circunferencia está entre uno y diez longitudes de onda, la sección radar tiene un carácter oscilatorio, debido a la interferencia entre la respuesta óptica especular y la creeping wave 3 que va recorriendo la esfera. Por último, cuando la circunferencia es grande con respecto a la longitud de onda, ese comportamiento oscilatorio decae y sólo queda la respuesta óptica, que para una esfera es 𝜎 = 𝜋𝑎2 , su área transversal.. Figura 1.1. Regiones de dispersión. RCS monestática de una esfera de radio 𝒂 = 𝟏𝒎 en función de la frecuencia. La estimación de la RCS y los métodos computacionales dependen en gran medida sobre dónde se ubica el cuerpo en este grupo de regiones. Los métodos exactos son restrictivos a objetos simples o relativamente pequeños de la Región de Rayleigh y la Región de Resonancia, mientras los métodos aproximados han sido desarrollados para la Región Óptica. Existen excepciones a estas limitaciones generales, dependiendo del método utilizado,. 3. Son ondas que se propagan por la zona no iluminada. Aparecen en superficies de curvatura suave y radian en infinitas direcciones del espacio..

(18) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 8. aproximaciones de baja frecuencia pueden ser desarrolladas también en la Región de Resonancia (Rius, 1991). 1.2. Sección radar (RCS).. Es conveniente contar con una magnitud con la que se pueda cuantificar la potencia dispersada en una determinada dirección cuando una onda electromagnética incide sobre un objeto. Esta función la cumple la sección radar (RCS), que se define de forma que consigue el objetivo de caracterizar al objeto que provoca la dispersión, pero con independencia de la potencia puesta en juego por el emisor, la sensibilidad del observador o la distancia entre el objeto y el emisor o el punto de observación (Escot, 2012). La RCS de un cuerpo, es una característica propia del mismo, que dependerá principalmente de sus condiciones estructurales (tamaño, forma, propiedades electromagnéticas del material con que esté hecho,...) y de las peculiaridades de la onda que incida sobre él (frecuencia, polarización, ángulo de llegada,...). Apoyados en la figura 1.2, la RCS es fundamentalmente, una relación de densidades de potencia: por un lado la densidad de potencia dispersada por un cuerpo (scattered power density) y por otro, la densidad de potencia de la onda plana incidente en el cuerpo (incident power density). La RCS es una característica propia del objeto y depende tanto de los parámetros de la onda iluminante, es decir, frecuencia y dirección de incidencia, como de la forma geométrica, constitución, materiales del propio objeto y la dirección de observación (Rius, 1991)..

(19) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 9. Figura 1.2. RCS como relación entre las densidades del campo incidente y el reflejado. La Sección Radar, o RCS, es una figura de mérito que expresa la cantidad de energía electromagnética dispersada por un objeto cuando es "iluminado" por una onda plana, otros prefieren referirse a la misma, como una medida de la energía electromagnética interceptada y re-radiada por un objeto. La RCS es una propiedad de la dispersión de un objeto, la cual está incluida en la ecuación de radar (ecuación 1.3) y representa la parte de la onda dispersada por un cuerpo. 𝑷𝒕𝑮𝒕 𝝈 𝑮𝒓𝝀𝟐 𝑷𝒓 = ( ) ( ) ( ) 𝟒𝝅𝑹𝟐 𝟒𝝅𝑹𝟐 𝟒𝝅. (1.3). donde: . 𝑃𝑟: Potencia dispersada en dirección del observador en Watts.. . 𝑃𝑡: Potencia de la onda incidente en Watts.. . 𝐺𝑡: Ganancia de la antena transmisora.. . 𝐺𝑟: Ganancia de la antena receptora.. . 𝜎: Sección radar del cuerpo en metros cuadrados.. . 𝜆: Longitud de onda de la frecuencia de operación de la onda incidente en metros.. . 𝑅: Distancia entre el emisor y el objeto, en metros..

(20) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 10. Debe notarse que el primer término entre paréntesis representa la densidad de potencia que incide en el objeto (𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠⁄𝑚2). El producto del primer término y el segundo término entre paréntesis representa la densidad de potencia en el receptor debido a la reflexión o dispersión que se produce en el objeto. El tercer término entre paréntesis representa la cantidad de potencia reflejada capturada por la apertura de la antena receptora (Chatzigeorgiadis, 2004). Como la sección radar cualitativamente relaciona la cantidad de energía que golpea un objeto a la cantidad de energía que se dispersa y asumiendo que la densidad de potencia de una onda plana incidente es Si [𝑊 ⁄𝑚2 ], y la potencia dispersada isotrópicamente es 𝑃𝑠 , entonces empleando la sección radar (𝜎) se pude enunciar que: 𝑷𝒔 = 𝝈 ∙ 𝑺𝒊. (1.4). Luego, la densidad de potencia 𝑆𝑠 de la onda dispersada es: 𝑺𝒔 =. 𝑷𝒔 𝟒𝝅𝑹𝟐. (1.5). Donde 4𝜋𝑅 2 es la superficie de la esfera centrada en el objeto con radio 𝑅 y, por lo tanto, el factor 1⁄4𝜋𝑅 2 pone de manifiesto como disminuye la densidad de potencia con la distancia. En términos de electromagnetismo la RCS representa la capacidad reflectora de un cuerpo. Sabiendo esto, es posible comprender la definición formal del IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers), que establece que: La RCS (σ) es una medida de la capacidad dispersiva de un cuerpo definida como 4𝜋 veces el cociente entre la potencia por ángulo sólido, dispersada en una determinada dirección, y la potencia por unidad de área de una onda plana que incide en el cuerpo desde una determinada dirección. Esto permite definir la sección radar en términos de la relación de la densidad de potencia recibida y la que incide como sigue: 𝝈 = 𝟒𝝅𝑹𝟐. 𝑺𝒔 𝑺𝒊. (1.6).

