Gasto (en pesos) Volumen (en litros) ?

Texto completo

(1)

 

       

 

 

Límites  

 

 

por Oliverio Ramírez y Felipe de la Rosa  

Concepto informal de límites

Figura 1.

Un ama de casa acostumbra comprar detergente líquido en un tianguis cercano para las necesidades semanales de su hogar. Las últimas siete semanas ha comprado diferentes cantidades de acuerdo a su presupuesto, tal como se ordena en la Tabla 1.

Tabla 1. Valores de gasto y volumen, por semana

Si en la semana 8, el ama de casa cuenta con 40 pesos para comprar detergente:

Semana Gasto (en pesos) Volumen (en litros) 1 30 2.25 2 34 2.89 3 37 3.42 4 38 3.61 5 42 4.41 6 46 5.29 7 50 6.25 8 40 ¿?

(2)

Para responder la pregunta:

Observa los valores de la Tabla 1 e identifica la tendencia que existe en las cantidades mostradas. Si observas con

detenimiento, es posible notar que entre más nos acercamos a la cantidad de 40 pesos, también nos acercamos al volumen de 4 litros. Esta idea básica de tendencia es la base fundamental para poder comprender el concepto de límite.

Al representar gráficamente la información de la Tabla 1 podemos notar que:

Gráfica 1. Comportamiento del gasto vs. Volumen.

Al acercarnos al valor de $40.0:

• Desde la izquierda () vemos que los valores de la función empiezan a incrementarse hasta aproximarse a 4.

• Al acercarnos al valor de $40.0 desde la derecha () vemos que los valores de la función empiezan a disminuir hasta aproximarse también a 4.

Es entonces que decimos que el límite del volumen de detergente cuando el gasto tiende (se aproxima) a 40 pesos es 4 litros.

(3)

Antes de introducirte el concepto formal de límite, resulta necesario estudiar los diferentes símbolos matemáticos que se utilizan para expresar límites de funciones matemáticas, para lo que utilizaremos la notación sugerida por Elena de Oyteza (2006).

Al evaluar el límitede una función desde la derecha() de la recta numérica, utilizamos la siguiente expresión:

Que se lee: El límite de la función f(x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L.

En este caso, el símbolo+significa la tendencia desde la derecha.

Al evaluar el límite de una función desde la izquierda (), utilizamos la siguiente expresión

Que se lee: El límite de la función f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es igual a L.

(4)

Interesante, ¿no crees?

Concepto formal de límite

De forma general podemos decir que límite es el valor al que se aproxima la función f(x) al evaluarla en cantidades muy cercanas (por la derecha y por la izquierda) a una cierta constante, (Purcell, 2001).

Así pues para que un límite exista y pueda ser evaluado, deben cumplirse dos condiciones:

En palabras sencillas, un límite existe sí, y sólo si, ambos límites laterales existen y son iguales.

Ejemplo 1:

Cálculo de límites usando tablas.

Utilizando la siguiente tabla, determina el valor de

)

(

lim

1

x

f

x

(5)

x 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 1.05 1.1 1.2 1.3 1.4

f(x) 1.6 1.7 1.8 1.9 1.95 2.05 2.1 2.2 2.3 2.4

Tabla 2

Al analizar el comportamiento de los valores en la Tabla 2, se observa que cuando la variable

independiente x se aproxima a 1 por la izquierda (0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 0.95…), la función f(x) toma valores (1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.95) que se aproximan a 2. Con base en los valores de la tabla es posible establecer que:

x→1−

lim

f

(

x

)

=

2

De la misma forma, se observa cuando la variable independiente x se aproxima a 1 por la derecha (1.4, 1.3, 1.2, 1.1 1.05…), la función f(x) toma valores (2.4, 2.3, 2.2, 2.1, 2.05) que se aproximan también a 2. Con base en los valores de la tabla es posible establecer que:

x→1+

lim

f

(

x

)

=

2

Debido a que ambos límites existen y son iguales, se puede concluir que el límite bilateral (por ambos lados) es:

x→1

lim

f

(

x

)

=

2

Esto es, el límite de f(x) cuando x tiende a 1, es igual a 2. Nota que en este ejemplo la función f(x) se representó mediante una tabla de valores, pero también puede ser representada mediante una gráfica o de manera algebraica.

