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Tablas de vida para la estimación de supervivencia

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Academic year: 2021

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(1)

estimaci´

on de supervivencia

en c´

ancer

Diego Salmer´

on Mart´ınez

CIBER de Epidemiolog´ıa y Salud P´

ublica

Consejer´ıa de Sanidad de Murcia

Instituto Murciano de Investigaci´

on Biosanitaria – Arrixaca

Universidad de Murcia

(2)

Concepto de tabla de vida: abreviada y completa

Tablas de vida en la estimaci´

on de la supervivencia del c´

ancer

Problemas con tablas de vida abreviadas

Problemas con tablas de vida completas

etodo Elandt-Johnson

Pr´

actica:

I

Tablas de vida con Excell

(3)
(4)

1

Periodo: representan la

experiencia de mortalidad en un

(breve) periodo de tiempo.

2

Cohorte: representan la

experiencia de mortalidad de

una cohorte de nacimiento,

desde el nacimiento hasta la

muerte.

(5)

Una forma de resumir la mortalidad general en una poblaci´

on

Por sexo

Por edad

I

Abreviada (0, 1-4, 5-9, 10-14, . . . )

I

Completa (0, 1, 2, 3, . . . )

(6)

L´ımite inferior de cada grupo de edad

(Age(x))

Defunciones por todas las causas (Deaths)

Poblaci´

on a mitad de a˜

no (P opulation)

umero de a˜

nos en cada grupo de edad (n)

𝑨𝒈𝒆 (𝒙) n 𝑫𝒆𝒂𝒕𝒉𝒔

𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏

0

1

57

6521.5

1

4

13

25943

5

5

7

34965.5

10

5

8

37529

15

5

25

43827.5

20

5

55

54125

25

5

73

54522.5

30

5

70

53028.5

35

5

70

47226

40

5

107

40452.5

45

5

110

32923.5

50

5

155

29991

55

5

202

25263

60

5

326

24246.5

65

5

516

25297

70

5

721

21057

75

5

806

14498

80

5

683

6968.5

85+

856

4557.5

(7)

Tasa de mortalidad m

x

=

P opulation

Deaths

𝑨𝒈𝒆 (𝒙) n 𝑫𝒆𝒂𝒕𝒉𝒔 𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒙 0 1 57 6521.5 0.00874032 1 4 13 25943 0.0005011 5 5 7 34965.5 0.0002002 10 5 8 37529 0.00021317 15 5 25 43827.5 0.00057042 20 5 55 54125 0.00101617 25 5 73 54522.5 0.0013389 30 5 70 53028.5 0.00132004 35 5 70 47226 0.00148223 40 5 107 40452.5 0.00264508 45 5 110 32923.5 0.00334108 50 5 155 29991 0.00516822 55 5 202 25263 0.00799588 60 5 326 24246.5 0.01344524 65 5 516 25297 0.02039768 70 5 721 21057 0.0342404 75 5 806 14498 0.05559388 80 5 683 6968.5 0.09801248 85+ 856 4557.5 0.18782227 𝑳𝟖𝟓=𝒎𝒍𝟖𝟓 𝟖𝟓= 𝑻𝟖𝟓

(8)

Probabilidad de muerte q

x

= 1 − exp(−n

x

m

x

)

𝑨𝒈𝒆 (𝒙) n 𝑫𝒆𝒂𝒕𝒉𝒔 𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒙 𝒒𝒙 0 1 57 6521.5 0.00874032 0.00870223 1 4 13 25943 0.0005011 0.00200239 5 5 7 34965.5 0.0002002 0.00100049 10 5 8 37529 0.00021317 0.00106527 15 5 25 43827.5 0.00057042 0.00284803 20 5 55 54125 0.00101617 0.00506795 25 5 73 54522.5 0.0013389 0.00667213 30 5 70 53028.5 0.00132004 0.00657849 35 5 70 47226 0.00148223 0.00738378 40 5 107 40452.5 0.00264508 0.01313832 45 5 110 32923.5 0.00334108 0.01656663 50 5 155 29991 0.00516822 0.02551006 55 5 202 25263 0.00799588 0.03919078 60 5 326 24246.5 0.01344524 0.06501631 65 5 516 25297 0.02039768 0.09695995 70 5 721 21057 0.0342404 0.15734864 75 5 806 14498 0.05559388 0.24267999 80 5 683 6968.5 0.09801248 0.38741185 85+ 856 4557.5 0.18782227 1 𝑳𝟖𝟓=𝒎𝒍𝟖𝟓 𝟖𝟓= 𝑻𝟖𝟓