(21) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 11. La expresión asume que un objeto extrae energía de una onda incidente y luego la irradia (reradiación) uniformemente en todas las direcciones, aunque la gran mayoría de los objetos no logran hacerlo. Esta suposición permite calcular la densidad de potencia dispersada sobre una superficie, donde 𝑅 es aquí la distancia entre el objeto y el punto en el que se recibe la potencia dispersada (Mahafza and Elsherbeni, 2003). Puesto que la potencia de una onda electromagnética es proporcional al cuadrado del campo eléctrico (o magnético), matemáticamente, la definición se suele expresar como: 𝝈 = 𝒍𝒊𝒎 (𝟒𝝅𝑹𝟐 𝑹→∞. |𝑬𝒔 |𝟐 ) |𝑬𝒊 |𝟐. (1.7). Por la expresión anterior se entiende que la RCS es el límite del cociente entre los cuadrados de las amplitudes del campo dispersado (𝐸𝑠 ) y el incidente (𝐸𝑖 ), cuando la distancia desde el reflector hasta el punto donde se mide la potencia es muy grande. En efecto, gracias a esta definición, la RCS es independiente de la potencia de salida del emisor y de la distancia emisor-objeto, ya que está normalizada por la densidad de potencia de una onda plana. Del mismo modo, en el lado receptor, el efecto de la propagación y la distancia queda eliminado al normalizar la potencia dispersada por 1⁄4𝜋𝑅 2 . El límite que aparece en la ecuación 1.7 indica que, por definición, la potencia dispersada se ha de medir en condiciones de onda plana. Incluir el límite no siempre es un requerimiento absoluto. En la medición y análisis, el emisor y el punto de observación se encuentran generalmente ubicados en campos lejanos al cuerpo, y en esa distancia, el campo dispersado 𝐸𝑠 decae inversamente con la distancia 𝑅. Entonces, el término 𝑅 2 en el numerador de la ecuación 1.7, es cancelado por un 𝑅 2 implícito en el denominador. Consecuentemente, la dependencia de la RCS sobre la distancia 𝑅 y la necesidad del límite, usualmente desaparecen (Skolnik, 2008). No es casualidad que la unidad de medida de la RCS sea el 𝑚2 , puesto que la Sección Radar da una idea de la superficie que debería de tener una esfera centrada en la posición del objeto para dispersar un campo idéntico al objeto analizado en la dirección observada (Carbó, 2013). También se expresa a menudo en 𝑑𝐵𝑠𝑚 (debido al gran margen dinámico) basada en una escala logarítmica referenciada con respecto a 1𝑚2 ..

(22) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 𝛔(𝐦𝟐 ) 𝛔(𝐝𝐁𝐬𝐦𝟐 ) = 𝟏𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 [ ] 𝟏𝐦𝟐. 12 (1.8). Esto no se refiere necesariamente al tamaño físico de un cuerpo. Si bien es cierto que grandes cuerpos tienen una RCS mayor, no todos los mecanismos de dispersión de RCS se relacionan con el tamaño. Si un cuerpo dispersa la energía uniformemente hacia todos los ángulos, la sección radar será igual a la parte de la potencia que fue extraída de la onda incidente. Como la esfera tiene la propiedad de dispersar isotrópicamente, es conveniente entonces interpretar la sección radar en términos energía dispersada del área de una esfera equivalente. Desafortunadamente, muy pocos objetos reales son esféricos y la RCS de objetos complejos son funciones complicadas (Mahafza, 2002). Valores típicos de RCS pueden estar en el intervalo de 10−5 𝑚2 para insectos a 106 𝑚2 para grandes buques. Algunos valores típicos de RCS para diferentes objetos se observan en la tabla 1.1. Tabla 1.1Valores típicos de RCS para distintos cuerpos. Cuerpo Insecto Pájaro Hombre Avión Pequeño Avión Comercial. 𝜎[m2] 10-5 10-3 1 2 40. 1.2.1 Tipos de RCS. La posición relativa del transmisor y el receptor con respecto al cuerpo permite hacer una conveniente división para clasificar la RCS. Para ello, es útil apoyarse en el denominado ángulo biestático (comúnmente denotado por la letra griega β), definido como el menor ángulo posible que se pueda formar entre esos tres elementos (emisor, objeto y observador). Vigente por el Estándar (IEEE, 1997), se distinguen los siguientes casos: . RCS monoestática o de dispersión trasera (backscatter): Las direcciones de la onda incidente y dispersada son iguales, pero los sentidos son opuestos (𝛽 = 0𝑜 ). El caso monoestático es el más común, transmisor y observador están en la misma ubicación..

(23) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. . 13. RCS quasi-monoestática: En este caso, emisor y punto de observación mantienen una pequeña separación angular (𝛽 ≈ 0𝑜 ). Para muchos objetos simples, la RCS quasimonoestática es igual a la RCS monoestática, tras aplicar una pequeña corrección.. . RCS de dispersión frontal (forward scattering): Se trata de la dispersión producida por el objeto hacia adelante, es decir, en el mismo sentido de la onda incidente (𝛽 = 180𝑜 ). Medir la RCS en esta región es muy complicado debido a la elevada influencia, precisamente, del campo incidente.. . RCS biestática: Las direcciones al onda incidente y dispersada son diferentes (0𝑜 ≪ 𝛽 < 180𝑜 ). Esta es la zona genérica definida para el resto de valores del ángulo biestático.. En el presente trabajo se aborda con más hincapié el caso biestático, puesto que el desarrollo del escenario monoestático ha superado al biestático y convierte a este último en más complejo y desconocido. Por estas razones ha impedido a ingenieros poder explotar todas las ventajas inherentes que presenta la configuración biestática como son la reducción del centelleo, el ajuste del clutter4, la mejora de la solución en el plano vertical y la de más interés, la mejora de la RCS, entre otras muchas más (Eigel Jr, 1999). 1.2.2 RCS monoestática. La RCS definida por la ecuación 1.7 es llamada RCS monoestática o de dispersión trasera.. β =0 Emisor y Punto de observación. Figura 1.3. Representación del caso monoestático.. 4. Se puede definir el clutter como el ruido provocado por los ecos o reflexiones no deseadas..

(24) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 14. La RCS monestática es una medida de la onda dispersada en la dirección de la onda incidente y tiene la misma polarización del receptor. Representa esta una porción de la RCS total dispersada (𝜎𝑡 ) designada dónde 𝜎𝑡 > 𝜎. Asumiendo un sistema de la coordenada esférico definido por (𝜌, 𝜃, 𝜙). Los ángulos (𝜃𝑖 , 𝜙𝑖 ) definen la dirección de propagación de las ondas incidentes y los ángulos (𝜃𝑠 , 𝜙𝑠 ) definen la dirección de propagación de las ondas dispersas (Rius, 1991). En el caso en el que 𝜃𝑠 = 𝜃𝑖 y 𝜙𝑠 = 𝜙𝑖 , se dice que la RCS es monestática. 1.2.3 RCS biestática y ángulo biestático (β). Según el sistema de coordenada esférico asumido en el apartado anterior cuando los ángulos de incidencia y de dispersión se relacionan como sigue 𝜃𝑠 ≠ 𝜃𝑖 y 𝜙𝑠 ≠ 𝜙𝑖 , se expresa que la RCS es biestática. La sección radar depende, por tanto, de la dirección de observación, porque el objeto dispersa la energía electromagnética incidente de diferente manera en diferentes direcciones. La RCS total está dada por:. 𝝈𝒕 =. 𝟏 𝟐𝝅 𝝅 ∫ ∫ 𝝈(𝜽𝒔 , 𝝋𝒔 ) 𝒔𝒊𝒏 𝜽𝒔 𝒅𝜽𝒔 𝒅𝝋𝒔 𝟒𝝅 𝝋𝒔=𝟎 𝜽𝒔 =𝟎. (1.9). En el caso biestático, la energía re-irradiada por el cuerpo y la cual está en la dirección del observador, es recibida por el mismo, distinto a su contraparte monoestática. Ya que este se encuentra en una ubicación arbitraria diferente a la de la onda incidente, el sistema se convierte en el tipo biestático, representado en la figura 1.4..

