Texto completo

(1)

Universidad de Puerto Rico. Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matemáticas Segundo Examen Departamental Mate 3032

16 de marzo de 2016

Nombre______________________. Sección ____________________ Número de Estudiante _____________ Profesor ____________________ Número de puntos disponibles: 105 puntos

En esta prueba se permite el uso de calculadoras científicas.

I. Llene los blancos

1. Sean 𝑇𝑛 𝑦 𝑆𝑛 las aproximaciones con

n

subintervalos de 6

2

( )

f x dx

usando las reglas del trapecio y de Simpson

respectivamente. La siguiente tabla provee los valores de

f x

( )

para algunos valores de

x

en el intervalo

 

2, 6

.

x

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

( )

f x

4.8 4.6 4.5 4.7 4.8 4.6 5.2 4.3 3.6 Entonces 6 4 2

)(5 puntos)

( )

a

f x dx

T

____18.7_____ ______ 𝑇4 = 1 2(4.8 + 2(4.5) + 2(4.8) + 2(5.2) + 3.6) = 18.7 6 4 2

)(5 puntos)

( )

b

f x dx

S

____18.9333…___________ 𝑆4 =1 3(4.8 + 4(4.5) + 2(4.8) + 4(5.2) + 3.6) = 18.9333… 2. Las coordenadas cartesianas del punto P son ( 3, 3 3) .

Encuentre coordenadas polares

( , )

r

para el punto P tal que

0

r

y

0

 

2 .

(6,2 )

3

.(3 puntos)

Encuentre coordenadas polares

( , )

r

para el punto P tal que

0

r  y

0

 

2 .

( 6,5 )

3

(2)

3. Considere la curva

C

representada paramétricamente por 2 2

1

x

t

y

t

t

 

 

Entonces

2

dx

dt

t

(1punto)

2

1

dy

dt

t

(1 punto) De modo que 1

2

1

1

1

2

2

dy

dx

t

t

t

 

(3 puntos) 2 2 2 3

1

1

2

2

4

t

d

t

y

x

t

d

 

(3 puntos)

La curva

C

es cóncava hacia arriba cuando

t

pertenece al intervalo

(



, 0)

(2 puntos)

4. (5puntos)Considere la curva

C

representada paramétricamente por

3 2

1

2

x

t

y

t

t

 

C corta el eje de

x

en los puntos

(1, 0)

y

(9, 0)

.(1 punto cada uno) El área de la región encerrada por el eje de

x

y la curva C está dada por la integral definida _ 2 2 2 0 Área

(

2

t t

)(3 )t dt (3 puntos)

(3)

II. Conteste las siguientes preguntas de respuesta abierta. Muestre todo el trabajo necesario para llegar a sus respuestas. Soluciones presentadas sin trabajo podrían no recibir crédito. Respuestas numéricas deben

presentarse como expresiones matemáticas exactas, no mediante una aproximación decimal. Use aproximaciones decimales solo en casos en que las instrucciones del problema las pida.

1. Evalue el integral o demuestre que es divergente. a. (5 puntos) 2 3 1 1 x dx x  

Como 3 1 2 3 1 1 2 3 b b x du dx u x   

3 1 2

2

3

b

u

3 2 1 2 2 3 3 b    Sabemos que 2 3 1 lim 1 b b x dx x 

  Por lo tanto 2 3 1 1 x dx x  

diverge 1punto (5 puntos) b. 1 2 1 x

e

dx

x

Como 1 1 1 2 1 1

1

b b x u b

e

dx

e du

e

x

e

   

, Sabemos que 1 1 1 2 2 1 1

1

1

lim

lim

b x x b b b

e

e

e

dx

dx

e

x

x

e

e

  

 

.