(9)

Supervivientes

l

1

= l

0

(1 − q

0

), l

5

= l

1

(1 − q

1

), l

x

= l

x−5

(1 − q

x−5

)

𝑨𝒈𝒆 (𝒙) n 𝑫𝒆𝒂𝒕𝒉𝒔 𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒙 𝒒𝒙 𝒍𝒙 0 1 57 6521.5 0.00874032 0.00870223 100000 1 4 13 25943 0.0005011 0.00200239 99130 5 5 7 34965.5 0.0002002 0.00100049 98931 10 5 8 37529 0.00021317 0.00106527 98832 15 5 25 43827.5 0.00057042 0.00284803 98727 20 5 55 54125 0.00101617 0.00506795 98446 25 5 73 54522.5 0.0013389 0.00667213 97947 30 5 70 53028.5 0.00132004 0.00657849 97293 35 5 70 47226 0.00148223 0.00738378 96653 40 5 107 40452.5 0.00264508 0.01313832 95940 45 5 110 32923.5 0.00334108 0.01656663 94679 50 5 155 29991 0.00516822 0.02551006 93111 55 5 202 25263 0.00799588 0.03919078 90735 60 5 326 24246.5 0.01344524 0.06501631 87179 65 5 516 25297 0.02039768 0.09695995 81511 70 5 721 21057 0.0342404 0.15734864 73608 75 5 806 14498 0.05559388 0.24267999 62026 80 5 683 6968.5 0.09801248 0.38741185 46973 85+ 856 4557.5 0.18782227 1 28775 𝑳𝟖𝟓=𝒎𝒍𝟖𝟓 𝟖𝟓= 𝑻𝟖𝟓

(10)

Defunciones de la cophorte ficticia d

x

= l

x

q

x

𝑨𝒈𝒆 (𝒙) n 𝑫𝒆𝒂𝒕𝒉𝒔 𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒙 𝒒𝒙 𝒍𝒙 𝒅𝒙 0 1 57 6521.5 0.00874032 0.00870223 100000 870 1 4 13 25943 0.0005011 0.00200239 99130 198 5 5 7 34965.5 0.0002002 0.00100049 98931 99 10 5 8 37529 0.00021317 0.00106527 98832 105 15 5 25 43827.5 0.00057042 0.00284803 98727 281 20 5 55 54125 0.00101617 0.00506795 98446 499 25 5 73 54522.5 0.0013389 0.00667213 97947 654 30 5 70 53028.5 0.00132004 0.00657849 97293 640 35 5 70 47226 0.00148223 0.00738378 96653 714 40 5 107 40452.5 0.00264508 0.01313832 95940 1260 45 5 110 32923.5 0.00334108 0.01656663 94679 1569 50 5 155 29991 0.00516822 0.02551006 93111 2375 55 5 202 25263 0.00799588 0.03919078 90735 3556 60 5 326 24246.5 0.01344524 0.06501631 87179 5668 65 5 516 25297 0.02039768 0.09695995 81511 7903 70 5 721 21057 0.0342404 0.15734864 73608 11582 75 5 806 14498 0.05559388 0.24267999 62026 15052 80 5 683 6968.5 0.09801248 0.38741185 46973 18198 85+ 856 4557.5 0.18782227 1 28775 28775 𝑳𝟖𝟓=𝒎𝒍𝟖𝟓 𝟖𝟓= 𝑻𝟖𝟓