(25) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. Emisor. 15. β 0. Punto de observación. Figura 1.4. Representación del caso biestático. Basados en la figura 1.5, el ángulo que se genera entre el haz de iluminación (emisión de la onda) y el haz emitido del objeto al punto de observación se denomina ángulo biestático (β), cuya consideración es importante tener en cuenta para el desarrollo del algoritmo de predicción de la RCS biestática presentado más adelante.. β. Figura 1.5. Representación del ángulo biestático. Cuando el ángulo biestático es pequeño, la RCS biestática es similar a la RCS monoestática, pero cuando éste ángulo se aproxima a 180o, la RCS biestática se vuelve muy grande (Carbó, 2013, Skolnik, 1981). 1.2.4 Métodos de predicción de la RCS. La mayoría de los sistemas utilizan RCS como un medio de discriminación. Por lo tanto, la predicción precisa de la RCS de un objetivo, es fundamental para poder diseñar y desarrollar.

(26) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 16. algoritmos de discriminación robustos. Además, la medición y la identificación de los centros de dispersión para un objetivo dado ayuda en el desarrollo de técnicas de reducción de RCS (Mahafza, 2002). El cálculo de la RCS requiere conocimiento técnico amplio, por lo que muchos científicos y estudiosos encuentran el tema desafiante e intelectualmente estimulante. La función de un modelo de dispersión o scattering es calcular la sección radar de un cuerpo dado. Este tipo se denomina modelo directo: dada las características de la onda transmitida (geometría de observación, longitud de onda de operación y polarización) y las características del cuerpo (geométricas y dieléctricas), la tarea consiste en calcular la señal retro-dispersada a través del coeficiente 𝜎 (la sección radar del cuerpo observado), que es la única variable física que se puede medir lejanamente. Según la clasificación, los métodos de predicción se dividen en exactos (numéricos o de baja frecuencia) y aproximados (de alta frecuencia). Los mecanismos para cálculo de la dispersión son bastante complicados incluso para objetos de geometría muy simple, por el hecho de que las ondas dispersadas (scattering) son fuertemente dependientes de la frecuencia, la polarización y el ángulo de orientación del cuerpo. 1.2.4.1 Métodos analíticos o exactos (baja frecuencia). Los métodos exactos de predicción RCS son muy complejos, incluso para objetos de forma simple. Esto es debido a que requieren la solución de ecuaciones diferenciales o integrales que describen las ondas dispersas desde un objeto bajo el conjunto adecuado de las condiciones de frontera. Esta solución analítica para la predicción de la RCS consiste en resolver las ecuaciones de Maxwell con las condiciones de contorno impuestas por la superficie del objeto (Rius, 1991). La RCS de cuerpos simples puede ser computada exactamente por una solución de la ecuación de onda en un sistema coordenado, para la cual, una coordenada constante coincide con la superficie del cuerpo: ∇2 𝐹⃗ + k 2 𝐹⃗ = 0. (1.10).

(27) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 17. ⃗⃗ y 𝑘 es el Donde 𝐹⃗ representa cualquier vector de campo eléctrico 𝐸⃗⃗ o campo magnético 𝐻 número de onda o constante de fase. La ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden que puede ser resuelta como un problema de valores en la frontera donde los campos sobre la superficie del obstáculo de dispersión son especificados. La solución exacta requiere que los campos eléctricos y magnéticos dentro y fuera de la superficie satisfagan ciertas condiciones que dependen de las propiedades electromagnéticas del material de la superficie del cuerpo (Skolnik, 1981). La ecuación (1.10) se puede satisfacer con cada una de las tres componentes del campo 𝐹⃗ . Si se representa cualquiera de los componentes del vector por una función 𝑉, entonces 𝑉 es una solución a la ecuación de onda escalar: ∇2 𝑉 + k 2 𝑉 = 0. (1.11). Para resolver esta ecuación usando separación de variables, se representa la función 𝑉 en términos de otras tres funciones, cada una de las cuales depende solamente de una coordenada: 𝑉(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = 𝑉1 (𝑢1 )𝑉2 (𝑢2 )𝑉3 (𝑢3 ). (1.12). Donde 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 representan las tres coordenadas. Estas podrían ser 𝑋,𝑌 y 𝑍 del sistema rectangular ó 𝑟, 𝜃 y 𝜑 del sistema esférico. La separación de variables se enfoca en resolver ecuaciones diferenciales parciales, dando tres ecuaciones diferenciales ordinarias, donde cada una envuelve un par de constantes separadas. Estas constantes deben ser determinadas recurriendo a las condiciones de frontera del problema a resolver (Knott et al., 2004). Cuando se utiliza este método, la ecuación de onda da la solución exacta para los campos totales en cualquier parte del espacio, y típicamente el campo incidente es expandido en términos de ondas elementales en el sistema coordenado inicialmente usado. Cuando el campo disperso es normalizado al campo incidente, se eleva al cuadrado y luego se multiplica por el área de una esfera cuyo radio es la distancia al punto de observación, así se obtiene la RCS. Aunque las soluciones exactas son realizables, son a menudo difíciles de interpretar y de programar (Díaz, 2005)..

