Números reales. Ejercicio 1: Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando tu respuesta.

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Números reales

Ejercicio 1: Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando tu respuesta.

a) 5

32 4 es un número irracional b) − 38 19 es un número racional

c)Todas las raíces de índice par son números irracionales

d) La suma de dos números racionales es siempre un número racional. e) La suma de dos números irracionales es siempre un número irracional. f) Todo número entero es también número racional y real.

Ejercicio 2: En una clase de ciencias,

4

9 han elegido biología y el 43% física. ¿Qué asignatura es la más

elegida?

Ejercicio 3: Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) log0,0001=x b) log33 9 = x c) logx16=4 d) log5 x=−2

Ejercicio 4: ¿Cuáles de los siguientes números son naturales?

a)

b) c)

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d) e) f) g) h)

Ejercicio 5: Realiza las siguientes operaciones:

a) b)

c) d)

Ejercicio 6: Un profesor dio las notas del examen de esta unidad: “El 40% de la clase ha suspendido.

Tres cuartos del resto ha aprobado, pero sin llegar al sobresaliente. Los 6 que quedan han sacado sobresaliente”. ¿Cuántos alumnos hay en clase de dicho profesor?

Ejercicio 7: Si 2 3 1 1− = A y 3 2 1 1− = B ¿Cuánto vale B A B A ⋅ − ?

Ejercicio 8: El depósito de un coche está lleno de gasolina al empezar el viaje. Al terminar la primera

etapa le quedan los 5 3

del depósito. En la segunda etapa ha gastado la mitad de lo que le quedaba. Le quedan 15 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

Ejercicio 9: Isabel sale de casa con cierto dinero. En un televisor se gasta los 2/3, en un vídeo los 3/4 de

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Polinomios

Ejercicio 1: ¿Son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones? Justifica todas tus respuestas.

a) Si las raíces de P(x) son 2 y 3, entonces podemos escribir ( ) 5 2 25 30 + − = x x x P b) El resto de la división de ( ) 2011 2010 2009 ... 2 1 + + + + + + = x x x x x x P entre x-1 es 2011 c) 4 1 2 6 3 ) ( 3 7 3 4 + − − + = x x x x x x Z es un polinomio de grado 4 d) z y x z y x 6 3 6 5 123 4 13 es un monomio

e) x+1 es el único factor del polinomio P(x)= x100 +x99 +...+x2 +x

f) Al multiplicar un polinomio de grado 5 por sí mismo 3 veces, el nuevo polinomio es de grado 125

Ejercicio 2: Sea Q(x) un polinomio de grado 3 que cumple: Q(-2)=Q(-5)=0, y además 1 es raíz del Q(x).

¿Cuál es la posible expresión del polinomio Q(x)?

Ejercicio 3: Obtén el valor de m para que el polinomio P(x)=mx3−6x2 −4x+8 tenga 2 como raíz

Ejercicio 4: Determina a y b de manera que el polinomio ( ) 3 2 6 − + +

=x ax bx x

Q sea divisible entre x-2 y entre x+3

Ejercicio 5: Sea el polinomio P(x)=3x4 +mx−6Halla el valor de “m” sabiendo que el resto de la división de P(x) entre (x+1) es igual a 5.

Ejercicio 6: Encuentra el valor de “n” para que el polinomio Q(x)=2x3 +2x2 +nx+3sea divisible entre x+3

Ejercicio 7: Halla un polinomio de segundo grado, R(x), que cumpla: R(1)=5, R(-1)=9 y R(0)=4

Ejercicio 8: Encuentra un polinomio de grado 2 que tenga por raíces 1 y -2 y que P(3)=30.

Ejercicio 9: ¿Qué valor ha de tomar “a” para que el resto de dividir Z(x)= x3 +ax2 +−3xa entre x-4 sea 67?

Ejercicio 10: Determina a y b de manera que el polinomio sea divisible entre (x-5) y (x+1)

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Ecuaciones y sistemas

Ejercicio 1: Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 22 3·2 1 8 0 = + − x+ x b) 52 1 125 = − x c) x5 20x3 64x − = − d) x2 − 2x+x= x e) 2x−1−6=− x+4 f) 1+2log2=logx+log(x−3) g) log 3 81 3 2 3 = x+ h) 2 1 9 4 + = − x x x i) 5 4 13 5 1 3 + = − x x j) log(3 6) log2 2 1 ) 2 log(x− − x− = k) 3 4 3 3 12 2 12 0 = − + + − x x x x l) 2x−2 x+5=2

Ejercicio 2: Si a uno de los lados de un cuadrado se le aumenta su longitud en 5 centímetros y a su lado

contiguo en 0,3 decímetros, el área de la figura aumenta en 71 centímetros cuadrados. Calcula el área del cuadrado original, así como el valor de su lado.

