CAPÍTULO 19: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS PLANOS (II)

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CAPÍTULO 19: RESOLUCIÓN DE

TRIÁNGULOS PLANOS (II)

Dante

Guerrero-Chanduví

Piura,

2015

FACULTAD DE INGENIERÍA

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CAPÍTULO 19: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS PLANOS (II)

2

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UNIVERSIDAD DE PIURA

_________________________________________________________________________

Capítulo 19: Resolución de Triángulos Planos (II)

2. Resolución de triángulos planos

G

EOMETRÍA

F

UNDAMENTAL Y

T

RIGONOMETRÍA

C

LASES

_________________________________________________________________________

Elaborado por Dr. Ing. Dante Guerrero

(4)

GFT

17/06/2015

Dr. Ing. Dante Guerrero

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CAPITULO XIX

RESOLUCIÓN DE

TRIÁNGULOS PLANOS

TRIGONOMETRIA

2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS PLANOS

Resolver un triángulo consiste en hallar los ángulos y los lados desconocidos.

Con ayuda de los teoremas de los senos, del coseno, y de las tangentes, pueden resolverse los casos corrientes.

Resolver un triángulo conociendo algunos lados y ángulos.

Los casos que pueden presentarse, con datos suficientes para que haya alguna solución concreta (o se pueda averiguar que no hay solución) son los siguientes: Caso 1: Se conoce un lado y dos ángulos.

Caso 2: Se conoce dos lados y el ángulo comprendido. Caso 3: Se conoce 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Caso 4: Se conoce los 3 lados.

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CASO 1 : SUPONGAMOS CONOCIDO a, B y C

Inmediatamente podemos hallar ∡A= 180º - (B + C)

y luego, el teorema de los senos nos permite calcular b y c. Este caso tiene, pues, solución, una sola solución (con tal de que los 2 ángulos conocidos sumen menos de 180º).

2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS PLANOS

Ejemplo 1: Resolver un triángulo conociendo

'

'

28

'

13

º

29

A

"

12

'

25

º

53

B

m

c

37

.

446

Resolución:

c

senC

b

senB

a

senA

º

180

B

C

A

C180(AB)97º21'20" Hallamos el lado a : senC senA c aa18.4340 Hallamos el lado b : senC senB c bb30.3196

2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS PLANOS

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CASO 2 : SUPONGAMOS CONOCIDO a, b y C

El teorema de las tangentes

2 cot 2 C b a b a B A tg    

nos permite obtener

2 B A

Como ya conocemos C, entonces:

2 º 90 2 C B A

Conociendo la semisuma y la semidiferencia de ∡ A y ∡ B, podemos

calcularlos;

c senC a

senA nos permitirá encontrar c

Este caso tiene siempre, pues, una y sólo una solución.

Otra forma más sencilla: c2 = a2 + b2 - 2ab cos C que permite hallar c bc a c b A 2 cos 2 2 2 ac b c a B 2 cos 2 2 2

2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS PLANOS

y luego el teorema de los senos:

y comprobar que: ∡ A+ B+ C= 180º

y por el mismoteorema del coseno permite encontrar ∡ A y ∡B

Ejemplo 2: Resolver un triángulo conociendo

Resolución:

km a1.342 km b1.543 " 15 ' 14 º 87 ˆ C ) 1 ..( '... ' 45 ' 45 º 92 180       B A C B A 073112 . 0 2 2 cot 2        B A tg C a b a b A B tg ) 2 ..( ... "... 6 . 47 ' 21 8 3632 . 8 1816 . 4 2         A B A B A B de (1) y (2) tenemos que: " 6 . 47 ' 21 8 ' ' 45 ' 45 º 92      A B B A ' ' 6 . 46 ' 33 º 50 ˆ B ' ' 7 . 58 ' 11 º 42 ˆ A

Hallamos el lado c Por el teorema de los senos:

b senB c senC senB senC b cc1.9956km

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CASO 3 : SUPONGAMOS CONOCIDO a, b y A

Por el teorema de los senos:

Obtenemos ∡ C por diferencia entre 180° y ∡ A y ∡ B.

b senB a

senA

DISCUSIÓN DEL CASO 3:

a) Sea ∡ A < 90º b) Sea ∡ A ≤ 90°

2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS PLANOS

Podemos obtener sen B y ∡ B

Obtenido ∡ C, aplicando de nuevo el teorema de los senos obtenemos c.

Por inspección de la construcción geométrica deducimos:

Si a < b Sen A, no hay solución (Cuando a sea menor que CB no hay solución). Si a = b Sen A, hay 1 solución (triangulo rectángulo).

Si a > b Sen A, y a < b, hay 2 soluciones Si a > b Sen A, y a ≥ b, hay 1solución

B2

B

a

2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS PLANOS

a) Sea ∡ A < 90º B1 ∡ A C b B1

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Evidentemente:

Si a ≤ b, no hay solución. Si a > b, hay una sola solución.

B

a

2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS PLANOS

b) Sea ∡ A ≥ 90º

∡ A

C b

A los mismos resultados llegaríamos analizando este caso con métodos trigonométricos.

A efectos prácticos, podemos limitarnos a lo siguiente:

1. Obtener sen B

2. Hallar los dos ángulos ∡ B1 < 90º y ∡ B2 > 90º que tienen ese seno. 3. Ver si ∡ A + B1 es menor que 180º de ser así hay una solución, al menos; 4. Ensayar si ∡ A + B2 es también menor que 180º si es así, hay una

segunda solución.

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Ejemplo 3: Resolver un triángulo conociendo

Resolución: Por el teorema de los senos:

m a18.434 m b30.3195 " 28 ' 13 º 29 ˆ A a senA b senBsenB0,803024 53º25'11.59'' ˆ 1 B ' ' 4 . 48 ' 34 º 126 ˆ 2 B Hallamos ∡ B : Hallamos ∡ C : '' 4 . 20 ' 21 º 97 ) ˆ ˆ ( 180 ˆ 1 1  ABC '' 6 . 43 ' 11 º 24 ) ˆ ˆ ( 180 ˆ 2 2  ABC

Hallamos el lado c (hay dos soluciones)

1 1 1 senB senC b cc137.4459m b senB c senC 1 1 1 1 2 2 senB senC b cb senB c senC2 2 2  c215.4746m

Obtenemos dos soluciones, una formada por B1, C1 y c1 ; y la otra por B2, C2 y c2

2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS PLANOS

CASO 4 : SUPONGAMOS CONOCIDO a, b y c

Por el teorema del coseno:

bc

a

c

b

A

2

cos

2 2 2

Podemos calcular ∡ A, B, C; tienen que sumar 180°.

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Ejemplo 3: Resolver un triángulo conociendo

m a36.868 m b60.640 m c30.95 Resolución: bc a c b A 2 cos 2 2 2 ac b c a B 2 cos 2 2 2 ab c b a C 2 cos 2 2 2  " 24 ' 13 º 29 ˆ A Bˆ126º34'52" Cˆ24º11'43.4"

Figure

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Referencias

  1. na licencia
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