(28) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 18. Las soluciones analíticas constituyen ejercicios académicos interesantes y pueden en algunos casos describir los mecanismos de dispersión, pero estas no se ajustan a la gran mayoría de los objetos, por lo que es necesario en ocasiones utilizar otro tipo de métodos. Además, la complejidad existente para resolver la RCS por medio de métodos analíticos para cuerpos complejos o eléctricamente grandes, hace necesario el uso de ordenadores para el cálculo numérico y de métodos que computen una aproximación del campo dispersado. En aplicaciones reales, estos métodos son prohibitivos al aplicarlos a cuerpos de gran tamaño, excepto para radares de baja frecuencia, por esta razón, se le da este nombre a dichos métodos. Un enfoque alternativo es la solución de ecuaciones integrales gobernadas por la distribución de los campos inducidos sobre la superficie del objeto. La aproximación más utilizada es una solución por medio del método de los momentos (MoM), en el cual, las ecuaciones integrales son reducidas a un sistema de ecuaciones lineales homogéneas. La razón para utilizar este método es que el perfil de superficie del cuerpo no tiene restricción, lo que permite el cálculo de la dispersión de cuerpos complejos. Otra razón es que los métodos ordinarios de solución como inversión de matrices o eliminación gaussiana, pueden ser empleados para lograr una solución, aunque este tipo de métodos es limitado por memoria computacional y tiempo de ejecución (Skolnik, 1981). . Método de los momentos (MoM). Las ecuaciones integrales formuladas a partir de las ecuaciones de Maxwell son exactas y válidas para cuerpos muy grandes o muy pequeños comparados con la longitud de onda (Knott et al., 2004). En este tipo de métodos se destaca el método de momentos, el cual es muy similar al procedimiento Rayleigh-Ritz para resolver ecuaciones integrales. La formulación exacta calcula la influencia de cada parte del cuerpo con otra parte, por lo que todos los fenómenos electromagnéticos están incluidos: región especular, región final, difracción, rebote múltiple, traveling5, creeping, entre otros.. 5. Reflexión producida en la parte del objeto iluminada por la onda incidente..

(29) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 19. En el caso de la predicción de la RCS por medio del método de los momentos, las ecuaciones integrales se derivan de las ecuaciones de Maxwell y de las condiciones de frontera. El método de los momentos reduce las ecuaciones integrales a un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas que pueden ser resueltas utilizando álgebra matricial estándar. La mayoría de formulaciones en MoM requieren una discretización del cuerpo y por lo tanto, es compatible con el método de elementos finitos (Chatzigeorgiadis, 2004). En muchas ocasiones se utilizan ambos métodos en tándem para encontrar la RCS de un objetivo. La discretización de las ecuaciones integrales en el dominio del tiempo o de la frecuencia por el método de los momentos puede resumirse en los siguientes pasos: . Desarrollar la incógnita 𝐽⃗𝑠 en una serie de funciones base con coeficientes desconocidos.. . Muestrear las ecuaciones integrales con ayuda de funciones de prueba o funciones de peso. El resultado es un sistema de ecuaciones matriciales de la forma: [𝐴] ⋅ [𝐽] = [𝐸𝑖 ]. . (1.13). Invertir la matriz [𝐴]. Puede realizarse por técnicas directas (descomposición LU) o iterativas (gradiente conjugado).. . Calcular las corrientes inducidas a partir del campo incidente: [𝐽] = [𝐴]−1 ⋅ [𝐸𝑖 ]. . (1.14). Calcular el campo dispersado por el objeto a partir de la radiación de las corrientes inducidas 𝐽⃗𝑠 .. . Hallar el campo difractado total como suma del incidente más el dispersado.. Este método provee una rigurosa solución del problema de predicción de la RCS, dando resultados muy exactos. Por este motivo, este método tiende a producir largas matrices, resultando en altos requerimientos computacionales e incrementando el tiempo de utilización de cualquier software. El MoM no es práctico para objetos grandes a altas frecuencias, debido entonces a limitaciones computacionales..

(30) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 20. Para la discretización de las ecuaciones integrales es necesario modelar geométricamente el objeto. Las técnicas más utilizadas son (Rius, 1991): . Modelado por hilos.. . Modelado por facetas o celdas superficiales.. . Modelado por celdillas tridimensionales.. Los dos primeros métodos solo se aplican cuando la superficie del objeto es homogénea, por lo tanto para aplicaciones prácticas se modela mediante cedillas tridimensionales. Para una discretización adecuada de las ecuaciones integrales y de las variables que intervienen en ellas, el tamaño de las celdillas es del orden de 𝜆⁄8. 1.2.4.2 Métodos aproximados (alta frecuencia). Debido a las dificultades asociadas con la predicción exacta, los métodos aproximados se han convertido en la alternativa viable. La mayoría de los métodos aproximados son válidos en la región óptica, y cada uno tiene sus propias fortalezas y limitaciones. La mayoría de los métodos aproximados pueden predecir RCS con errores de pocos 𝑑𝐵. En general, una variación de este tipo es bastante aceptable para ingenieros y diseñadores. Los métodos aproximados suelen ser la principal fuente para la predicción de RCS de cuerpos amplios y complejos. No obstante, resultados experimentales están disponibles, que pueden ser utilizados para validar y verificar las aproximaciones. Algunos de los métodos aproximados más comúnmente utilizados son: Óptica Geométrica, Óptica Física, Teoría Geométrica de la Difracción (GTD), Teoría Física de Difracción (PTD), y el Método de Corrientes Equivalentes (MEC) (Díaz and Gómez, 2011). Cuando las dimensiones características del objeto, como longitud, anchura y radios de curvatura de las superficies son grandes comparados con la longitud de onda, se aplican métodos de alta frecuencia. En este rango de banda, el obstáculo de dispersión debe ser de cinco longitudes de onda en tamaño, aunque pueden obtenerse resultados razonables para objetos más pequeños que esto (Knott et al., 2004). La simplicidad de los métodos de alta frecuencia se debe a que consideran la difracción como un fenómeno local: cada parte del cuerpo difracta los campos incidentes de forma independiente de los demás centros de difracción. De esta forma, pueden aproximarse los.

(31) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 21. campos inducidos en una región del cuerpo como debidos únicamente al campo incidente, sin incluir el campo re-radiado por otras partes del mismo. La teoría de alta frecuencia permite descomponer el cuerpo en una serie de centros de eco, calcular los campos dispersados por cada uno de ellos por separado y obtener el campo total como la suma coherente de los campos dispersados por todos los centros de eco. Cuando alguno de los centros presenta dimensiones características del orden de la longitud de onda, puede calcularse el campo dispersado por este centro, utilizando métodos de baja frecuencia, y sumar coherentemente el resultado al obtenido para los demás centros de eco por métodos de alta frecuencia (Rius, 1991). De estos métodos el de Óptica Física es el idóneo para estimar la RCS de cilindros de longitud finita (Enriquez, 2013). . Óptica física: El método de óptica física estima la corriente inducida sobre la superficie de un cuerpo arbitrario debido a la radiación incidente. Los campos radiados se obtienen a partir de la solución de la ecuación integral de Stratton-Chu en campo lejano mediante la aproximación del plano tangente. Las ecuaciones integrales de Stratton-Chu dan el campo dispersado por el obstáculo a partir del campo total sobre la superficie del mismo:. ⃗⃗ )𝐺 + (𝑛̂ ∙ 𝐸⃗⃗ )∇𝐺] 𝑑𝑠 𝐸⃗⃗ = ∮ [−𝑖𝑘𝜂(𝑛̂ × 𝐻. (1.15). 𝑆. ⃗⃗ = ∮ [𝑖𝑘 1 (𝑛̂ × 𝐸⃗⃗ )𝐺 + (𝑛̂ × 𝐻 ⃗⃗ ) × ∇𝐺 + (𝑛̂ ∙ 𝐻 ⃗⃗ )∇𝐺] 𝑑𝑠 𝐻 𝑆 𝜂. (1.16). donde: 𝑘: Número de onda. 𝑛̂: Vector normal a la superficie. 𝜂: Impedancia de la onda en el vacío. 𝐺: Función de Green en el espacio libre. Estas ecuaciones son válidas para analizar la dispersión de una superficie cerrada, ya que si la superficie es abierta es necesario añadir integrales de superficie adicionales para limitar la superficie libre..