En algunos casos, ciertos fenómenos o situaciones tienen comportamientos definidos sólo en intervalos

particulares pero se comportan de manera distinta en otro intervalo de su dominio, por ejemplo:

2

(6)

Figura 2.

Imagina un automóvil que parte del reposo e incrementa su velocidad hasta alcanzar los 100 km/hr pero al llegar a esta cota de velocidad el conductor decide mantener la velocidad constante; este comportamiento se puede representarse mediante la siguiente función: Función Gráfica para = para

Observa que para representar la rampa azul (instantes en los que el conductor aumenta su velocidad de manera gradual) f(x)=10x, pero esto sólo es válido para valores de x en el intervalo [0, 10], que en la función se representó usando el signo . Luego, en el instante en el que el conductor alcanzó la velocidad de 100 km/h y mantuvo constante su velocidad (línea en verde) f(x)=100, válido para valores de x mayores a 10.

A este tipo de funciones que se representan por secciones en concordancia con intervalos particulares de

su dominio, se les conoce como funciones seccionadas. En el ejemplo 2, utilizamos una función

seccionada para ejemplificar el cálculo de límites mediante el análisis de la gráfica de la función.

Ejemplo 2:

(7)

Considerando la siguiente función seccionada y su gráfica determina el límite cuando x tiende a los valores: a) x= - 3, b) x=9 y c) x=12

20

2

x

x

<

9

f (x)=

3

x

Gráfica 2. Función seccionada x2/20 y x/3.

Antes de iniciar a calcular los límites, es conveniente observar que la función f (x) está compuesta por dos funciones matemáticas diferentes; una parábola y una línea recta, que se evalúan de acuerdo al valor que toma la variable independiente x. Si la variable x toma valores menores que 9 (representados en la función por

x

<

9

), utilizamos la ecuación de la parábola f(x)=

x

2

/

20

; si toma valores mayores o iguales a 9

(8)

a)

x→−3

lim

f

(

x

)

Para evaluar el límite cuando x = -3 debemos utilizar la ecuación de la parábola (

x

2

/

20

).

Observa el gráfico en x = -3

¿Cuál consideras que es el valor del límite?

Utilizando la gráfica podríamos decir que su valor se aproxima a 0.5 ya que su límitepor la derecha y por la izquierda tiende a ese valor. Sin embargo, al comprobarlo con la información que se presenta en la Tabla 3.

x -2.8 -2.9 -2.99 -3.01 -3.1 -3.2

f(x) 0.392 0.4205 0.447005 0.453005 0.4805 0.512

Tabla 3

Se puede apreciar que el límite de la función desde la izquierda se aproxima al valor de f(x)=0.45, por lo que escribimos:

x→1−

lim

f

(

x

)

=

0.45

Al observar la tabla vemos que el límite de la función desde la derecha se aproxima al valor de f(x)=2, por lo que escribimos:

x→1+

lim

f

(

x

)

=

0.45

Ambos límites existen y son iguales, por lo que de acuerdo con la definición de límite:

0.45

(9)

x→1

lim

f

(

x

)

=

0.45

Concluimos que el límite cuando f(x) tiende a 1, es igual a 0.45

b)

x→9

lim

f

(

x

)

El valor x=9 es un muy importante en la gráfica, ya que en él se da el cambio entre las funciones de la recta y la parábola. Al evaluar los límites laterales (por la derecha y por la izquierda) tenemos que utilizar dos ecuaciones diferentes: (

x

2

/

20

) para los valores menores a 9, y (

x

/

3

) para los valores mayores a 9. Analiza la siguiente figura:

Gráfica 3. Función seccionada x2

(10)

f(x) 3.872 3.961 4.041 3.003 3.033 3.067

Tabla 4

Al observar la tabla vemos que el límite de la función desde la izquierda se aproxima al valor de f(x)=4.1, por lo que escribimos:

x→9−

lim

f

(x)

