Control Automático, 2 o GIA

(1)

Pr´

actica 1: Introducci´

_{on al uso de matlab y simulink para}

Control Autom´

atico

Control Autom´

atico, 2

o

GIA

Esta práctica permitirá que el alumno se familiarice con las herramientas disponibles en matlab para el Control Automático, entre las que est´an el denominado Control Toolbox y el simulink. Al mismo tiempo, la práctica servirá para que el alumno realice algunos ensayos relacionados con funciones de transferencia y respuestas temporales.

Este enunciado incluye cierta cantidad de trabajo previo, que el alumno deberá llevar a cabo con anterioridad a la sesión de la práctica en el Centro de Cálculo. Dicho estudio previo com-prende la lectura detallada de las secciones 1 y 2, para la familiarización con los comandos de matlab y herramientas de simulink que se usarán, as´ı como la realización de los subapartados denominados Trabajo Previo que pueden encontrarse en las dem´as secciones.

1 Introducci´

_{on al Control Toolbox de matlab}

En esta sección, se asumirá que el alumno está familiarizado con el uso del matlab en general, para centrar la descripción en el juego de herramientas de que dispone matlab para tareas relacionadas espec´ıficamente con el Control Automático. Dichas herramientas están incluidas en un complemento de matlab, denominado Control Toolbox.

1.1 Definici´on de funciones de transferencia

La primera tarea que se puede plantear es la de definir una función de transferencia en matlab. Para ello, en primer lugar, ha de recordarse cómo se pueden definir polinomios. Imaginemos que queremos definir la función de transferencia:

G(s) = 2.5 s + 1 s2_{+ 3 s + 2}

Para ello, podemos deﬁnir los polinomios numerador y denominador, almacen´andolos en sendas variables a las que denominaremos, respectivamente, N y D:

N = [2.5,1]; D = [1,3,2];

Como puede verse, la forma de definir un polinomio es crear un vector cuyos elementos son los coeficientes de dicho polinomio, siempre en orden decreciente de potencias de la variable independiente. Como veremos, a partir de este momento, podemos trabajar con muchas de las funciones del Control Toolbox, pas´andoles como función de transferencia este par de polinomios.

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Hay que tener ciertas precauciones, cuando alguno de los coeﬁcientes sea nulo. Por ejemplo, supongamos que la funci´on de transferencia fuera la siguiente:

G(s) = 3 s2_{+ 2 s}

Una forma incorrecta de introducir el polinomio denominador ser´ıa:

N = 3; D = [1,2];

Ser´ıa incorrecta puesto que con esto, en realidad, se estar´ıa deﬁniendo:

G(s) = 3 s + 2

En su lugar, la forma correcta ser´ıa:

N = 3;

D = [1,2,0];

En lugar de trabajar con un par de polinomios que definen el numerador y denominador de la función de transferencia, pueden unificarse estos dos elementos en un objeto función de trans-ferencia, mediante el comando tf():

N = [2.5,1]; D = [1,3,2]; G = tf (N,D);

Si preguntamos a continuaci´on por el valor de la variable G, comprobaremos que es un objeto m´as complejo que un simple par de polinomios:

>> G

Transfer function: 2.5 s + 1

---s^2 + 3 s + 2

Si queremos saber si la funci´on de transferencia corresponde con un sistema estable, bastar´ıa con calcular las ra´ıces del denominador:

roots (D)

Esta función devuelve, en general, un vector conteniendo los polos de la función de transferencia. De forma análoga, los ceros de la función de transferencia vendrán dados por las ra´ıces del numerador.

Si se est´a trabajando con objetos funciones de transferencia, existe una forma directa de obtener sus polos y ceros, usando los siguientes comandos:

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polos = pole (G); ceros = tzero (G);

1.2 Simulaci´on de respuesta temporal

La funci´on step() simula la respuesta ante escal´on unitario de una función de transferencia. Por defecto, la escala temporal se elige automáticamente y se asume que el escalón se produce en el instante cero.

step (N, D);

La llamada a esta función lleva asociada la representación en una ventana gráfica de la salida resultante.

