1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

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1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

Ejercicio de clase 1 :

(A) Resuelva la ecuación:

− 1 1 0 m m+1 m 2m 2m+1 2m+1 = 0 2 2 2 2 1.(m 1)(2m 1) m.( 1).2m m.(2m 1).0 2n.(m 1).0 m.( 1).(2m 1) m.(2m 1).1 1 2m 2m m 1 2m 0 0 2m m 2m m 3m 1 0 m 3 + + + − + + − + − − + − + = − + + + − + − + + − − = + = ⇒ = R e s o l u c i ó n

(B) Calcule la matriz adjunta de las matrices:

1)

2

5

3

1

−













cambio de signo a la diagonal secundaria

: mc( 2) det(1) 1 2 5 mc(5) det(3) 3 1 3 1 3 A m.c.(A) adj(A) 3 1 mc(3) det(5) 5 5 2 5 2 mc(1) det( 2) 2 − = =   − = = −        =_{ }→_ → =_{ }→ =_{ } = = − − −   _      _{= − = −}  R e s o l u c i ó n 2)

2

1

1

1

6

3

4

5

0

−







₋

₋









₋







: 6 3 1 1 mc(2) det 15 mc( 1) det 5 5 0 5 0 2 1 1 1 3 2 1

A 1 6 3 1ª fila mc( 1) det 12 ; 2ª fila mc(6) det 4

4 0 4 0 4 5 0 1 6 2 1 mc(1) det 19 mc( 3) det 4 5 4 5 − −      = = − = = −           −   _ − −        = −_ − →_{ } − = _{ }= − = _{ }= − −     ₋     _ − −     = _{ }= − = _ − −  _{  }  R e s o l u c i ó n

cambio de signo a los elementos de fuera de las diagonales

1 1 mc( 4) det 3 6 3 2 1 ; 3ª fila mc(5) det 5 1 3 2 1 6 mc(0) det 11 1 6 15 12 19 Luego, m.c.(A) 5 4 6 3 5 11 −     − = = −    ₋        _{ }   _{= = −}   _{− −}       _  _{ − }  _=  = _{ }= −  _  _{ }   −     = −_{ } → _{− −}    15 12 19 adj(A) 5 4 6 3 5 11      =_ − _ ₋   

2.- MATRIZ INVERSA

Ejercicio de clase 2 :

(A) Una matriz cuadrada A verifica la ecuación A3 + 2A2 + I = 0.

Demuestre que A es invertible y halle A–1 en función de A

Le llamamos B

Sacamos factor común A por la izda 2

3 2

Le llamamos B

Sacamos factor común A por la dcha 2

I A . ( A 2A) AB I. Despejamos I I A 2A BA I. I ( A 2A) . A Usando l  → = − −  =  ⇒ = − − ⇒_ ⇒_ =   → = − −  R e s o l u c i ó n 1 2

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(B) Sean las matrices A 2 1 B 1 x y C 0 1

1 1 x 0 1 2 −       =_{ } =_{ } =_{ } −      

Encuentre el valor o valores de x de forma que B + C = A−1. (Propuesto PAU Andalucía 2007)

1

Como det A= ≠1 0, ∃A . Vamos a calcularla usando la definición y usando la fórmula−

R e s o l u c i ó n 1 1 Se sustituyen z y t x y 2 1 x y 1 0 2x z 2y t 1 0 Usando la definición : A ; AA I z t 1 1 z t 0 1 x z y t 0 1 2x z 1 2y t 0 t 2y 2x x 1 x 1, y 1; Luego, t x z 0 z x y 2y 1 y t 1 − ₌  − _{= ⇒}   ₌ _⇒ + +  ₌          _{+ +}               + =   + = → = −  − =  → ⇒ = = −  _{+ = → = −}  _{− =}    + =  1 1 1 2, z 1. Por tanto, A 1 2 −  −  = = − _{=  } −  

[

]

t t 1 1 1 1 1 1 1 Usando la fórmula : A . A . 1 2 1 2 det(A) 1 − _{= =}  −  ₌  −  ₋  ₋      a d j ( ) − − − −           + = ⇒ = ⇒ − = − ⇒ =   ₋  ₋   ₋  ₋            1 x 0 1 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 x 0 x 0 1 2 1 2 x 1 2 1 2 (C) Sea la matriz 1 0 1 A 0 m 6 1 1 m −     =_ − _  ₋   

1) Determine para qué valores del parámetro m existe A–1.

2 2 2 1 m 2 1 1 4.1( 6) 1 5 Como det A m 0 0 m 6 m m 6 0 m m 3 2( 1) 2

Sólo existe A− para m 2 y m 3

= − − ± − − − ± = − + + + − = − + − = ⇔ = = → = − − ≠ − ≠ R e s o l u c i ó n 2) Calcule A–1 para m = 2.

