Tema 1.- INTERACCIÓN ELÉCTRICA ( RESUMEN)

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Tema 1.- INTERACCIÓN ELÉCTRICA ( RESUMEN) 1.1 Cargas puntuales

x Carga eléctrica

La carga eléctrica es una propiedad fundamental de la materia, existiendo dos tipos de carga: positiva y negativa. Dos cuerpos con el mismo tipo de carga se repelen, mientras que si tienen distinto tipo de carga, se atraen entre sí.

Cuantización de la carga eléctrica

La carga eléctrica aparece siempre como múltiplo de una carga fundamental o cuanto eléctrico, cuyo valor es e = 1.602177 x 10-19 C, que es la carga del electrón, en módulo.

Principio de conservación de la carga eléctrica

En todos los procesos observados en la Naturaleza, la carga neta o total de un sistema aislado permanece constante.

• Ley de Coulomb

La ley de Coulomb expresa la fuerza eléctrica F& que ejerce una carga puntual q sobre otra q’:

r u r q q K F& ₂´&

donde r& es el vector de posición con origen en q y final en q’. Esta fuerza es de tipo inverso del cuadrado de la distancia, siendo atractiva entre cargas de distinto signo y repulsiva entre cargas del mismo signo.

Para calcular la fuerza ejercida sobre una carga q0

por un conjunto de cargas puntuales qi se utiliza el principio de superposición: La fuerza resultante

sobre un objeto es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas sobre él.

Así: i r n i i i n i i u r q q K F

F&

¦

&

¦

& 1 2 0 1

siendo i

r& los diferentes vectores posición con origen en cada carga qi y final en q0.

• Campo eléctrico

Existe un campo eléctrico en cualquier región donde una carga eléctrica en reposo experimenta una fuerza, la cual se debe a la presencia de otras cargas en esa región. El campo eléctrico E& producido por una carga puntual o una distribución de cargas es la

fuerza F& ejercida por estas sobre una partícula de prueba, dividida por el valor de la carga q0 de la

partícula de prueba: E q F q F E & & & & o 0 0

El campo eléctrico creado por una carga puntual q en un punto P es: r u r q K E& ₂ &

donde r& es el vector posición con origen en q y final en P.

Para calcular el campo creado por un conjunto de cargas puntuales qi en un punto P, aplicamos de nuevo

el principio de superposición: i r n i i i n i i u r q K E

E&

¦

&

¦

& 1 2 1

siendo i

r& los vectores con origen en qi y final en P.

Las características espaciales de un campo eléctrico pueden ilustrarse con líneas de campo: Lugar geométrico de los puntos en los cuales la dirección del campo eléctrico E& es tangente a los mismos. Las líneas de campo eléctrico parten de las cargas positivas y finalizan en las cargas negativas.

Un campo uniforme tiene la misma intensidad, dirección y sentido en todos los puntos del espacio y se representa por líneas de campo rectilíneas, paralelas y equidistantes.

x Potencial y diferencia de potencial

La fuerza eléctrica es conservativa. La energía

potencial de una partícula de prueba q0 en el campo creado por varias cargas fijas qi se expresa como:

¦

³

f n i i i r P r q q K l d F E 1 0 & &

(tomando el origen de energía potencial, EP=0, en el infinito)

El potencial V producido por una carga puntual o una distribución de cargas es la energía potencial eléctrica de una partícula de prueba, dividida por el valor de la carga q0 de la partícula de prueba:

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V q E q E V P P o 0 0

El potencial eléctrico creado por una carga puntual q en un punto P es: r q K V (tomando: V=0 en el infinito) donde res la distancia entre la carga q y el punto P. El potencial eléctrico creado por un conjunto de cargas puntuales qi en un punto P es:

_¦

n i i i r q K V 1 (tomando: V=0 en el infinito) donde ri son las distancias entre cada carga qi y el

punto P.

La diferencia de potencial 'V entre dos puntos 1 y 2 está relacionada con el trabajo W realizado por el campo eléctrico al desplazar una carga de prueba q0

desde el punto 1 al 2: V q V V q E E E W ' P P1 P2 0( 1 2) 0' x Relación entre el potencial y campo eléctrico Se cumple que dV E&dl&. Si se conoce la expresión de E&, puede obtenerse el potencial V en un punto P por medio de la integral de línea de E&:

³f P l d E V & &

Si se conoce V, el campo E& se puede encontrar por medio del gradiente de V:

V V

E& grad

Si el campo eléctrico es constante en dirección (por ejemplo, la X):

i dx dV

E&_X ( / )&

Si el potencial sólo depende del módulo de r&:

r u dr dV E& ( / )& x Dipolo eléctrico

Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas iguales y de signo opuesto +q y -q separadas por una distancia d. El momento dipolar eléctrico se define como:

p

u d q

p& & donde p

u& es el vector unitario en la dirección de las cargas y sentido de la carga negativa a la positiva.

El potencial de un dipolo eléctrico varía con el inverso del cuadrado de la distancia:

2 2 cos r u p K r p K V p & & T

Cuando se sitúa un dipolo en un campo eléctrico, éste tiende a alinear al dipolo paralelamente al campo. El dipolo está en equilibrio cuando los vectores E& y _p& son paralelos. La energía de un dipolo de momento dipolar _p& situado en un campo eléctrico E&, es:

E p EP & &

x Movimiento de cargas en campos eléctricos

Si la fuerza eléctrica es la única que afecta a una partícula de masa m y carga q, la segunda ley de Newton nos proporciona una aceleración:

m E q a& &/

Cuando una partícula se mueve en un campo eléctrico uniforme, su movimiento es descrito por la cinemática del movimiento bajo aceleración constante.

La energía total de una partícula de masa m y carga q que se mueve en un campo eléctrico es:

V q v m E E E _C _P 2 2 1

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1.2 Distribuciones continuas de carga

x Densidades de carga

Cuando se desea calcular el campo eléctrico en un punto P, producido por distribuciones de carga continuas, se toman elementos de carga diferencial dq como cargas puntuales, de forma que cada dq creará un campo: r u r dq K E d& & 2

donde r& es el vector posición con origen en dq y final en P.