(32) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 22. El método de óptica física permite hacer dos simplificaciones inmediatas, una de ellas es la aproximación en campo lejano, en el que la distancia 𝑅 desde el objeto hasta el punto de observación es mucho mayor que cualquier dimensión del obstáculo. Bajo las condiciones de campo lejano, las integrales de línea de las ecuaciones anteriores pueden ser aproximadas como integrales de superficie; de allí resulta la otra simplificación, la cual propone que no habrá ninguna componente de la distribución del campo a lo largo de la dirección de dispersión de la superficie. En el cálculo de objetos complejos en alta frecuencia las componentes de los campos dispersos pueden ser calculadas y añadidas antes de elevar al cuadrado para obtener la potencia dispersada. Así se mantendrá la relación de fase entre los distintos objetos de dispersión, de manera que los efectos de interferencia son correctamente representados (Knott et al., 2004). Los errores cometidos con la aproximación de Óptica Física son (Rius, 1991): . Al no considerar la difracción en las aristas, no obtiene información de polarización, es una aproximación escalar. De todas formas, la contribución de las aristas es de varios órdenes de magnitud inferior a la de las superficies de gran radio de curvatura iluminada perpendicularmente, y crece más despacio con la frecuencia.. . No incluye la contribución de las zonas de sombra (creeping waves). Este efecto es despreciable en cuerpos a las frecuencias de trabajo habituales.. . La discontinuidad de las corrientes en la transición entre zona iluminada y oscura produce oscilaciones espurias, pero su amplitud es pequeña y pueden eliminarse mediante la aproximación de fase estacionaria.. . Sólo proporciona resultados con muy buena aproximación cuando domina la reflexión especular de grandes superficies. Sin embargo, ésta es la situación más frecuente.. Teniendo en cuenta la importancia relativamente pequeña de los errores cometidos al estimar la RCS en alta frecuencia y la simplicidad de la formulación de Óptica Física, es la aproximación ideal para estimar la RCS en tiempo real con una estación de trabajo de altas prestaciones y de coste moderado, sin necesidad de recurrir a súper ordenadores..

(33) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 1.3. 23. Matriz de dispersión.. La sección radar, dado que se define como un área, es una magnitud escalar, pero depende de la polarización de la onda incidente y de la onda dispersada. Una descripción más completa de la dispersión de un cuerpo viene dada por la matriz de dispersión [𝑆], o Polarization Scattering Matrix (PSM), que relaciona el campo dispersado 𝐸 𝑠 con el campo incidente 𝐸 𝑖 (𝐸 𝑖 > 𝐸 𝑠 ), componente a componente (Escot, 2012): 𝐸 𝑠 = 𝑆𝐸 𝑖. (1.17). Como el campo está contenido en un plano, se puede descomponer en función de dos polarizaciones que se hayan elegido ortogonales entre sí, y entonces la PSM, es una matriz [2 × 2]. Cuando una onda polarizada linealmente incide sobre un cuerpo, el campo dispersado es representado por (Mahafza, 2002): [. 𝑬𝒔𝑽 𝑬𝒊𝑽 𝑺𝑽𝑽 [𝑺] ] = ∗ [ 𝒊 ] = [𝑺 𝑬𝒔𝑯 𝑬𝑯 𝑯𝑽. 𝑬𝒊 𝑺𝑽𝑯 ] ∗ [ 𝒊𝑽 ] 𝑺𝑯𝑯 𝑬𝑯. (1.18). Esta matriz describe los cambios de polarización entre la onda incidente y la dispersada por el cuerpo y es función de la frecuencia de operación y de la orientación del cuerpo. La matriz de dispersión es un matriz cuadrada utilizada para relacionar una serie de ondas incidentes, reflejadas o una red de n-puertos, representando componentes de guía de onda o discontinuidad. Generalmente, cada elemento de la matriz (llamado parámetro de dispersión) se asocia a la amplitud de la onda reflejada o transmitida debido al efecto de una onda incidente (Laplante, 2000). Los términos 𝑆𝑖𝑗 son por lo general números complejos y cada uno representa una combinación de polarizaciones ortogonales, 𝐻 y 𝑉 representan las componentes horizontal y vertical de los campos, respectivamente, en las que se pueden descomponer cualquier polarización (Rius, 1991). Los parámetros 𝑆𝑣𝑣 y 𝑆ℎℎ caracterizan la respuesta co-polar del objeto (misma polarización que el campo incidente), mientras que 𝑆ℎ𝑣 y 𝑆𝑣ℎ representan la respuesta contra-polar o crosspolar (polarización ortogonal a la del campo incidente) (Rius, 1991)..

(34) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 24. En cualquier caso, las componentes de la matriz de dispersión están relacionadas con la raíz cuadrada de la sección radar como sigue:. 𝑆𝑖𝑗 =. (1.19). √𝜎𝑖𝑗 4𝜋𝑅 2. De ello se deduce que una vez que se especifica una matriz de dispersión, la sección radar equivalente se puede calcular para cualquier combinación de polarizaciones de transmisión y recepción. Siendo 𝜎 ahora entendida como un número complejo, con módulo y fase que, recordando (ecuación 1.7), se puede definir entonces como: √𝜎 = lim 2√𝜋𝑅 𝑅→∞. 1.4. 𝐸𝑠 |𝐸𝑖 |. (1.20). Conclusiones parciales del capítulo.. Tras una panorámica sobre el tema, se puede arribar a varias conclusiones parciales, primeramente que la RCS es función de la forma y materiales que constituyen la superficie del objeto, de la frecuencia de operación, de las direcciones de incidencia y de observación relativas al cuerpo, así como de la polarización de la onda. Se evidencian las ventajas que presenta el caso biestático con respecto al monoestático incluyendo la mejora de la RCS, principal incentivo para la realización de este trabajo de grado. Además, es posible arribar a una descripción más completa del objeto a través de la matriz de dispersión [S], debido a la dependencia de la RCS con las polarizaciones. Los métodos de predicción de alta frecuencia dada su simplicidad son los que más se utilizan para determinar la RCS de disímiles objetos. De estos métodos, el de Óptica Física es el idóneo para estimar la RCS de cilindros de longitud finita. El método de Óptica Física no asume cuanto se deforma el patrón de dispersión, por lo que no logra una aproximación exacta, además no tiene en cuenta que los cuerpos no son simétricos, que la sección radar depende en gran medida del ángulo de incidencia de la onda y el de observación (ya que pudieran analizarse mínimos, máximos o un nulos en el patrón de dispersión) y que la dispersión de la onda incidente va a depender en gran medida de la forma del patrón de dispersión del objeto. Al contrario del método empleado y desarrollado.