=

4.1

Al observar la tabla vemos que el límite de la función desde la derecha se aproxima al valor de f(x)=3, por lo que escribimos:

x→9+

lim

f

(

x

)

=

3.0

Ambos límites existen, pero no son iguales, por lo que de acuerdo con la definición de límite: x→9

lim

f

(

x

)

=

no existe

Concluimos que el límite cuando f(x) tiende a 9, no existe.

c) x→12

lim

f

(

x

)

Con ayuda de la Gráfica 2 y el uso de tablas, calcula el límite cuando x tiende a 12. Verifica tu respuesta al final de la lectura.

Este ejemplo muestra que utilizar la gráfica de una función para calcular un límite tiene la ventaja que se realiza con simplemente observar la gráfica, su desventaja es que cuando los valores del límite no son enteros, el método no es muy exacto.

Por otro lado, aunque las tablas tal vez no sean el método más rápido, ayudan a comprender el

comportamiento de la función. La ayuda de algún graficador especial (el cual puedes descargar de Internet, ya que existen varios que son gratuitos como graphmatica y wplotsp), puede facilitarte el análisis de

cualquier tipo de funciones, pide a tu Asesor que te recomiende alguno.

Teoremas de Límites

¿?

(11)

La labor de evaluar límites puede ser una actividad muy laboriosa si se realiza utilizando solamente tablas de valores o gráficas; sin embargo, existen teoremas sobre límites que facilitan su cálculo, (Fuenlabrada, 2001).

La Tabla 5 se muestra los teoremas sobre límites y un ejemplo de su aplicación. En los diferentes teoremas, c y a representan una constante.

Teorema Ejemplo xa

lim

c

=

c

x→4

lim

8

=

8

xa

lim

x

=

a

x→2

lim

x

=

2

x→a

lim

(

x

+

c

)

=

x→a

lim

(

x

)

+

x→a

lim

(

c

)

xa

lim

(

x

+

8)

=

xa

lim

(

x

)

+

xa

lim

(8)

xa

lim

(

xc

)

=

xa

lim

(

x

)

⎝⎜

⎠⎟

lim

xa

(

c

)

⎝⎜

⎠⎟

lim

xa

(4

x

2

)

=

xa

lim

(4)

⎝⎜

⎠⎟

lim

xa

(

x

)

⎝⎜

⎠⎟

lim

xa

(

x

)

⎝⎜

⎠⎟

x→a

lim

⎝⎜

x

c

⎠⎟

=

lim

x→a

(

x

)

⎝⎜

⎠⎟

x→a

lim

(

c

)

⎝⎜

⎠⎟

xa

lim

⎝⎜

x

5

⎠⎟

=

lim

xa

(

x

)

⎝⎜

⎠⎟

xa

lim

(5)

⎝⎜

⎠⎟

Tabla 5. Teoremas sobre límites.

Ejemplo 3:

Calcula el siguiente límite utilizando los teoremas de la Tabla 5.

x→3

lim

x

2

+

4

2

x

+

2

Solución: x→3

lim

x

2

+

4

2

x

+

2

=

x→3

lim

x

⎝⎜

⎠⎟

lim

x→3

x

⎝⎜

⎠⎟

+

lim

x→3

4

( )

x→3

lim

2

⎝⎜

⎠⎟

lim

x→3

x

⎝⎜

⎠⎟

+

lim

x→3

2

( )

=

3

( )

( )

3

+

4

2

( )

( )

3

+

2

=

9

+

4

6

+

2

=

13

8

(12)

x→−2

lim

3

x

2

4

x

+

4

Solución: x→−2

lim

3x

2

4x

+

4

=

x→−2

lim

3

⎝⎜

⎠⎟

lim

x→−2

x

⎝⎜

⎠⎟

lim

x→−2

x

⎝⎜

⎠⎟

lim

x→−2

4

⎝⎜

⎠⎟

lim

x→−2

x

⎝⎜

⎠⎟

+

lim

x→−2

4

⎝⎜

⎠⎟

x→−2

lim

3

x

2

4

x

+

4

=

( )

3

( )

2

( )

2

( )

4

( )

2

+

( )

4

=

(3)(4)

(

8)

+

4

=

12

+

8

+

4

=

24

La utilización de estos teoremas reduce en gran medida, los cálculos y las operaciones necesarias para el cálculo de límites; sin embargo, pueden simplificarse más, si consideramos el siguiente teorema de Smith y Minton (2000, p.102).