Utilizando el principio de superposición, el campo total será la suma vectorial de los dE& creados por cada dq, es decir:

³

u_r r dq K E d

E& & ₂ &

Para resolver esta integral se ha de expresar dq en función de las características de la distribución de carga. Para ello se introducen las densidades de carga

Densidad lineal de carga O: Carga por unidad de longitud dl dq dl dq O O

Densidad superficial de carga V: Carga por unidad de superficie dS dq dS dq V V

Densidad volúmica de carga U (o densidad de carga en volumen): Carga por unidad de volumen

dV dq

dV

dq _U

U

Si las distribuciones de carga son uniformes, entonces: V Q S Q L Q U V O , ,

Siendo Q la carga total de la distribución y L, S ó V la longitud, superficie o volumen totales, respectivamente.

x Campo de un anillo cargado

El módulo del campo eléctrico creado por un anillo de radio R, cargado con carga total Q y densidad lineal de carga uniforme, en un punto P del eje perpendicular que pasa por el centro del anillo (por ejemplo, el eje Y) es: 2 / 3 2 2 ) (R y y Q K E_y

siendo y la distancia entre el punto P y el centro del anillo. Su dirección es la del eje y sentido hacia el exterior del centro del anillo si Q > 0.

x Ley de Gauss

Flujo del campo eléctrico: Se define el flujo del

campo eléctrico a través de una superficie S como la integral de superficie del vector campo eléctrico extendida a toda la superficie:

³

_S E E dS

* & I

Cuando se calcula el flujo a través de una superficie cerrada a ésta se la denomina superficie gaussiana. Las líneas de campo pueden ser utilizadas para visualizar el flujo a través de la superficie. El flujo total puede ser positivo, negativo o cero. Por convenio, el sentido del vector superficie de una superficie cerrada se toma hacia fuera de esta, por lo tanto, cuando

S d

E& * es positivo el flujo es saliente y cuando es negativo es entrante.

La Ley de Gauss para el campo eléctrico establece que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica neta encerrada dentro de la superficie, dividida por H0:

0 0 ; H H I e SC e E q S d E q o

_³

& *

En electrostática la Ley de Gauss es equivalente a la Ley de Coulomb. La Ley de Gauss puede ser utilizada para encontrar el campo eléctrico producido por distribuciones de carga que posean una alta simetría. El paso crucial de este proceso es la selección de la superficie gaussiana.

Carga esférica. Cuando la distribución de carga tiene

simetría esférica y es uniforme si está distribuida en superficie, y uniforme o función del radio si está distribuida en volumen, podemos aplicar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico tanto en puntos interiores como exteriores. En todos los casos se toma una superficie gaussiana esférica que contenga al

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punto donde se desea calcular el campo y centro en la distribución de carga. Por lo tanto, el radio de la superficie gaussiana r será la distancia del centro de la distribución al punto en cuestión.

En todos los casos la primera parte de la ley de Gauss nos conduce a:

2 4 r E S d E SC S

³

& *

y el problema se limita a calcular la carga encerrada dentro de la superficie gaussiana elegida.

Ejemplos:

Carga Q, uniforme en superficie esférica de radio R:

r ex e in e u r Q K E Q q R r E q R r & & & o ! o 2 0 0 ,

Carga Q, uniforme en esfera de radio R:

r ex e r in e u r Q K E Q q R r u R r Q K E R r Q q R r & & & & o ! o 2 3 3 3 ,

Carga lineal. Si disponemos de una distribución

lineal de carga infinita y densidad O uniforme, podemos utilizar la ley de Gauss para calcular el campo creado en un punto P que se encuentra a una distancia r de la distribución. Elegimos una superficie gaussiana cilíndrica que contenga al punto en su superficie lateral. El radio de la base del cilindro debe ser por tanto r y su altura h arbitraria. Así:

h q y h r E S d E _e SC

³

& * 2S ; O

El módulo del campo eléctrico será:

r E

0 2S H

O

Plano. Si disponemos plano infinito con densidad

superficial de carga V uniforme, podemos utilizar la ley de Gauss para calcular el campo creado en un punto P próximo a la distribución. Elegimos una superficie gaussiana cilíndrica que corte al plano de forma que las bases del cilindro queden paralelas al plano y que contenga al punto en una de sus bases. Así:

C e C SC S q y S E S d E

³

& * 2 ; V siendo C

S la superficie de la base del cilindro. Por tanto, el módulo del campo eléctrico será:

0 2H

V

E

x Propiedades electrostáticas de los conductores Un material conductor que se encuentra en equilibrio electrostático presenta las siguientes propiedades: - El campo eléctrico en el interior del conductor es

cero.

- La carga eléctrica neta del conductor se encuentra distribuida sobre su superficie

- El campo eléctrico en puntos próximos a la superficie del conductor es perpendicular a esta superficie y su módulo es:

0 H V

E

- Todos los puntos del conductor están al mismo potencial. Por lo tanto, un conductor en equilibrio electrostático constituye una superficie equipotencial.

1.3 Condensadores. Campo eléctrico en la materia y energía del campo

x Condensadores

Un condensador es un dispositivo eléctrico utilizado en los circuitos para almacenar carga y energía eléctrica. Está formado por dos placas conductoras separadas por un dieléctrico. Un condensador se caracteriza por su capacidad C definida como la relación entre la carga neta almacenada Q y la

V Q C

En el S.I. la capacidad se mide en faradios (1 F = 1 C/V). La capacidad depende del diseño geométrico del condensador y de la naturaleza del dieléctrico que hay entre sus placas o armaduras. Para un condensador de láminas planoparalelas de superficie S separadas

(5)

d S C H0

Un condensador cilíndrico, de radio interno Ra,

externo Rb y longitud L, su capacidad es:

) / ( ln 2 0 a b R R L C S H Asociación de condensadores: Condensadores en serie:

_¦

i i T C C 1 1 Condensadores en paralelo:

_¦

i i T C C

x Propiedades electrostáticas de los dieléctricos

Existen dieléctricos apolares y polares. En los primeros, sus moléculas no tienen momento dipolar eléctrico, mientras que en los segundos las moléculas tienen un momento dipolar eléctrico permanente.

Cuando se coloca un dieléctrico apolar en un campo eléctrico, como el que existe entre las armaduras de un condensador, aparece sobre sus átomos o moléculas un momento dipolar inducido, convirtiéndose éstos en dipolos eléctricos que se orientan en la dirección del campo. Esta orientación da lugar a que sobre cada una de las superficies del material polarizado aparezca una densidad superficial de carga ligada o densidad de carga de polarización Vd.