Alternativamente, podemos pasar como par´ametro un objeto funci´on de transferencia:

step (G); grid;

En este caso, al igual que podr´ıa haberse hecho en el caso anterior, se ha a˜nadido el comando

grid, que permite visualizar una rejilla sobre el fondo de la gr´aﬁca.

Si queremos simular la respuesta para una escala temporal dada por nosotros mismos:

t = [0:0.001:10]’; step (G, t);

El primer comando genera un vector columna (el operador de trasposici´on, que transforma lo

que inicialmente ser´ıa un vector fila en un vector columna, es la comilla simple que aparece a la derecha del vector definido entre corchetes), conteniendo una secuencia de valores comenzando en 0 y terminando en 10, con un paso o incremento de 0.001. Esta variable t contendr´a nuestro vector de instantes de tiempo a emplear en la simulación. Para ello, en la llamada a la función

step() se le pasa este vector tiempo como ´ultimo par´ametro.

Si se desea representar dos respuestas escalón en la misma gráfica, con fines comparativos, puede hacerse del siguiente modo:

G1 = tf (N,D);

G2 = tf (3,[1,2,1]); t = [0:0.001:10]’; y1 = step (G1, t); y2 = step (G2, t);

figure(1); plot(t,y1,t,y2); grid;

Como se ve, la funci´on step() puede devolver un vector conteniendo los valores que resulten para la señal de salida en cada instante de la simulación. En este caso, dicha función no realiza

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representación gr´afica alguna. El comando plot(), por su parte, permite realizar representaciones gráficas de dos dimensiones. En este caso particular, se están representando dos señales, las contenidas en los vectores y1 e y2, frente a la misma escala temporal.

Existen otras funciones para simular la respuesta ante se˜nales de entrada. Por ejemplo, la funci´on

impulse(), simula la respuesta ante impulso unitario a la entrada. La función lsim() permite la simulación de la respuesta ante cualquier señal de entrada que deseemos. Por ejemplo, si queremos simular la respuesta ante una rampa de pendiente 3 a la entrada, podr´ıamos escribir:

t = [0:0.001:10]’; rampa = 3*t;

lsim (G, rampa, t);

Tanto la funci´on impulse() como la funci´on lsim() tienen caracter´ısticas similares a la funci´on

step(), en cuanto a que realizan la representaci´on de forma autom´atica, a menos que en la llamada se almacene el valor devuelto por la funci´on en alguna variable.

1.3 Algebra de bloques´

Existen funciones para realizar operaciones de álgebra de bloques con funciones de transferencia. A continuación, se mostrarán algunos ejemplos.

La operación más elemental consiste en obtener una única función de transferencia equivalente a otras dos que estén dispuestas en serie. Imaginemos definidos los polinomios numerador y denominador de dos funciones de transferencia, N 1, D1, N 2 y D2. Dado que el resultado de la operación mencionada ser´ıa el producto de ambas funciones de transferencia, podemos realizar el producto de los polinomios numerador por un lado y, por otro, el de los polinomios denominador. La funci´on que nos permite realizar producto de polinomios es conv():

N1 = [2.5,1]; D1 = [1,3,2]; N2 = 3; D2 = [1,2,1]; N = conv (N1, N2); D = conv (D1, D2);

Tras estas operaciones, la funci´on de transferencia dada por el par de polinomios N , D, ser´ıa la resultante.

Otra forma de realizar la misma operación, en un sólo paso, es emplear la funci´on series(), que, a diferencia de la funci´on conv(), s´ı es espec´ıfica del Control Toolbox y, por tanto, puede interpretar pares de polinomios como una función de transferencia:

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Si se recurre a los objetos funci´on de transferencia, todo resulta mucho m´as intuitivo:

G1 = tf (N1,D1); G2 = tf (N2,D2); G = G1*G2;

Como se ve, directamente se puede realizar el producto de dos objetos funci´on de transferencia. Esto no impide que la funci´on series() pueda seguir siendo usada con este tipo de objetos:

G = series (G1, G2);

De forma análoga a la puesta en serie de dos funciones de transferencia, se puede obtener el equivalente de una configuración en paralelo. A continuación, se muestran las tres formas de obtener el mismo resultado:

[N,D] = parallel (N1,D1, N2,D2); G = parallel (G1, G2);

G = G1+G2;

