Matemáticas para Economistas

Matemáticas para Economistas

Parte II

Optimización Clásica y con Restricciones

Tema 5

5 Optimización sin Restricciones

5.1 Optimización sin Restricciones

con una variable de decisión

5.2 Optimización sin Restricciones

5.1 Optimización sin Restricciones

con una variable de decisión

5.1.1 Condición Necesaria de Óptimo Local

5.1.2 Condición Suficiente de Óptimo Local

5.1.3 Alternativa para Identificar un Óptimo

Local

5.1.4 Concavidad y Convexidad en Funciones de

una Variable

5.1.5 Optimización Global en Funciones de una

Variable

5.1.1 Condición Necesaria de Óptimo Local

:

f

D

 

R

R

función real de variable real con derivada

continua en el abierto

D

Si

f

admite un óptimo local en el punto

,

entonces

.

x



D

'( )

0

f x



5.1.2 Condición Suficiente de Óptimo Local

:

f

D

 

R

R

función real de variable real con derivadas continuas de orden uno y dos en el abierto D, y x₀ un punto crítico de f,

Si f tiene un máximo local en x_0.

Si f tiene un mínimo local en x_0.

Si ¿? 0

''( )

0

f

x

 

''( )

0

f

x

 

''( )

0

f

x

 

5.1.3 Alternativa para Identificar un Óptimo Local

:

f

D

 

R

R

función real de variable real con derivadas continuas de orden uno y dos en el abierto D, y x₀ un punto crítico de f,

Si en un intervalo (a,x₀) a la izquierda de x₀

y en un intervalo (x₀ ,b) a la derecha de x_0,

entonces f tiene un máximo local en el punto x_0.

''( )

0

f

x



''( )

0

5.1.3 Alternativa para Identificar un Óptimo Local

:

f

D

 

R

R

función real de variable real con derivadas continuas de orden uno y dos en el abierto D, y x₀ un punto crítico de f,

Si en un intervalo (a,x₀) a la izquierda de x₀

y en un intervalo (x₀ ,b) a la derecha de x_0,

entonces f tiene un mínimo local en el punto x_0.

''( )

0

f

x



''( )

0

5.1.3 Alternativa para Identificar un Óptimo Local

:

f

D

 

R

R

función real de variable real con derivadas continuas de orden uno y dos en el abierto D, y x₀ un punto crítico de f,

Si en un intervalo (a,x₀) a la izquierda de x₀

y en un intervalo (x₀ ,b) a la derecha de x_0,

entonces f no tiene un óptimo local en el punto x_0.

''( )

0

f

x



''( )

0

5.1.3 Alternativa para Identificar un Óptimo Local

:

f

D

 

R

R

función real de variable real con derivadas continuas de orden uno y dos en el abierto D, y x₀ un punto crítico de f,

Si en un intervalo (a,x₀) a la izquierda de x₀

y en un intervalo (x₀ ,b) a la derecha de x_0,

entonces f no tiene un óptimo local en el punto x_0.

''( )

0

f

x



''( )

0

5.1.4 Concavidad y Convexidad: Funciones de una Variable

:

f

D

 

R

R

función real de variable real con derivadas continuas de orden uno y dos en el abierto D, y un intervalo abierto

Si f es cóncava en dicho intervalo Si f es convexa en dicho intervalo

''( )

0,

( , )

f

x

  

x

a b



( , )

a b



D

''( )

0,

( , )

5.1.5 Optimización Global en Funciones de una variable

:

f

D

 

R

R

función real de variable real con derivadas continuas de orden uno y dos en el abierto D

Si f es cóncava en el dominio abierto D, un máximo local de f

en D es máximo global.

Si f es convexa en el dominio abierto D, un mínimo local de f

5.2 Optimización sin Restricciones

con

n

variables de decisión

5.2.1 Condición Necesaria de Óptimo Local

5.2.2 Test de las Derivadas Segundas en

Funciones de Dos Variables

5.2.3 Óptimos Locales en Funciones de

n

Variables

5.2.4 Optimización Global en Funciones de

n

Variables

5.2.1 Condición Necesaria de Óptimo Local

:

n

f

D



R



R

función real de

n

variables reales con derivadas

parciales continuas en el abierto

D

Si

f

admite un óptimo local en el punto

,

entonces

.

x



D

(

)

0

f x





5.2.2 Test de las Derivadas Segundas en Funciones de Dos Variables

2

:

f

D



R



R

función real de dos variables reales con derivadas parciales continuas hasta orden dos en el abierto D, con x₀ un punto crítico de f, y H el determinante de la matriz Hessiana en x₀

 Si H>0 y f_xx(x₀)<0, entonces f tiene un máximo local en x₀  Si H>0 y f_xx(x₀)>0, entonces f tiene un mínimo local en x₀  Si H<0, entonces f tiene un punto de silla en x₀

 Si H=0, entonces x₀ puede ser máximo local, mínimo local o

5.2.3 Óptimos Locales en Funciones de n Variables

función real de n variables reales con derivadas parciales continuas hasta orden dos en el abierto D, con x₀ un punto crítico de f, y Hf(x₀) la matriz Hessiana de f en x₀

 Si Hf(x₀) es definida positiva, entonces f tiene un máximo local en x₀

 Si Hf(x₀) es definida negativa, entonces f tiene un mínimo local en x₀

 Si Hf(x₀) es indefinida, entonces f tiene un punto de silla en x₀

:

5.2.4 Optimización Global en Funciones de n Variables

función real de n variables reales con derivadas parciales continuas hasta orden dos en el abierto D, y Hf(x) la matriz Hessiana en f:

 f es convexa si Hf(x) es semidefinida positiva o definida positiva en todo valor

 f es estrictamente convexa si Hf(x) es definida positiva

 f es cóncava si Hf(x) es semidefinida negativa o definida negativa en todo valor

f es estrictamente cóncava si Hf(x) es definida negativa

:

5.2.4 Optimización Global en Funciones de n Variables

función real de n variables reales con derivadas parciales continuas hasta orden dos en el abierto D:

 Si f es convexa en el abierto D, entonces los mínimos locales de f en

D, en caso de existir, son mínimos globales

 Si f es estrictamente convexa en el abierto D, entonces los mínimos

locales de f en D, en caso de existir, son mínimos globales estrictos

 Si f es cóncava en el abierto D, entonces los máximos locales de f en

D, en caso de existir, son máximos globales

 Si f es estrictamente cóncava en el abierto D, entonces los máximos locales de f en D, en caso de existir, son máximos

globales estrictos

:

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Tema 5