Ejercicio 3: Amparo y Vicente son hermanos. En las fiestas de su pueblo, deciden consultar el “oráculo

matemático” para saber si existen sus “medias naranjas” x e y. Para determinar si existen, el oráculo les pide a Amparo y Vicente, el día “d” y el mes “m” de su nacimiento. Después, el oráculo, resuelve el sistema para saber si tiene solución. (Si tiene solución significa que existen las “medias naranjas”)

⎩ ⎨ ⎧ = − = − 76 38 13 my dx y x

La respuesta del oráculo a Amparo es que no existe para ella “ninguna media naranja”, mientras que las “medias naranjas” para Vicente son infinitas. ¿Qué día y qué mes nacieron Vicente y Amparo?

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Ejercicio 5: Un grupo de estudiantes organiza una excursión y deciden alquilar un autocar cuyo precio es

de 540 €. Al salir, aparecen 6 estudiantes más y esto hace que cada uno de los anteriores pague 3 € menos. Calcula el número de estudiantes que fueron a la excursión y que cantidad pagó cada uno

Ejercicio 6: Determina el valor de “m” en la ecuación (m−1)x2 −6x−1=0para que tenga una raíz doble, y calcula dicha raíz.

Ejercicio 7: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:

a) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − − 27 3 3 3 3 2 2 y x y x b) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − − 5 5 1 5 3 2 2 y x y x c) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + + + 5 41 2 9 5 2 1 2 y x y x d) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = − − + 7 1 7 7 1 7 5 4 3 2 y x y x e) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⋅ − ⋅ = − ⋅ + − − 8 2 3 2 4 4 2 2 3 1 2 1 y x y x

Ejercicio 8: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas:

a) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 1 log log 64 2 3 y x y x b) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 3 log log 2 200 log log log y x y x c) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + = − 7 log log 8 2 2x y y x

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d) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + 1 log 7 log 5 log y x y x e) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = = + 4 log 5 log log 2 xy y x f) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + 3 log 5 log log 2 3 y x y x

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Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

Ejercicio 1: La tirada de una revista mensual tiene unos costes de edición de 30.000 €, a los que hay que

sumar 1,50 euros de gastos de distribución por cada revista publicada. Si cada ejemplar se vende a 3,50 euros y se obtienen unos ingresos de 12.000 € por publicidad. ¿Cuántas revistas se deben vender para empezar a obtener beneficios?

Ejercicio 2: Indica para qué valores de x el área del triángulo equilátero de la figura es mayor que la del

rectángulo

Ejercicio 3: Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determina en qué periodo de sus vidas la edad del

padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo.

Ejercicio 4: Indica para que valores de “x” el área del hexágono regular de la figura es mayor que la

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Ejercicio 5: Una madre y su hija se llevan 25 años. Determina en que periodo de sus vidas la edad de la

madre excede en más de diez años al doble de la edad de la hija.

Ejercicio 6: Se consideran los rectángulos cuya base mide el doble que su altura. ¿Cuáles verifican que

su área está comprendida entre 8 y 72 centímetros cuadrados?

Ejercicio 7: Una empresa de alquiler de coches ofrece dos posibles modelos de contrato. El modelo A

consiste en pagar una cantidad fija de 50€ además de 8 céntimos por cada kilómetro recorrido. El modelo B consiste en pagar 80€ sin limitación de kilometraje. ¿A partir de cuántos kilómetros nos interesa alquilar el contrato modelo B?

Ejercicio 8: Resuelve las siguientes inecuaciones:

a)−𝑥 𝑥 + 2 < −3(𝑥 + 2) b) !!!! + 1 ≤ 0

c) !!!!!!!!!!! ≥ ! !!!!!!!

Ejercicio 9: Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) 2𝑥!− 3 ≤ 6𝑥 + 5 7𝑥 + 1 ≤ 13 + 4𝑥 b) 𝑥 − 𝑦 ≥ 0 𝑦 − 2 < 0 2𝑥 + 𝑦 < 10 𝑦 ≥ 0

Ejercicio 10: Un número natural es tal que la sexta parte del número anterior es menor que 6; además la

sexta parte del número natural siguiente es más que 6. ¿De qué número natural estamos hablando?

Ejercicio 11: Para la calificación de un curso, se decide que la nota de la primera evaluación pondere un

25%, la segunda un 35% y finalmente la tercera el % restante. Un alumno ha sacado un 5 en la primera evaluación y un 7 en la segunda. ¿Qué nota ha de obtener en la tercera evaluación si desea que su calificación final sea mayor que 7?

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Trigonometría

Ejercicio 1: Calcula la altura de un árbol sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo

un ángulo de 30º, y que si nos acercamos 10 metros se ve dicha copa bajo un ángulo de 60º.