[

]

[

]

1 1 t 1 t t 1 0 1 2 6 2 1

Para m 2, A 0 2 6 ; A . A ; det A 4 0 (luego A ) ; m.c.(A) 1 1 1 det(A) 1 1 2 2 6 2 1 2 2 6 2 2 1 2 1 1 1 Por tanto, A . A 1 1 1 6 1 6 det(A) 4 4 2 6 2 2 1 2 − − − − −         = =_ − _ = = ≠ ∃ =_ − _  ₋   ₋      − − − −         = = _− − − _ = _− − _=   _{− −}      R e s o l u c i ó n a d j ( ) a d j ( ) 1 1 4 2 3 1 3 2 4 2 1 1 1 2 4 2     − −    _{− −}   

(Propuesto para PAU Andalucía 2002)

(D) Sean las matrices A 1 1 B 1 1

2 0 1 2 − −     =_{ } =_{ }    . Calcule (A t_{B – 2I} 2)–1.

( I2 es la matriz unidad de orden 2 y At la traspuesta de A). (Propuesto PAU Andalucía 2003)

(

)

2 2 t t 1 t 1 2 1 1 1 0 3 3 1 0 1 3

A B 2I 2 2 ; su determinante es 2 0, luego tiene inversa

1 0 1 2 0 1 1 1 0 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 m.c. A B 2I adj 1 1 3 1 2 1 1 2 3 1 − −            − =_{  }− _{  }= _− _{  }= _ ≠ − − − −            − −   −       = ⇒ − = _{ } = _{− −}    _{− −}  ₋        R e s o l u c i ó n t _{1 3} 1 3 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 − −   − −     _{ } = =    _{  }     _{ }

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3.- ECUACIONES MATRICIALES

Ejercicio de clase 3 :

(A) Sean las matrices A 2 4

2 6   = _{− −}    y 1 0 1 B 1 2 0   =  ₋   

Resuelva la ecuación matricial X(BBt) = 1

2A – 2A

t_{. (Propuesto PAU Andalucía 2016)}

− − − − −    _{ }   = =_{ } − _=_{ } = ≠ ∃ −        =   = − → =_ − _ ⇒   = 1 t 1 1 t Multiplicamos por C por la dcha 1 t 1

1 1

1 0 1 2 1

Llamamos C BB 0 2 ; como det C 9 0 C

1 2 0 1 5 1 0 1 1 como CC I Partimos de XC A 2A XCC A 2A C 2 2 y además XI X obtenemos X R e s o l u c i ó n −     −    −  −    =_ − _ =_{  }− _{   } = _{  } = − − − − −             −   − − −        = _{  }= _{ } =   − −    −  _ − _ t t t 1 2 4 2 2 2 1 3 6 5 1 1 1 1 1 A 2A C 2 adj 2 6 4 6 1 5 9 1 2 2 2 9 9 5 7 3 6 5 1 21 15 1 1 _{3 3} . Luego, X 9 9 9 5 1 2 9 9 4 27 _{6 3}

(B) Resuelva la ecuación matricial: X 1 3 2 0 1 1 2

2 5 1 0 3 1

−

     

− =

  ₋   ₋ 

      . (Propuesto PAU Andalucía 2014)

C A B t 1 Es I 1 1 1 1 1 1 3 0 1 1 2 1 5 2 X 2 XA 2B C XA C 2B; como det A 1 0, A 2 5 1 0 3 1 1 3 1

Multiplico por A por la dcha X AA (C 2B)A XI (C 2B)A X (C 2B)A

1 2 0 X 2 3 1 − − − − − − − −         − = ⇒ − = → = + = − ≠ ∃ =   ₋   ₋  ₋ ₋          ⇒ = + → = + → = +   = _{ }+ −   R e s o l u c i ó n 1 5 3 1 0 5 3 5 3 X 1 0 2 1 1 1 2 1 7 4 − − − −           = ⇒ =  ₋   ₋   ₋  ₋  ₋            

(C) Sean las matrices A 1 7 B 1 0

2 1 5 2 −     =_{ } =_{ } − −    

1) Calcule las matrices X e Y para las que se verifica X + Y = A y 3X + Y = B

restamos 2ª ecuación menos 1ª ecuación

sustituimos X y A 7 0 X Y A 1 1 0 7 ₂ 2X B A X (B A) X 3 3X Y B 2 2 7 3 7 2 2 21 1 1 7 1 0 7 2 X Y A Y A X Y Y 5 2 1 2 7 3 11 2 2   + =    _{ } → = − ⇒ = − = ⇒ =  _{+ =} ₋  _{− }    _{ } −  −     + = → = − → =_{ }− _{ }⇒ = − − −     _ R e s o l u c i ó n      