(35) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 25. en los siguientes apartados, que al erradicar las deficiencias antes mencionadas, logra mejorar el análisis del comportamiento de la dispersión..

(36) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 26. CAPÍTULO 2. MODELO MATEMÁTICO. E. n el presente capítulo se desarrolla el modelo matemático que posibilita determinar la sección radar equivalente en cilindros de longitud finita, esta vez se logra con el empleo de la matriz de dispersión (matriz S), primeramente para. cilindros con orientación arbitraria y luego, orientados verticalmente. Por último se ofrece la formulación para el cálculo de la RCS de cilindros metálicos y dieléctricos, tanto para incidencia de ondas TE como TM. 2.1. Matriz de dispersión biestática para un cilindro con orientación arbitraria.. Seguidamente se relacionan las ecuaciones que describen el fenómeno de dispersión en un cilindro dieléctrico de longitud finita con orientación arbitraria, para el caso biestático. Para describir la dispersión, se usa un sistema de coordenadas cartesianas (figura 2.1), para un cilindro donde la orientación se muestra al usar un vector unitario alineado por el eje más largo, de la siguiente forma: 𝐂(θc , ϕc ) = sin 𝜃𝑐 cos 𝜙𝑐 𝑿 +sin 𝜃𝑐 sin 𝜙𝑐 𝒀 + cos 𝜃𝑐 𝒁. (2.1). Al incidir una onda electromagnética sobre este cilindro, el vector de propagación de la onda incidente puede ser escrito como: 𝑲𝑖 = −sin 𝜃𝑖 cos 𝜙𝑖 𝑿 −sin 𝜃𝑖 sin 𝜙𝑖 𝒀 − cos 𝜃𝑖 𝒁. (2.2). Es de interés el campo disperso, que es representado por el vector de propagación: 𝑲𝑠 = −sin 𝜃𝑠 cos 𝜙𝑠 𝑿 −sin 𝜃𝑠 sin 𝜙𝑠 𝒀 − cos 𝜃𝑠 𝒁. (2.3).

(37) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 27. Al emplear el sistema de coordenadas, se definen los dos tríos de coordenadas locales para describir las componentes transversales de los campos incidente y disperso. Estas coordenadas son definidas como: 𝑽𝑖 = − cos 𝜃𝑖 cos 𝜙𝑖 𝑿 − cos 𝜃𝑖 sin 𝜙𝑖 𝒀 + sin 𝜙𝑖 𝒁. (2.4). 𝒉𝑖 = sin 𝜙𝑖 𝑿 − cos 𝜙𝑖 𝒀. (2.5). 𝑽𝑠 = − cos 𝜃𝑠 cos 𝜙𝑠 𝑿 − cos 𝜃𝑠 sin 𝜙𝑠 𝒀 + sin 𝜙𝑠 𝒁. (2.6). 𝒉𝑠 = sin 𝜙𝑠 𝑿 − cos 𝜙𝑠 𝒀. (2.7). Figura 2.1. Sistema de coordenadas cartesianas usado en los cálculos. La onda incidente es una onda electromagnética plana puesto que el cilindro es de tamaño finito y la onda dispersa es, en general, una onda esférica que se propaga fuera del cilindro. Se supone conocidas las expresiones para la matriz de dispersión [𝑆] de un cilindro orientado verticalmente, para el caso biestático y se denota la misma por 𝑆(𝜃𝑖 , 𝜙𝑖 , 𝜃𝑠 , 𝜙𝑠 )..

(38) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 28. La expresión para relacionar las ondas incidente y dispersa según (Eigel Jr, 1999) es:. 𝑬. 𝑠𝑐. =. [𝑺]𝑬𝑖𝑛𝑐. El término [. 𝑒 𝑖𝑘𝑟 𝑟. 𝑒 𝑖𝑘𝑟 𝑟. (2.8). ] indica la amplitud y la fase de una onda esférica explícitamente. Por esta. definición, la matriz de dispersión no es dimensional. En (Van del Hulst, 1981) se define el denominador de la onda esférica como 𝑘𝑟; donde la matriz de dispersión es dimensional. En el caso en cuestión, la dimensión de los elementos de la matriz de dispersión es calculada. Para ello se definen dos sistemas de coordenadas locales para las ondas incidente y dispersa, de manera que estas expresiones caractericen el esparcimiento de esos dos sistemas coordenados. Se denota estos sistemas coordenados por vectores. Se comienza con la incidencia del campo eléctrico, que se escribe como: 𝑖𝑛𝑐 ′ ′ 𝑬𝑖𝑛𝑐 = 𝐸ℎ𝑖𝑛𝑐 𝒉𝑖 + 𝐸𝑣𝑖𝑛𝑐 𝒗𝑖 = 𝐸ℎ𝑖𝑛𝑐 ′ 𝒉𝑖 + 𝐸𝑣 ′ 𝒗𝑖. (2.9). Que también se puede escribir como sigue: 𝐸ℎ′ 𝑖𝑛𝑐 𝒉𝑖 · 𝒉′𝑖 𝒗𝑖 · 𝒉′𝑖 𝐸ℎ 𝑖𝑛𝑐 ( ) =( )( ) 𝐸𝑣′ 𝒉𝑖 · 𝒗′𝑖 𝒗𝑖 · 𝒗′𝑖 𝐸𝑣. (2.10). La matriz de dispersión biestática asocia las ondas incidente y dispersa en los sistemas de coordenadas locales, alineados con el eje del cilindro, de la siguiente manera: 𝐸ℎ′ 𝑠𝑐 𝐸ℎ′ 𝑖𝑛𝑐 ( ) = 𝐒(𝜃𝑖𝑐 , 𝜙𝑖𝑐 , 𝜃𝑠𝑐 , 𝜙𝑠𝑐 ) ( ) 𝐸𝑣′ 𝐸𝑣 ′. (2.11). Donde los subíndices 𝑖𝑐 y 𝑠𝑐 indican que los ángulos son relativos a la orientación del cilindro, en vez del eje z, como es el caso del cilindro orientado verticalmente, que será mostrado posteriormente. La onda dispersa puede también ser escrita como:.