(11)

nos vividos por la cohorte ficticia en el intervalo de edad

L

0

= n

0

l

0

+ l

1

2

, L

1

= n

1

l

1

+ l

5

2

, L

x

= n

x

l

x

+ l

x+5

2

𝑨𝒈𝒆 (𝒙) n 𝑫𝒆𝒂𝒕𝒉𝒔 𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒙 𝒒𝒙 𝒍𝒙 𝒅𝒙 𝑳𝒙 0 1 57 6521.5 0.00874032 0.00870223 100000 870 99565 1 4 13 25943 0.0005011 0.00200239 99130 198 396122 5 5 7 34965.5 0.0002002 0.00100049 98931 99 494409 10 5 8 37529 0.00021317 0.00106527 98832 105 493898 15 5 25 43827.5 0.00057042 0.00284803 98727 281 492932 20 5 55 54125 0.00101617 0.00506795 98446 499 490982 25 5 73 54522.5 0.0013389 0.00667213 97947 654 488101 30 5 70 53028.5 0.00132004 0.00657849 97293 640 484867 35 5 70 47226 0.00148223 0.00738378 96653 714 481483 40 5 107 40452.5 0.00264508 0.01313832 95940 1260 476547 45 5 110 32923.5 0.00334108 0.01656663 94679 1569 469475 50 5 155 29991 0.00516822 0.02551006 93111 2375 459615 55 5 202 25263 0.00799588 0.03919078 90735 3556 444787 60 5 326 24246.5 0.01344524 0.06501631 87179 5668 421727 65 5 516 25297 0.02039768 0.09695995 81511 7903 387798 70 5 721 21057 0.0342404 0.15734864 73608 11582 339085 75 5 806 14498 0.05559388 0.24267999 62026 15052 272498 80 5 683 6968.5 0.09801248 0.38741185 46973 18198 189372 85+ 856 4557.5 0.18782227 1 28775 28775 153205 𝑳𝟖𝟓=𝒎𝒍𝟖𝟓 𝟖𝟓= 𝑻𝟖𝟓

(12)

nos vividos desde la edad x hasta la extinci´

on de la cohorte ficticia

T

x

= L

x

+ · · · + L

85

𝑨𝒈𝒆 (𝒙) n 𝑫𝒆𝒂𝒕𝒉𝒔 𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒙 𝒒𝒙 𝒍𝒙 𝒅𝒙 𝑳𝒙 𝑻𝒙 0 1 57 6521.5 0.00874032 0.00870223 100000 870 99565 7536469 1 4 13 25943 0.0005011 0.00200239 99130 198 396122 7436904 5 5 7 34965.5 0.0002002 0.00100049 98931 99 494409 7040782 10 5 8 37529 0.00021317 0.00106527 98832 105 493898 6546373 15 5 25 43827.5 0.00057042 0.00284803 98727 281 492932 6052475 20 5 55 54125 0.00101617 0.00506795 98446 499 490982 5559543 25 5 73 54522.5 0.0013389 0.00667213 97947 654 488101 5068561 30 5 70 53028.5 0.00132004 0.00657849 97293 640 484867 4580460 35 5 70 47226 0.00148223 0.00738378 96653 714 481483 4095593 40 5 107 40452.5 0.00264508 0.01313832 95940 1260 476547 3614111 45 5 110 32923.5 0.00334108 0.01656663 94679 1569 469475 3137563 50 5 155 29991 0.00516822 0.02551006 93111 2375 459615 2668089 55 5 202 25263 0.00799588 0.03919078 90735 3556 444787 2208473 60 5 326 24246.5 0.01344524 0.06501631 87179 5668 421727 1763686 65 5 516 25297 0.02039768 0.09695995 81511 7903 387798 1341959 70 5 721 21057 0.0342404 0.15734864 73608 11582 339085 954161 75 5 806 14498 0.05559388 0.24267999 62026 15052 272498 615076 80 5 683 6968.5 0.09801248 0.38741185 46973 18198 189372 342577 85+ 856 4557.5 0.18782227 1 28775 28775 153205 153205 𝑳𝟖𝟓= 𝒍𝟖𝟓 𝒎𝟖𝟓= 𝑻𝟖𝟓

(13)

