Modulo de RRM 2016

(1)

George Polya

1887 - 1985

Departamento de Estudios

Generales e Idiomas

Módulo de Razonamiento y

Representación Matemática

G. MATEMATICAS 2016

(2)

Departamento de Estudios Generales e Idiomas

Tabla de contenido

1 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ... 7

1.1. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEORGE POLYA ... 7

1.2. DESARROLLO TEMÁTICO: ... 7

1.3. USO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ... 10

1.4. DESCUBRIR UN PATRÓN: ... 13

1.5. DE ATRÁS HACIA ADELANTE ... 14

1.6. ELABORACIÓN DE UNA LISTA O TABLA ... 15

1.7. GRÁFICOS... 17 1.8. APLICACIÓN DE FÓRMULAS... 17 1.9. ANALOGÍA O SEMEJANZA ... 21 1.10. SIMPLIFICAR, PARTICULARIZAR ... 22 1.11. ORGANIZACIÓN, CODIFICACIÓN ... 24 1.12. CODIFICACIÓN: ... 25

1.13. RESOLVER UNA ECUACIÓN: ... 25

1.14. USAR LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS U OPERACIONES MATEMÁTICAS ... 27

1.15. EJERCICIOS PROPUESTOS ... 28

1.16. BIBLIOGRAFIA ... 33

1.17. WEBGRAFÍA: ... 33

2 CONJUNTO Y NÚMEROS REALES ... 34

2.1. OBJETIVOS: ... 34

2.2. COMPETENCIAS: ... 34

2.3. DESARROLLO TEMÁTICO. ... 34

2.3.1. ¿QUÉ ES UN CONJUNTO? ... 34

2.3.2. CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS ... 35

2.3.3. DIAGRAMAS DE VENN EULER ... 36

2.3.4. OPERACIONES CON CONJUNTOS ... 36

2.3.5. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO ... 38

2.3.6. EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS ... 39

2.4. CONJUNTOS NUMÉRICOS... 41

2.4.1. NÚMEROS REALES ... 41

2.4.2. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. ... 44

2.4.3. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR ... 45

2.4.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE OPERACIONES CON RACIONALES: ... 48

2.5. PROBLEMAS PROPUESTOS ... 50

(3)

3 RAZÓN Y PROPORCIÓN ... 57

3.1. MAGNITUD ... 57

3.2. RAZÓN ... 57

3.3. PROPORCIÓN ... 58

3.4. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES ... 59

3.5. Aplicaciones de la proporcionalidad directa ... 60

3.5.1. REGLA DE TRES SIMPLE Y DIRECTA... 60

3.5.2. PORCENTAJE... 61

3.6. Magnitudes inversamente proporcionales ... 64

3.7. APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD INVERSA. ... 65

3.7.1. Regla de tres simple inversa ... 65

3.7.2. Regla de tres compuesta ... 66

4 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO ... 71

4.1. OBJETIVOS: ... 71

4.2. COMPETENCIAS: ... 71

4.3. DESARROLLO TEMÁTICO: ... 71

4.4. INTERÉS SIMPLE ... 71

4.5. FORMULA PARA CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE ... 73

4.6. CALCULO DEL CAPITAL, TIEMPO O RATA ... 75

4.7. INTERES COMPUESTO ... 76

4.8. ACTIVIDADES... 77

4.9. BIBLIOGRAFIA ... 78

5 CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA ... 79

5.1. OBJETIVOS ... 79

5.2. COMPETENCIAS ... 79

5.3. SISTEMAS DE MEDIDAS ... 79

5.3.1. CONCEPTOS BÁSICOS ... 79

5.4. SISTEMAS DE UNIDADES ... 80

5.5. EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL ... 80

5.6. UNIDADES DE LONGITUD ... 81

5.7. UNIDADES DE LONGITUD DEL SISTEMA INGLES ... 83

5.8. PERÍMETRO DE FIGURAS ... 83

5.9. PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA ... 85

5.10. UNIDADES DE SUPERFICIE Y ÁREA ... 87

5.11. UNIDADES AGRARIAS ... 88

(4)

5.12.1. ÁREA DE UN TRIANGULO ... 89

5.12.2. ÁREA DE UN CUADRADO ... 89

5.12.3. ÁREA DE UN RECTÁNGULO ... 89

5.12.4. ÁREA DEL ROMBO... 89

5.12.5. ÁREA DEL TRAPECIO... 90

5.12.6. ÁREA DEL PARALELOGRAMO. ... 90

5.12.7. ÁREA DEL CÍRCULO. ... 90

5.12.8. ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR ... 91

5.13. UNIDADES DE VOLUMEN. ... 94

5.14. VOLUMEN DE CUERPOS ... 95

5.14.1. VOLUMEN DEL CUBO... 95

5.14.2. VOLUMEN DE UN ORTOEDRO... 95

5.14.3. VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE... 95

5.14.4. VOLUMEN DE UN CILINDRO ... 96

5.14.5. VOLUMEN DE UN CONO ... 97

5.14.6. VOLUMEN DE UNA ESFERA ... 97

6 FUNCIONES ... 110 6.1. Objetivos... 110 6.2. Competencias ... 110 6.3. BASE CONCEPTUAL ... 110 6.3.1. INTRODUCCIÓN. ... 110 6.3.2. Pareja Ordenada... 111 6.3.3. Intervalos ... 111 6.3.4. Función ... 112

6.3.4. Representación de una Función... 113

6.3.5. CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES ... 116

6.3.6. ESTUDIO DEL DOMINIO DE ALGUNAS FUNCIONES REALES ... 117

6.3.7. Función Creciente, Decreciente y Constante... 122

6.4. ESTUDIO DE ALGUNAS FUNCIONES PARTICULARES ... 124

6.4.1. FUNCIÓN LINEAL ... 124

6.4.2. FUNCIÓN CUADRÁTICA ... 127

6.5. PROBLEMAS ... 133

(5)

Departamento de Estudios Generales e Idiomas JUSTIFICACIÓN

La enseñanza y el aprendizaje con base en el desarrollo de competencias en el sistema educativo colombiano, están propuestos, por el MEN, desde la educación básica hasta la

superior1_{. En este nivel educativo, las competencias, llamadas genéricas, son la continuación}

de las competencias básicas desarrolladas en los niveles precedentes, tratadas a niveles de profundidad y extensión cercanos a la formación del pensamiento científico, constituyéndose en la base del dialogo e intercambio de saberes de los profesionales de los distintos países, en el marco de los desafíos planteados por la actual sociedad de la información y el conocimiento. En este sentido, la Universidad del Magdalena, ha decidido adelantar la reforma educativa necesaria para ponerse a tono con las circunstancias, en el marco de los fines, principios y valores contenidos en el PEI, Misión y Visión institucionales, para lo cual se apresta a la revisión y redefinición del currículo y microcurrículos, centrados históricamente en el aprendizaje de contenidos, por el desarrollo de competencias que habiliten a los egresados para asumir el reto de contribuir al desarrollo humano, social, político , económico de la región y del país, además de competir y desempeñarse eficientemente en cualquier circunstancia y espacio. Esta reforma curricular conlleva a una transformación del modelo pedagógico, de la estrategia metodológica y, de manera muy especial, de la concepción y criterios y estrategias de evaluación.