“Para cualquier polinomio p(x) y cualquier número real a

Algunos autores llaman a éste teorema sustitución directa, y lo que quieren decir es que si queremos calcular el límite de un polinomio todo lo que tenemos que hacer es sustituir directamente el valor en la función que estamos evaluando.

Para comprender mejor esta afirmación considera los siguientes ejemplos:

Ejemplo 5:

Calcula:

Para evaluar el límite sólo es necesario sustituir el valor en la ecuación:

Ejemplo 6:

Calcula:

(13)

3 =-24-4-2-6=-36

Ejemplo 7:

Calcula:

Para evaluar el límite sólo es necesario sustituir el valor en la ecuación:

En los ejemplos anteriores, al aplicar la sustitución directa es importante no perder de vista que la existencia de un límite para un cierto valor de a, no implica la existencia de f(a), veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 8:

Calcula el límite:

Solución,

Al sustituir x=-4 en la función, obtenemos:

¿Qué opinas del resultado obtenido?

En los números reales, la división por 0 (cero) no está permitida, por lo que aparentemente este límite no existe. Sin embargo, siempre que al calcular un límite mediante sustitución directa se encuentre un

resultado no válido en los números reales (como división por cero o alguna raíz par de números negativos) es conveniente utilizar algún artificio algebraico para evitar la indeterminación.

(14)

¿Qué fue lo que pasó?, ¿por qué al inicio el límite no existió y ahora es -8?

Para entender esto, es necesario recordar que una función siempre está definida para un cierto dominio y

un rango. ¿Cuál es el dominio de la función ? Ya que el dominio de una función son los

posibles valores que puede tomar la variable independiente, en este caso x puede tomar cualquier valor excepto x=-4, porque éste valor produce un cero en el denominador, así el dominio de esta función son todos los números reales excepto x=-4.

Al graficar la función, los graficadores muestran una línea recta continua, sin embargo la gráfica en realidad tiene un hueco justo en x=-4 (de acuerdo con su dominio); la gráfica se muestra a continuación:

Gráfica 4. Función señalando el hueco en x=4.

Este ejemplo muestra que aunque la función no está definida para x=-4, es decir, f(-4) no existe, el límite de f(x) cuando x tiende a -4 sí existe y es igual a -8. Interesante, ¿no crees?

Más adelante se analizan otros ejemplos en los que se presentan indeterminaciones, en ellos también es recomendable que se construya la gráfica o incluso se genere una tabla de valores, estos dos métodos ayudan a comprender de mejor forma el comportamiento de la función.

(15)

En el caso de funciones racionales, aquellas que incluyen a la variable independiente en el denominador (como la del ejemplo anterior) pueden presentarse situaciones en las que el límite no exista, o se requiera de algún tipo de manipulación algebraica antes de realizar la sustitución. En la siguiente sección los estudiaremos más a detalle.

Límites Infinitos y al infinito

Límites Infinitos

La aceleración se define como el cambio de velocidad que sufre un cuerpo en un periodo de tiempo (Giancoli, 2002).

Quizás no lo hayas notado, pero es un concepto que usamos diariamente, sobre todo en lo relacionado al mundo automotriz.

Al evaluar las características de un automóvil algo que las personas solemos tomar en cuenta es la capacidad que tiene para acelerar; aspecto que los fabricantes suelen resumir en una cifra: Tiempo que le toma al vehículo ir de 0 a 100 km/h.

(16)

Considera la Tabla 6. ¿Cuál de estos autos crees que tiene una mayor aceleración?

Auto Tiempo 0-100 Km/h Peugeot 206 13.8 seg.

Ford Fiesta 13.3 seg.

Chevrolet Astra 12.7 seg.