(39) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 𝑬𝑠𝑐 = 𝐸ℎ𝑠𝑐 𝒉𝑠 + 𝐸𝑠𝑠𝑐 𝒗𝑠 = 𝐸ℎ𝑠𝑐′ 𝒉′𝑠 + 𝐸𝑣𝑠𝑐′ 𝒗′𝑠. 29 (2.12). La cual se puede mostrar como: 𝐸ℎ 𝑠𝑐 𝒉𝑠 · 𝒉′𝑠 𝒉𝑠 · 𝒗′𝑠 𝐸ℎ′ ( ) =( )( ) 𝐸𝑣 𝒗𝑠 · 𝒉′𝑠 𝒗𝑠 · 𝒗′𝑠 𝐸𝑣′. 𝑠𝑐. (2.13). Al sustituir las ecuaciones (2.10), (2.11) y (2.13), se llega a la matriz de dispersión biestática del cilindro: 𝐒(𝜃𝑖 , 𝜙𝑖 , 𝜃𝑠 , 𝜙𝑠 , 𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ) =(. 𝒉𝑠 · 𝒉′𝑠 𝒉𝑠 · 𝒗′𝑠 𝒉𝑖 · 𝒉′𝑖 𝒗𝑖 · 𝒉′𝑖 ) 𝐒(𝜃 , 𝜙 , 𝜃 , 𝜙 ) ( ) 𝑖𝑐 𝑖 𝑠𝑐 𝑠 𝒗𝑠 · 𝒉′𝑠 𝒗𝑠 · 𝒗′𝑠 𝒉𝑖 · 𝒗′𝑖 𝒗𝑖 · 𝒗′𝑖. (2.14). Los sistemas de coordenadas locales son definidos como: 𝒉′𝑖 =. 𝒌𝑖 × 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ) |𝒌𝑖 × 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 )|. (2.15). y 𝒗′𝑖 = 𝒉′𝑖 × 𝒌𝑖 =. 1 {𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ) − 𝒌𝑖 (𝒌𝑖 · 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ))} |𝒌𝑖 × 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 )|. (2.16). Los ejes de coordenadas, de la onda dispersa, son definidos del mismo modo. Se pueden escribir como: |𝒌𝑖 × 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 )| = √1 − (𝒌𝑖 · 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ) )2. (2.17). Se podría escribir las ecuaciones de los sistemas de coordenada local si se remplaza 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ) por 𝒛. Sigue a eso entonces: 𝒉𝑖 · 𝒉′𝑖 =. 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ) · 𝒛 − (𝐤 𝒊 · 𝒛)(𝒌𝑖 · 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 )). (2.18). √1 − (𝐤 𝒊 · 𝒛)2 √1 − (𝒌𝑖 · 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ) )2 𝒗𝑖 · 𝒗′𝑖 = 𝒉𝑖 · 𝒉′𝑖. (2.19).

(40) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 30. y 𝒉𝑖 · 𝒗′𝑖 = −𝒗𝑖 · 𝒉′𝑖 = −. 𝒌𝑖 · (𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ) × 𝒛). (2.20). √1 − (𝐤 𝒊 · 𝒛)2 √1 − (𝒌𝑖 · 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ) )2. Esto se puede mostrar como 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ) · 𝒛 − (𝐤 𝒊 · 𝒛)(𝒌𝑖 · 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 )). (2.21). = sin 𝜃𝑖 [cos 𝜃𝑐 sin 𝜃𝑖 − sin 𝜃𝑐 cos 𝜃𝑖 cos(𝜙𝑐 − 𝜙𝑖 )] 𝒌𝑖 · (𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ) × 𝒛) = − sin 𝜃𝑖 sin 𝜃𝑐 sin(𝜙𝑐 − 𝜙𝑖 ). (2.22). Al combinar las ecuaciones (2.21) y (2.22) en (2.18) y (2.20), respectivamente, se encuentra que: 𝒗𝑖 · 𝒗′𝑖 = 𝒉𝑖 · 𝒉′𝑖 =. 1 {cos 𝜃𝑐 sin 𝜃𝑖 − sin 𝜃𝑐 cos 𝜃𝑖 cos(𝜙𝑐 − 𝜙𝑖 )} sin 𝜃𝑖𝑐. (2.23). y 𝒉𝑖 · 𝒗′𝑖 = −𝒗𝑖 · 𝒉′𝑖 = −. sin 𝜃𝑐 sin(𝜙𝑐 − 𝜙𝑖 ) sin 𝜃𝑖𝑐. (2.24). Para la onda dispersa, se tiene que 𝒗𝑠 · 𝒗′𝑠 = 𝒉𝑠 · 𝒉′𝑠 =. 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ) · 𝒛 − (𝐤 𝒔 · 𝒛)(𝒌𝑠 · 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 )). (2.25). √1 − (𝐤 𝒔 · 𝒛)2 √1 − (𝒌𝑠 · 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ) )2. y 𝒌𝑠 · (𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 ) × 𝒛). 𝒉𝑠 · 𝒗′𝑠 = −𝒗𝑠 · 𝒉′𝑠 = −. √1 − (𝐤 𝒔 · 𝒛)2 √1 − (𝒌𝑠 · 𝒄(𝜃𝑐 , 𝜙𝑐 )) Que puede ser escrito como. (2.26) 2.