Ejercicio 2: Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos A y B de una de sus orillas se observa

un punto C (situado entre ambos) en la orilla opuesta. Las visuales forman con la orilla unos ángulos de 42º y de 56º respectivamente. Calcular la anchura del río sabiendo que la distancia entre los puntos A y B es de 31, 5 metros.

Ejercicio 3: Calcula la altura de la montaña.

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Ejercicio 5: Calcula la altura del edificio más alto de la figura:

Ejercicio 6: Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:

a) 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) · 1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

b)

!"#!"#!! ! !!!"! !!"#!! !!

Ejercicio 7: Calcula las razones trigonométricas del ángulo 2670º.

Ejercicio 8: Una cometa está sujeta a una cuerda de 25 metros de largo y se eleva de manera que la

cuerda forma un ángulo de 37º con el suelo. Si acercamos la cuerda a 10 metros del pie de la cometa, manteniendo la altura de la cometa, ¿cuánto medirá ahora la cuerda que sujeta la cometa?

Ejercicio 9: Desde un punto del suelo se ve la altura de una torre con un ángulo de elevación de 48º. Si se

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Geometría analítica

Ejercicio 1: Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto P(1,1) y es paralela a la recta 0

2 4x− y+ =

Ejercicio 2: Halla la ecuación de la recta paralela a s≡ x=3y que pasa por el punto P(−36,200)

Ejercicio 3: Halla la ecuación general de la recta perpendicular a rx−2y−3=0 y que pasa por el punto P(−1,2)

Ejercicio 4: Dadas las rectas: rax+3 =y 4

srecta que pasa por los puntos A(1,2) y B(3,−4) Halla el valor de “a” para que las rectas sean:

a) Paralelas b) Perpendiculares

c) Si a=2, estudia su posición relativa.

Ejercicio 5: En el paralelogramo ABCD conocemos las coordenadas de tres de sus vértices A(2,1), )

6 , 4 (

B y C(5,1). Halla las coordenadas del vértice D.

Ejercicio 6: Dados los vectores u =(4,2), →v =(−6,3) y →w=(2,0), estudia si son linealmente dependientes:

a) →uyv b) →u ,v yw

Ejercicio 7: Dado el triángulo de vértices:A(−4,5), B(−2,3)y C(1,7) a) Calcula el perímetro

b) Calcula su área.

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Ejercicio 8: Un vector fijo ⃗utiene su origen en el punto A(6,-2) calcula las coordenadas del extremo B si:

a) Las coordenadas de ⃗u son (4,5)

b) Las coordenadas del punto medio son (-2,5) c) El módulo es 5 y la primera coordenada de B es 2

Ejercicio 9: Comprueba analíticamente si los puntos A(0,0), B(-5,2) y C(3,-3) pueden formar un

triángulo, y en caso afirmativo, calcula el valor del ángulo A.

Ejercicio 10: Calcula la ecuación general de la recta que pasa por el punto en el que la recta

0 12 9

6 − + =

x y corta al eje de abscisas y es paralela a 1 4 2+ =

y x

Ejercicio 11: Se consideran la recta r: y=x-3 y la recta s: determinada por los puntos A(7,5) y B(-4,1)

¿Cuál es la posición relativa de ambas rectas?

Ejercicio 12: Comprueba que el triángulo A(4,4), B(1,-1) y C(6,2) es isósceles y calcula la ecuación

general del lado desigual.

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Funciones

Ejercicio 1: Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) f ( x)= − 196x+ 17x2+ 4x− 5 b) g( x)= −196x+ 17

x2+ 4x− 5 c) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > − ≤ ≤ − − + − < − + − = 1 10 10 1 3 4 5 3 6 3 2 ) ( 2 2 x si x x si x x x si x x x x h d) j( x)=

5x+ 20 x2+ 4x− 5

Ejercicio 2: Dadas las siguientes funciones, f ( x)=

2 x+ 4 , g( x)= x2− 4 y h( x)=

2x+ 4 calcula: a) (f !g!h)(x) b) (f !g!h)(−2) c) (f !g!h)(0) d) Calcula h−1(0) e) Calcula 1( 4) − − h

f) ¿Alguna función es simétrica?, ¿Cuál? Justifica tu respuesta. g) Calcula en g(x) la Tasa de Variación en el intervalo [0,4]

Ejercicio 3: Una pelota tras ser golpeada por Rafa Nadal sigue una trayectoria dada por la expresión

2

8 )

(t t t

f = − , siendo “t” el tiempo en segundos transcurridos desde el golpeo y f(t) la altura en metros a la que se encuentra la pelota. Justifica los cuatro apartados.

a) ¿A qué tipo de gráfica corresponde esta trayectoria? b) ¿Cuándo alcanza la pelota su máxima altura? c) ¿Cuál es esa altura máxima conseguida? d) ¿En qué momento cae la pelota a la pista?