Si, dado un esquema realimentado, queremos obtener la funci´on de transferencia equivalente al conjunto, podemos usar la funci´on cloop():

[Nbc,Dbc] = cloop (N,D,-1);

donde el último parámetro indica que se trata de realimentación negativa (1 ser´ıa realimentación positiva). Si hacemos uso de objetos función de transferencia, tenemos que recurrir a la función

feedback():

Gbc = feedback (G,1,-1);

El segundo parámetro de esta función indica la función de transferencia que se asume en la cadena de realimentación (en este caso, se trata de realimentación unitaria), mientras que el ´

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2 Introducci´

_{on al simulink}

simulink es un complemento de matlab que permite realizar simulación dinámica de sistemas por medio de una interfaz gráfica muy cómoda de usar. En esta sección se darán unos breves comentarios introductorios al simulink. En todo caso, es recomendable acudir a un manual de referencia m´as completo, como el que puede encontrarse en el entorno de Enseñanza Virtual

(apartado Contenido del Curso / Tutoriales / Tutorial de Simulink).

Para arrancar el simulink, basta teclear simulink en la ventana de comandos de matlab. Con ello, se abrir´a la llamada biblioteca de bloques de simulink, de la que podremos tomar todos los elementos que necesitemos para nuestras simulaciones. La ﬁgura 1 muestra el aspecto de esta ventana.

Figure 1: Ventana mostrando la biblioteca de bloques de simulink .

Para comenzar a usar simulink es preciso abrir un nuevo diagrama. Para ello, se puede pulsar sobre el icono de la hoja en blanco que aparece en la ventana de herramientas mostrada, o bien a través del men´u File→New→Model. Con ello, aparecerá una nueva ventana en la que se confeccionará el modelo del sistema dinámico que se quiere simular. Esta ventana recibe el nombre de ventana del modelo o ventana del diagrama del modelo.

Para construir un diagrama se arrastrarán elementos desde la ventana de herramientas hasta la ventana del modelo. Los elementos se unirán luego con flechas, dando lugar a un diagrama de bloques. Cada flecha representa una señal diferente de la cual podremos obtener, al realizar una simulación, su valor a lo largo del tiempo. El aspecto de los bloques en la pantalla puede diferir de unas versiones a otras de matlab, por lo que deberá poner atención a los nombres descriptivos que aparecen debajo de cada bloque.

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2.1 Integradores

Los integradores nos permiten modelar sistemas dinámicos lineales y no lineales descritos median-te un modelo en ecuaciones diferenciales. El hecho de que los sismedian-temas sean representados me-diante ecuaciones diferenciales implica que será necesario integrar dichas ecuaciones para poder simular cuál será la evolución temporal del sistema. simulink ofrece una herramienta de in-tegración numérica que incluye varios métodos de integración. Esto permite integrar señales temporales, independientemente de que el sistema sea lineal o no.

Para integrar directamente se˜nales temporales, simulink incluye un bloque llamado “integrador” (Integrator), el cual puede obtenerse de la biblioteca de elementos de tiempo continuo

(Contin-uous). Este componente proporciona una salida y igual a la integraci´on temporal de su entrada

u (y(t) =∫₀tu(τ )dτ ).

En la figura 2, se propone un pequeño modelo para ilustrar cómo funciona el bloque integrador. Se introduce a su entrada un escalón y se observa que la salida del integrador será una rampa.

Step Mux Scope

Integrator 1

s

Figure 2: Diagrama de bloques simulando el comportamiento de un integrador ante entrada en escal´on.

La señal de entrada del integrador proviene en este ejemplo de un bloque escal´on (Step) sacado de la biblioteca de fuentes (Sources). La salida del bloque integrador se re´une con la entrada en el bloque multiplexor (Mux, del apartado Signal Routing de la biblioteca), para que ambas sean mostradas en la gr´afica dibujada con el bloque visor (Scope, del apartado Sinks). En la figura 3, puede verse el resultado de la simulación visto a través del visor.

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2.2 Funciones de transferencia

Para utilizar funciones de transferencia dentro de simulink, basta con incluir un bloque Transfer

Function del apartado de tiempo continuo (Continuous) de la biblioteca, tal y como se presenta

en la ﬁgura 4.