Esperanza de vida e

x

= T

x

/l

x

𝑨𝒈𝒆 (𝒙) n 𝑫𝒆𝒂𝒕𝒉𝒔 𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒙 𝒒𝒙 𝒍𝒙 𝒅𝒙 𝑳𝒙 𝑻𝒙 𝒆𝒙 0 1 57 6521.5 0.00874032 0.00870223 100000 870 99565 7536469 75.3646935 1 4 13 25943 0.0005011 0.00200239 99130 198 396122 7436904 75.0219028 5 5 7 34965.5 0.0002002 0.00100049 98931 99 494409 7040782 71.1684143 10 5 8 37529 0.00021317 0.00106527 98832 105 493898 6546373 66.2371849 15 5 25 43827.5 0.00057042 0.00284803 98727 281 492932 6052475 61.3051549 20 5 55 54125 0.00101617 0.00506795 98446 499 490982 5559543 56.4731119 25 5 73 54522.5 0.0013389 0.00667213 97947 654 488101 5068561 51.748038 30 5 70 53028.5 0.00132004 0.00657849 97293 640 484867 4580460 47.0788342 35 5 70 47226 0.00148223 0.00738378 96653 714 481483 4095593 42.3740377 40 5 107 40452.5 0.00264508 0.01313832 95940 1260 476547 3614111 37.6706488 45 5 110 32923.5 0.00334108 0.01656663 94679 1569 469475 3137563 33.1388837 50 5 155 29991 0.00516822 0.02551006 93111 2375 459615 2668089 28.6550174 55 5 202 25263 0.00799588 0.03919078 90735 3556 444787 2208473 24.3396998 60 5 326 24246.5 0.01344524 0.06501631 87179 5668 421727 1763686 20.230527 65 5 516 25297 0.02039768 0.09695995 81511 7903 387798 1341959 16.4634614 70 5 721 21057 0.0342404 0.15734864 73608 11582 339085 954161 12.9627266 75 5 806 14498 0.05559388 0.24267999 62026 15052 272498 615076 9.91643592 80 5 683 6968.5 0.09801248 0.38741185 46973 18198 189372 342577 7.29300135 85+ 856 4557.5 0.18782227 1 28775 28775 153205 153205 5.32418224 𝑳𝟖𝟓=𝒎𝒍𝟖𝟓 𝟖𝟓= 𝑻𝟖𝟓

(14)

Tabla de vida abreviada. Murcia, hombres, 2000.

𝑨𝒈𝒆 (𝒙) n 𝑫𝒆𝒂𝒕𝒉𝒔 𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒙 𝒒𝒙 𝒍𝒙 𝒅𝒙 𝑳𝒙 𝑻𝒙 𝒆𝒙 0 1 57 6521.5 0.00874032 0.00870223 100000 870 99565 7536469 75.3646935 1 4 13 25943 0.0005011 0.00200239 99130 198 396122 7436904 75.0219028 5 5 7 34965.5 0.0002002 0.00100049 98931 99 494409 7040782 71.1684143 10 5 8 37529 0.00021317 0.00106527 98832 105 493898 6546373 66.2371849 15 5 25 43827.5 0.00057042 0.00284803 98727 281 492932 6052475 61.3051549 20 5 55 54125 0.00101617 0.00506795 98446 499 490982 5559543 56.4731119 25 5 73 54522.5 0.0013389 0.00667213 97947 654 488101 5068561 51.748038 30 5 70 53028.5 0.00132004 0.00657849 97293 640 484867 4580460 47.0788342 35 5 70 47226 0.00148223 0.00738378 96653 714 481483 4095593 42.3740377 40 5 107 40452.5 0.00264508 0.01313832 95940 1260 476547 3614111 37.6706488 45 5 110 32923.5 0.00334108 0.01656663 94679 1569 469475 3137563 33.1388837 50 5 155 29991 0.00516822 0.02551006 93111 2375 459615 2668089 28.6550174 55 5 202 25263 0.00799588 0.03919078 90735 3556 444787 2208473 24.3396998 60 5 326 24246.5 0.01344524 0.06501631 87179 5668 421727 1763686 20.230527 65 5 516 25297 0.02039768 0.09695995 81511 7903 387798 1341959 16.4634614 70 5 721 21057 0.0342404 0.15734864 73608 11582 339085 954161 12.9627266 75 5 806 14498 0.05559388 0.24267999 62026 15052 272498 615076 9.91643592 80 5 683 6968.5 0.09801248 0.38741185 46973 18198 189372 342577 7.29300135 85+ 856 4557.5 0.18782227 1 28775 28775 153205 153205 5.32418224 𝑳𝟖𝟓=𝒎𝒍𝟖𝟓 𝟖𝟓= 𝑻𝟖𝟓