(41) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 𝒗𝑠 · 𝒗′𝑠 = 𝒉𝑠 · 𝒉′𝑠 =. 1 {cos 𝜃𝑐 sin 𝜃𝑠 − sin 𝜃𝑐 cos 𝜃𝑠 cos(𝜙𝑐 − 𝜙𝑠 )} sin 𝜃𝑠𝑐. 31 (2.27). y 𝒉𝑠 · 𝒗′𝑠 = −𝒗𝑠 · 𝒉′𝑠 = −. sin 𝜃𝑐 sin(𝜙𝑠 − 𝜙𝑖 ) sin 𝜃𝑠𝑐. (2.28). Los ángulos 𝜃𝑖𝑐 y 𝜃𝑠𝑐 son definidos por cos 𝜃𝑖𝑐 = −(𝒌𝑖 · 𝒄) = cos 𝜃𝑐 cos 𝜃𝑖 + sin 𝜃𝑐 sin 𝜃𝑖 cos(𝜙𝑐 − 𝜙𝑖 ). (2.29). y cos 𝜃𝑠𝑐 = −(𝒌𝑠 · 𝒄) = cos 𝜃𝑐 cos 𝜃𝑠 + sin 𝜃𝑐 sin 𝜃𝑠 cos(𝜙𝑐 − 𝜙𝑠 ). (2.30). Se puede concluir que en el plano de incidencia al campo disperso en la zona lejana no se despolariza. 2.2. Matriz de dispersión biestática para un cilindro orientado verticalmente.. Los elementos de la matriz de dispersión biestática para un cilindro orientado verticalmente son (Ruck et al., 1970, Sarabandi, 1989): 𝑺𝒉𝒉 (𝜃𝑖 , 𝜙𝑖 , 𝜃𝑠 , 𝜙𝑠 ) = −. 1 𝑘0 𝛼𝑙 sin(𝑘0 𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + cos 𝜃𝑠 )⁄2) ℎ 𝐷 2 sin 𝜃𝑖 𝑘0 𝑙(cos 𝜃𝑖 + cos 𝜃𝑠 )⁄2. (2.31). 𝑺𝒉𝒗 (𝜃𝑖 , 𝜙𝑖 , 𝜃𝑠 , 𝜙𝑠 ) = −. 1 𝑘0 𝛼𝑙 sin(𝑘0 𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + cos 𝜃𝑠 )⁄2) ℎ ̅ 𝑖𝐷 2 sin 𝜃𝑖 𝑘0 𝑙(cos 𝜃𝑖 + cos 𝜃𝑠 )⁄2. (2.32). 𝑺𝒗𝒉 (𝜃𝑖 , 𝜙𝑖 , 𝜃𝑠 , 𝜙𝑠 ) = +. 1 𝑘0 𝛼𝑙 sin(𝑘0 𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + cos 𝜃𝑠 )⁄2) 𝑒 ̅ 𝑖𝐷 2 sin 𝜃𝑖 𝑘0 𝑙(cos 𝜃𝑖 + cos 𝜃𝑠 )⁄2. (2.33). 𝑺𝒗𝒗 (𝜃𝑖 , 𝜙𝑖 , 𝜃𝑠 , 𝜙𝑠 ) = −. 1 𝑘0 𝛼𝑙 sin(𝑘0 𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + cos 𝜃𝑠 )⁄2) 𝑒 𝐷 2 sin 𝜃𝑖 𝑘0 𝑙(cos 𝜃𝑖 + cos 𝜃𝑠 )⁄2. (2.34). En estas ecuaciones, 𝛼 es el radio del cilindro, 𝑘0 = 2𝜋⁄𝜆 es la constante de fase de la onda incidente y 𝑙 es la longitud del cilindro. Además:.

(42) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. +∞ ′ (𝑥 )𝐽 (𝑦 ) 𝐷𝑒 = ∑ (−1)𝑚 {𝐽𝑚 0 𝑚 0 − 𝑚=−∞. sin 𝜃𝑖 𝐽 (𝑥 )𝐽′ (𝑦 ) 𝐵 𝑚 0 𝑚 0. (1)′ 𝑇𝑀 + 𝐶𝑚 [𝐻𝑚 (𝑥0 )𝐽𝑚 (𝑦0 ) −. +. 𝐷 = ∑ (−1)𝑚 {𝐽′𝑚 (𝑥0 )𝐽𝑚 (𝑦0 ) − 𝑚=−∞. sin 𝜃𝑖 (1) 𝐻𝑚 (𝑥0 )𝐽′𝑚 (𝑦0 )] 𝐵. (2.36). 𝑚 cos 𝜃𝑖 𝒌𝑠 ⋅ 𝒄(0,0) 𝑥0 sin 𝜃𝑖 ̅ (1) ̃ (1 − ) 𝐶𝑚 𝐻𝑚 (𝑥0 )𝐽𝑚 (𝑦0 )} 𝑒𝑖𝑚𝜙 𝑥0 cos 𝜃𝑖 𝑦0 𝐵. +∞ 𝑒. ̅ 𝑚 [𝐻(𝑚1)′ (𝑥0 )𝐽 (𝑦 ) − ̅ = ∑ (−1)𝑚 𝑒𝑖𝑚𝜙̃ {𝐶 𝐷 𝑚 0 𝑚=−∞. +. (2.35). sin 𝜃𝑖 𝐽 (𝑥 )𝐽′ (𝑦 ) 𝐵 𝑚 0 𝑚 0. (1)′ + 𝐶𝑇𝐸 𝑚 [𝐻𝑚 (𝑥0 )𝐽𝑚 (𝑦0 ) −. +. sin 𝜃𝑖 (1) ′ (𝑦 )] 𝐻𝑚 (𝑥0 )𝐽𝑚 0 𝐵. 𝑚 cos 𝜃𝑖 𝒌𝑠 ⋅ 𝒄(0,0) 𝑥0 sin 𝜃𝑖 (1) ̅ 𝐻𝑚 (𝑥0 )𝐽𝑚 (𝑦0 )} 𝑒 𝑖𝑚𝜙̃ (1 − ) 𝐶𝑚 𝑥0 cos 𝜃𝑖 𝑦0 𝐵. +∞ ℎ. 32. sin 𝜃𝑖 (1) 𝐻𝑚 (𝑥0 )𝐽′𝑚 (𝑦0 )] 𝐵. (2.37). 𝑚 cos 𝜃𝑖 𝒌𝑠 ⋅ 𝒄(0,0) 𝑥0 sin 𝜃𝑖 (1 − ) [𝐽𝑚 (𝑥0 ) 𝑥0 cos 𝜃𝑖 𝑦0 𝐵. (1) + 𝐶𝑇𝐸 𝑚 𝐻𝑚 (𝑥0 )] 𝐽𝑚 (𝑥0 )}. +∞. ̅ 𝑚 [𝐻(𝑚1)′ (𝑥0 )𝐽 (𝑦 ) − sin 𝜃𝑖 𝐻(𝑚1) (𝑥0 )𝐽′ (𝑦 )] ̅ ℎ = ∑ (−1)𝑚 𝑒𝑖𝑚𝜙̃ {𝐶 𝐷 𝑚 0 𝑚 0. 𝐵. 𝑚=−∞. +. 𝑚 cos 𝜃𝑖 𝒌𝑠 ⋅ 𝒄(0,0) 𝑥0 sin 𝜃𝑖 (1 − ) [𝐽𝑚 (𝑥0 ) 𝑥0 cos 𝜃𝑖 𝑦0 𝐵. (1) + 𝐶𝑇𝑀 𝑚 𝐻𝑚 (𝑥0 )] 𝐽𝑚 (𝑥0 )}. (2.38).