El campo eléctrico en el interior de un condensador con dieléctrico entre sus placas es:

0 0 H V V d d E E E

donde E0 es el campo sin dieléctrico y Ed es el

campo creado por la densidad superficial de carga existente en las superficies del dieléctrico.

Cuando se introduce un dieléctrico entre las armaduras de un condensador en el que había el vacío entre las placas, la capacidad aumenta de modo que:

0 C k

C

mientras que la diferencia de potencial y el campo eléctrico disminuyen: k E E k V V 0 0

siendo k la constante dieléctrica del material.

La relación entre la constante dieléctrica de un material y las densidades superficiales de carga V y Vd es:

k k

d

V V ( 1)

Un medio dieléctrico posee una permitividad eléctrica H, siendo su permitividad relativa:

k r 0 H H H

x Energía del campo eléctrico

La energía de un condensador es la energía potencial de las cargas que hay en sus placas:

2 2 2 1 2 1 2 1 V C C Q V Q U

Cuando se asocia esta energía con el campo eléctrico, la densidad de energía uE (energía por unidad de

volumen) en el espacio ocupado por el campo (en el vacío) es: 2 0 2 1 E u_E H

En un medio material basta sustituir H0 por H. La

energía eléctrica total U en un volumen V se calculará mediante la integral:

³

V E dV u U

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Tema 1. Campo Eléctrico

RESOLUCIONES 1.1 Cargas Puntuales

1.1.1. Una carga puntual de 5PC está localizada en el punto x=1cm, y=3cm y otra de -4PC está situada en el punto x=2cm, y=-2cm. Determinar:

a) El campo eléctrico en el punto x=-3cm e y=1cm

b) La fuerza que actúa sobre una carga de -6PC situada en el punto x=-3cm e y=1cm

RESOLUCIÓN: ƔQ₁ 5PC

1,3cm P

3,1

ż ƔQ₂ 4PC

2,2

cm

a) El campo eléctrico en P es la suma de los campos eléctricos creados en P por Q1 y

Q2:

P

P E

E E& &₁ &₂

_P P P u d Q K E ₂ ₁ 1 1 1 & _P P P u d Q K E ₂ ₂ 2 2 2 & donde: ) 2 , 4 ( ) 3 , 1 ( ) 1 , 3 ( 1P 2 4 2 1 2 1 2 2 ₍ ₂₎ ₁₆ ₄ ₂₀ ₂₀ ₁₀ ₂₀ ₁₀ ) 4 ( 1P cmd_P md _P m ¸ ¹ · ¨ © § 20 2 , 20 4 1P u& C N E E _P _P _¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § 20 10 45 , 20 10 90 20 2 , 20 4 10 2 10 5 10 9 6 6 1 3 6 9 1 & & E1 E2

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2, 2

3,1

5, 3

2 P 2 4 2 2 2 2 34 10 34 10 34 9 25 2 d m d m P _P _P ¸ ¹ · ¨ © § 34 3 , 34 5 2 P u& C N E_P _¸¸ ¹ · ¨¨ © § c c ¸ ¹ · ¨ © § 34 10 8 1 3 , 34 10 9 2 5 34 3 , 34 5 10 34 10 4 10 9 6 6 4 6 9 2 &

C N E E E_P _P _P 5 5 1 , 05 1 1 10 08 6 2 6 4 40 10 , 08 6 2 2 8 28 10 34 20 20 8 1 3 34 45 10 , 34 20 20 9 2 5 34 90 10 34 10 8 1 3 20 10 45 , 34 10 9 2 5 20 10 90 6 6 6 6 6 6 6 6 6 2 1 c c ¸ ¹ · ¨ © § c c c c ¸¸ ¹ · ¨¨ © § c c ¸¸ ¹ · ¨¨ © § c c & & & b) F& qE&_P

6106

11c05106,15c5106

66c3,93

N

1.1.2. Dos cargas fijas q1 y q2 se encuentran separadas por una distancia d. Una tercera

carga libre q3 se encuentra en equilibrio cuando está situada en la línea que une ambas

cargas, a una distancia d de q1 y 2d de q2.

a) ¿Qué relación existe entre las cargas q1 y q2?

b) Si q3=-q1, determinar en función de q1 el valor del campo eléctrico creado por las

tres cargas en el punto medio del segmento que une q1 y q2

RESOLUCIÓN:

a) La carga Q3 está en equilibrio si el campo eléctrico es nulo en el punto donde se

encuentra. Este campo está creado por las cargas Q1 y Q2, que inicialmente suponemos

que son positivas:

2

2 2 1 1 2 2 2 1 ₄ 2 0 2 0 2 1 Q Q d Q d Q i d Q k i d Q k E EP P X Q3 Q2 d d P · Q1

(8)

b) Suponemos que Q1 es positiva:

C N i d Q i Q d E i Q Q Q d k i d Q i d Q i d Q k E E E E P P P P P ¸ ¹ · ¨ © § ¸¸ ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨¨ ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § 2 1 9 1 2 9 1 1 1 2 2 3 2 2 2 1 3 2 1 10 176 9 44 4 10 9 9 4 4 2 3 2 2

Suponemos que Q1 es negativa:

C N i d Q i Q d E i Q Q Q d k i d Q i d Q i d Q k E E E E P P P P P ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸¸ ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨¨ ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § 2 1 9 1 2 9 1 1 1 2 2 3 2 2 2 1 3 2 1 10 176 9 44 4 10 9 9 4 4 2 3 2 2

En este último caso, el módulo y la dirección son iguales que en el primero, pero su sentido es contrario.

1.1.3. Dos cargas positivas e iguales q están en el eje Y, una en la posición y=a y otra en la posición y=-a.

a) Calcular el campo eléctrico que crean estas cargas en el eje X, dando su valor en los casos en los que se cumple que x <<a y x>>a

b) Demostrar que el campo eléctrico que crean estas cargas en el eje X tiene su máximo valor en x=-a · (2)-1/2_{y en x=a · (2)}-1/2

c) Representar gráficamente Ex en función de x

RESOLUCIÓN: a y a y

y

x

P x P E& P E& q q

x

y P E& y P E& x P E& T T T T

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a) El campo eléctrico en el eje x es la suma de los campos eléctricos creados en este eje por las 2 cargas +q que están situadas en el eje y.