Transfer Fcn s+2 s +s+32

Step Mux Scope

Figure 4: Ilustración del uso del bloque función de transferencia. En este caso, la función de transferencia elegida ha sido:

G(s) = s + 2 s2_{+ s + 3}

Para lograr que dicho bloque se corresponda con la función de transferencia dada, basta con mo-dificar los parámetros del mismo, pulsando dos veces sobre el bloque. En el cuadro de diálogo que aparece, se introducen los polinomios numerador y denominador, siguiendo la sintaxis habitual de matlab, como se muestra en la figura 5.

Figure 5: Par´ametros del bloque funci´on de transferencia.

El resultado de la simulación del diagrama anterior puede visualizarse a través del visor (figura 6).

2.3 Realimentaci´on y ganancias

En la ﬁgura 7, se muestra un nuevo diagrama de bloques, en el que aparecen diversos elementos nuevos, tales como un restador y una ganancia. Con ello, conseguimos implementar un diagrama realimentado, a partir de la funci´on de transferencia dada con anterioridad.

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Figure 6: Respuesta resultante de la simulaci´on del diagrama previo.

Transfer Function s+2 s +s+32 Sum

Step _Gain Scope

K

Figure 7: Funci´on de transferencia con ganancia en serie y realimentada.

Un sumador o restador se implementa mediante un bloque Add ´o Sum del apartado de Math

Operations de la biblioteca. Por su parte, una ganancia se implementa mediante el bloque de

forma triangular que aparece en el diagrama, obtenido a partir de un bloque Gain del apartado

Math Operations. F´ıjese que el valor introducido como ganancia no es una constante, sino una

variable de nombre K.

Para que la simulación del modelo pueda llevarse a cabo, será necesario que previamente se haya definido dicha variable desde matlab. Esto ilustra las posibilidades de interacción entre matlab y simulink: variables definidas en el espacio de trabajo de matlab pueden ser usadas desde simulink, as´ı como variables que tomen valores como resultado de la simulación de un diagrama de simulink estarán disponibles para su uso desde la ventana de comandos de matlab, como se verá a continuación.

2.4 Fuentes y sumideros

En la biblioteca de bloques de simulink existe un apartado que ya se ha citado anteriormente, se trata de las “fuentes” (Sources). Los elementos de este apartado son, esencialmente, generadores de se˜nales; entre ellos tenemos se˜nal de valor constante (Constant), se˜nal escal´on (Step), se˜nal rampa (Ramp), se˜nales senoidales (Sine Wave) y muchas otras. Tambi´en existe un elemento, denominado Clock, que proporciona un vector con los instantes de simulaci´on.

En el otro extremo, tenemos elementos que son “sumideros” de se˜nales, es decir, que s´olo reciben se˜nales, sin producir ninguna salida. Estos elementos se encuentran en el apartado Sinks. Entre estos elementos, encontramos los visores, como el Scope ya empleado. Otro elemento interesante

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de este grupo es el denominado To Workspace. Se trata de un bloque que almacena, en una variable cuyo nombre debemos especificar, un vector conteniendo los valores que va tomando la señal que se recibe como entrada del bloque, para cada instante de simulación.

La ﬁgura 8 muestra un nuevo diagrama de bloques, similar al de la ﬁgura 7, en el que se ha reemplazado el visor por un bloque To Workspace, al que se le ha asociado el nombre de variable

y. Asimismo, se ha eliminado el multiplexor y la se˜nal de entrada, producida por el escal´on, se almacena en otra variable, denominada r. Se ha incluido, adem´as, un elemento reloj, cuya salida se almacena en otra variable, a la que se la denomina tSim.

Transfer Function s+2 s +s+32 To Workspace2 tSim To Workspace1 r To Workspace y Sum Step _Gain K Clock

Figure 8: Diagrama de bloques para ilustrar el uso de los bloques Clock y To Workspace. En principio, se recomienda configurar los par´ametros de los elementos To Workspace tal y como se muestra en la figura 9, en particular con el formato de almacenamiento de tipo Array. La justificación está en la simplicidad que eso aporta, a posteriori, para la manipulación de estas variables desde matlab.