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Ejercicio 4: El coste de producción de x unidades diarias de un determinado artículo es 35 25 4 1 2 + + x x y

el precio de venta de uno de ellos es de 4 50−x a) Escribe la función

b) Halla el número de unidades que debe venderse diariamente para que el beneficio sea máximo. c) ¿Cuál es ese beneficio máximo?

d) Representa la función del beneficio.

Ejercicio 5: El crecimiento de un cultivo de bacterias es tal que a cada hora se duplica el número de las

mismas. En estas condiciones, si había 1000 bacterias al iniciar el experimento, el número habrá aumentado a 2000 después de una hora, 4000 después de dos horas y así sucesivamente. Véase la siguiente tabla.

T 0 1 2 3 4

F(t) 1000 2000 4000 8000 16000

a) Indica que tipo de función es b) Escribe su expresión analítica. c) Representa la función.

Ejercicio 6: En el contrato de trabajo a un vendedor de libros le ofrecen dos alternativas:

A: Sueldo fijo mensual de 1000€

B: Sueldo fijo mensual de 800€ más el 20% del dinero de las ventas que realice. a) Escribe la expresión analítica de cada función, indicando las variables

b) ¿Qué contrato es más ventajoso en función de las ventas que realice? c) Representa ambas funciones e indica el punto de corte

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Ejercicio 7: Un establecimiento de hostelería abre sus puertas a las 12 de la noche, sin ningún cliente, y

cierra cuando se han marchado todos. La función que representa el número de clientes (C ) en función del número de horas que lleva abierto (h) es:

a) Determina el número máximo de clientes que van una determinada noche al establecimiento. b) ¿A que hora cierra dicho establecimiento?

c) Representa la función.

Ejercicio 8: Paula tiene que vender 100 papeletas para el viaje de fin de curso. Sabe que ella sóla tardaría

días en venderlas. Por lo tanto, decide pedir ayuda a sus amigos.

a) Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona las variables número de personas y tiempo que tardan en vender las 100 papeletas.

b) ¿Qué tipo de función es? c) Representala gráficamente.

Ejercicio 9: Se estima que la población mundial aumenta un 1,8% cada año. En 1995 vivían en el mundo

5759 millones de personas.

a) ¿Cuál es la expresión que nos permite estimar la población mundial P en función del tiempo “t”? b) ¿Cuál será la población estimada en 1996?

c) ¿Cuál será la población estimada en 1997?

d) ¿A partir de qué año se puede estimar que la población mundial sobrepasará los 10000millones de personas?

Ejercicio 10: Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > − ≤ − = 3 2 2 3 1 3 ) ( 2 x si x x si x x f b) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + − = = 3 5 4 ) ( 2 y x x x y x f

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c) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + − ≤ ≤ − − − < = 2 6 2 3 2 3 2 3 7 ) ( 2 x si x x si x x si x f d) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + − ≤ ≤ − − − < = 2 6 2 3 2 3 4 3 5 ) ( 2 x si x x si x x si x f

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Límite de funciones. Continuidad

Ejercicio 1: Calcula los siguientes límites:

a) 3 6 3 2 2 1 + + − − − → x x x x im x ℓ b) 1 3 2 1 6 4 2 − → ⎟ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + x x x x x x im ℓ c) x x x x x im 3 2 0 5 1 1 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − → ℓ d) 2 6 2 2 2 − + → x x x x im x

Ejercicio 2: Dada la siguiente función:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ + < ≤ − − − < + = 2 1 3 2 1 2 1 3 2 ) ( 2 x si x x si x x si x x x f Estudia su continuidad

Ejercicio 3: Dada la función:

1 3 5 ) ( 2 2 3 − − − − = x x x x x f

a) Estudia sus discontinuidades indicando el tipo de las mismas. b) Indica las asíntotas de la función, si es que las tiene.

Ejercicio 4: Halla el valor de “a” para que la siguiente función sea continua:

⎩ ⎨ ⎧ > + ≤ + = 1 3 2 1 2 ) ( x si x x si a x f x

Ejercicio 5: El dominio de una función f(x) es ℜ−

{ }

7 y xim7 f(x)=7. ¿Es continua en x=7? Si la respuesta es negativa indica el tipo de discontinuidad que presenta. Justifica tu respuesta

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Ejercicio 6: Calcula m para que la siguiente función sea continua en todo su dominio: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − > − − ≤ + + = 1 1 3 ) ( 2 2 x si x x x si m x x x g

Ejercicio 7: Estudia la continuidad de la siguiente función:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < < − − − ≤ + = 3 1 7 3 2 7 2 2 5 ) ( 3 2 x si x x si x x si x x x g

Ejercicio 8: Calcula k para que la función

⎩ ⎨ ⎧ ≥ + < − = 3 3 3 ) ( 2 x si k x x si k x x g sea continua en todo su dominio:

Figure

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