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2) Halle la matriz Z que verifica BZ + Bt = 2I2.

t t t 1 1 2 2 Es I 1 1 t 1 t 2 2 2 5 1

BZ B 2 I BZ 2 I B ; como det B 2 0 B ; Multiplico por B por la izda 0 1 2 2 0 1 0 1 5 2 0 1 5 2 10 1 1 1 B BZ B (2 I B ) Z B (2 I B ) 2 5 1 0 1 0 2 5 1 0 0 5 25 2 2 2 − − − − −   + = → = − = ≠ ∃ _{=  }   −              = − ⇒ = − = _{    }− _= _{  }= _{ }            R e s o l u c i ó n 1 5 5 25 2 2   =      

(Propuesto PAU Andalucía 2014) (D) Resuelva la ecuación matricial AX = 2(C – Dt), siendo

0 1 0 2 1 1 A C y D 2 0 1 2 2 1 −       =_{ } =_{ } =_{ } − −

     . (Propuesto PAU Andalucía 2014)

t 1 t 1 Es I 1 1 t 1 t 0 2 1

Como det A 2 0, A . Partimos de AX 2(C D ) Multiplicamos por A por la izda 1 0 2 0 1 0 2 1 2 0 1 1 0 1 A A X A 2(C D ); Luego, X 2A (C D ) 2 2 0 1 2 1 1 2 0 0 3 2 − − − − − −   = − ≠ ∃ = _{ } = − − −   −   −          − = − = − = _{    }− _=_{ } − − − −          R e s o l u c i ó n 0 3 2 0   =  ₋   

(E) Sean las matrices A 2 1 B 1 1

a b 3 0

− −

   

=_{ } =_{ }

   . Para los valores a = 3 y b = 1 calcule la matriz X

tal que AB = 2(X – 3I₂). (Propuesto PAU Andalucía 2013)

como a 3, b 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 AB 2X 6I AB 6I 2X X (AB 6I ) 6 3 1 3 0 0 1 2 2 1 ₁ 5 2 1 0 1 2 1 1 ₂ X 6 X 9 0 3 0 1 0 9 2 2 ₀ 2 = =  − −    = − ⇒ + = ⇒ = + → _{  }+ _{ }          −       _{ } = _{ }+ _{ }= _{ }⇒ =           _{ } R e s o l u c i ó n (F) Se consideran la matrices 1 ₀ 1 a ₂ A B 3 0 1 ₀ 4     _{ } =_{ } =  

  _{ } siendo a un número real cualquiera.

Para a = 2, resuelva la ecuación matricial A3X – 4B = 0. (Propuesto PAU Andalucía 2014)

1

3 1

Es C

Multiplico por C por la izda

3 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 6

Para a 2, A , Llamamos C A ; det C 1 0,, C

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 A X 4B 0 CX 4B − C CX C 4B X 4C − − − −            = =_{ } = =_{    }= _{  }= _ = ≠ ∃            − = ⇒ = → = ⇒ = R e s o l u c i ó n t B 1 ₀ 1 _{0 4 0} 1 0 1 6 16 0 1 2 2 X 4 4 4 ₃ X 3 3 6 1 0 1 0 3 0 1 _{0 0 4} 4 4   ₋   _{−  −}   _{ }  _{ }   = _{ } = _{ } =  ⇒ =_{ }       −   _{ }  _{   }  

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(G) Sean las matrices

1 3 0 1 1 0 1 5 5 A B C 2 3 4 4 2 1 3 5 5 5 5    ₋      _{ − } =  =  =_{ } ₋             

Resuelva la ecuación matricial (2A + B)X = 3A – B. (Propuesto PAU Andalucía 2013)

− − − − −    ₋      _{ −   } = + =   + _{ }= _ = ≠ ∃ = _{ } ₋                + = − ⇒ = − 1 → = − ⇒ = − 1 Es C

Multiplico por C por la izda 1 1 1

t 1 3 0 1 _{1 1 2 0} 1 5 5 Llamamos C 2A B 2 ; det C 2 0, C 2 3 4 4 0 2 2 1 1 5 5 5 5

(2A B)X 3A B CX 3A B C CX C (3A B) X C (3A B)

X R e s o l u c i ó n     ₋  ₋       ₋         _{ } =     − =  ₋ = ₋ ⇒ =_{ }       _{−   }      _− _        1 3 0 1 ₁ 3 2 1 2 1 0 1 2 3 1 ₃ 5 5 1 1 _X 2 0 1 2 3 4 4 0 1 2 1 2 1 1 2 2 2 ₁ 2 5 5 5 5

(H) Halle la matriz X que verifica I2 – 2X = A(A – Bt), siendo

1 1 0 2 A y B 2 1 1 2 −     =_{ } =_{ } − −    

(Propuesto PAU Andalucía 2010)

(

)

t t 2 t 2 t 2 2 2 2 1 I 2X A(A B ) I A(A B ) 2X I A AB 2X X I A AB 2 3 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 2 3 0 3 0 1 1 1 X 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2 0 1 0 1 2 4 2 2 2 2 2 − = − ⇒ − − = ⇒ − + = ⇒ = − + − − − − − − − − −                 = _{  }− _{  }+ _{ }= _{  }− _{ }+ _= _{ }= − − − − − − − −                     R e s o l u c i ó n 2 1 1     _{− −}   

(I) Se consideran las matrices

1 1 2 A 0 1 1 1 0 2 −     =_ − _     B 1 2 1 1 2 0   =  ₋    C=

(

2 1

)

D=

(

1 −1 2

)

Despeje la matriz X en la ecuación XA– 1 + 2B = 3Ct D, sin calcular sus elementos (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Es I multiplico por A a la dcha

1 t 1 t 1 t t XA− +2B=3C D⇒XA− =3C D 2B− →X A A− =(3C D 2B)A− ⇒ X=(3C D 2B)A− R e s o l u c i ó n (J) Sea la matriz A 3 m 1 m m 1   =  _{− +}   

1) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa.

2 2 2 2 2 4.1.3 2 8 det A 3(m 1) m(1 m) 3m 3 m m m 2m 3 0 m 2.1 − ± − − ± − = + − − = + − + = + + = ⇔ = = R e s o l u c i ó n 2 Luego, det A≠0 para cualquier valor de m⇒A tiene inversa para todo valor de m

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2) Haciendo m = 0, resuelva la ecuación matricial AXA = I₂ , donde I₂ es la matriz unidad de orden 2 y X es una matriz cuadrada de orden 2.

(Propuesto PAU Andalucía 2003)

t 1 1 2 Es I Es I 1 1 1 1 1 1 2 3 0 ₁ 1 1

Para m 0, A , det A 3 0, A ; AXA I ; multiplico por A por la dcha y por la izda

1 1 3 0 3 1 ₀ 1 0 1 0 1 0 1 1 1 9 A A X AA A I A I X I A A X . 1 3 1 3 4 9 4 3 3 9 ₁ 9 − − − − − − − − −     = =_{ } = ≠ = _{ } =             _{ } = ⇒ = ⇒ = _{   }= _{ }=   − − − −       _{ } R e s o l u c i ó n

(K) Sean las matrices M 1 2 N 4 3

3 4 2 1

   

=_{ } =_{ }

   

Calcule la matriz B = M–1 y resuelva la ecuación N + XM = MB , donde X es una matriz 2 x 2. (Propuesto PAU Andalucía 2003)

1 1 t 1 Es I Es M

multiplico por M por la dcha 1 1

1 2 1 4 3 4 2 1 1 detM 2 0, B M _{3 1} 2 1 3 1 2 2 _{2 2} N XM M B N XM I XM I N XMM (I N)M 1 0 4 3 1 4 2 X (I N)M 0 1 2 1 2 − − − − − − −   − −   −   = − ≠ = = _{ } = _{ }=  ₋    − − −    _{  } + = ⇒ + = ⇒ = − → = − −     − = − =_{  }− _ −       R e s o l u c i ó n 3 3 3 3 4 2 3 3 1 1 _{2 2} 3 1 2 2 0 3 1 2 8 4 _{4 2} −   − − − −   −    −   = = =     ₋ ₋  ₋  _{ }        _ − _

(L) Obtener la matriz X que verifica AX – B = 3X siendo

3 2 1 2 A 3 0 1 y B 1 2 1 3 1 − −         =_{ } = −_{ }         1 es I. X

saco factor común X a la dcha

Es multiplico por C por la izda

1 1 t 0 2 1 AX B 3 X AX 3 I X B (A 3 I)X B ; llamo C A 3 I 3 3 1 2 1 0 1 2 9 1 det C 5 0, C 1 2 4 ; CX B C C 5 1 3 6 − − − −     − = ⇒ − = → − = = − =_ − _     −     = − ≠ ∃ = _− _ = → − _{− − −}    R e s o l u c i ó n I 1 1 X C B 2 5 1 1 1 2 2 1 1 ₉ X C B 2 2 3 1 9 ₅ 5 5 9 4 6 1 28 ₂₈ 5 − − = −   − − − −        −    −   _{ } = = _ − _− _= _ − _=    ₋   ₋  _{ }       