E&_P E&₁_P E&₂_P

Las componentes en el eje y de los campos que crean ambas cargas se anulan. Sin embargo, las componentes en el eje x se suman:

i x a q k i x a q k x

E&_p cosT & cosT &

2 2 2 2 donde: 2 2 x a d y

2 2 cos x a x

T

_a _x

i

NC x q k i x a x x a q k x

E&_P & ₃₂ &

2 2 2 2 2 2 2 2 Para x << a

C N i a x q k x E&_P 2 ₃ & Para x >> a

C N i x q k i x x q k x

E&_P 2 ₃ & 2 ₂ &

b) Para calcular el valor máximo del campo:

¸¸ ¹ · ¨ ¨ © § 2 0 0 ₃₂ 2 2 x a x q k dx d dx dE_x (c.q.d) c)

>

@

2 2 0 2 0 3 0 3 2 0 2 2 3 2 2 0 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 a x a x x a x x a x x a x a q k x x a x q k x a q k x a x x a x q k x a q k r ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § E (x )

(10)

1.1.4. Dos cargas puntuales q y q’ están separadas por una distancia a. En un punto a la distancia a/3 de q y a lo largo de la línea que une las dos cargas, el potencial es cero. a) Determinar la relación q/q’

b) ¿Cuál es el trabajo que realiza el campo eléctrico al desplazar una carga de 2

P

C desde un punto situado a una distancia a/3 de q a otro punto que está a una distancia a/3 de q’? RESOLUCIÓN: a) 2 1 3 2 3 3 2 3 0 c c c q q a q k a q k a q k a q k VP

b) El trabajo viene dado por:

J a q a q k W V a q k a q k q q a k q q a k a q k a q k V V V V q W final inicial inicial final c c c c ¸ ¹ · ¨ © § c _c ¸¸ ¹ · ¨¨ © § c c c 2 10 81 4 9 10 2 4 9 4 3 3 3 4 3 3 1 3 2 2 3 3 2 0 3 6

1.1.5. Se disponen en forma alternada un número infinito de cargas positivas y negativas

r

q sobre una línea recta. La separación entre cargas adyacentes es d. Determinar la energía potencial eléctrica de una carga +q.

Dato: El desarrollo en serie de ln(1+x) es:

4 3 2 ) 1 ln( 4 3 2 x x x x x ………. + q -q +q -q +q -q +q -q ………….. RESOLUCIÓN:

El potencial en un punto P creado por N=i cargas puntuales es:

, 3 2a a P q _qc 3 a ,

x

u

x

0 P V d

(11)

¦

i i i p r q k V

La energía potencial de una partícula cargada q que se encuentra en ese punto P es:

U_q V_P q

El potencial en el punto P donde se encuentra una carga positiva es la suma del potencial creado por las cargas positivas VP+ y el potencial creado por las cargas

negativas VP -:

V_P V_P V_P

Siendo, respectivamente, el potencial creado por las cargas positivas situadas a la derecha de esa carga y el creado por las cargas positivas situadas la izquierda de esa carga: »¼ º «¬ ª »¼ º «¬ ª »¼ º «¬ ª ... 6 1 4 1 2 1 2 ) ( ) ( ... 6 1 4 1 2 1 ) ( ... 6 1 4 1 2 1 ) ( d q k izquierda V derecha V V d d d q k izquierda V d d d q k derecha V P P P P P

Igualmente, si consideramos el potencial creado por las cargas negativas situadas a la derecha e izquierda de la carga positiva:

»¼ º «¬ ª »¼ º «¬ ª »¼ º «¬ ª ... 5 1 3 1 1 2 ) ( ) ( ... 5 1 3 1 1 ) ( ... 5 1 3 1 1 ) ( d q k izquierda V derecha V V d d d q k izquierda V d d d q k derecha V P P P P P

La energía potencial de la carga positiva q situada en P es:

J d q k d q k q V V q V q U_q _P _P _P »¼ º «¬ ª ¸¸ ¹ · ¨¨ © § »¼ º «¬ ª ···· 5 1 4 1 3 1 2 1 1 2 ···· 5 1 3 1 1 ···· 6 1 4 1 2 1 2 2

Sustituyendo x=1 para el desarrollo en serie:

_«¬ª ···_»¼º 5 1 4 1 3 1 2 1 1 2 ln 1 1 ln

(12)

Sustituyendo esta expresión en el resultado Uq:

J d q k U_q 2 ln2 2

1.1.6. En dos vértices contiguos de un cuadrado de 1m de lado se tienen cargas eléctricas positivas de 2·10-6

C y en los otros dos de 5·10-6C. Hallar el valor del campo

eléctrico y el potencial en el centro del cuadrado

RESOLUCIÓN:

El campo eléctrico en el punto P es la suma de los campos eléctricos creados por cada una de las cargas puntuales situadas en los vértices del cuadrado:

¦

4 1 2 4 1 i r i i i i P u r q k E E

Siendo los vectores de posición, sus módulos y sus vectores unitarios:

2 1 2 1 2 1 2 1 , 2 1 ) 2 1 , 2 1 ( ) 0 , 0 ( 2 1 2 2 1 1 ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § r r r 2 1 2 1 2 1 2 1 , 2 1 ) 2 1 , 2 1 ( ) 0 , 1 ( 2 2 2 2 2 2 ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § r r r 2 1 2 1 2 1 2 1 , 2 1 ) 2 1 , 2 1 ( ) 1 , 1 ( 2 3 2 2 3 3 ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § r r r 2 1 2 1 2 1 2 1 , 2 1 ) 2 1 , 2 1 ( ) 1 , 0 ( 2 4 2 2 4 4 ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § r r r ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § 2 1 , 2 1 2 2 2 1 , 2 1 ; 2 1 , 2 1 2 2 2 1 , 2 1 2 1 r r u u& & ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § 2 1 , 2 1 2 2 2 1 , 2 1 ; 2 1 , 2 1 2 2 2 1 , 2 1 4 3 r r u u& &

(13)

Los campos eléctricos creados por cada carga son:

C N u r q k E C N u r q k E C N u r q k E C N u r q k E r P r P r P r P ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § 2 1 , 2 1 10 36 2 1 , 2 1 2 1 10 2 10 9 2 1 , 2 1 10 36 2 1 , 2 1 2 1 10 2 10 9 2 1 , 2 1 10 9 2 1 , 2 1 2 1 10 5 10 9 2 1 , 2 1 10 9 2 1 , 2 1 2 1 10 5 10 9 3 6 9 2 4 1 3 6 9 2 3 3 4 6 9 2 2 2 4 6 9 2 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1 & & & & & & & &

El campo eléctrico total es:

N_C j E E E E EP _P _P _P _P ¸ ¹ · ¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § 4 3 4 3 3 4 4 10 6 . 7 2 108000 , 0 2 10 36 2 2 10 9 2 , 0 2 1 , 2 1 10 36 2 1 , 2 1 10 36 2 1 , 2 1 10 9 2 1 , 2 1 10 9 4 3 2 1 & & & &

El potencial en el centro del cuadrado lo crean las cuatro cargas puntuales de los vértices:

V r q k V V i i i i i P 3 6 9 4 1 6 6 6 6 9 4 1 10 2 . 178 10 2 14 10 9 2 1 10 2 2 1 10 2 2 1 10 5 2 1 10 5 10 9 » » » » ¼ º « « « « ¬ ª

¦

X Y (0,1) Q4 Q3 Q1 Q2 P E3 E4 E1 E2 (1/2,1/2) (1,1) (0,0) (1,0)

(14)

1.1.7. Cargas iguales, cada una de ellas de 1

P

C, están situadas en los vértices de un

triángulo equilátero de 0.1m de lado. Calcular:

a) La fuerza que se ejerce sobre cada carga como resultado de la interacción con las otras dos

b) La energía potencial de cada carga

c) El campo eléctrico resultante y el potencial en el centro del triángulo

RESOLUCIÓN:

1 1

32 2 2 1 1 12 1 32 12 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 6 9 32 2 32 2 3 12 2 12 1 2 2 1 1 31 2 2 1 1 21 1 31 21 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 6 9 31 2 31 1 3 21 2 21 1 2 1 23 13 3 32 12 2 31 21 1 10 7 . 8 , 10 5 10 7 . 8 , 10 5 º 30 cos 10 , 2 10 ) 0 , 1 . 0 ( 32 ) 0 , 1 ( 10 10 3 . 78 , 10 135 10 7 . 8 , 10 15 10 9 10 7 . 8 , 10 5 0 , 1 10 10 10 9 10 7 . 8 , 10 5 10 7 . 8 , 10 5 º 30 cos 10 , 2 10 ) 0 , 0 ( 31 ) 0 , 1 ( 0 , 1 . 0 0 , 0 21 10 10 3 . 78 , 10 135 10 7 . 8 , 10 15 10 9 10 7 . 8 , 10 5 0 , 1 10 10 10 9 ; ; ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § u u m d d N u d q q k u d q q k F u u m d d N u d q q k u d q q k F F F F F F F F F F & & & & & & & & & & & & & & 3

q

1

q

₂ ) 0 , 0 ( ( c01,0) ) 10 7 8 , 05 0 ( _c _c 2 q 60 q 30 23

d

12

d

13

d

q 30 a 31 F& 21 F&

(15)

1 1

23 2 2 1 1 1 1 13 2 2 1 23 13 1 1 1 1 1 1 2 1 2 6 9 23 2 23 2 3 13 2 13 1 3 3 10 7 . 8 , 10 5 10 7 . 8 , 10 5 ) 0 , 1 . 0 ( º 30 cos 10 , 2 10 23 10 7 . 8 , 10 5 ) 0 , 0 ( 10 7 . 8 , 10 5 13 10 6 . 1 , 0 10 4 . 17 , 0 10 9 10 7 . 8 , 10 5 10 7 . 8 , 10 5 10 10 10 9 ¸¸ ¹ · ¨¨ © § u u m d d N u d q q k u d q q k F & & & &

b) La energía potencial de cada carga es: U₁ q₁V₁

) ( 10 18 10 18 10 ) ( 10 18 10 10 2 10 9 2 4 6 1 4 1 6 9 31 3 21 2 1 J U V d q k d q K V

Todas las cargas tienen la misma energía potencial: ) ( 10 18 2 3 2 U J U

c) El campo en el centro del triángulo será: 0

3 2 1E E E

E& & & &

Las componentes en el eje x de E&₁ y E&₂ se anulan. Las componentes en el eje y de E&₁ y 2

E& son la mitad de la componente en el eje y de E&₃, y como

y E₁ y y E₂ llevan sentido contrario a y

E₃ , la suma de las dos primeras anula la tercera.

El potencial en dicho punto es:

) ( 10 76 6 4 10 2 3 2 10 10 9 3 4 1 6 9 3 2 1 3 2 1 V a Q k a Q k a Q k V V V V c siendo a 00577m ) 30 cos( 2 1 0 _c q c

1.1.8. El potencial eléctrico a una distancia d de una carga puntual q es V=600V y el campo eléctrico es E=200N/C.

a) Calcular el valor de la carga

b) Calcular la distancia a la carga puntual

RESOLUCIÓN:

(16)

d q k V despejando la distancia V q k d d 2 d q k E

Sustituyendo d en la expresión del módulo del campo eléctrico y despejando q, podemos obtener el valor de ésta:

C E k V q q k V V q k q k E ₉ 7 2 2 2 2 ₉ ₁₀ ₂₀₀ 2 10 600 ¸ ¹ · ¨ © §

b) Una vez que conocemos la carga q, podemos obtener el valor de la distancia d:

m V q k d 3 600 10 2 10 9 7 9

1.1.9. Calcular el gradiente de la función escalar V=V(r), siendo r= r el módulo del vector de posición r xi yj zk . Aplicar a los casos:

a) V=1/r b) V=ln r

RESOLUCIÓN:

El vector operador gradiente se define como:

k z V j y V i x V V grad w w w w w w

Como V depende de r y éste, a su vez, depende de las coordenadas x, y, z, entonces cada uno de los sumandos que hay a la derecha de la ecuación se puede calcular de la siguiente forma: z r dr dV z V y r dr dV y V x r dr dV x V w w w w w w w w w w w w El módulo de r es: 2 2 2 z y x r Por tanto:

(17)

r z z y x z z z y x z r r y z y x y y z y x y r r x z y x x x z y x x r w w w w w w w w w w w w 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Sustituyendo estas expresiones en el gradiente:

u_r dr dV r r dr dV k r z j r y i r x dr dV V grad ( ) &

Aplicando esta última expresión a los casos (a) y (b): r r r r u r u dr dV V grad r V b u r u dr dV V grad r V a ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § 1 ln ) ( 1 1 ) ( ₂ &

1.1.10. El potencial eléctrico en una cierta región del espacio viene dado por

V(x)=C1+C2·x2, en donde V se expresa en voltios, x en metros y C1 y C2 son constantes

positivas. Hallar el campo eléctrico E en esta región. ¿En qué dirección está E?

RESOLUCIÓN: 2 2 1 ) (x C C x V

Utilizando la relación que existe entre campo eléctrico y potencial:

» ¼ º « ¬ ª k dz dV j dy dV i dx dV

E& & & &

Como el potencial depende sólo de x, el campo eléctrico únicamente tendrá componente en esta dirección: i C x i dx dV

(18)

1.1.11. Un campo eléctrico viene determinado por Ex=2x3(kN/C). Determinar la

diferencia de potencial entre los puntos del eje x situados en x=1m y x=2m. RESOLUCIÓN:

Utilizando la relación que existe entre campo eléctrico y potencial:

» ¼ º « ¬ ª k dz dV j dy dV i dx dV

E& & & &

Sólo existe componente en x:

V x dx x V V dx E dV dx E dV i dx dV E x x x x x x x x x 3 3 4 4 3 4 3 2 1 3 3 2 1 2 1 10 5 7 4 15 10 2 4 1 4 2 10 2 4 10 2 10 2 ) 1 ( ) 2 ( _» c ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª

³

&

1.1.12. El potencial eléctrico en una región del espacio viene dado por V=2·x2

+ y·z (V/m2). Determinar el campo eléctrico en el punto x=2m, y=1m y z=2m.

RESOLUCIÓN:

Utilizando la relación entre campo eléctrico y potencial:

>

@

>

_i _j _k

@

V _m E k y j z i x k dz dV j dy dV i dx dV E & & & & & & & & & & & » ¼ º « ¬ ª 2 8 2 , 1 , 2 4

1.1.13. Dos cargas puntuales q1=2pC y q2=-2pC están separadas una distancia de 4

P

m.

a) ¿Cuál es el momento dipolar de este par de cargas?

b) Hacer un dibujo del par e indicar la dirección y sentido del momento bipolar RESOLUCIÓN: a)

C m

d q p d q p 12 ₄ ₁₀6 ₈ ₁₀18 10 2 & & & & b) p& 81018

i& Cm

(19)

1.1.14. Un dipolo de momento 0.5e

-·nm se coloca en el interior de un campo eléctrico

uniforme de valor 4·104

N/C. ¿Cuál es el valor del momento ejercido sobre el dipolo

cuando?:

a) ¿El dipolo es paralelo al campo eléctrico? b) ¿El dipolo es perpendicular al campo eléctrico?

c) ¿El dipolo forma un ángulo de 30º con el campo eléctrico?

d) Determinar la energía potencial del dipolo en el campo eléctrico en cada caso.

RESOLUCIÓN:

N_C E m C p 4 28 9 19 10 4 10 8 0 10 10 6 1 5 0 c c c & &

El momento ejercido sobre le dipolo es:

W

& p&uE&

La energía potencial del dipolo en el campo eléctrico es: U p& xE&

a) Si el campo y el dipolo son paralelos, forman un ángulo de 0º:

0q 0 E sen p& & &

W

Y la energía potencial será:

J

E p

U & & cos0q 0c8102841041 3c21024

b) Si el campo eléctrico y el dipolo forman un ángulo de 90º:

N m

sen E p& & 90q 0c8102841041 3c21024 &

W

90 0 cos q p E U & &

c) Si ambos forman un ángulo de 30º:

p E sen

q c 28 4 1c61024

Nm

2 1 10 4 10 8 0 30 & & &

W

U p E

28 4 277 10 24J 2 3 10 4 10 8 0 30 cos q c c & &

p

&

m

d

4

10

6 1

q

₂

(20)

1.1.15. Dos cargas de signos contrarios y de 10-8

C están situadas a una distancia de 10cm en el vacío formando un dipolo eléctrico. Determinar la intensidad del campo

eléctrico que el dipolo produce en los siguientes puntos:

a) A una distancia de 5cm de la carga positiva en la prolongación del segmento que une las cargas

b) En un punto de dicho segmento a 4cm de la carga positiva c) En un punto que equidiste 10cm de ambas cargas

RESOLUCIÓN:

a) El campo eléctrico total en el punto A de coordenadas (-5,0)cm es la suma del campo eléctrico creado en A por la carga 1 y el campo eléctrico creado en A por la carga

2.

C N i i i i i d q k i d q k E E EA A A ¸ ¹ · ¨ © § 4 4 2 2 8 9 2 2 8 9 2 2 2 2 1 1 2 1 10 2 . 3 9 8 25 10 10 9 10 15 10 10 9 10 5 10 10 9

b) El campo eléctrico total en el punto B de coordenadas (4,0)cm es la suma del campo eléctrico creado en B por la carga 1 y el campo eléctrico creado en B por la carga 2

C N i i i i d q k i d q k E E E B B B _B _B 4 2 2 8 9 2 2 8 9 2 2 2 2 1 1 2 1 10 1 . 8 10 6 10 10 9 10 4 10 10 9

c) El campo eléctrico total en el punto C de coordenadas (5,-10·cos30º)=(5,-8.7)cm es la suma del campo eléctrico creado en C por la carga 1 y el campo eléctrico creado en C por la carga 2 C (5,-10·cos30º) (-5,0) (4,0) L=10cm 1C 2C Q1=10-8 C Q2=-10-8 C E2A E1A E2B E1B E1C E2C 60º

·

A

·

B X Y

(21)

1 1

2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 3 1 1 2 2 8 9 1 1 2 2 8 9 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 10 7 . 8 , 10 5 10 7 . 8 5 2 7 . 8 , 5 7 . 8 , 5 0 , 10 2 10 7 . 8 , 10 5 10 7 . 8 5 1 ) 7 . 8 , 5 ( ) 0 , 0 ( ) 7 . 8 , 5 ( 1 10 10 9 10 7 . 8 , 10 5 10 10 10 10 9 10 7 . 8 , 10 5 10 10 10 10 9 c c c c c C c C C u C C u C C cm d d C N i u d q k u d q k E E E C C & & & &

1.1.16. Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas opuestas de magnitud q=10-6

C

separadas una distancia de 2cm. El dipolo está colocado en un campo eléctrico externo de módulo 105

N/C.

a) ¿Cuál es el momento máximo que ejerce el campo en el dipolo?

b) ¿Cuánto trabajo debe hacer un agente exterior para dar al dipolo media vuelta a partir de una posición paralela al campo?

RESOLUCIÓN:

a) El momento o giro W que produce sobre un dipolo eléctrico, un campo eléctrico externo uniforme es:

W

puE

W

p E sen

D

q d E sen

D

El momento es máximo si el valor del seno del ángulo que forman los vectores es 1. Esto ocurre cuando los vectores p y E forman un ángulo de 90º.

W

q d E sen90º 10621021051 2103 Nm

b) La energía potencial que tiene un dipolo que está situado en un campo eléctrico externo uniforme es:

U pxE p Ecos

D

En el estado inicial si el campo E y el momento dipolar p son paralelos:

U pxE p E cos0º p E

En el estado final cuando ha girado 180º respecto a su posición inicial: U pxE p E cos180º p E

El trabajo que realiza un agente externo para dar la media vuelta al dipolo es:

U U

>

p E

@

p E J

U

(22)

1.1.17. Existe un campo eléctrico uniforme entre dos placas paralelas con cargas opuestas. Se libera un electrón desde el reposo sobre la superficie de la placa negativa y alcanza la superficie de la placa opuesta, colocada a una distancia d=2·10-2

m de la otra,

en un intervalo de tiempo t=1.5·10-8

s:

a) Calcular la intensidad del campo eléctrico

b) Calcular la velocidad del electrón cuando llega a la segunda placa c) ¿Cuál es la diferencia de potencial que hay entre las placas?

RESOLUCIÓN: a) 2 2 2 0 0 0 2 1 2 1 2 1 t E m q t a d t a t v x d x t a t a v v E m q a a m E q F x x

Despejando el campo de esta última:

V m t q d m E 1011 10 5 1 10 6 1 10 2 10 1 9 2 2 2 8 19 2 31 2 c c c b) _E _t

Km_s m q t a v 1011 15 10 2666374 2666 10 1 9 10 6 1 8 31 19 | c c c c) V Ed 10112102 2022102 22c22 V 1.1.18. Un electrón de masa m=9.1·10-31

kg y carga eléctrica q=-1.6·10-19C se proyecta

en el interior de un campo eléctrico uniforme E=2000N/C con una velocidad inicial

v0=106m/s perpendicular al campo.

a) Hallar las ecuaciones del movimiento del electrón

b) ¿Cuánto se habrá desviado el electrón si ha recorrido 1cm sobre el eje OX? (OX: dirección de entrada del electrón)

d

0 x x

E& E q F& & q

(23)

RESOLUCIÓN:

a) Como la F& qE&: E m e a E q a m

F& & & & & siendo (-e), la carga del electrón.

Eje x: a_x 0ov_x cte v₀; x v₀t Eje y: 2 2 0 0 0 2 1 2 1 ; y y v a t a t t a t a v v E m e a_y o _y _y _y b) Sustituimos la aceleración en y: 2 2 1 t E m e y

Como necesitamos el tiempo, lo hallamos con x:

s v x t t v x ₆ 8 2 0 0 10 10 10 o Y lo llevamos al desplazamiento en y:

m cm y 2000 10 00176 18 10 1 9 10 6 1 2 1 ₈ 2 31 19 c c c c

El ángulo que se ha desviado será: q |60 x y arctg

D

1.2 Distribuciones continuas de carga

1.2.1. Consideremos un campo eléctrico uniforme

C kN i

E 2 .

a) ¿Cuál es el flujo de este campo a través de un cuadrado de 10cm de lado cuyo plano es paralelo al plano YZ?

b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a su plano forma un ángulo de 30º con el eje X?

y x 0 v E& a&

(24)

RESOLUCIÓN: y E& 2i& s& S l 102cm x z

a) El flujo de campo eléctrico a través de la superficie abierta es:

C m N s E s E s d E s s 2 2 3 ₁₀ ₂₀ 10 2 ) º 0 cos( x )

³

& &

³

& & & &

Con ₁₀ ₁₀ 2 ₁₀ ₁₀ 2 ₁₀ 2 2 m s&

b) En este caso el ángulo que forman el vector superficie y el vector campo eléctrico es

30º. Por lo tanto:

N m _C

s E s E s d E s s 2 2 3 ₁₇₃ 2 3 10 10 2 ) º 30 cos( ) º 30 cos( c x )

³

& &

³

& & & &

1.2.2. Una carga puntual q=3

P

C está en el centro de una esfera de 0.6m de radio.

a) Hallar el valor del campo eléctrico en los puntos situados en la superficie de la esfera b) ¿Cuál es el flujo del campo eléctrico debido a la carga puntual a través de la superficie de la esfera?

c) ¿Variaría la respuesta dada a la parte b) si se moviese la carga puntual de modo que estuviese dentro de la esfera pero no en el centro?

d) ¿Cuál es el flujo neto que atraviesa un cubo de 1m de arista que circunscribe la esfera? RESOLUCIÓN: E& sd& q=3ȝC r

(25)

a) El campo eléctrico en un punto situado a una distancia R de una carga puntual es:

u u u

NC

u r Q K

E& _& &_r &_r ₂ &_r 5&_r 3 2 1 6 9 2 ₄10 3 10 36 10 27 10 6 10 3 10 9 con R r& 0c6m 6101m

b) El flujo de campo eléctrico a través de la superficie es:

0 ) º 0 cos(

H

enc s s q s d E s d E

³

x

) & & & &

c) No cambia la respuesta porque el flujo depende sólo de la carga encerrada en dicha superficie, siendo independiente de la posición que ocupe en el interior de la misma. d) El flujo neto sería el mismo que el que atraviesa la esfera, ya que la carga encerrada es la misma en ambos casos.

1.2.3. Una carga puntual Q está situada en el centro de un cubo cuya arista tiene una longitud L.

a) ¿Cuál es el flujo del campo eléctrico a través de una de las caras del cubo?

b) Si la carga Q se traslada a un vértice del cubo, ¿cuál es el flujo a través de cada una de las caras del cubo?