(15)

𝑨𝒈𝒆 (𝒙) n 𝑫𝒆𝒂𝒕𝒉𝒔 𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒙 𝒒𝒙 𝒍𝒙 𝒅𝒙 𝑳𝒙 𝑻𝒙 𝒆𝒙 0 1 57 6521.5 0.00874032 0.00870223 100000 870 99565 7536469 75.3646935 1 4 13 25943 0.0005011 0.00200239 99130 198 396122 7436904 75.0219028 5 5 7 34965.5 0.0002002 0.00100049 98931 99 494409 7040782 71.1684143 10 5 8 37529 0.00021317 0.00106527 98832 105 493898 6546373 66.2371849 15 5 25 43827.5 0.00057042 0.00284803 98727 281 492932 6052475 61.3051549 20 5 55 54125 0.00101617 0.00506795 98446 499 490982 5559543 56.4731119 25 5 73 54522.5 0.0013389 0.00667213 97947 654 488101 5068561 51.748038 30 5 70 53028.5 0.00132004 0.00657849 97293 640 484867 4580460 47.0788342 35 5 70 47226 0.00148223 0.00738378 96653 714 481483 4095593 42.3740377 40 5 107 40452.5 0.00264508 0.01313832 95940 1260 476547 3614111 37.6706488 45 5 110 32923.5 0.00334108 0.01656663 94679 1569 469475 3137563 33.1388837 50 5 155 29991 0.00516822 0.02551006 93111 2375 459615 2668089 28.6550174 55 5 202 25263 0.00799588 0.03919078 90735 3556 444787 2208473 24.3396998 60 5 326 24246.5 0.01344524 0.06501631 87179 5668 421727 1763686 20.230527 65 5 516 25297 0.02039768 0.09695995 81511 7903 387798 1341959 16.4634614 70 5 721 21057 0.0342404 0.15734864 73608 11582 339085 954161 12.9627266 75 5 806 14498 0.05559388 0.24267999 62026 15052 272498 615076 9.91643592 80 5 683 6968.5 0.09801248 0.38741185 46973 18198 189372 342577 7.29300135 85+ 856 4557.5 0.18782227 1 28775 28775 153205 153205 5.32418224 𝑳𝟖𝟓=𝒎𝒍𝟖𝟓 𝟖𝟓= 𝑻𝟖𝟓

¿Proporci´

on de muertos antes de cumplir 10 a˜

nos?

(16)

Mortalidad en pacientes con c´

ancer

I

Mortalidad General (λ)

I

Mortalidad por C´

ancer (excess hazard λ

E

)

I

Mortalidad por otras causas que se estima con la mortalidad

Poblacional (

λ

P

)

