Capitulo 2
Ecuaciones de movimiento del sistema
y adimensionalización
Tal y como señalamos en el capítulo anterior, el sistema se puede caracterizar en forma de expresiones matemáticas (modelado matemático), y definíamos “modelo de un sistema” al conjunto de expresiones matemáticas que caracterizan la evolución temporal de las magnitudes del mismo. Por ello, el objetivo de este capítulo será determinar las expresiones matemáticas que reflejan el comportamiento del sistema en cuestión, y trabajar con ellas hasta expresarlas de forma que más no puedan facilitar el estudio de estabilidad, respecto a la evolución temporal y a la variación de parámetros propios.
Para la obtención de las ecuaciones de movimiento, haremos uso de la Mecánica Racional. Para ello podríamos hacer uso de dos formas de obtenerlas: ecuaciones de Lagrange o mecánica Newtoniana.
Su obtención mediante la mecánica Newtoniana conllevaría un cálculo más largo y un tanto más engorroso para este sistema en concreto, y el estudio de la obtención de las ecuaciones no es el objetivo primordial de este proyecto, por tanto seguiremos el procedimiento de las ecuaciones de Lagrange que nos proporcionara un desarrollo mas claro, rápido y sencillo.
2.1 Ecuaciones de Lagrange
En este apartado haremos un breve inciso sobre las ecuaciones de Lagrange y que posteriormente usaremos para la obtención de las ecuaciones de movimiento.
Las ecuaciones de Lagrange vienen dadas por la expresión
i i i Q q T q T dt d i 1,2,...,n
donde T es la energía cinética del sistema y las cantidades Qi constituyen las fuerzas
generalizadas.
Dichas ecuaciones forman un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinario de segundo orden con n incógnitas: q1(t), q2(t),…,qn(t) y en la que solo figuran las fuerzas
activas (las reacciones no intervienen ya que no realizan trabajo). Estas ecuaciones son las ecuaciones diferenciales de movimiento.
En el caso en que existan fuerzas que deriven de potencial las ecuaciones de Lagrange quedan de la forma:
i i i i Q q V q T q T dt d i 1,2,...,n
donde V es la energía potencial del sistema, y como V no depende de las qi se puede
escribir: i i i Q q V T q V T dt d ( ) ( ) i 1,2,...,n i i i Q q L q L dt d i 1,2,...,n
donde L=T-V es la Lagrangiana del sistema (en realidad tal denominación corresponde solo al caso en que V sea la energía potencial gravitatoria).
En el caso en que todas las fuerzas procedan de un potencial las ecuaciones de Lagrange se escriben de la forma:
0 i i q L q L dt d i 1,2,...,n
2.2 Obtención de la ecuación de movimiento
Para la obtención de la ecuación de movimiento, tal como dijimos en el apartado anterior, usaremos las ecuaciones de Lagrange en la forma expresada en el mismo apartado. Si además analizamos detenidamente nuestro sistema, podemos observar que todas las fuerzas que sobre el actúan derivan de potencial, y por tanto, la expresión de la ecuación de Lagrange para este caso vendrá dada por:
0 i i q L q L dt d i 1,2,...,n
A continuación, en la figura 2.2.1, presentamos un esquema de nuestro sistema ya descrito con detalle anteriormente, en donde se exponen todas las características y datos necesarios para la obtención de su ecuación de movimiento.
Z=A·sen( ·t)
A
B
C
D
Fig. 2.2.1
En la figura vemos que θ es el único grado de libertad del sistema, y que por lo tanto tendremos una ecuación con una incógnita (θ) que será la ecuación que defina el movimiento del sistema y vendrá dada por
L L
dt d
Calcularemos para cada barra su energía cinética y potencial correspondiente para después hallar la T y la V total.