Nissan Tiida 10.4 seg.

Volkswagen Pasta 9.8 seg.

Audi TT 2.0 6.6 seg.

Porsche GT2 3.7 seg.

Tabla 6. Comparativo de autos y sus tiempos de aceleración (Autocosmos.com.ar, 2010).

De acuerdo con la fórmula de aceleración entre menos tiempo le tome al automóvil cambiar su velocidad

de 0 a 100 Km/h más grande será su aceleración. Así, si fuéramos capaces de inventar un auto que

acelerara de 0 a 100km/h en 1.5 segundos o en 0.25 segundos, estos tendrían una aceleración mayor,

que los mostrados en la tabla.

Si graficamos la función de aceleración a(t)=∆v/t (donde el cambio de velocidad para este caso es

∆v=100km/h), con los datos de la tabla, incluyendo los autos inventados, se tiene el siguiente comportamiento: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tiempo(seg) A ce le ra ci ón

Gráfica 5. Aceleración vs. Tiempo.

Es posible apreciar en la Gráfica 5 que entre más nos acercamos al valor de t=0, la aceleración es mayor; sin embargo, por más pequeño que sea el tiempo resulta físicamente imposible fabricar un automóvil capaz de acelerar de 0 a 100 km/h en 0 segundos.

(17)

Por lo anterior, concluimos que cuando el tiempo se acerca al valor de 0, la aceleración se vuelve infinitamente grande. Esta aseveración también la puedes comprobar usando tu calculadora y haciendo divisiones para valores cada vez más pequeños del tiempo.

Utilizando el lenguaje de límites, podemos decir que el valor del límite de la función aceleración cuando el tiempo tiende a cero, es infinito o en notación matemática:

t→0

lim

a

(

t

)

=

De acuerdo con (Purcell, 2001), como el límite no se aproxima a ningún valor real, se concluye que el

límite no existe.

Este tipo de funciones que crecen o decrecen infinitamente al acercarse a un valor poseen límites infinitos y es común encontrarlos en funciones racionales cuando el denominador tiende a cero.

Considera los siguientes ejemplos:

Ejemplo 9:

Calcula:

Solución,

Cómo el 9 no puede dividirse por cero, se presenta un valor no definido que se representa con el signo . Concluimos que el límite no existe. También en este ejemplo puedes intentar factorizar como lo hicimos anteriormente, sólo que en esta ocasión no es posible evitar la indeterminación. Construye la gráfica y analízala para comprender mejor el comportamiento de esta función cuando x tiende a 1.

(18)

Ejemplo 10:

Calcula

Cómo el 1 no puede dividirse entre el cero, se presenta un valor no definido que se representa con el signo

. Concluimos que el límite no existe.

Formas indeterminadas

En ocasiones al evaluar el límite en un valor determinado, el resultado adopta la forma 0/0; que no

representan ningún valor específico, por lo que se les conoce con el nombre de forma indeterminada

(Fuenlabrada, 2001). Ejemplo 11: Calcula: x→2

lim

x 24 x−2 Solución:

Al sustituir el valor x=2 en la función para evaluar el límite tenemos:

x→2

lim

x

2

4

x

2

=

(2)

2

4

2

2

=

0

0

En esta situación se presenta un límite indeterminado; y podríamos concluir que el límite no existe; sin embargo, utilizando factorización algebraica es posible evitar la indeterminación, y llegar a una conclusión diferente. x→2

lim

x

2

4

x

2

=

(

x

2)(

x

+

2)

x

2

=

x

+

2

=

2

+

2

=

4

Observa que utilizando la factorización por binomios conjugados es posible simplificar la función y concluir que el límite cuando x tiende a 2, es igual a 4.

(19)

Ejemplo 12:

Calcula:

x→9

lim

x

x

9

3

Al sustituir el valor x=3 en la función para evaluar el límite tenemos:

x→9

lim

x

x

9

3

=

9

9

9

3

=

9

3

3

9

=

0

0

En esta situación también se presenta un límite indeterminado; por lo que utilizaremos un método conocido como racionalización, el cual implica multiplicar la función por una expresión compuesta por el

binomio conjugado adecuado, en este caso, el binomio conjugado es . Observa que para no alterar

el valor de la función, se construye una fracción igual a 1(uno).