Las competencias genéricas, por definición, son comunes a todas las profesiones, son el sustrato de conocimientos, capacidades, habilidades y destrezas existentes en todos los profesionales, por tal razón son transversales a todas las áreas y planes de estudios. Sin embargo, las desarrolladas a partir de las matemáticas, por su función transformadora del pensamiento y de su capacidad de representar y comunicar conceptos y estructuras conceptuales complejas necesarias para su desarrollo mismo y el aprendizaje de otras áreas del conocimiento, son de ineludible presencia en la fase de formación general de todas las profesiones.

En el caso de las competencias matemáticas, se encuentra que la totalidad de los programas académicos tienen, con diferentes niveles de profundidad, cursos de matemáticas específicas funcionales a cada programa y a otras áreas afines para cuya aprehensión y desarrollo se requiere solvencia en el manejo de las competencias matemáticas genéricas.

Las competencias básicas matemáticas que se espera se encuentren desarrolladas, en su más elevado nivel al ingreso de nuestros jóvenes a la educación superior, son:

(6)

Departamento de Estudios Generales e Idiomas La comunicación y Representación.

Razonamiento y Argumentación. Solución de problemas y Modelación.

Sin embargo, sabemos de la debilidad de los procesos educativos de los niveles precedentes reflejados en los deficientes resultados en las pruebas ICFES, en la dificultad de aprobación de los exámenes de admisión de las universidades oficiales y en el bajo desempeño en los cursos de matemática y lógica matemática de los estudiantes de primer semestre en el nivel superior. Para el caso particular de la Universidad, se encuentra, según datos recientes que el 53% y 57% respectivamente reprueban matemática y lógica-matemática respectivamente en primer semestre, además es ya tradicional la dificultad que presenta la mayoría de los estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas de su plan de estudios.

(7)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 7 de 138

1 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1.1. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEORGE POLYA

OBJETIVOS

Identificar los pasos del modelo de Polya utilizado para resolver un problema. Describir las estrategias para resolver problemas

Aplicar el modelo de Polya a la resolución de problemas. COMPETENCIAS

 Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos.

 Desarrollo y profundización del pensamiento lógico matemático.

 Identificación de regularidades, modelos y estructuras matemáticas en procesos y

situaciones problémicas.

 Capacidad comunicativa en lenguaje matemático.

 Habilidad de conversión de un objeto matemático a los diferentes lenguajes,

registros y representaciones matemáticas, cuando sea posible.

1.2. DESARROLLO TEMÁTICO:

GEORGE POLYA: ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fue maestro en el Instituto Tecnológico Federal en Zúrich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en EE.UU. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942. En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos:

1. Entender el problema. 2. Configurar un plan 3. Ejecutar el plan 4. Mirar hacia atrás

Las aportaciones de Polya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15 idiomas, introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Polya son Descubrimiento

(8)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 8 de 138 Matemático, Volúmenes I y II, y Matemáticas y Razonamiento Plausible, Volúmenes I y II. Polya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas. El Método de Cuatro Pasos de Polya.

Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio.

Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 +2 o bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ".

Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender conceptos, propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas. Como apuntamos anteriormente, la más grande contribución de Polya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver problemas. A continuación presentamos un breve resumen de cada uno de ellos y sugerimos la lectura del libro "Cómo Plantear y Resolver Problemas" de este autor (Editorial Trillas).

Paso 1: Entender el Problema.

 ¿Entiendes todo lo que dice?

 ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?

 ¿Distingues cuáles son los datos?

 ¿Sabes a qué quieres llegar?

 ¿Hay suficiente información?

 ¿Hay información extraña?

 ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

Paso 2: Configurar un Plan.

¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).

1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). 2. Usar una variable.

(9)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 9 de 138 4. Hacer una lista.

5. Resolver un problema similar más simple. 6. Hacer una figura.

7. Hacer un diagrama

8. Usar razonamiento directo. 9. Usar razonamiento indirecto.

10. Usar las propiedades de los Números. 11. Resolver un problema equivalente. 12. Trabajar hacia atrás.

13. Usar casos

14. Resolver una ecuación 15. Buscar una fórmula. 16. Usar un modelo.

17. Usar análisis dimensional. 18. Identificar sub-metas. 19. Usar coordenadas. 20. Usar simetría. 21. Usar coordenadas

Paso 3: Ejecutar el Plan.

 Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el

problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.

 Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita

una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).

 No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una

nueva estrategia conducen al éxito. Paso 4: Mirar hacia atrás.

 ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?

 ¿Adviertes una solución más sencilla?

 ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue, algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas.

Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas:

(10)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 10 de 138 2. Reescribe el problema en tus propias palabras.

3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...

4. Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias. 5. Si es apropiado, trata el problema con números simples.

6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo. 7. Analiza el problema desde varios ángulos.

8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar

9. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito.

10. No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.

11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá.

12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema.

Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución. 13. Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave

en tu solución.

14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 a años después.

15. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.

16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.

1.3. USO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Existen varias estrategias para resolver problemas. Cada vez que te enfrentes a uno de ellos, debes preguntarte: “¿hay otra manera de hacerlo?” Si tu respuesta es afirmativa, procede en la forma que has pensado; comprobarás que muchas veces utilizamos una combinación de dos o más estrategias para resolver un problema. A continuación describiremos algunas estrategias para resolver problemas y enunciaremos algunos ejemplos para su análisis: ENSAYO Y ERROR

Esta estrategia te ayuda cuando no conoces otra. En esencia, consiste en realizar varios intentos para llegar a la solución.

(11)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 11 de 138 1. Elegir un valor (resultado, operación o propiedad) posible.

2. Llevar a cabo con éste valor las condiciones indicadas por el problema. 3. Probar si hemos alcanzado el objetivo buscado.

Ejemplo 1: Calcula un número que al elevarlo al cuadrado y sumarle el número buscado, nos dé 132.

Solución:

1. Comprender el problema:

Interpretación: Se va hallar un número que al elevarlo al cuadrado y sumarle el mismo número nos dé como resultado 132.

Datos conocidos:

 Resultado de la suma: 132

 Planteamiento de la suma

Datos desconocidos:

 Cantidad a hallar bajo unas condiciones

2. Desarrollar un plan: Estrategia: Ensayo y error

Descripción: Se elige un valor entre 10 y 20, luego se pone a prueba las condiciones del problema, hasta encontrar el número que las cumpla; puesto que 132 es mayor que el cuadrado de 10.

3. Ejecutar el plan:

102_{+ 10 = 100 + 10 =110}

112_{+ 11 = 121 + 11 = 132}

Respuesta: el número que cumple las condiciones es 11. 4. Comprobación:

Verificando los cálculos con una calculadora se puede demostrar que ese es el número pedido.

Esta estrategia puede ser puesta en práctica de formas diferentes, estas son: 1. Ensayo y error fortuito: realizado sin pautas o al azar.

2. Ensayo y error sistemático: los valores no se eligen al azar, sino de manera ordenada, de forma que eliminemos las posibles repeticiones de ensayo agotando las soluciones hasta encontrar lo que buscamos.

3. Ensayo y error dirigido: en él contrastamos cada respuesta para ver si estamos más cerca o más lejos del objetivo buscado.

Ejemplo 2:

(12)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 12 de 138 De modo que obtengas 257 como resultado. Los dígitos no se pueden repetir y se tienen que presentar en el mismo orden que aparecen.

Solución:

Interpretación: Se establece que los números son compuestos solo hay que usar los símbolos de suma y resta, utilizar los dígitos una vez y seguir el orden en que aparecen. 3, 5, 9, 1, 0, 5 y 3. Además, el resultado tiene que ser 257.

Datos conocidos:

 Solo se pueden hacer operaciones de suma y resta

 Dígitos dados en el siguiente orden: 3 5 9 1 0 5 3

 Resultado de la operación: 257

 Los dígitos no se pueden repetir

Datos desconocidos:

 Las combinaciones de las operaciones en un orden específico que cumpla con el

resultado dado. 2. Desarrollar un Plan Estrategia: Ensayo y error

Descripción: El plan que conviene utilizar es tantear colocando los símbolos de suma y resta en posiciones diferentes. Como el resultado tiene tres dígitos, 257, cabe suponer que al menos una cifra tiene tres dígitos y está entre 100 y 300.

3. Llevar a cabo el Plan

A partir de 359 se pueden agrupar los números en esta forma:

359 + 10 – 53 = 316; entonces, esta combinación no funciona. Luego, se intenta con 105, ya que 910 está muy lejos, y resulta;

35 + 9 + 105 – 3 = 146; este ejercicio tampoco da 257. Por último, se prueba una combinación con 359 y 105:

359 – 105 + 3 = 257; ¡es el arreglo correcto! Respuesta: 359 – 105 + 3 = 257

4. Comprobar:

Obviamente se puede ver que las condiciones del problema se cumplen.

Ejemplo 3: Judith y Teodoro fueron de visita a la granja de su abuelo. Durante su estancia vieron un corral con cerdos y gallinas. Teodoro dijo haber contado 18 animales en total. Judith afirma haber contado un total de 50 patas ¿Cuántos cerdos había? (sin utilizar ecuaciones).

(13)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 13 de 138 Solución:

Ensayo y error fortuito: Damos valores al azar.

Cerdos Gallinas Patas

14 4 64

12 6 60

10 8

Etc.

De forma sistemática: Se van dando valores de forma sistemática 1,2, 3, etc.

1 17 38

2 16 40

3 15

Etc. De forma dirigida:

10 8 56 (nos hemos pasado) sobran

cerdos

9 9 54 “ “ “ “

8 10 52 “ “ “ “

7 11 50 es la solución

1.4. DESCUBRIR UN PATRÓN:

Te ayuda a describir algo que ocurre en repetidas ocasiones. Un patrón en un problema se puede presentar como un comportamiento en el cual una misma cantidad se sume, reste, multiplique o divide. En otras ocasiones el patrón no tiene que ver con números, sino con figuras geométricas, letras o comportamientos.

Ejemplo:

Para cada uno de los patrones siguientes, determina los dos términos que siguen: a. 1, 3, 5, 7, …

b. 1, -2, 3, -4, …

c. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … d. 3, 12, 48, 192, … e.

(14)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 14 de 138 Solución:

a. 9 y 11. Cada número es impar positivo.

b. 5 y -6. El valor absoluto de cada número es uno más que el anterior. Los números son alternos en signos.

c. 21 y 34. A partir del tercer número cada uno es la suma de los dos anteriores. (Nota: este patrón se conoce como la sucesión de Fibonacci)

e.

Resolvamos el inciso d utilizando los pasos de Polya: 1. Comprender el problema:

Interpretación: dada la serie 3, 12, 48, 192, … determinar los dos números siguientes. Datos conocidos: 3, 12, 48, 192, …

Datos desconocidos: los números que ocupan el quinto y sexto puesto de la serie dada. 2. Desarrollar un plan:

Estrategia: descubrir un patrón

Descripción: se observa en la serie dada que cada número es el producto de 4 por el número anterior. 3. Ejecutar el plan: 1er puesto: 3 2° puesto: 4(3)= 12 3er puesto: 4(12)=48 4to puesto: 4(48)=192 5to puesto: 4(192)=768 6to puesto: 4(768)= 3072.

Respuesta: 768 y 3072 son los números pedidos. 4. Comprobar:

Trabajando hacia atrás dividiendo el último número entre cuatro nos da el anterior y así sucesivamente.

1.5. DE ATRÁS HACIA ADELANTE

Esta estrategia también se conoce como comenzar por el final. Es útil cuando tienes que comenzar por la conclusión del problema y trabajar hacia delante.

Ejemplo:

El manatí que cuidaban en la Parguera, atrajo a muchas personas. El primer día acudieron a verlo 80 espectadores menos que el segundo. El segundo día fueron 250 personas menos que

(15)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 15 de 138 el tercero. En éste acudieron 50 personas más que el cuarto. Al cuarto día fueron 500 personas. ¿Cuántos espectadores vieron el manatí el primer día?

Solución:

1. Comprender el Problema

Interpretación: Se desea determinar el número de personas que fueron a ver el manatí el primer día. Se sabe que ese día fueron 80 espectadores menos que el segundo, cuando fueron 250 menos que el tercero. Durante éste acudieron 50 personas más que el cuarto día, en el que se presentaron 500 personas.

Datos conocidos:

 Cantidad de espectadores el cuarto día: 500 personas

Datos desconocidos:

 Cantidad de personas que vieron el manatí el primer día

2. Desarrollar un Plan

Estrategia: De atrás hacia adelante.

Descripción: Como se conoce la cantidad que fue el cuarto día, se calcula cuantos fueron el tercero, el segundo y por último el primer día haciendo las operaciones respectivas.

3. Llevar a cabo el Plan

Si se sabe que el cuarto día fueron 500 personas y el tercero 50 más, cabe concluir que ese día hubo 550 asistentes. Con este dato y el hecho de que el segundo día fueron 250 personas menos que el tercero, se obtiene que la asistencia del segundo día fue de 300 personas. Para determinar la cantidad que acudió el primer día, solo queda restar 80 a la cantidad del segundo día, esto da 220 personas.

Respuesta: el primer día acudieron 220 personas. 4. Comprobar:

Este procedimiento también se pudo organizar haciendo uso de la estrategia elaboración de una tabla: DIA ASISTENCIA CUARTO 500 TERCERO 500 + 50 = 550 SEGUNDO 550 – 250= 300 PRIMERO 300 – 80 = 220

1.6. ELABORACIÓN DE UNA LISTA O TABLA

Con esta estrategia puedes llevar la cuenta de los números, datos y combinaciones de números en forma organizada. Una tabla es un arreglo rectangular de la información, acomodada en filas y columnas.

(16)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 16 de 138 Ejemplo:

Los estudiantes de una clase de Botánica llevaron 300 hojas para estudiar sus características y propiedades curativas. La clase analizó 10 hojas el primer día, el segundo estudió 15, el tercero 20 hojas y así sucesivamente. ¿Alrededor de cuántos días tardarán en estudiar todas las hojas?

Solución:

Interpretación: En este caso se dice que la clase estudió 10 hojas el primer día, 15 el segundo, 20 el tercero y así sucesivamente. Además, la cantidad total de hojas que tienen que estudiar es 300. Se desea saber cuántos días más o menos tardarán en estudiar todas las hojas. Datos conocidos:

 Total de hojas: 300

 Cantidad de hojas analizadas el primer día: 10

 Cantidad de hojas analizadas el segundo día: 15

 Cantidad de hojas analizadas el tercer día: 20

Datos desconocidos:

 Total de días para estudiar todas las hojas

2. Desarrollar un Plan: Estrategia: hacer una tabla

Descripción: Se observa que la cantidad de hojas por estudiar aumenta cinco cada día. Esto define un patrón. Una vez descubierto, se pueden organizar los datos en una tabla con tres columnas. La primera se refiere al día que estudiaron las hojas, la segunda a la cantidad de hojas que analizaron ese día y la tercera representa la cantidad de hojas acumuladas. De esta manera se continúa el patrón hasta llegar a la solución.

3. Llevar a cabo el Plan:

En este paso se prepara la tabla mencionada:

DIA _ESTUDIADASHOJAS TOTAL DE HOJAS _ESTUDIADAS

1 10 10 2 15 25 3 20 45 4 25 70 5 30 100 6 35 135 7 40 175 8 45 220 9 50 270 10 30 300

(17)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 17 de 138 Respuesta: se necesitan 10 días para estudiar todas las hojas.

4. Comprobar:

Revisa si la respuesta tiene sentido. Observa que el patrón continúa hasta el noveno día y cambia en el décimo porque solo quedan 30 hojas por estudiar.

En conclusión, el grupo demorará aproximadamente unos diez días en estudiar las 300 hojas.

1.7. GRÁFICOS

En tu bolsillo tienes 5 monedas de diferentes denominaciones: 50, 100, 200, 500 y 1000 pesos. ¿Cuántas cantidades distintas puedes formar?

Interpretación: Se tienen 5 monedas de diferentes valores en el bolsillo con las cuales se pueden formar diferentes cantidades.

Datos conocidos:

 Cantidad de monedas y su denominación: Cinco monedas de 50, 100, 200, 500 y 1000

pesos

Datos desconocidos:

 Cantidad que se pueden formar con las cinco monedas.

 Cantidad de números diferentes que se pueden formar

2. Desarrollar un plan: Estrategia: Gráficos

Descripción: Se hará una representación gráfica que muestre las combinaciones entre las cinco monedas, diferenciando las que no se tiene con las que se tiene con un menos, luego sumaremos cada combinación posible para determinar las cantidades.

3. Ejecutar el plan

Respuesta: 32 números diferentes 4. Comprobación:

Siguiendo cada rama, podemos sumar los valores de las monedas dando como resultado las cantidades que se podrían formar en el bolsillo, al final se cuentan dando como resultado 32 cantidades diferentes que se pueden formar.

(18)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 18 de 138 Cuando se conoce la relación entre dos o más cantidades, ésta se puede representar mediante una expresión matemática conocida como una fórmula. En estos casos, las cantidades se representan con símbolos mejor conocidos en matemáticas como variables y su relación, con una igualdad.

Ejemplo:

Jaime, Gissella, Silvia y Carlos desean cancelar su matrícula de ingreso a la Universidad del Magdalena. Averiguan que la liquidación para alumnos nuevos en sus respectivos programas puede realizarse a través de la fórmula emitida por el acuerdo superior No. 017 en la cual se reglamenta que el valor de los derechos de matrícula puede calcularse así:

Además deben tener en cuenta el factor del programa, el factor estrato socio-económico y el factor del colegio de procedencia, los cuales pueden determinarse a través de los valores de las tablas:

(19)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 19 de 138 FACTOR DEL PROGRAGAMA ACADÉMICO

FACTOR ESTRATO SOCIO-ECONÓMICO

(20)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 20 de 138 Donde:

Jaime y Silvia pertenecen a los programas de Ciencias Empresariales (Contaduría) e Ingeniería (Ambiental) y provienen de Colegios privados y pertenecen a los estratos 4 y 5 respectivamente, mientras que Carlos y Gisella de los programas de Ciencias de la educación (Licenciatura en Educación básica con énfasis en informática) y Ciencias básicas (biología) de estrato 2 y 3 respectivamente y de colegios públicos.

La pensión de Jaime en el grado 10 fue de $180.000 y en grado 11 de $ 225.000. Para Silvia, el valor de la pensión en grado 10 era de $200.000 y en grado 11 de $ 280.000. Determina cuánto dinero debe cancelar cada estudiante una vez liquidada su matrícula.

Solución:

Interpretación: El problema nos habla de cuatro estudiantes: Jaime, Gissella, Silvia y Carlos que van a ingresar a la Universidad del Magdalena y desean saber cuál es el costo de la matrícula, para su cálculo existe el acuerdo superior No. 017 en la cual se reglamenta el cobro de éstos derechos mediante una fórmula y unas tablas en el que se deben tener en cuenta el factor del programa, el factor estrato socio-económico y el factor del colegio de procedencia, además de los valor de la pensión de los últimos dos grados.

Datos conocidos:

 Estudiante Jaime: programa admitido: Contaduría, proviene de colegio privado,

estrato 4, pensión en el grado 10 fue de $180.000 y en grado 11 de $ 225.000.

 Estudiante Silvia: programa admitido: Ingeniería ambiental, proviene de colegio

privado, estrato 5, pensión en grado 10 era de $200.000 y en grado 11 de $ 280.000.

 Estudiante Carlos: programa admitido: Licenciatura en educación, proviene de colegio

público, estrato 2.

 Estudiante Gisella: programa admitido: Biología, proviene de colegio público, estrato

3.

 Valor del salario mínimo legal mensual vigente a la fecha.

Datos desconocidos:

 El valor que cada estudiante debe cancelar una vez liquidada su matrícula.

2. Desarrollar un plan:

Estrategia: Usar razonamiento directo y buscar una fórmula. Descripción: La fórmula que debe utilizarse será:

(21)

Además se tendrán en cuenta los valores correspondientes a cada factor anotados en las tablas.

Para calcular el valor de la matrícula de Jaime se procede así: Valor matrícula = (1,337 + 0,15000 + 0,229007633) 𝑥 589.500 Valor matrícula = (1,716007633) 𝑥 589.500 = 1.011.586,5

Para calcular el Factor del colegio de procedencia = [(180.000_589.500) + (225.000_589.500)] ÷ 3.0 Factor del colegio de procedencia

= (0,305343511 + 0,381679389) ÷ 3,0 = 0,6870229_3,0 = 0,229007633

Para determinar el costo de la matrícula de Gisella se procederá así: Valor matrícula = (1,337 + 0,15000 + 0,060) 𝑥 589.500 Valor matrícula = (1,547) 𝑥 589.500 = 911.956,5

Respuesta: el valor de la matrícula de Jaime es de $ 1.011.586,5 y el de Gisella es $ 911.956,5

Nota: Así mismo puedes determinar el valor de la matrícula que debe cancelar Silvia y Carlos.

4. Comprobar:

Se comprueba utilizando la calculadora para determinar el valor de la matrícula.

1.9. ANALOGÍA O SEMEJANZA

Consiste en la búsqueda de semejanzas (parecidos, relaciones, similitudes) en el “archivo” de la experiencia, con casos, problemas, juegos etc. que ya se hayan resuelto.

A veces, ante la situación que nos ocupa, nos podemos preguntar: ¿A qué nos recuerda? ¿Es como aquella otra?

Es muy bueno, a fin de encontrar un buen asidero que nos proporcione confianza, buscar situaciones semejantes a la propuesta. Al hacerlo, probablemente, surgirán procedimientos de ataque de dichas situaciones semejantes, que nos proporcionarán estrategias válidas para la que nos ocupa.

(22)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 22 de 138 Esta búsqueda será más fácil cuanta más experiencia tengamos en la resolución de problemas.

Esta estrategia suele ir asociada a la particularización y la generalización. 1 Ejemplo: Calcular el área lateral del tronco de cono que aparece en la figura 1.1.1

1.1.2 Solución:

1. Comprender el problema.

Interpretación: Se pide hallar el área lateral del tronco de cono de la figura adjunta Datos conocidos: radio de la base mayor R y el de la base menor r, y altura H. Datos desconocidos: Área lateral

Estrategias: razonamiento directo- uso de analogías o semejanzas.

Descripción: La figura seccionada verticalmente se parece a un trapecio (estamos utilizando la analogía); luego el área del trapecio es igual a:

altura basemenor Basemayor A  ] 2 [

h= lado generatriz del tronco de cono: h H2 (Rr)2 Luego: Area 2 R2 r H 



Rr



2 2 2   ¿Será cierto? 4. Comprobar:

Reemplace y calcule una de las dimensiones dadas, es decir trabajar hacia atrás.

1.10. SIMPLIFICAR, PARTICULARIZAR

Consiste en pasar de la consideración de un conjunto de objetos dado a considerar un conjunto más pequeño (o incluso un solo objeto) contenido en el conjunto dado. Particularizar significa simplificar el problema haciéndolo más concreto y específico, hasta que sea posible hacer algún progreso.

A veces te encuentras con un problema que resulta difícil por su tamaño, por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. En este caso se puede empezar construyendo un problema semejante más sencillo, tratar de resolverlo y luego proceder a complicarlo hasta llegar al propuesto inicialmente.

(23)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 23 de 138 Es una de las mejores estrategias para los principiantes, pues sirve para adquirir confianza y, en otros casos, proporciona ayuda en los atascos y bloqueos y nos permite entrar en materia manipulando los datos.

Se utiliza en la técnica de demostración lógica denominada “contraejemplo”: basta encontrar una sola excepción para refutar de forma irrevocable lo que pretende ser una regla o una afirmación de carácter general.

La particularización puede hacerse al azar para entender el significado del problema o de forma sistemática para preparar el terreno hacia la generalización.

Acude a ésta estrategia cuando no poseas ninguna idea que te haga prosperar, ya que en múltiples ocasiones te permitirá lograr un avance.

Puede ir relacionada con otras estrategias como: la generalización, la modificación del problema, la experimentación.

Ejemplo

16 jugadores de tenis participan en un sorteo para emparejarse entre sí en la primera ronda. ¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos?

Solución:

Interpretación: Hay 16 jugadores de tenis participando en un torneo, los cuales necesitan emparejarse entre sí en la primera ronda. Hallar el número de emparejamientos posibles. Datos conocidos: número de jugadores: 16

Datos desconocidos: número de emparejamientos posibles 2. Desarrollar un plan:

Estrategia: simplificar

Descripción: Como el número de jugadores es elevado, comenzamos primero con dos jugadores; en el cual claramente hay una sola forma. Si el número de jugadores es 3, tenemos 3 emparejamientos y así sucesivamente hasta encontrar el número posible de emparejamientos sin pasar los 16.

Anteriormente se mencionó que pasaba si habían dos y tres jugadores, ahora probemos si los jugadores son 4, tenemos los siguientes 6 grupos: (1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4) y (3,4). Si los jugadores son 6, aparecen 15 grupos (compruébalo)

Respuesta: Con 6 jugadores, aparecen 15 grupos. 4. Comprobar:

(24)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 24 de 138 Otra forma de resolver el problema es visualizar las diversas situaciones en diagramas y sacar conclusiones 1 2 1 2 3 4 1 NO SÍ 1 NO SÍ SÍ SÍ 2 NO NO 2 NO NO SÍ SÍ 3 NO NO NO SÍ 4 NO NO NO NO

2 jugadores; un emparejamiento 4 jugadores; 6 emparejamientos

1.11. ORGANIZACIÓN, CODIFICACIÓN

La organización, en general, consiste en adoptar un enfoque sistemático del problema. Suele ser de gran ayuda enfocar el problema en términos de tres componentes fundamentales: antecedentes (origen y datos), el objetivo y las operaciones que pueden realizarse en el ámbito del problema.

Las técnicas asociadas a la organización pasan por realizar: símbolos apropiados, croquis, gráficos, figuras, diagramas y esquemas. Estos símbolos o dibujos no se reservan al uso exclusivo de la geometría; pueden ayudar en todo tipo de problemas, ya que las figuras trazadas sobre el papel son fáciles de hacer, de conocer y de recordar.

Las figuras que te formes del problema deben incorporarse de forma sencilla a los datos relevantes y de esta manera, suprimir los hechos que pueden conducir a confusión. De ésta forma pueden quedar resaltadas visualmente las relaciones entre los aspectos más importantes del problema, y de ahí muy a menudo se desprenden luces que clarifican sustancialmente la situación.

Una buena organización suele ir asociada con la elección de una notación o código que organice la búsqueda de posibles caminos hacia la solución.

Las diferentes notaciones y códigos nos conducen a utilizar un determinado lenguaje. Los lenguajes que resultan útiles en la resolución de problemas son: el lenguaje de la Lógica el de las Matemáticas (geométrico, algebraico, analítico, probabilístico etc.), el analógico (modelos, manipulaciones etc.) y el imaginativo o pictórico (figuras, esquemas, diagramas etc.). Una buena organización es un buen punto de arranque y a veces allí se encuentra la clave del éxito.

Ejemplo:

(25)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 25 de 138 10 =1+1+1+7; 10 = 1+1+3+5; 10 = 1+3+3+3;

, tenemos tres formas (los cambios de orden en los números no cuentan como nuevas soluciones). Para obtener 20 con 8 sumandos impares ¿Cuántas formas hay?

Desde luego hay que organizarse un poco y ser sistemático:

20= 1+1+1+1+1+1+1+13; 20=1+1+1+1+1+1+7+7; 20 = 1+1+1+1+1+1+3+11; , así llegamos hasta 11 combinaciones posibles ¿Te atreves?

1.12. CODIFICACIÓN:

Ejemplo

Se tiene 3 cajas iguales y 5 guantes de la mano izquierda, todos ellos iguales ¿De cuántas maneras se pueden distribuir en las tres cajas?

Solución:

Interpretación: Se quiere saber de cuantas maneras se puede distribuir en tres cajas iguales 5 guantes de la mano izquierda.

Datos conocidos:

 Número de cajas: 3

 Número de guantes:5

Datos desconocidos:

 Número de posibilidades de distribuir en las tres cajas los 5 guantes

2. Desarrollar un plan: Estrategia: Codificación

Descripción: Después de jugar un poco con el problema se puede llegar a definir un código que nos organice la búsqueda. Representaremos por A los guantes y las cajas por B luego empezaremos a hacer las diferentes combinaciones.

La secuencia BAA BA BAA nos indica que en la 1ª caja hay dos guantes, en la 2ª un guante y en la 3ª dos guantes. Quizás este código nos resulte más fácil de manejar y así resolver el problema.

Respuesta: hay 9 formas 4. Comprobar:

Usa la estrategia gráfica y verifica la respuesta.

1.13. RESOLVER UNA ECUACIÓN:

(26)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 26 de 138 Frecuentemente cuando se aplica la estrategia de usar una variable en la resolución de problemas, tal representación conlleva a una ecuación que puede ser de tipo lineal o cuadrática.

Veamos el siguiente ejemplo:

José es propietario de una finca en la cual cría conejos y gallinas. Para establecer el número de animales que posee, manda a uno de sus empleados a realizar el conteo de estos. Al regresar el empleado dice a José: “Contando todas las cabezas de los animales usted tiene 60; pero si cuenta las patas el resultado es de 188”. ¿Cuántos Conejos y cuántas gallinas tiene José en su finca?

Solución:

Interpretación: José es propietario de unos conejos y de unas gallinas, al mandar a un empleado a contar la cantidad de Conejos y gallinas éste le responde: “Contando todas las cabezas de los animales usted tiene 60; pero si cuenta las patas el resultado es de 188”. ¿Cuántos Conejos y cuántas gallinas tiene José en su finca?

Datos conocidos:

 Número de cabezas: 60

 Número de patas: 188

Datos desconocidos:

 Número de conejos y gallinas

2. Desarrollar un plan.

Estrategia: resolver una ecuación

Descripción: Se aplicará la estrategia de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, para ello debe asignarse variables así:

Sea 𝑥 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑦 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑎𝑠 3. Ejecutar el plan:

Se deben plantear dos ecuaciones teniendo en cuenta los datos conocidos así: {_{4𝑥 + 2𝑦 = 188 (2)( 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑦 𝑝𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑎𝑠)}𝑥 + 𝑦 = 60 (1) (𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑏𝑒𝑧𝑎𝑠) La solución del sistema se realiza aplicando el método de reducción:

{𝑥 + 𝑦 = 60 . (−2)

4𝑥 + 2𝑦 = 180 . ( 1) Luego: −2𝑥 − 2𝑦 = −120

4𝑥 + 2𝑦 = 188 ____________________ 2𝑥 = 68

(27)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 27 de 138 34 + 𝑦 = 60. Entonces: 𝑦 = 60 − 34 = 26.

Respuesta: hay 34 conejos y 26 gallinas. 4. Comprobación:

Se realiza reemplazando los valores obtenidos en la ecuación (1) y (2): 𝑥 + 𝑦 = 60

34 + 26 = 60

1.14. USAR LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS U OPERACIONES

MATEMÁTICAS

Entender la naturaleza intrínseca de los números a menudo es útil en la solución de problemas. Para resolver problemas donde intervienen cálculos numéricos u operaciones matemáticas, es importante establecer las relaciones que existen entre los datos suministrados.

Ejemplo:

Cristina desea remodelar la sala de su casa que tiene 7, 8 m de largo por 3 m de ancho, con baldosas cuadradas lo más grande posibles. ¿Cuánto debe medir el lado de cada baldosa si al colocarlas se desea que no se rompa ninguna?

Solución:

Interpretación: La sala de Cristina va a ser remodelada, tiene dimensiones de 7, 8 m de largo por 3 m de ancho, con baldosas cuadradas lo más grande posibles. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada baldosas para que al colocarlas no se rompa.

Datos conocidos:

 El largo de la sala 7, 8 m y el ancho de 3 m.

Dato desconocido:

 Longitud del lado de la baldosa cuadrada

Estrategia: uso de las propiedades de los números.

Descripción: Para efectuar los cálculos, se expresará el largo y el ancho en centímetros, es decir, 7, 8 m = 780 cm y 3 m = 300 cm. Para determinar la medida del lado de la baldosa de tal manera que al colocarlas no se rompa ninguna, se requiere establecer un número exacto de veces en 780 cm y 300 cm, por lo tanto se debe buscar números que dividan exactamente a la vez ambos números, es decir, divisores comunes. Como la baldosas debe ser lo más grande posible, se debe elegir el mayor de los divisores comunes que corresponde al máximo común divisor de 780 y 300.

3. Ejecutar el plan: En consecuencia:

(28)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 28 de 138 780 300 2

390 150 2 Respuesta: el lado de la baldosa debe medir 60 cm 195 75 3

65 25 5 13 5 4. Comprobar:

Si divide cada dimensión, largo y ancho, por el número hallado dará un valor exacto lo cual indica que ninguna baldosa se romperá al ser instalada.

1.15. EJERCICIOS PROPUESTOS

Resuelve cada uno de los ejercicios utilizando el mayor número de estrategias para la solución de problemas

1. Cuatro patinadores participan en un torneo, razón por la cual compiten en una pista

circular recorriéndola totalmente en 8, 10, 12 y 15 segundos, respectivamente. Si parten juntos, ¿en cuántos minutos se encontrarán en la partida?

2. Un ratoncito sale de su hueco hacia el hueco de su ratoncita dando saltos de 11cm.Luego

regresa dando saltos de 7cm; pero habiendo recorrido en total 1,23m.se detiene a descansar ¿Cuánto le falta aún por recorrer?

3. Álvaro, Juan, Daniela y Laura son estudiantes antiguos de la universidad del Magdalena.

Al inicial semestre desean liquidar su matrícula para el año 2013, sabiendo que ésta puede realizarse con base en el acuerdo superior 024 del 23 de junio del 2009, el cual establece que el valor de la matrícula se determina mediante la fórmula:

(29)

FACTOR ESTRATO SOCIO-ECONÓMICO

El Colegio de procedencia se estimará de la siguiente manera:

(30)

Si se sabe que: Álvaro pertenece al programa de medicina, procede de colegio privado y la pensión de escolaridad en el grado 10 era de $300.000 y en el grado 11 de $ 350.000 y de estrato 5. Daniela pertenece al programa de derecho, de colegio privado y la pensión en el grado 10 era de $225.000 y en grado 11 de $240.000 y de estrato 4. Mientras que Juan y Laura provienen de colegios oficiales de estratos 2 y 3 respectivamente y de los programas de Ingeniería Civil y Antropología ¿Cuánto dinero debe cancelar cada estudiante al inicio del semestre?

Selecciona un estudiante del programa de Ingeniería Ambiental, Negocios Internacionales y Economía y realiza la respectiva liquidación teniendo en cuenta:

a. El acuerdo 024 b. El acuerdo 017 Para ello considera que: a. Pertenece al estrato 3

b. Proviene de institución educativa de carácter oficial (No privado)

Establece semejanzas y diferencias entre ambas liquidaciones. ¿Dónde la liquidación es mayor? ¿Dónde es menor? ¿Por qué? Realiza tu propia liquidación con el acuerdo 017.

4. Andrea desea azar en una parrilla tres arepas. En la parrilla caben dos arepas a la vez,

pero solo se puede azar por un lado. Se tarda 30 segundos en asar una cara de una arepa, 5 segundos en colocar una arepa, o en sacarla y tres segundos en darle la vuelta. ¿Cuál es el mínimo de tiempo que se necesita para asar las tres arepas por ambas caras?

5. En las inmediaciones de la isla de Salamanca hubo un derrame de aceite de palma. Tal

hecho ha ocasionado la muerte de muchas especies que allí habitan. Se cree que se derramaron parte de los 1, 5 millones de galones de aceite. Los 1, 5 millones de galones de aceite caben en 125 carro tanques. ¿Cuál es la cantidad de aceite contenida en cada carro tanques?

6. Camilo tiene una caja de chocolates y desea compartirla con sus mejores amigos. A

Cristina regala la mitad de sus chocolates más uno, a José la mitad de los chocolates que le quedaron más uno y a Carlos la mitad de los que le quedaban más uno. Si a Camilo aún le queda un chocolate, ¿cuántos chocolates tenía la caja al inicio?

(31)

7. Muchos ceros. ¿En cuántos ceros termina el número100! =100x99x98x....x4x3x2x1?

Nota: Como el resultado de 100! , es un número muy grande, intenta primero resolver el problema análogo para 10!= 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1

8. Lucía viajó 125 millas en dos días. El segundo día viajó 23 millas más que el primero.

¿Cuántas millas viajó cada día?

9. Sumar quince: Nueve fichas numeradas del 1 al 9, se ponen sobre la mesa. Juegan dos

jugadores. Cada uno coge una ficha por turno. Gana el primero que sume 15. Intenta elaborar dos estrategias que puedan conducir a la victoria: una para usarla si eres tú el primero en comenzar y otra si te toca en segundo lugar.

10. Discos: Se tienen dos discos circulares. En la cara superior de cada uno de ellos hay escrito un número. En la otra cara tiene escrito otro número. Si lanzamos los dos discos al aire y sumamos los dos números, podemos obtener estos resultados: 11, 12, 16

y 17. Investiga qué números están escritos en la cara oculta de cada disco. Prueba ahora con estos tres discos sabiendo que los resultados que se obtienen son :

15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23.

¿Y si los resultados obtenidos fuesen 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20,21, qué números estarían escritos en la cara oculta de cada disco?

11. Un cajero contó 248 billetes. Solo tiene billetes de $20.000 y $ 5.000 y en total hay $ 2 215 000. ¿Cuántos billetes de $20.000 y de $ 5.000 hay?

12. Canelo es un asno glotón. Su dueño lo ha atado con una cuerda de 15 m de largo en el centro de un prado de forma cuadrada de 30 m de lado. Calcula la superficie de la parte del prado en la que no puede comer Canelo porque se lo impide la cuerda.

13. Luís pesa menos que Antonio, pero más que Pablo. Pablo pesa menos que Luís, pero más que Esteban. ¿Quién pesa más y quién le sigue en este orden?

14. Llegan 9 personas a un baile y cada una le da un apretón de manos a la otra. ¿Cuántos apretones de manos se dan en total?

15. La edad de un padre y la de su hijo suman 47 años. Si dentro de 14 años el padre tendrá el duplo de la edad del hijo, ¿cuál es la edad del padre?

(32)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 32 de 138 16. Julia tiene un carro pequeño que le rinde 30 kilómetros por galón en el pueblo, y 36

kilómetros por galón en el expreso. El tanque de su carro tiene capacidad de 15 galones, la gasolina regular cuesta a $ 0.28 el litro y la premiun a $ 0.32 el litro. ¿Cuánto le costará llenar el tanque de su auto con gasolina regular? (ayuda: 1 galón es aproximadamente

equivalente a 1 galón = 3,7854118 litros).

17. La señora Martínez desea sembrar amapolas en el patio de su casa de modo que formen una verja recta. La distancia que desea cubrir mide 30 pies. El jardinero le indica que estas flores deben sembrarse a 2 pies de distancia entre ellas. ¿cuántas debe comprar para cubrir la verja de extremo a extremo si desea sembrar la primera amapola en uno de los extremos?

18. En el salón de historia están estudiando las banderas de los países de las Américas. Cada día estudian algunas y aprovechan para estudiar la topografía del país. El quinto día estudiaron 2 países más que el cuarto día. El cuarto día estudiaron tres países menos que el tercer día. El tercer día estudiaron la misma cantidad de países que estudiaron el segundo día. El segundo día estudiaron cuatro países. El primer día estudiaron un país menos que en segundo día. ¿Cuántos países estudiaron en total?

19. En un edificio de 4 pisos vive la familia Sánchez, Arteaga, Martínez y Castro. La familia Sánchez vive entre las familias Arteaga y Castro. La familia Sánchez vive dos pisos más arriba que la familia Martínez. Las familias viven en pisos diferentes. ¿En qué piso vive la familia Martínez?

20. Guillermo va al casino semanalmente. La primera semana triplicó su dinero, pero luego perdió $ 12.000. A la semana siguiente llevó el dinero que le sobraba, lo duplicó, pero después perdió $ 40.000. Habiendo guardado el dinero que le quedó, la semana siguiente lo intentó una vez más y cuadruplicó su dinero, con tanta suerte que no perdió nada y pudo regresar a casa con el total, que ascendía a $ 224.000. ¿Con cuánto dinero comenzó en la primera semana?

21. El sueldo anual de Miguel ha aumentado la misma cantidad en los últimos años. Su sueldo era de $18 000 anuales el primer año de trabajo. Si el séptimo año ganaba $24000. ¿Cuántos años lleva en el trabajo si ahora gana $30 000 anuales?

22. Las agendas para el próximo año escolar están en oferta. Los precios son independientes del color, pero dependen del tamaño. Si compras entre una o tres agendas del tamaño regular, cuestan $47 cada una. Si compras entre 4 y 24 de las mismas, cuestan $39.75 cada una. La agenda de bolsillo tiene los siguientes precios, entre una y tres cuestan $16.95, entre 4 y 24 cuestan $13.50. Para el día del ejecutivo, el presidente de JOTA MATEMAT decide comprar estas agendas para sus empleados. Si compra diez agendas de bolsillo color marrón y dos agendas negras de tamaño regular. ¿cuánto se ahorró?

(33)

1.16. BIBLIOGRAFIA

 CAMPISTROUS, L., RIZO, C. “Aprende a resolver problemas aritméticos” (1996)

Editorial Pueblo y Educación.

 RODRIGUEZ, J., CARABALLO, A., CRUZ, T., HERNANDEZ, O. “Razonamiento

Matemático, Fundamentos y Aplicaciones”. (1997). International Thomson Editores.

 SANTOS TRIGO, L. “La Resolución de Problemas Matemáticos Fundamentos

Cognitivos”. (2007). Editorial Trillas.

1.17. WEBGRAFÍA:

 http://www2.minedu.gob.pe/digesutp/formacioninicial/wp- descargas/educacionprimaria/didactica_mat/04_resolucion_de_problemas.pdf  http://www.educarchile.cl/Portal.herramientas/nuestros_sitios/7mm/sitio/respuesta3.htm  http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=52&Itemid=7 4&limit=1&limitstart=3

(34)

CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 34 de 138

2 CONJUNTO Y NÚMEROS REALES

2.1. OBJETIVOS:

 Comprender claramente el concepto y las formas de representación de conjunto,

desarrollar ejercicios y problemas utilizando las operaciones y cardinalidad.

 Desarrollar habilidades en el cálculo y aplicación de las operaciones y propiedades en

los números Reales.

 Utilizar el modelo de Polya en la solución de situaciones problemas que requieren de

la aplicación de las propiedades de las operaciones en los diferentes conjuntos numéricos.

2.2. COMPETENCIAS:

 Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos.

 Capacidad comunicativa en lenguaje matemático.

 Capacidad para movilizar los conceptos básicos matemáticos: aritméticos,

geométricos, métrico, variacional, de análisis matemático, estadístico y financiero en diferentes situaciones y problemas de tipo matemático.

 Capacidad para representar objetos matemáticos en diferentes registros o sistemas

de notación para crear, expresar y representar ideas matemáticas.

2.3. DESARROLLO TEMÁTICO.

2.3.1. ¿QUÉ ES UN CONJUNTO?

Al querer agrupar diferentes objetos como: personas, animales, autos, mesas, casas, ideas, creencias, lenguajes, letras, números, etc. Debemos tener presente una o varias características en común, al hacer la selección o al agrupar cualquier tipo de objeto por algún

tipo de característica estamos formando un conjunto.

Veamos un ejemplo de agrupar de como agrupar elementos:

En conclusión podemos decir que un conjunto es: una agrupación de elementos con una o más características en común.

(35)

CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 35 de 138 Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos, dotados de una propiedad que permita decidir (sin ninguna ambigüedad posible), si un objeto cualquiera forma parte o no de la colección.

