La ley de Fourier y la ecuación de calor

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(1)

Ley de Fourier Ley de Fourier

Ley de Fourier

Ley de Fourier

•• EsEsta lta ley ey pepermirmite cte cuauantntifificicar ear ell flufluxx calcalor or conconducducidoido

a partir del conocimiento de la

a partir del conocimiento de la disdistritribucbución deión de temtemperperatuaturara en el medioen el medio •• Su foSu forma márma más genes general (vral (vectoriectorial) paal) para una ra una conducconducción ción multimultidimensdimensional ional es:es:

q q k k T T  → → →→

=

=

Implicaciones: Implicaciones: –

– el calor se transfiere en la dirección en la disminuye lael calor se transfiere en la dirección en la disminuye la temperatura (es por esto que aparece el signo menos). temperatura (es por esto que aparece el signo menos).

– la dirección en la que fluye el calor es perpendicular a las líneasla dirección en la que fluye el calor es perpendicular a las líneas de temperatura constante

de temperatura constante ((isotérmasisotérmas).).

– a partir de la ley da partir de la ley de Fouriere Fourier se puede dese puede determinterminar el coefiar el coeficienteciente de

de conconducductivtividaidadd tértérmicmicaa mediomedio T  T  q q k  k 

rr r r "" –

el vector de flux de calor puede ser descompuesto en susel vector de flux de calor puede ser descompuesto en sus

componentes ortogonales. componentes ortogonales.

(2)

• Coordenadas Cartesianas:Coordenadas Cartesianas:T T

(

(

x x , , y y ,,zz

)

)

 z

 z

 j

 j

 y

 y

ii

 x

 x

q

q

 x x  y y  z z r r r r r r r r

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

=

"" •

• Coordenadas Cilíndricas:Coordenadas Cilíndricas:T T

(

(

r r , , φ φ ,,zz

)

)

• Coordenadas Esféricas:Coordenadas Esféricas:T T

(

(

r r , , φ φ ,,θ θ 

)

)

 j

 j

ii

q

q

r r r r r r r r

φ 

φ 

θ 

θ 

θ 

θ 

φ φ  θ  θ 

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

=

sin sin "" ""  x  x

q

q

rr

q

q

rr y y"" ""  z  z

q

q

rr "" r  r 

q

q

rr

q

q

rrθ θ ""

q

q

rrφ φ ""

 z

 z

 j

 j

ii

q

q

 z z r r r r r r r r

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

=

φ 

φ 

φ  φ  "" "" r  r 

q

q

rr

q

q

rrφ φ ""

q

q

rr z z""

(3)

•• La tasa de calorLa tasa de calor para una copara una condnducucciciónón raradidialal enen una dimensiónuna dimensión,,

en un cilindro o en una esfera esta dada por: en un cilindro o en una esfera esta dada por:

– – CilindroCilindro o, o, – – EsferaEsfera "" ""

2

2

r  r  r  r  r  r 

 A

 A

q

q

rLq

rLq

q

q

=

=

=

=

π 

π 

"" "" ''

2

2

r  r  r  r  r  r 

q

q

rq

rq

 L

 L

 A

 A

q

q

=

=

=

=

π 

π 

"" 2 2 ""

4

4

r  r  r  r  r  r 

 A

 A

q

q

q

q

q

q

=

=

=

=

π 

π 

(4)

La Ecuación de difusión del Calor

La Ecuación de difusión del Calor

•• Es una Es una ecuaciecuación difeón diferencirencial, su al, su solucsolución noión nos da la s da la distridistribucióbución de temn de temperaturperaturaa en un medio en reposo.

en un medio en reposo.

•• Se Se basa basa en en la la aplicaplicar ar la la ley ley de de conserconservacióvación dn de le la ea energía nergía a ua un en elementlementoo

diferencial de volumen a través del cual la energía se transfiere exclusivamente diferencial de volumen a través del cual la energía se transfiere exclusivamente por conducción.

por conducción.

•• Coordenadas Cartesianas :Coordenadas Cartesianas :

Cambio en la energía Cambio en la energía

t t 

cc

q

q

 z

 z

 z

 z

 y

 y

 y

 y

 x

 x

 x

 x

pp

∂∂

∂∂

=

=

+

+

⎟⎟

 ⎠

 ⎠

 ⎞

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎝ 

⎛ 

⎛ 

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

+

⎟⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎠

 ⎞

 ⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎝ 

⎛ 

⎛ 

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

+

⎟⎟

 ⎠

 ⎠

 ⎞

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎝ 

⎛ 

⎛ 

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

 ρ 

 ρ 

&&

(5)

•• Coordenadas Cilíndricas :Coordenadas Cilíndricas : t t  T  T  cc q q  z  z T  T  k  k   z  z T  T  k  k  r  r  r  r  T  T  kr  kr  r  r  r  r  pp ∂∂ ∂∂ = = + + ⎟⎟  ⎠  ⎠  ⎞  ⎞ ⎜⎜ ⎝  ⎝  ⎛  ⎛  ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ + + ⎟⎟⎟⎟  ⎠  ⎠  ⎞  ⎞ ⎜⎜⎜⎜ ⎝  ⎝  ⎛  ⎛  ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ + + ⎟⎟  ⎠  ⎠  ⎞  ⎞ ⎜⎜ ⎝  ⎝  ⎛  ⎛  ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂  ρ   ρ  φ  φ  φ  φ  && 2 2 1 1 1 1

•• Coordenadas Esféricas :Coordenadas Esféricas :

t t  T  T  cc q q T  T  k  k  r  r  T  T  k  k  r  r  r  r  T  T  kr  kr  r  r  r  r  pp ∂∂ ∂∂ = = + + ⎟⎟  ⎠  ⎠  ⎞  ⎞ ⎜⎜ ⎝  ⎝  ⎛  ⎛  ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ + + ⎟⎟⎟⎟  ⎠  ⎠  ⎞  ⎞ ⎜⎜⎜⎜ ⎝  ⎝  ⎛  ⎛  ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ + + ⎟⎟  ⎠  ⎠  ⎞  ⎞ ⎜⎜ ⎝  ⎝  ⎛  ⎛  ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂  ρ   ρ  θ  θ  θ  θ  θ  θ  θ  θ  φ  φ  φ  φ  θ  θ  && sin sin sin sin sin sin 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(6)

Ec

Ecuauaciciónón de difde difususióiónn dedel l cacalolorr (c(casasosos esespepecicialaleses))

Con

Conducductiotionn UniUni-Dim-Dimensensionionalal en unen un MeMedidioo PlPlananoo concon ProPropiepiedaddadeses ConConstanstantestes

y y SiSin n GeGeneneraraciciónón InInteternrnaa de de CaCalolorr

t t 

 x

 x

∂∂

∂∂

=

=

∂∂

∂∂

α 

α 

1

1

2 2 2 2

Di

Di

fu

fu

si

si

vi

vi

da

da

d

d

rm

rm

ic

ic

a

a

del medio

del medio

=

=

 p  p

cc

 ρ 

 ρ 

α 

α 

(7)

Condiciones Iniciales y de Frontera

Condiciones Iniciales y de Frontera

•• PPaarraa conconducduccióciónn trantransitositoriaria, la ecuación del calor es de primer orden en tiempo,, la ecuación del calor es de primer orden en tiempo, por lo tanto se debe especificar la

por lo tanto se debe especificar la distridistribucióbuciónn iniciainicial dl de teme temperatuperaturara

(

(

, ,

)

)

00

(

(

,,00

)

)

T

T x x t t == ==T T xx

•• Como lComo la ecuaca ecuación del ión del calor calor es de ses de segundo egundo orden eorden en el esn el espaciopacio, se de, se deben espben especifiecificarcar dos condiciones de frontera

dos condiciones de frontera. . Algunos Algunos casos casos representativos representativos son:son: Temperatura Superficial Constante

Temperatura Superficial Constante ::

( ( ))

t t 

ss

0

0

,,

=

=

Flux de calor Constante

Flux de calor Constante ::

F

Flluux x dde e ccaalloor r aapplliiccaaddoo SSuuppeerrffiicciie e aaiissllaadda  a  

0

0

0 0

=

=

∂∂

∂∂

= =  x  x

 x

 x

"" 0 0 ss  x  x

q

q

 x

 x

=

=

∂∂

∂∂

= = Convección Convección

( ( ))

[ [

t t 

]]

h

h

 x

 x

0

0

,,

0 0

=

=

∂∂

∂∂

(8)

Propiedades térmicas Propiedades térmicas

Propiedades Térmicas

Propiedades Térmicas

Conductividad térmica

Conductividad térmica : : Es una Es una medida de medida de la capacidad la capacidad de un de un material paramaterial para transferir energía por conducción.

transferir energía por conducción.

Dif

Difusiusividvidadad térmtérmicaica: : es una es una medida de medida de la capacidad la capacidad de un de un material paramaterial para responder a los cambio del ambiente.

responder a los cambio del ambiente. Tablas de Propiedades:

Tablas de Propiedades: Sól

Sólidoidos: s: TabTablas las A.1 A.1 –– A.3A.3 Gases:

Gases: Tabla Tabla A.4A.4 Líq

(9)

Análisis de Conducción Análisis de Conducción

Metodología para el Análisis de la Conducción

Metodología para el Análisis de la Conducción

•• ResolResolver lver la forma forma aproa apropiada piada de la de la ecuacecuación dión del cael calor palor para obtra obtener lener laa distribución de la temperatura.

distribución de la temperatura.

•• ConocConocida lida la disa distribuctribución de ión de tempertemperatura, atura, aplicaplicar la ar la ley dley de Foue Fourierrier para para obtenerobtener el flux de calor en cualquier instante de tiempo, ubicación y dirección de interés. el flux de calor en cualquier instante de tiempo, ubicación y dirección de interés.

•• AApplliiccaacciioonneess:: Cap

Capítuítulo 3:lo 3: ConConducduccióción Unin Uni-Di-Dimenmensiosionalnal, Esta, Estado Estdo Establablee Cap

Capítuítulo 4:lo 4: ConConducduccióción Bi-n Bi-DimDimensensionional, Eal, Estastado Esdo Estabtablele Cap

Figure

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