Sólo como recordatorio, cuando multiplicas dos binomios conjugados da como resultado el cuadrado del primer término del binomio menos el cuadrado del segundo término. Esto es:

En el denominador no se realiza ninguna operación y se procede a eliminar el término x-9, luego se sustituye x=9. Al realizar las operaciones se obtiene que el valor del límite es 1/6.

Ejemplo 13: Calcula 10 3 2 2 2

lim

+x x x x

Dale solución en tu cuaderno para que empieces a practicar. Sugerencia: factoriza el trinomio del denominador.

(20)

Limites que tienden a infinito

En ocasiones resulta necesario evaluar el comportamiento de una función, no sólo en un punto, sino su tendencia hacia el infinito. Considera la siguiente situación:

Figura 3.

Eres el organizador de una fiesta y el pastel que compraste tiene una superficie de 120cm2. La fiesta ha sido planeada para 30 personas, por lo que piensas dividir el pastel en partes iguales de (120/30) 4 cm2. La fiesta transcurre con calma y empiezas a ver que han llegado más invitados de los que esperabas. Una hora

más tarde cuentas 40 personas (rebanadas de 3 cm2), hora y

media hora más tarde cuentas 60 personas (rebanadas de 2cm2),

dos horas después te avisan que hay 100 personas en el lugar (¡Alerta! rebanadas de 1.2cm2); si esa tendencia de crecimiento continúa y los invitados siguen llegando:

¿De qué tamaño será la rebanada que le toque a cada persona?

Al analizar la situación de forma matemática podemos decir que:

T(i)=120/i 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 30 80 130 180 230 280 330 380 430 480 530

(21)

Como puedes ver en la gráfica si el número de invitados tiende a infinito, el tamaño de la rebanada tiende a cero. En notación matemática:

t→∞

lim

T

(i)

=

0

Existen numerosas posibilidades para evaluar límites que tienden hacia el infinito; sin embargo, para los alcances de este curso nos limitaremos a analizar los tres casos particulares que Fuenlabrada (2001, p 37) propone: Caso 1 Ejemplo 14 ∞ = ∞ = + ∞ = + ∞ → 5 5 3 ) ( 2 5 3 2 2 2

lim

x x Caso 2 Ejemplo 15 Caso 3 Ejemplo 16

(22)

Ejemplo 17:

Calcula:

El límite .

Solución.

Cuando se presenta un límite de una función racional en el que x tiende a , es posible, aplicando el caso 2, determinar el valor del límite. El procedimiento consiste en dividir el numerador y el denominador por la potencia mayor de la variable independiente.

=

Luego, al utilizar el teorema para cada elemento se obtiene,

Este procedimiento es válido para límites en donde la variable tiende a infinito y la función es racional, pero se debe ser cuidadoso al dividir entre la potencia mayor y al realizar las operaciones algebraicas.

           

(23)

       

Referencias      

Autocosmos.com.ar. (2010). Catálogo de autos, ficha técnica. Autocosmos.com el portal automotriz líder de América Latina. Recuperado el 23 de julio de 2010 de

http://www.autocosmos.com.ar/contenidos/nosotros.aspx

Ayres, F. y Medelson, E. (1991). Cálculo diferencial e integral. México: Mc-Graw Hill.

Fuenlabrada, S. (2001). Cálculo Diferencial. México: Mc-Graw Hill Interamericana. [Versión en linea] | Recuperado de 29 de julio de 2010, de la base de datos de Bibliotechnia de la Biblioteca Digital de la UVEG.

Giancoli, D. (2002). Física para universitarios [libro en línea]. Disponible en: http://www.bibliotechnia.com/bibliotechnia20/index.php [29 de Julio de 2010]

Purcell, E. (2001). Cálculo [libro en línea]. Disponible en:

http://www.bibliotechnia.com/bibliotechnia20/index.php [27 de Julio de 2010]

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :