Tema 2 Variables Aleatorias

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Tema 2 Variables Aleatorias

Introducción

El análisis estructural consiste en determinar la forma en que se comporta una estructura hecha de un material específico ante un sistema de cargas dado, el estudio considera que el comportamiento de la estructura es satisfactorio si cumple con una serie de requisitos estipulados por las normativas de cada país que garantizan la seguridad de la estructura. Estas normativas buscan evitar la posibilidad de falla producto de la combinación de factores que inciden en el diseño o construcción de la obra o en ambos.

Los estudios de Confiabilidad Estructural consisten en determinar si una estructura puede estar en condiciones satisfactorias (debajo de un estado límite definido) o por el contrario en condiciones no satisfactorias o de falla (encima de un estado límite definido). Para lograr el objetivo planteado la confiabilidad estructural mide la seguridad de una estructura, determina el grado de seguridad necesario y proporciona herramientas para establecer el óptimo nivel de seguridad para una estructura.

La condición de la estructura encuentra en la teoría de las probabilidades la mejor forma de expresar la posición con respecto al estado límite, dada la naturaleza variable de las cargas y propiedades de los materiales usados, los términos de las probabilidades indican la condicione satisfactoria o no de una estructura. El enfoque probabilístico es empleado en el diseño de estructuras de concreto armado y acero1, porque considera las variables que intervienen en el diseño como aleatorias ya que existe incertidumbre al estimar la máxima carga que se va a aplicar, la resistencia de los materiales, factores constructivos que la afectan, errores del método de análisis, dificultad de predecir fenómenos naturales, etc… Las incertidumbres planteadas se clasifican en dos tipos según su origen:

• Causa natural: donde se incluyen las magnitudes de todos los tipos de carga y las propiedades de los materiales de construcción.

• Causa humana: donde se incluyen los errores de cálculo, falta de conocimientos sobre alguna falla no estudiada lo suficiente y errores constructivos.

Debido a las consideraciones de incertidumbre en los parámetros del análisis estructural, las variables se tratan como aleatorias y se hace imprescindible para iniciar el estudio de confiabilidad estructural realizar una revisión de los principios de la estadística y probabilidad pertinentes. (Nowak y Collins, 2000).

1 _{Diseño denominado diseño por Estados Limites o diseño por factores de carga y resistencia (LRFD}

Definiciones básicas de estadística y probabilidad

Todos los fenómenos de la naturaleza presentan dispersión en los resultados y la teoría de las probabilidades es la rama de las matemáticas que contempla esta tendencia porque trata la incertidumbre en los resultados considerando las variables como aleatorias, así los modelos son probabilísticos porque consideran el error que existe al realizar la estimación de un parámetro con un valor numérico de esta posibilidad o probabilidad.

Como resultado de la teoría nunca podrá predecirse completamente el comportamiento de un modelo, más bien se considera la posibilidad de ocurrir. De esta forma se indica en esta sección el concepto de probabilidad y las reglas básicas para el cálculo de las probabilidades. (Benjamin y Cornell, 1981; Chou, 1972).

Espacio muestral y suceso

Se denomina espacio muestral (Ω) al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento, mientras que un suceso (E) en un subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al realizar ensayos en n cilindros de concreto (x1, x2, x3,…,xn), el espacio muestral

es {Ω}={ x1, x2, x3,…,xn} y un suceso2 o evento E1 de este espacio muestral sería el

conjunto de valores de rotura por debajo de 100 kgf/cm2, E2 el conjunto de valores de rotura

del cilindro entre 100 y 150 kgf/cm2 y así sucesivamente hasta cubrir los n resultados de los ensayos.

Axiomas de probabilidad

La probabilidad de que un suceso ocurra debe satisfacer las siguientes tres condiciones.

Axioma I

La probabilidad de un suceso es un número mayor o igual a cero pero menor o igual a la unidad.

0 1 (1)

Axioma II

La probabilidad de un suceso seguro o probabilidad del espacio muestral es la unidad.

Ω 1 (2)

2 _{Por lo general se expresa como un rango.}

Facultadde Ingeniería Axioma III

La probabilidad de un suceso que sea la unión de de dos sucesos mutuamente excluyentes, es la suma de las probabilidades de los dos sucesos.

(3)

Los sucesos mutuamente excluyentes se refieren cuando la ocurrencia de un suceso excluye la circunstancia de que los demás ocurran, por ejemplo un espacio muestral conformado por M sucesos n1, n2, n3,… nM.

. ₁

(4)

Variables aleatorias

Se llama variable aleatoria a una magnitud cuyo valor no puede predecirse con certeza antes de que ocurra, por lo tanto su comportamiento se caracteriza mediante las leyes de probabilidades; para describirla se emplea una función o distribución de probabilidades que define los sucesos3. Se denota con una letra mayúscula, por ejemplo la variable aleatoria X y la función X(E) indica la magnitud de ocurrir del suceso E de la variable X.

Un clásico ejemplo de variable aleatoria es el resultado de los ensayos en cilindros de concreto provenientes de una construcción, ya que para las mismas condiciones de producción, los resultados son diferentes y al analizar la dispersión en los ensayos se encuentra que siguen un patrón indicado por las leyes de probabilidades, por lo que se puede caracterizar por una función de probabilidades.

Las variables aleatorias se dividen en dos tipos: discretas y continuas, las cuales se representan por una función discreta masa de probabilidades (FMP) que se denota por pX(x)

o por una función de densidad de probabilidades (FDP)4 _{que se denota como f}

X(x) y

función de distribución acumulada (FDA)5 _{que se denota como F}

X(x). (Benjamin y Cornell,

1981; Miller, Freund y Johnson, 1992; Kennedy y Neville, 1982).

Función discreta masa de probabilidades (FMP)

Cuando los valores que puede tomar una variable aleatoria están restringidos a números enteros, la variable se llama discreta y se presenta en la forma de una función masa de probabilidades (FMP) y se define como pX(x)= probabilidad de que una variable

aleatoria discreta X sea igual a un valor especifico x entero.

3 _{Las distribuciones se emplean de forma similar a las funciones matemáticas como x}2_{, log(x), etc.}

4_{FP se aplica a las variables aleatorias discretas y FDP para el caso de variables aleatorias continuas.}

La FP proporciona la probabilidad de ser igual a un valor dado de la variable aleatoria mientras que FDP

proporciona la frecuencia estandarizada (f/n) para un valor dado de la variable aleatoria.

5 _{Función que proporciona la probabilidad por debajo o igual a un valor dado de la variable aleatoria o}

La FMP se representa por lo general con un diagrama de barras (véase Figura 1), donde la altura es proporcional a la probabilidad de que la variable tome ese valor. Por ejemplo en la Tabla 1 se indica el número de vehículos que transitan en un puente simultáneamente, siendo pX(x) la probabilidad de encontrar la cantidad de número de

vehículos en el puente, la Figura 1 representa en diagrama de barras la FMP de las pX

señaladas en la Tabla 1.

Tabla 1. Ejemplo de valores de una Función discreta masa de probabilidades.

x pX(x) FX(x) 1 0,17 0,17 2 0,25 0,42 3 0,17 0,59 4 0,17 0,76 5 0,12 0,88 6 0,12 1,00

Figura 1. Variable aleatoria discreta representada por la función de densidad y la función de distribución acumulada.

Función de densidad de probabilidades (FDP)

Cuando los valores que puede tomar una variable aleatoria no quedan restringidos a números enteros, puede tomar cualquier valor del eje de los números reales, esta variable se denomina continua y es representada en la forma de una función de densidad de probabilidades (FDP). La FDP se distingue por una línea continua como se indica en la Figura 2. Cabe destacar que esta distribución se adapta a la mayoría de los problemas relacionados con la confiabilidad estructural.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 1 2 3 4 5 6 FMP FDA

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Función de distribución acumulada (FDA)

Una forma equivalente de representar las distribuciones de probabilidades, es mediante una función de distribución acumulada (FDA), la forma es validas tanto para variables aleatorias discretas como continuas. Se define como la suma (variables aleatorias discretas) o integral (variables aleatorias continuas) de todas las probabilidades menores o iguales a x y la Ecuación 4 simboliza la definición. Gráficamente se representa por una línea ascendente tal como se indica en las Figuras 1 y 2.

∑

(5)

Figura 2. Variable aleatoria continua representada por la función de densidad y la función de distribución acumulada.

Figura 3. Representación gráfica de las propiedades de FDA

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 FDP FDA

Propiedades de las funciones de probabilidades (FDA, FDP, FMP) 1. La definición de FDA es aplicable para variables aleatorias discretas como

continuas.

2. La FDA es una función positiva, ascendente cuyos valores oscilan entre 0 y 1. 3. Si x1<x2, entonces FX(x1)<FX(x2).

4. FX(-∞)=0 y FX(∞)=1.

5. Para FDP la probabilidad entre dos valores se determina según la Ecuación 5 y el significado grafico se indica en la zona sombreada de la Figura 4. (Benjamin y Cornell, 1981; Nowak y Collins, 2000).

(6)

Figura 4. Representación gráfica de la Ecuación 5.

Reducción de datos

Una manera útil de representar los datos es mediante histogramas de frecuencias, el cual es un gráfico donde se representa la distribución de frecuencia de cada clase con una barra. El gráfico da una visión de la amplitud de los datos, la mayor frecuencia, la dispersión alrededor de los valores centrales. Otra representación gráfica de los datos es la distribución de frecuencias acumuladas, la cual se obtiene al sumar las frecuencias hasta la clase considerada, estos puntos se unen por lo general con una línea recta. (Benjamin y Cornell, 1981; Kennedy y Neville, 1982).

El procedimiento para realizar la distribución de frecuencias consiste en:

1. Decidir cuantas clases se van a utilizar para agrupar los datos (por lo general debe ser mayor de 5 y menor de 15), estos depende de la diferencia entre el máximo y mínimo del grupo de valores el cual se denomina rango (d). Un valor práctico es el sugerido en la Ecuación 1 por Sturges,

1 3,3log (7)

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k ≡ número de intervalos,

n ≡ número de datos.

2. elegir los límites de cada clase,

3. determinar el número de datos que pertenecen a cada clase (frecuencia).

Parámetros de las variables aleatorias

Los parámetros son medidas que caracterizan una variable aleatoria y representan el conjunto de datos del espacio muestral de los valores que puede tener la variable.

Media de X

La media es la principal medida de tendencia central del espacio muestral. Es similar al concepto de centro de gravedad de un área, se distingue por μX para la media poblacional mientras que indica la media de la muestra. La media se define como la suma de todos los datos dividida entre el total de los datos, se expresa de las siguientes formas:

∑ (8) ∞ ∞ (9) donde,

≡ media aritmética de la muestra,

μX ≡ media aritmética de la población,

xi ≡ valor del dato,

n ≡ número de datos.

Esperanza de X

El valor esperado se denota por E(X) y es igual a la media de la variable (μX), de tal

forma que los dos nombres se emplean para designar al mismo valor.

∑ (10)

Varianza de X

El empleo de un solo valor para representar un conjunto de datos es insuficiente, ya que el espacio muestral presentan diferencias con respecto al valor central. Es por ello que se debe medir la dispersión de los datos con respecto al valor central para así obtener una descripción más precisa del conjunto de datos. Cabe destacar que las medidas de dispersión son el parámetro más importantes de un conjunto de datos, porque representa la variabilidad de los datos

La varianza es la medida de dispersión más representativa y se define como el promedio de las diferencia de los valores con respecto a la media elevados al cuadrado. Se distingue por para la varianza poblacional mientras que s2 indica la varianza de la muestra.

∑

(11)

(12)

donde,

s2 _{≡ varianza del conjunto de datos,}

≡ varianza de la población.

Desviación estándar de X

La medida más importante de dispersión es la desviación estándar porque en contraste con la varianza que eleva la diferencia al cuadrado para evitar los valores negativos de la diferencia, hace que el valor no se pueda relacionar con la media debido al cuadrado de las unidades que tiene la variable. La desviación estándar se define como la raíz cuadrada de la varianza.

∑

(13)

(14)

donde,

s ≡ desviación estándar de la muestra,

σX ≡ desviación estándar de la población.

Factor de sesgo de X

El factor de sesgo es una medida que relaciona el valor nominal o valor del diseño empleado en el análisis estructural con la media de dicha variable que se considera como aleatoria. Este factor relaciona los valores del diseño con la incertidumbre que se considera tiene el parámetro de cálculo.

(15)

donde,

λX ≡ Factor de sesgo de X,

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Coeficiente de variación de X

El coeficiente de variación es una medida adimensional y compara la media con la desviación estándar, representa la dispersión de los datos de forma porcentual6.

(16)

donde,

V ≡ Coeficiente de variación.

Forma estándar

Para una variable aleatoria X. La forma estándar denotada por Z, está definida por

(17)

Esta forma tiene la propiedad que μZ=0 y =1. (Chou, 1972; Benjamin y Cornell,

1981; Nowak y Collins, 2000).

Ejemplo 1

Los siguientes valores son el resultado del ensayo de cilindros de concreto

273,7 306,7 280,8 317,6 290,3 313,9 294,2 305,5 306,9 264,6 290,1 270,2

Número de ensayos 12

Número de clases 4,6 1+3,3*LOG(n) Max 317,61

Min 264,61

Intervalo de clase 10,8 (Max-Min)/Numero de clases

Clase f fa 264,60 275,40 3 3 275,41 286,20 1 4 286,21 297,00 3 7 297,01 307,80 3 10 307,81 318,60 2 12

⁻fc 292,9 Media suma(datos)/Número de Ensayos

s2

fc 313,2 Varianza (suma(datos-media))2/Número de Ensayos

sfc 17,7 Desviación estándar Raiz (Varianza)

λfc 1,4 Factor de Sesgo Media/nominal

Vfc 6,0%

Coeficiente de

Variación Media/Desviación

Figura 5. Histograma de Frecuencia del ejemplo 1

Distribuciones usadas en Confiabilidad Estructural

Cualquier variable aleatoria se define bien sea por FMP o por FDP según sea el tipo, esta deberían ajustarse a las siguientes distribuciones que son las más empleadas en los análisis de confiabilidad: Uniforme, normal, lognormal, gamma, extrema tipo I, extrema tipo II, extrema tipo III y poisson. Brevemente se describirá cada una de ellas.

Uniforme

Esta distribución se aplica para los casos donde todos los valores tienen la misma probabilidad de ocurrir dentro de un intervalo [a, b]. Es una función con muchas aplicaciones en los problemas de confiabilidad.

Figura 6. FDP y FDA de distribución uniforme

0 2 4 6 8 10 12 14 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 275.40 286.20 297.00 307.80 318.60 264.60 275.41 286.21 297.01 307.81 fa f Fc F( x) f(x) f(x) F(x) a b

Facultadde Ingeniería 0 (18) 0 0 (19) ; (20) Normal

La distribución normal es probablemente la distribución más importante en la confiabilidad estructural, es una función donde los valores cercanos a la media tienen mayor probabilidad de ocurrir, mientras los que están alejado tiene poca probabilidad de ocurrir.

√ (21)

donde,

µx ≡ media de X,

σx ≡ desviación estándar de X,

Figura 7. FDP y FDA de distribución normal

La ecuación 19 no tiene integral definida por lo que para obtener la FDA, se emplean tablas de forma estándar con μZ= 0 y = 1.

(22)

=_√ = ; (23)

Φ = (24)

donde,

Ζ ≡ variable normal estándar,

φ ≡ función de densidad de probabilidad normal,

fX(x) FX(x)

Φ ≡ función acumulada de probabilidad normal. (Nowak y Collins, 2000)

Log Normal

Una variable aleatoria X, es log normal si la variable Y=ln(X) posee las características de una distribución normal, esta distribución está definida solo para valores positivos (x 0). Las expresiones de f(x), F(x), μX y σX son:

= ; =Φ (25)

(26)

Si Vx 0,20 ln 1 ; ln - (27.a)

Si Vx 0,20 ; ln (27.b)

Figura 8. FDP y FDA de distribución log normal

Figura 9. FDP y FDA de distribución gamma

F( x) f( x) f(x ) 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 0 1 2 3 4 5 6 f(x) k=1 k=2 k=3

Facultadde Ingeniería Gamma

La distribución Gamma es útil para modelar la carga viva sostenida, las expresiones de f(x), F(x), μX y σX son: ! para x 0 ; , (28) ; = (29) Extrema tipo I

La distribución Extrema Tipo I es útil para modelar la naturaleza probabilística de los valores extremos de fenómenos relacionados con el tiempo, por ejemplo durante un año existirá un máximo valor de un fenómeno dado (velocidad del viento), las expresiones de f(x), F(x), μX y σX son: = (30) = ; (31) , ; √ (32)

Figura 10. FDP y FDA de distribución extrema tipo I Extrema tipo II

La distribución Extrema Tipo II es útil para modelar la máxima carga sísmica, las expresiones de f(x), F(x), μX y σX son: ⁄ _{; =} ⁄ ₍₃₃₎ Γ 1 k>1; (34) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 ‐4.00 ‐2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

Γ 1 Γ 1 k>2

Γ 1 2

Γ 1 1 1

(35)

Figura 11. FDP y FDA de distribución extrema tipo II

Figura 12. FDP y FDA de distribución tipo III Extrema tipo III (Weibull)

Esta distribución está definida por tres parámetros, y está definida por dos funciones diferentes según los valores.

para x≤w (36) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 1 2 3 4 5 6 β=1 β=0,5 β=2

Facultadde Ingeniería Γ 1 ; Γ 1 Γ 1 (37) para x≥ε (38) Γ 1 ; Γ 1 Γ 1 (39) Poisson

La distribución de Poisson es una función de probabilidades discreta que puede ser usada para calcular por las FMP. Se puede emplear para definir el número de terremotos que ocurren en un intervalo de tiempo. Existen dos suposiciones importantes para emplear esta distribución: la ocurrencia de los sucesos es independiente una de otra y dos o más sucesos no pueden ocurrir simultáneamente.

! para n=0,1,2,…,∞ (40)

; √ (41)

Ejemplo 2

2.1 Distribución Normal

Carga que debe ser resistida por una fundación

mX 140

sX 14,1

Carga de diseño con 95% de confianza x 0,95

FX 163,19

2.2 Distribución Lognormal

Número de ciclos para la ruptura de viga de acero

mY 430000 sY 215000 VY 50,0% µlnY 12,86 σlnY 0,472 X 0,00 150000,00 300000,00 450000,00 600000,00 750000.00 900000.00 fX 0,00 0,02 0,28 0,33 0,20 0.09 0.04 FX 0,00 0,02 0,30 0,63 0,83 0.92 0.96 X 1050000,00 1200000,00 1350000,00 1500000,00 fX 0,02 0,01 0,00 0,00 FX 0,98 0,99 1,00 1,00

Figura 13. Representación gráfica del fY , FY vs número de ciclos

2.3 Distribución Gamma

Datos del Flujo anual de un río

k 1,727 λ 0,00672

mX 256,99 sX 195,56

Determinar la probabilidad del flujo máximo menor de 400 x 400

FX 0,81

2.4 Distribución Extrema Tipo I

Caudal máximo anual de un río

mX 100 sX 50

α 0,0256 u 77,50

Probabilidad que el caudal exceda a 200 x 200

FX 0,042

2.5 Distribución Extrema Tipo II

Velocidad máxima anual del viento

mX 55 sX 12,8 VX 0,233 k 5,500 Mediante Grafico u 48,060 x 80 FX 0,94 Exceder la velocidad x 0,06 0.00 0.14 0.29 0.43 0.57 0.71 0.86 1.00 1.14 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0 500000 1000000 1500000 FY fY Y

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x 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00 55,00 60,00 65,00 70,00

fX 3,88E-06 2,95E-03 2,43E-02 4,18E-02 3,96E-02 2,96E-02 2,01E-02 1,33E-02 8,75E-03

FX 0,00 0,00 0,06 0,24 0,45 0,62 0,74 0,83 0,88

x 75,00 80,00

fX 5,82E-03 3,92E-03

FX 0,92 0,94

Figura 14. Representación gráfica de fX, FX vs. Velocidad máxima anual

Papel Normal de probabilidad

El papel normal de probabilidad esta hecho de tal forma que una distribución normal generaría una línea recta al dibujarse en el papel xi vs pi. Este efecto es fácil de conseguir al

transformar y graficar en una escala lineal los valores de xi vs zi obtenido según la Ecuación

43. El procedimiento para graficar en el papel de probabilidad normal es el siguiente: 1. Arreglar los datos xi de forma creciente. El menor valor será x1, el siguiente será x2

y así sucesivamente hasta llegar al xn,

2. asociar cada valor de xi con el correspondiente pi acumulado según,

(42)

3. graficar los valores de (xi , pi) en el papel de probabilidad normal. Si el gráfico

siguen aproximadamente una línea recta se concluye que los datos pueden modelarse con una distribución Normal, se dibuja la línea que mejor ajusta el conjunto de datos, la pendiente de la recta debe ser igual a y el valor de x para

0.00 0.11 0.22 0.33 0.44 0.56 0.67 0.78 0.89 1.00 0.0E+0 5.0E‐3 1.0E‐2 1.5E‐2 2.0E‐2 2.5E‐2 3.0E‐2 3.5E‐2 4.0E‐2 4.5E‐2 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 FX fX V

p=0,5 es igual a 7_{. En caso que los datos no sigan una línea recta indica que la} distribución Normal no es apropiada para el conjunto de datos.

4. En caso de no emplear el papel de probabilidad normal, se dibuja el par (xi , zi) en

la escala lineal, donde zi es obtenido por la Ecuación 43.

Φ p (43)

donde,

Φ-1 _{≡ Inversa de la Función Normal acumulada.}

Ejemplo 3

Dibujar en papel normal los siguientes 9 valores

6,5 5,3 5,5 5,9 6,5 6,8 7,2 5,9

6,4

Línea de mejor ajuste gráfico lineal

Línea de mejor ajuste papel probabilidad i xi pi zi xi zi xi pi 1 5,3 0,1 -1,282 5,3 -1,49 5,3 0,07 2 5,5 0,2 -0,842 3 5,9 0,3 -0,524 4 5,9 0,4 -0,253 5,9 -0,52 6,22 0,50 5 6,4 0,5 0,000 6,4 0,29 6 6,5 0,6 0,253 7 6,5 0,7 0,524 8 6,8 0,8 0,842 9 7,2 0,9 1,282 7,2 1,58 7,2 0,94 ⁻x 6,22 s 0,62

Probabilidad Condicional

Un valor importante es describir como dos suceso aleatorios están relacionados, esta define la probabilidad condicional de que un suceso ocurra dado el hecho que otro ha o no ocurrido. Dos sucesos E1 y E2, la probabilidad condicional de E1 ocurriendo si E2 ha pasado

se define como

(44)

donde,

≡ Probabilidad de ocurrir el suceso E1 dado que E2 ha ocurrido,

≡ Probabilidad de la intersección del evento E1 y E2,

≡ Probabilidad del suceso E2.

7 _{Como método alternativo para dibujar la línea de mejor ajuste es emplear el valor de y s para}

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Figura 15. Comparación de papel lineal y papel de probabilidad normal del ejemplo 3

Ejemplo 4

Diseño de un sistemas de servicios para un parque industrial. Parque contiene 6 fábricas construidas. Las fábricas no se ha arrendado todavía y no se sabe como se va a ocupar las fábricas, para diseñar el suministro de electricidad y agua un inquilino necesita 5 o 10 unidades de potencia eléctrica mientras que de agua 1 o 2 unidades de capacidad de agua.

Figura 16. Esquemas de las parcelas

Suceso pS Suceso pS Suceso pS Suceso pS

E5A1 0,1 E10A1 0,1 E5A2 0,2 E10A2 0,6

‐1.5 ‐1.0 ‐0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 2 4 6 8

Espacio muestral E5A1 E5A2 E10A1 E10A2 Agua Energia Electrica 5 10 1 2 E5A1 E10A2 E5A2 E10A1

Figura 17. Esquema del espacio muestral

Aplicación del Axioma III

Probabilidad A2 0,8 Probabilidad E10 0,7 Probabilidad de A2 dado que E10 Probabilidad E10 A2 0,86

Vectores aleatorios

Un vector aleatorio es un conjunto de variables aleatorias {X1, X2, …,Xn}. Para estos

casos las expresiones de f(x), F(x), μX y σX son:

… , ,…, , , … , (45) Esta ecuación se lee como la probabilidad de la intersección de los eventos X1≤x1 con

X2≤x2 con ….. con Xn≤xn

Correlaciones

Si tenemos dos vectores aleatorios X y Y, con medias y desviación estándar, se tiene que la covarianza es

, (46)

donde,

E[]≡ Valor esperado.

Se define como coeficiente de correlación ρXY al valor que indica el grado de

dependencia lineal entre dos variables aleatorias X y Y. El coeficiente de correlación está en el rango -1≤ρXY≤1, cuando se acerca a cero indica que no hay relación lineal entre X y Y,

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,

(47)

Ejemplo 5

El momento resistente de una viga de concreto armado Mn=Rnbd2

μRn 9,68 μb 20,20 μd 24,75 ρbd 0,5

σRn 0,15 σb 0,81 σd 0,99

Matriz de coeficiente de correlacion

1 0 0 0 1 0,5 0 0,5 1 Matriz de covarianza Rn b d Rn 0,021 0,000 0,000 b 0,000 0,653 0,400 d 0,000 0,400 0,980

Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes está referido a resolver la pregunta de donde provienen los resultados obtenidos, constituye una regla útil para la resolución del planteamiento al combinar la estadística y la información derivada de los resultados con la actualización en función de los recientes resultados obtenidos. El enunciado indica que si tenemos eventos mutuamente excluyentes H1, H2, …,Hn cuya unión es el espacio muestral Ω y si un suceso

E está definido en Ω de modo que P(E)>0, entonces la probabilidad de Hi dado E es

| _∑ |

| (48)

Por ejemplo consideremos la determinación del esfuerzo de un elemento estructural obtenido en laboratorio, la variable A define los resultados que fueron A={a1, a2, a3,..., an},

la probabilidad de cada resultado ai es P(A=ai)=pi. Esta probabilidad representa la

información obtenida previamente, experiencia o juicio de valor. En la actualidad se están realizando ensayos sobre el mismo elemento los cuales se desean actualizar a la luz de los resultados. La variable E representa los posibles resultados del nuevo experimento y está conformados por los posible resultados {a1’, a2’, a3’, …,an’}, pi’ representa la probabilidad

de los nuevos resultados que se obtendrá empleando el Teorema de Bayes.

| |

∑ | o

|

La probabilidad condicional | representa la probabilidad de que el resultado del ensayo indique aj’ dado que el verdadero valor es ai. (Chou, 1972; Nowak y

Collins, 2000).

Ejemplo 6

Probabilidades de los esfuerzos de corte de vigas de acero

Esfuerzo de corte viga pi

Rv 0,00 0,9Rv 0,15 0,8Rv 0,30 0,7Rv 0,40 0,6Rv 0,15 Resultados de ensayos sobre viga de ensayo

Matriz de probabilidades condicionales

Esfuerzo de la viga Valor ensayado Rv 0,9Rv 0,8Rv 0,7Rv 0,6Rv Rv 0,60 0,05 0,00 0,00 0,00 0,9Rv 0,30 0,65 0,05 0,00 0,00 0,8Rv 0,10 0,25 0,70 0,10 0,05 0,7Rv 0,00 0,05 0,20 0,75 0,25 0,6Rv 0,00 0,00 0,05 0,15 0,70 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

Probabilidad de corte sea Rv en el ensayo 0,8 Rv _{P Rv 0,8Rv 0,000} Probabilidad de corte sea 0,9Rv en el ensayo 0,8 Rv _{P 0,9Rv 0,8Rv 0,127} Probabilidad de corte sea 0,8Rv en el ensayo 0,8 Rv _{P 0,8Rv 0,8Rv 0,712} Probabilidad de corte sea 0,7Rv en el ensayo 0,8 Rv _{P 0,7Rv 0,8Rv 0,136} Probabilidad de corte sea 0,6Rv en el ensayo 0,8 Rv _{P 0,6Rv 0,8Rv 0,025}

Tabla 2. Comparación de las p previos y posteriores a los ensayos Esfuerzo de corte viga pi antes de los ensayos pi actualizados

Rv 0,00 0,000

0,9Rv 0,15 0,127

0,8Rv 0,30 0,712

0,7Rv 0,40 0,136

Facultadde Ingeniería

Referencias

– Benjamin, J. y Cornell, C. (1981). Probabilidad y Estadística en Ingeniería Civil. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana, S.A.

– Chou. Y. (1972). Análisis Estadístico. México: Nueva Editorial Interamericana, S.A. de C.V.

– Kennedy, J. y Neville, A. (1982). Estadística para Ciencias e Ingeniería. México D.F., México: Harla, S.A. de C.V.

– Miller, I., Freund, J. y Johnson, R. (1992). Probabilidad y Estadísticas para Ingenieros. Naucalpan de Juárez, México: Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. – Nowak, A. y Collins, K. (2000). Reliability of Structures. EE.UU.: McGraw-Hill

Apéndice

Tabla A1. Valores de p de una distribución normal estándar

p z p z p z p z 0,00058 -3,25 0,05480 -1,60 0,51994 0,05 0,95543 1,70 0,00069 -3,20 0,06057 -1,55 0,53983 0,10 0,95994 1,75 0,00082 -3,15 0,06681 -1,50 0,55962 0,15 0,96407 1,80 0,00097 -3,10 0,07353 -1,45 0,57926 0,20 0,96784 1,85 0,00114 -3,05 0,08076 -1,40 0,59871 0,25 0,97128 1,90 0,00135 -3,00 0,08851 -1,35 0,61791 0,30 0,97441 1,95 0,00159 -2,95 0,09680 -1,30 0,63683 0,35 0,97725 2,00 0,00187 -2,90 0,10565 -1,25 0,65542 0,40 0,97982 2,05 0,00219 -2,85 0,11507 -1,20 0,67364 0,45 0,98214 2,10 0,00256 -2,80 0,12507 -1,15 0,69146 0,50 0,98422 2,15 0,00298 -2,75 0,13567 -1,10 0,70884 0,55 0,98610 2,20 0,00347 -2,70 0,14686 -1,05 0,72575 0,60 0,98778 2,25 0,00402 -2,65 0,15866 -1,00 0,74215 0,65 0,98928 2,30 0,00466 -2,60 0,17106 -0,95 0,75804 0,70 0,99061 2,35 0,00539 -2,55 0,18406 -0,90 0,77337 0,75 0,99180 2,40 0,00621 -2,50 0,19766 -0,85 0,78814 0,80 0,99286 2,45 0,00714 -2,45 0,21186 -0,80 0,80234 0,85 0,99379 2,50 0,00820 -2,40 0,22663 -0,75 0,81594 0,90 0,99461 2,55 0,00939 -2,35 0,24196 -0,70 0,82894 0,95 0,99534 2,60 0,01072 -2,30 0,25785 -0,65 0,84134 1,00 0,99598 2,65 0,01222 -2,25 0,27425 -0,60 0,85314 1,05 0,99653 2,70 0,01390 -2,20 0,29116 -0,55 0,86433 1,10 0,99702 2,75 0,01578 -2,15 0,30854 -0,50 0,87493 1,15 0,99744 2,80 0,01786 -2,10 0,32636 -0,45 0,88493 1,20 0,99781 2,85 0,02018 -2,05 0,34458 -0,40 0,89435 1,25 0,99813 2,90 0,02275 -2,00 0,36317 -0,35 0,90320 1,30 0,99841 2,95 0,02559 -1,95 0,38209 -0,30 0,91149 1,35 0,99865 3,00 0,02872 -1,90 0,40129 -0,25 0,91924 1,40 0,99886 3,05 0,03216 -1,85 0,42074 -0,20 0,92647 1,45 0,99903 3,10 0,03593 -1,80 0,44038 -0,15 0,93319 1,50 0,99918 3,15 0,04006 -1,75 0,46017 -0,10 0,93943 1,55 0,99931 3,20 0,04457 -1,70 0,48006 -0,05 0,94520 1,60 0,99942 3,25 0,04947 -1,65 0,50000 0,00 0,95053 1,65