BARRA A-B: -Energia cinetica:
La energía cinética de una barra en función de las velocidades de sus extremos viene dada por:
) ( 6 2 2 B B A A AB v v v v m T
En esta barra, puesto que el extremo inferior A, se encuentra fijo al plano de apoyo del sistema, la velocidad de este extremo será nula, vA 0, quedando entonces la expresión de T para esta barra:
) ( 6 2 B AB v m T
Tenemos que calcular vB en función del grado de libertad θ:
cos L x sen L x B B sen L t A z L t Asen z B B cos( ) cos ) (
y como vB2 xB2 yB2 nos queda entonces:
} ) ) cos( ( ) cos {( 6 2 2 sen L t A L m TAB -Energía potencial: )) ( cos 2 (L Asen t mg VAB BARRA B-C: -Energia cinetica: ) ( 6 2 2 C C B B BC v v v v m T
B C B C x L x L sen L L x x cos sen L t A y z L t Asen y z B C B C cos( ) cos ) (
y como vC2 xC2 zC2 x2B zB2 v2B nos queda:
) 3 ( 6 ) 2 ( 6 2 2 2 B B B BC v m v v m T -Energía potencial: )) ( cos (L Asen t mg VBC BARRA C-D: -Energia cinetica: ) ( 6 2 2 D D C C CD v v v v m T
En esta barra, puesto que el extremo inferior D, se encuentra fijo al plano de apoyo del sistema, la velocidad de este extremo será nula, vD 0, y como vimos en la barra B-C , que vB=vC entonces la expresión para la energía cinética para esta barra
queda: AB B C CD v T m v m T ( ) 6 ) ( 6 2 2 -Energía Potencial: )) ( cos 2 (L Asen t mg VCD SISTEMA COMPLETO:
La energía cinética del sistema completo será la suma de las energías cinéticas de los elementos que lo componen, es decir, la suma de la energía cinéticas de todas sus barras: T=TAB+TBC+TCD 2 2 2 3 2 ) 3 ( 6 vB vB vB m vB m T
} ) ) cos( ( ) cos {( 3 2 2 2 sen L t A L m T
La energía potencial del sistema completo será la suma de las energías cinéticas de los elementos que lo componen, es decir, la suma de la energía potenciales de todas sus barras ))} ( cos 2 ( )) ( cos ( )) ( cos 2
{(L Asen t L Asen t L Asen t
mg V )) ( 3 cos 2 ( L Asen t mg V
Una vez hemos obtenido T y V del sistema, calculamos L=T-V, L
dt d
y L, para seguidamente introducirla en las ecuaciones de Lagrange:
)} ( 3 cos 2 { } ) ) cos( ( ) cos {( 3 2 2 2 t Asen L mg sen L t A L m V T L ) )( ) cos( ( 2 ) cos ( 2 3 2 2 2 Lsen sen L t A L m L }} ) cos( ( cos ) ))( cos ( ) ( {( 2 )) cos 2 ( cos ( 2 { 3 2 2 2 2 2 2 sen L t A L Lsen sen L t sen A sen L m L dt d ) 2 ( )} cos )( ) cos( ( 2 ) cos ( 2 { 3 2 2 2 Lsen mg L sen L t A sen L m L
Introduciendo dichos términos en la ecuación de Lagrange L L
dt d )) ( 2 ( )} ·cos( ))( ( · ) · ·cos( ( 2 ) ( ))· cos( ( 2 { 3 2 )}} ( · ) · ·cos( )( ·cos( ) ( ))( ·cos( ) ( · ( ) · ( {( 2 )) ( ) cos( 2 ( ) ( cos ( 2 { 3 2 2 2 2 2 2 2 2 Lsen g L sen L t A sen L sen L t A L Lsen sen L t sen A sen L haciendo operaciones
) ( 2 )} ( )· cos( 2 ) ·cos( )· · ·cos( 2 ) ( )· cos( 2 { 3 2 )}} ( )· cos( ) · ·cos( ) ·cos( ) ( ))· ·cos( ) ( · ) · ( {( 2 ) ( ) cos( 4 ) ( cos 2 { 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 gLsen sen L L t A sen L sen L t A L sen L sen L t sen A sen L L y simplificando 0 ) ( 2 ) ( )· · ( 3 4 3 4 2 2 gLsen Lsen t sen A L 0 ) ( )· ) · ( 3 2 ( 3 2 2 2 Lsen g t sen A L
obtenemos la ecuación de movimiento de sistema:
0 ) ) · ( 3 2 )( ( 2 3 2 g t sen A sen L
Un modelo está bien planteado cuando el número de expresiones matemáticas independientes que se obtienen es igual al numero de señales del sistema que intervienen en el. Es decir, para un sistema mecánico, dicho en términos de Mecánica Racional, el número de ecuaciones de movimiento debe ser igual al número de grados de libertad del sistema, lo cual se cumple en nuestro modelo.