λ

E

= λ −

λ

P

𝑨𝒈𝒆 (𝒙) n 𝑫𝒆𝒂𝒕𝒉𝒔 𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒙 𝒒𝒙 𝒍𝒙 𝒅𝒙 𝑳𝒙 𝑻𝒙 𝒆𝒙 0 1 57 6521.5 0.00874032 0.00870223 100000 870 99565 7536469 75.3646935 1 4 13 25943 0.0005011 0.00200239 99130 198 396122 7436904 75.0219028 5 5 7 34965.5 0.0002002 0.00100049 98931 99 494409 7040782 71.1684143 10 5 8 37529 0.00021317 0.00106527 98832 105 493898 6546373 66.2371849 15 5 25 43827.5 0.00057042 0.00284803 98727 281 492932 6052475 61.3051549 20 5 55 54125 0.00101617 0.00506795 98446 499 490982 5559543 56.4731119 25 5 73 54522.5 0.0013389 0.00667213 97947 654 488101 5068561 51.748038 30 5 70 53028.5 0.00132004 0.00657849 97293 640 484867 4580460 47.0788342 35 5 70 47226 0.00148223 0.00738378 96653 714 481483 4095593 42.3740377 40 5 107 40452.5 0.00264508 0.01313832 95940 1260 476547 3614111 37.6706488 45 5 110 32923.5 0.00334108 0.01656663 94679 1569 469475 3137563 33.1388837 50 5 155 29991 0.00516822 0.02551006 93111 2375 459615 2668089 28.6550174 55 5 202 25263 0.00799588 0.03919078 90735 3556 444787 2208473 24.3396998 60 5 326 24246.5 0.01344524 0.06501631 87179 5668 421727 1763686 20.230527 65 5 516 25297 0.02039768 0.09695995 81511 7903 387798 1341959 16.4634614 70 5 721 21057 0.0342404 0.15734864 73608 11582 339085 954161 12.9627266 75 5 806 14498 0.05559388 0.24267999 62026 15052 272498 615076 9.91643592 80 5 683 6968.5 0.09801248 0.38741185 46973 18198 189372 342577 7.29300135 85+ 856 4557.5 0.18782227 1 28775 28775 153205 153205 5.32418224

15 / 33

(17)

101–121.

Ederer II

Ederer F, Heise H. Instructions to Ibm 650 Programmers in Processing Survival Computations. Technical, End Results

Evaluation Section, National Cancer Institute. 1959

Hakulinen

Hakulinen T. Cancer Survival Corrected for Heterogeneity in Patient Withdrawal. Biometrics, 1982, 38, 933–942.

Maximum-likelihood approach

Est`

eve J, Benhamou E, Croasdale M, Raymond L. Relative survival and the estimation of net survival: elements for further

discussion. Statistics in Medicine, 1990, 9:529–538.

Pohar Perme

(18)

λ

E

= λ −

λ

P

Para cada paciente,

λ

P

debe ser la tasa de

mortalidad Poblacional

que corresponde a su mismo sexo, EDAD (0-99), . . .

Tabla de vida Abreviada

la misma tasa de mortalidad le

corresponde a un paciente de 85 que a

uno de 95

(19)

𝑨𝒈𝒆 (𝒙) n 𝑫𝒆𝒂𝒕𝒉𝒔 𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒎𝒙 𝒒𝒙 𝒍𝒙 𝒅𝒙 𝑳𝒙 𝑻𝒙 𝒆𝒙 0 1 57 6521.5 0.00874032 0.008702235 100000 870 99565 7534403 75.3440275 1 1 4 6421 0.000622956 0.000622762 99130 62 99099 7434838 75.0010554 2 1 4 6454.5 0.000619723 0.000619531 99068 61 99037 7335739 74.0474807 3 1 3 6514.5 0.000460511 0.000460405 99007 46 98984 7236702 73.0930739 4 1 2 6553 0.000305204 0.000305157 98961 30 98946 7137718 72.1265115 5 1 2 6560 0.000304878 0.000304832 98931 30 98916 7038772 71.1483756 6 1 0 6782 0 0 98901 0 98901 6939856 70.169918 7 1 3 7159 0.000419053 0.000418965 98901 41 98880 6840955 69.169918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1 98 541 0.181146026 0.165686482 18017 2985 16524 76681 4.25603915 89 1 80 419.5 0.190703218 0.173622194 15032 2610 13727 60157 4.00195168 90 1 82 345 0.237681159 0.211545958 12422 2628 11108 46430 3.73771265 91 1 66 284.5 0.23198594 0.207042728 9794 2028 8780 35322 3.60640631 92 1 61 195 0.312820513 0.268618826 7766 2086 6723 26541 3.4174952 93 1 33 142 0.232394366 0.207366526 5680 1178 5091 19818 3.48902146 94 1 38 106 0.358490566 0.301269782 4502 1356 3824 14727 3.2710008 95 1 24 71 0.338028169 0.286824802 3146 902 2695 10903 3.46576637 96 1 13 43.5 0.298850575 0.258329775 2244 580 1954 8208 3.65853829 97 1 13 32.5 0.4 0.329679954 1664 549 1390 6254 3.75868288 98 1 9 23 0.391304348 0.323825667 1115 361 935 4865 4.3613836 99 1 6 10 0.6 0.451188364 754 340 584 3930 5.21063321 100+ 6 48.5 0.12371134 1 414 414 3346 3346 8.08333333