Consideremos, por ejemplo, los siguientes conjuntos: 1.- Las vocales: a, e, i, o, u.

2.- Los números enteros pares positivos: 2, 4, 6, .... 3.- Los siete enanitos de Blanca nieves.

4.- Los equipos chilenos de fútbol profesional participantes en el actual campeonato nacional.

5.- Las señoritas de nuestro curso de Matemáticas.

Los objetos que forman un conjunto se llaman elementos del conjunto, y la relación entre un elemento y un conjunto es la de pertenencia.

Se escribe x ∈ A y se lee “(el objeto) x pertenece a (el conjunto) A”

Habitualmente los conjuntos se designan por una letra mayúscula y los elementos del conjunto por una letra minúscula y entre paréntesis de llave.

2.3.2. CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS

EXTENSIÓN cuando se describen exhaustivamente (es decir, nombrando a todos y cada uno de sus elementos, que, en tal caso, se escribirían entre llaves)

Ejemplo: A= {Pedro, Juan, Luis, Manuel}

B= {a, e, i, o, u}

C= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

COMPRENSIÓN: Cuando se indican las características de los elementos del conjunto o función proposicional p(x) que satisfagan todos los elementos x del conjunto definido y sólo ellos, dentro de un universo contextual ó relativo U”.

Ejemplo: B = {números pares}

C = {números enteros positivos menores de 10} D = {x/x, son las vocales}

E = {y/y, son los días de la semana}

CONJUNTO VACÍO: Es aquel conjunto que no tiene ningún elemento. Se representa por el símbolo ∅ o { }

Ejemplos: el conjunto B = {números impares entre 5 y 7} es un conjunto vacío ya que no existen ningún numero entre 5 y 7.

SUBCONJUNTO: Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, o bien que A está incluido en B si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B.

A está incluido en B y se anota A  B.

(36)

Ejemplo: si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} entonces A  B.

Si A no es subconjunto de B se escribe A  B.

CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel conjunto del que son subconjunto toda una familia de conjuntos. Se denota con la letra U

Ejemplos: Sean los conjuntos A = {tigres} B = {anfibios} C = {aves} D = {peces}

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D y es conjunto de todos los animales

U = {animales} por lo tanto este sería el conjunto universal.

CONJUNTOS DISJUNTOS: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo: E = {1, 3, 5} y G = {2, 4, 6} son conjuntos disjuntos.

2.3.3. DIAGRAMAS DE VENN EULER

Es la forma sencilla e instructiva para poder representar los conjuntos y las relaciones que se producen entre ellos. En ellos se representan habitualmente los conjuntos por un área plana, por lo general delimitada por un círculo.

A= { a, b, c, d, e} B = {b, c, d} B  A

2.3.4. OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos., y se representa por A ∪ B

A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}, entonces la unión entre A y B A ∪ B= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y su se representa gráficamente por el diagrama de Venn

(37)

INTERSECCIÓN: La intersección de dos conjuntos A y B (A  B) es el conjunto de todos los

elementos comunes a A y a B al mismo tiempo.

A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B} Ejemplo: Si tomamos los mismos conjuntos

A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}, entonces la Intersección de A y B es A  B = {3, 4} y se

representa gráficamente mediante el diagrama de Venn

DIFERENCIA: La diferencia entre los conjuntos A y B (A – B) o (A \ B) es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B

A  B = A \ B = {x / x ∈ A ∧ x  B}

Ejemplo: Utilizando los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 } y B = {3, 4, 5, 6} entonces la diferencia de A y B es A - B = { 1, 2 } y se representa gráficamente mediante el diagrama de Venn

COMPLEMENTO: El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, pero sí pertenecen al Universo. En otras palabras es la diferencia entre el conjunto Universo y el conjunto A.

Se representa por A’ = A c_{y es igual a U – A. Representado en un diagrama de Venn, se}

(38)

CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 38 de 138 DIFERENCIA SIMÉTRICA:

Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B pero no a ambos. A  B = ( A  B ) ∪ ( B  A ) = ( A ∪ B )  ( A ∩ B)

REPRESENTACIÓN DE ALGUNAS OPERACIONES: (Escriba la operación)

2.3.5. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

Si A es un conjunto, se denota con n(A) el número de elementos de A.

Sea V = {x/x es vocal} ; n(V) = 5.

Sea P = {x/x es # primo par} ; n(P) = 1.

Sea N = {x/x es divisor de 5} ; n(N) = 2.

(39)

A) Si se dan conjuntos A y B disjuntos, es decir, A  B = , entonces el número de elementos

en la unión de A y B es igual a la suma del número de elementos de A y el número de elementos de B.

Luego: Si A  B =  entonces n(A U B) = n(A) + n(B).

Ejemplo:

Sea A = {a, b, c, d} y B = {m, n, o, p, q} entonces:

n(A) = 4 ; n(B) = 5 ; A  B = 

A U B = {a, b, c, d, m, n, o, p, q} n(A U B) = n(A) + n(B) = 4 +5 = 9.

B) Si se dan dos conjuntos A y B tales que A  B  , es decir, no son disjuntos. Se puede

obtener el número de elementos de A U B de la siguiente forma:

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A  B) (*)

Ejemplo.

Sean A = {x/ -3 < x < 4, x  Z} y B = {x/ 2  x  6, x  Z}

Entonces: n(A) = 6 ; n(B) = 5 y A  B = {2, 3}

n(A  B) = 2 A U B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(A U B) = 9.

Aplicando (*) tenemos: como AB

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

Si A  B =  entonces n(A  B) = 0, puede entonces generalizarse:

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

Nota: Es posible derivar fórmulas para el número de elementos de un conjunto formado por la unión de más de dos conjuntos.

Para tres conjuntos:

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)

2.3.6. EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Ejemplo 1: Un alumno de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes, acerca de los hábitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniería y aporta los siguientes datos:

 Estudian trigonometría: 40

 Estudian álgebra: 55

 Estudian geometría: 55

 Estudian trigonometría y álgebra: 15

 Estudian trigonometría y geometría: 20

 Estudian álgebra y geometría: 30

 Estudian las tres materias: 10

 No van a la biblioteca: 5

¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta? Desarrollo:

(40)

CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 40 de 138 Primer paso. Comprender el problema. El problema trata de una situación en la cual nos dan los resultados de una encuesta sobre los hábitos de estudio de 100 estudiantes, en una biblioteca.

Debemos averiguar si la encuesta realizada es correcta. Es decir si existe coherencia en los resultados.

Paso2. Configurar un plan. Resolveremos el problema por medio de dos estrategias para resolver el problema: Elaborar una gráfica y emplear una fórmula.

Observación: Para desarrollar esta clase de ejercicios se recomienda: A) “Dibujar” el diagrama de Venn y ubicar los datos dados.

B) Se debe iniciar por aquel que puede señalarse con certeza.

C) Una vez que el diagrama se completa, se puede leer el número de estudiantes que estudia cualquier combinación de materias.

Paso3. Desarrollar el plan Elaboramos la gráfica del problema: Comenzamos por el final:

No van a la biblioteca 5 y estudian las tres materias 10:

Estudian Algebra y Geometría 30, pero como ya hay 10 en la zona de intersección de algebra y geometría, entonces colocamos 20

Estudian trigonometría y Geometría 20, pero como ya hay 10 en esa zona de intersección, entonces colocamos 10

15 estudian trigonometría y Algebra. Pero como ya hay 10 en esa zona, solo colocamos 5