2.3 Adimensionalización de la ecuación de movimiento
En el sistema mecánico en estudio en este proyecto, si observamos la ecuación de movimiento obtenida en el apartado anterior, intervienen una serie de parámetros como son: la longitud de las varillas que componen el sistema (L), la amplitud de la excitación periódica (A) y la frecuencia de dicha excitación (ω).
Sin embargo, no todos ellos influyen en el sistema individualmente sino que lo hacen formando parte de grupos funcionales entre ellos.
El objetivo de adimensionalizar la ecuación de movimiento es conseguir que los parámetros aparezcan en la ecuación formando grupos, pudiendo así reducir el numero de parámetros significativos del problema y obteniendo muchas ventajas desde el punto de vista computacional. Así que seguidamente procedemos a adimensionalizar la ecuación que describe el movimiento del sistema en estudio.
En primer lugar definiremos el tiempo adimensional τ. Este vendrá dado por el producto entre el tiempo dimensional t y una frecuencia ω. Matemáticamente vendrá expresado por:
t
Haciendo entonces el cambio de variable t y sustituyéndolo en la
ecuación de movimiento aplicando la regla de la cadena:
· · d d dt d d d dt d 2 2 2 2 2 · · · t d d d d dt d d d dt d dt d obtenemos: 0 ) 3 2 )( ( · 2 3 2 2 2 2 g sen A sen L d d
si dividimos esta ecuación por 2 tendremos:
0 ) 3 2 )( ( · 2 3 2 2 2 g sen A sen L d d
y multiplicando los elementos del segundo sumando:
2· · ( ) 0 3 ) ( ) ( · 2 2 2 sen g L sen sen L A d d a
Como podemos comprobar, llamando
L A a /
obtenemos el primer parámetro adimensional, puesto que tanto A como L tienen dimensiones de longitud y el cociente entre ellas dará un valor sin unidades.
Lo mismo ocurre con el parámetro λ. Hemos llamado
2 · · 2 · 3 L g
así que vamos a demostrar que dicho parámetro es adimensional. Para ello definiremos las dimensiones de cada elemento que interviene y seguidamente veremos si efectivamente las dimensiones de unos se anulan con las de otros. Las dimensiones de los elementos son:
g=[L·T-2] L=[L] ω=[T-1
]
sustituyendo estas dimensiones en la expresión de λ
2 2 2 1 2 · · ) ·( · T L T L T L T L -> adimensional
demostramos que también es adimensional. Por lo tanto sustituyendo dichos términos en la ecuación obtenemos una ecuación adimensionalizada del movimiento del sistema que vendrá dada por:
0 ) ( )· ) ( · (asen sen
siendo una ecuación diferencial de segundo orden donde 2 2 d d y d d
2.4 Adaptación de la ecuación para trabajar en Matlab
Para el estudio de la estabilidad del sistema, será necesario, y lo haremos en apartados posteriores, la integración numérica de la ecuación de movimiento adimensionalizada obtenida anteriormente. Para ello, haremos uso del programa informático Matlab. El único inconveniente que podría presentarse hasta el momento sería la introducción en dicho software de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden puesto que no nos lo permite. Por ello, la solución que tomaremos será realizar un cambio de variable en la ecuación, tal que consigamos transformarla en un sistema de ecuaciones ordinarias de primer orden. Para ello procedemos de la siguiente manera: Tenemos inicialmente una ecuación diferencial de segundo orden del la forma:
0 ) ( ) ) ( (a sen sen y y donde y
Para trabajar con esta ecuación en Matlab, pasamos la ecuación de segundo orden a un sistema de ecuaciones de primer orden haciendo un cambio de variable:
Llamamos 2 1 y y Y luego entonces ) ( ) ( ) , ( 1 2 2 1 y sen t sen a y y y y t Y Y
que es ya un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden y con el cual si podremos trabajar en Matlab.