(20)

Las estimaciones de las tasas de mortalidad por edad simple son

inestables cuando el n´

umero de defunciones y poblaci´

on es bajo

(CCAA, municipios, . . . )

Falta de exactitud en el n´

umero de defunciones y poblaci´

on para las

(21)

2 0 0 8 2 0 0 9 2 0 1 0

(22)

0

100

200

300

400

500

Mortality rate per 1,000 inhabitants

60

70

80

90

100

age

Deaths/Population

(23)

0

100

200

300

400

500

Mortality rate per 1,000 inhabitants

60

70

80

90

100

age

Rates (INE)

Deaths/Population

(24)

Usa informaci´

on que no est´

a disponible f´

acilmente:

I

Defunciones en el a˜

no t, con edad x, que cumplen x a˜

nos a lo largo de

t y de t − 1

I

Tiempo vivido con edad cumplida x por cada individuo fallecido con

esa edad en el a˜

no t de los que cumple x a˜

nos a lo largo de dicho a˜

no

I

Tiempo vivido durante el a˜

no t por cada individuo fallecido durante

dicho a˜

no con x a˜

nos de la generaci´

on que cumpli´

o x a˜

nos a lo largo de

t − 1

El INE proporciona tablas de vida

I

Completas a nivel nacional

I

Abreviadas a nivel de CCAA

(25)

Elandt-Johnson

Ewbank

Kostaki

Akima

(26)
(27)

Dada una funci´

on f (x) conocida para N + 1 valores de x:

x

x

0

x

1

. . .

x

N

f (x)

f (x

0

)

f (x

1

)

. . .

f (x

N

)

se llama polinomio interpolador de la funci´

on en esos valores al polinomio

P (x) de grado ≤ N que cumple f (x

i

) = P (x

i

), i = 0, 1, . . . , N

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 5

10 15 20

(28)

Dada una funci´

on f (x) conocida para N + 1 valores de x:

x

x

0

x

1

. . .

x

N

f (x)

f (x

0

)

f (x

1

)

. . .

f (x

N

)

se llama polinomio interpolador de la funci´

on en esos valores al polinomio

P (x) de grado ≤ N que cumple f (x

i

) = P (x

i

), i = 0, 1, . . . , N

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 5

10 15 20

(29)

Input: l

0

, l

1

, l

5

, l

10

, . . . , l

85

de la tabla de vida abreviada

Output: versi´

on suavizada de l

x

para x = 0, 1, 2, 3, ...

Polinomios de interpolaci´

on por rangos de edad: 2-9, 11-14, 16-19,

. . . , y 71-74

Ajuste de una supervivencia Gompertz para x = 76, 77, 78, . . .

(30)

x

1

5

10

15

20

25

l

x

l

1

l

5

l

10

l

15

l

20

l

25

l

9

= −

22

1197

l

1

+

88

625

l

5

+

5632

5625

l

10

704

4375

l

15

+

512

11875

l

20

11

1875

l

25

(31)

x

10

15

20

25

30

35

l

x

l

10

l

15

l

20

l

25

l

30

l

35

l

22

=

182

15625

l

10

312

3125

l

15

+

2184

3125

l

20

+

1456

3125

l

25

273

3125

l

30

+

168

15625

l

35

(32)

l

x+1

= l

x

(1 − q

x

), q

x

= 1 − exp(−m

x

)

l

x+1

= l

x

exp(−m

x

)

m

x

= log



l

x

l

x+1



m

0

, m

1

, m

2

, . . .

(33)

0

100

200

300

400

500

Mortality rate per 1,000 inhabitants

60

70

80

90

100

age

(34)

Referencias

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