(4)

c. (9 Puntos) 9 3 0

1

dx

x

1 3 1 3 0 0 lim 1 1 b b dx dx x   x

2 3 1 3( 1) lim 2 b b x     

2 3 1 3( 1) 3 lim 2 2 b b      3 2   9 9 3 1 3 1 lim 1 b 1 b dx dx x   x

9 2 3 1 3( 1) lim 2 b b x    

2 3 1 3( 1) lim(6 ) 2 b b      6  9 1 9 3 3 3 0 0 1 9 2 1 1 1 dx dx dx x  x  x 

2. (9 puntos) Encuentre el largo de la curva

3 2 2 1 ( 2) 3 xy,

0

 

y

1

Solución: Como 1 2 2 ( 2) dx y y dy   , tenemos(dx)2 y y2( 2 2) y4 2y2 dy     2 4 2 ( 1 2 ) ( 1) ds   yy dyydy. Por tanto 1 2 0 4 1 3 L

ydy

(5)

3. (10 puntos)Encuentre el área de la superficie obtenida al rotar con respecto al eje de y la curva

2

1

1

ln , 1

2

4

2

y

x

x

 

x

Como 1 1( 1) 2 2 2 dy x x dx   x   x , tenemos 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( 2 ) 4 4 dy x x dx   x    x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 2 ) ( ) 2 4 2 4 4 2 4 4 4 dy x x x x dx x x x x              2

1

1

1

1

(

(

) )

(

)

4

2

ds

x

dx

x

dx

x

x

. Por tanto 2 1 1 1 2 ( ) 2 A x x dx x  

2 2 1 (x 1)dx  

 3 2 1 1 PUNTO 3 10 1 PUNTO 3

|

x x        

4. Considere la curva

C

representada paramétricamente por

2 2 2

tan

sec

t

x

t

y

t

  

a) (4 puntos) Elimine el parámetro para encontrar una ecuación Cartesiana para la curva.

1 x2  1 tan2t 2 sec t

y

b) (7 puntos)Trace la curva e indique con una flecha la dirección en la que la curva se recorre mientras el parámetro aumenta.

El dibujo debe tener las siguientes características: La curva recorre la gráfica de la parábola

2

1

y x

de izquierda a derecha

de modo que x es negativo para

0 2 t

  

la curva pasa por el vértice cuando t=0 y x es positivo para 0 2 t   

(6)

(9 puntos) Trace la curva que satisface la ecuación polar

2(1 cos )

r

usando la estrategia de bosquejar la gráfica en coordenadas cartesianas de la variable

r

como una función de

.

Gráfica cartesiana debe incluir patrón coseno y al menos cuatro de los puntos  0 2   3 2  2 ( ) r4 2 0 2 4

III. (15 puntos) Seleccione la mejor alternativa ( 3 puntos cada uno) 1. Sea 𝑀4 la aproximación al valor de ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥15 usando la regla del

punto medio con 𝑛 = 4 subintervalos.

Si se sabe que −1 ≤ 𝑓′′(𝑥) ≤ 3 para toda 𝑥, entonces el error absoluto |𝐸𝑀| = |∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑀4

5

1 | es menor o igual que

a. 1 5 b. 1 3 c. 1 8 d. 1 2 e. 1 4 Alternativa correcta: ( d)

(7)

2. Al eliminar el parámetro para encontrar una ecuación cartesiana para la curva 2 2 cos (7 ) (7 ) x t y sen t   obtenemos a. y x( ) 1 10x b. y x( )  1 x c. y x( )  1 x d. y x( ) 10 x a.

y x

( )

10

x

Alternativa correcta: (C )

3. El segmento de recta que va desde el punto (-1,2) hasta el punto (10,-6) tiene ecuaciones paramétricas

a. x 10 8 , t y   1 11 ,t 0 t 1 b. x   1 11 ,t y  2 8 ,t 0 t 1 c. x   1 11 ,t y  6 8 ,t 0 t 1 d. x  1 11 ,t y  8 ,t 0 t 1 e. 𝑥 = −1 + 11𝑡, 𝑦 = 6𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 Alternativa correcta (B)

(8)

4. La ecuación de la recta tangente a la curva

( )

cos( )

x

tsen t

y

t

t

en el punto que corresponde a

t

11

es

a. 12 11 x y     b. 11 11 x y     c. 11 11 x y     d. 12 11 x y     e. y

x 12

Alternativa correcta (B)

5. La ecuación polar para la curva representada por la ecuación cartesiana

x

2

2

y

es a. r 2 tan

sen

b.

r

2 tan

c. r 2 tan sec

d.

r

2

co

t

e. r  2sec

Alternativa correcta (C) Nombre:______________________________________________

Figure

Actualización...

Referencias

Related subjects :