RESOLUCIÓN:

a) El flujo total del campo eléctrico a través del cubo es:

L 0

H

enc s E q s d Ex )

³

& & Q

(26)

Por simetría, el flujo que atraviesa cada una de las caras del cubo es 1/6 del flujo total:

0 6 6

H

) ) total Q cara b) 1 Q 2 3

Dibujamos una esfera alrededor de la carga puntual Q que está situada en el vértice del cubo. Si dividimos la esfera en 8 partes, vemos que el flujo que entra en el cubo corresponde a 1/8 del flujo total que sale de la esfera.

0 0 0 8 8 1 H H H Q Q Q total cubo enc total ) ) )

Este flujo sólo atraviesa 3 caras del cubo porque el vector superficie de las caras 1, 2 y 3 forman un ángulo de 90º con el vector E&, por tanto:

0 0 3 24 8 3

H

Q Q cubo cara ) )

1.2.4. Una corteza esférica de radio 6cm posee una densidad superficial uniforme de carga

V

=9nC/m2:

a) ¿Cuál es la carga total sobre la corteza?

b) Determinar el campo eléctrico en r1=2cm, r2=5.9cm, r3=6.1cm y r4=10cm

RESOLUCIÓN: + + + + + + + + + R + + + + + + + + + + + + + +

(27)

a) Como la densidad superficial de carga es constante:

pC C R S Q S Q 1 7 40 10 1 7 40 10 36 4 10 9 4 2 9 4 _c 12 _c

_V

_S

V

Siendo R 6102m y 9 10 9

2 m C V

b) Aplicando el teorema de Gauss, se puede demostrar que le campo eléctrico en una corteza esférica de densidad superficial uniforme es:

E

₂ r Q K R r E_r t r E(r<R)=0

Si el radio es R=6cm, r1=2cm y r2=5.9cm corresponden a puntos del interior de la

corteza y E=0.

Para puntos fuera de la corteza:

NC r Q K E cm r C N r Q K E cm r r r 4 6 36 10 10 9 3 366 10 10 10 1 7 40 10 9 10 985 10 5 8 9 10 1 6 10 1 7 40 10 9 1 6 2 3 2 2 12 9 2 4 4 2 2 12 9 2 3 3 c c c c c c c & &

1.2.5. Una esfera de radio R1 tiene una cavidad central de radio R2. Una carga q está

uniformemente distribuida en su volumen. Hallar el campo eléctrico y el potencial en: a) puntos fuera de la esfera

b) su interior c) en la cavidad central RESOLUCIÓN: a) E& sd& q r R1 R2

(28)

Como es una distribución simétrica de carga, utilizaremos el teorema de Gauss para hallar el campo eléctrico en r>R1:

0 2 0 0 4 º 0 cos

H

S

H

r q E q S E s d E q s d E s enc enc s E x

)

³

& &

³

& & & & El potencial eléctrico en rR1:

f »¼ º «¬ ª f »¼ º «¬ ª f f f f f

³

V r q K r V r q K r q K r q K dr r q K V r V dr E dV dr E dV dr dV E r r r r r r r 1 1 2

Como por definición V() = 0 para una carga puntual:

r q K r V b) sd& E&

La carga total es q y está distribuida uniformemente en el volumen:

3

2 3 1 3 2 3 1 4 3 3 4 R R q V q R R V

S

U

S

siendo ȡ la densidad de carga.

Aplicando de nuevo el teorema de Gauss, el campo eléctrico en R2<r<R1 es:

0 0 º 0 cos

H

enc enc s E q S E S E q s d Ex

)

_³

& & & &

La carga encerrada por la superficie de Gauss, en este caso, será:

3

2 3 1 3 2 3 3 2 3 3 2 3 1 3 2 3 3 4 4 3 3 4 R R R r q R r R R q R r V q c c S S S U U Despejando el campo: q r R1 R2

(29)

₃

2 3 1 3 2 3 0 2 4 1 R R R r q r E H S El potencial en R2rR1:

³

r R R R r R R R q R V r V r R r R R q R V r V dr r R rdr R R q R V r V dr r R r R R q R V r V dr E dV dr E dV R r R r R r r R r R r r R r 3 2 1 3 2 2 2 1 3 2 3 1 0 1 3 2 2 3 2 3 1 0 1 2 3 2 3 2 3 1 0 1 2 3 2 3 2 3 1 0 1 2 2 1 4 2 4 1 4 1 4 1 1 1 1 1 1 1 SH SH SH SH

Del apartado a) sabemos el potencial en R1 y despejando V(r):

_» ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª 2 1 3 2 2 3 2 3 1 0 1 3 2 3 1 3 2 1 3 2 2 2 1 3 2 3 1 0 1 3 2 1 3 2 2 2 1 3 2 3 1 0 1 1 2 3 2 4 2 2 4 2 2 4 R r R r R R q r V R R R r R R R r R R R q r V R q K r R R R r R R R q r V R q K R V

SH

d) El campo eléctrico en r<R2 es 0, porque la carga encerrada en dicha cavidad es 0.

El potencial, por tanto, es un valor constante:

³

2 2 R V r V dV r R

³

r R2Er dr V r V R2 0

Del apartado anterior:

>

2

@

2 2 1 3 2 3 1 0 2 1 2 2 3 2 3 1 0 2 1 2 3 2 2 2 3 2 3 1 0 2 8 3 2 3 2 3 4 2 3 2 4 R R R R q R R R R q R R R R R R q R V r V »¼ º «¬ ª » ¼ º « ¬ ª SH SH SH

(30)

1.2.6. Supongamos que una carga positiva está distribuida uniformemente en un volumen esférico de radio R, siendo U la densidad de carga por unidad de volumen. Calcúlese la fuerza de repulsión que sufriría una carga puntual q, situada a una distancia

r del centro de la esfera, siendo rdR.

RESOLUCIÓN: E& V Q U

La fuerza de repulsión que se ejerce sobre una carga puntual situada a una distancia rR

es F& qE&, donde E&se puede calcular usando el teorema de Gauss:

0 º 0 cos Henc s s E q S E s d E s d Ex

)

³

& &

³

& & Despejando el campo: 0 0 2 3 0 2 0 2 ₄ 3 ₃ 4 4 4 H U H S S U H S U H S r r r r V r q E enc

El campo eléctrico resultante será:

r r r u R r Q u R r Q u r

E& & & ₃ & 0 3 0 0 4 3 4 3 3H _H _S SH U

Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre la carga es:

r u R r Q q E q

F& & ₃ & 0 4SH s d& R r