Figure 9: Cuadro de diálogo para establecer los par´ametros de un bloque To Workspace. Una vez realizada la simulaci´on, dispondremos de las variables tSim, r e y, con las que podremos realizar una representación gr´afica a voluntad, usando el comando plot() ya conocido:

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3 Trabajo a desarrollar en relaci´

on con el Control Toolbox de

matlab

En esta parte de la práctica, se parte directamente de una función de transferencia dada por la expresión siguiente: G1(s) = K (s + c) (s + p) (s2_{+ 2 δ w} ns + w2n) (1)

Se trata de una función de transferencia que será estable, con un polo real, que resultará ser el elemento más dominante respecto a los demás, un cero que será de fase m´ınima1 y un par de polos complejos conjugados, que serán menos dominantes que los demás elementos (si bien, ninguno de los factores citados será totalmente despreciable frente a los demás).

Cada alumno elegirá los valores numéricos de los parámetros, a partir de las siguientes relaciones:

K = 135 + 15 D8 90 p = 45 + 7 D7 90 c = 207 + 12 D6 90 δ = 45 + 2 D5 90 wn = 6 p

Siendo D8 el d´ıgito menos signiﬁcativo del DNI, D7el anterior y as´ı sucesivamente. Por ejemplo, para el DNI n´umero: 53568447, se tendr´ıa D8 = 7, D7 = 4, D6 = 4, D5 = 8, con lo que resultar´ıan los siguientes valores de los par´ametros:

K = 2.66667 p = 0.81111, c = 2.83333, δ = 0.67778, wn = 4.86667

3.1 Aproximaci´on por modelo de primer orden

3.1.1 Trabajo previo

En primer lugar, se desea obtener una funci´on de transferencia de orden reducido, que aproxime el comportamiento del sistema de partida.

1_{Un cero de fase m´ınima es aqu´}_{el que se encuentra en el semiplano izquierdo del plano complejo; dicho de otra}

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Si se simula la respuesta ante escalón del sistema dado, puede comprobarse que se puede identi-ficar fácilmente una única constante de tiempo dominante y aproximar al sistema por un modelo de primer orden, de la forma:

G1(s) ≈ ˜

K

1 + ˜τ s (2)

A partir de la representación gráfica de la respuesta ante escalón del sistema, pueden estimarse los dos parámetros requeridos en (2). Como es sabido, para un sistema que sea verdaderamente de primer orden, la identificación de la constante de tiempo puede realizarse con exactitud de varias formas: una de ellas se basa en que: y(˜τ ) = y(0) + 0.63 (y(∞) − y(0)). Otra forma se

basa en que el 95% del valor ﬁnal se alcanza una vez transcurrido un tiempo equivalente a tres veces la constante de tiempo de dicho sistema: y(3 ˜τ ) = y(0) + 0.95 (y(∞) − y(0)). De acuerdo con lo anterior, se deﬁnen: t_63% = ˜τ y te95%= 3 ˜τ .

Trabajo en el Centro de C´alculo

• Simule la respuesta ante escal´on del sistema original (1). A la vista de esa respuesta,

identifique emp´ıricamente los parámetros de la función de transferencia aproximada (2): ganancia estática ˜K [p1], y constante de tiempo ˜τ [p2](estimada a partir de la regla

t_63% = ˜τ ).

• Compare la respuesta ante escal´on unitario del sistema original y del reducido. Para

realizar esta comparación de forma gráfica, puede recurrirse a los comandos de matlab vistos anteriormente. Mida el valor de la respuesta del sistema original (1), transcurrido un intervalo de tiempo en segundos igual al doble de la constante de tiempo después de producirse el escalón de entrada, y(2 ˜τ ) [p3], y an´alogamente para el sistema aproximado (2) en ese mismo instante, yaprox(2 ˜τ ) [p4].

Nota: Si est´a utilizando el comando step() sugerido anteriormente, tenga en cuenta que puede conseguirse un paso de simulación tan pequeño como se quiera, proporcionando a dicha función un vector tiempo con el paso o incremento correspondiente.

• Habida cuenta de que, dependiendo del modelo concreto, puede obtenerse una mejor

aproximaci´on estimando la constante de tiempo mediante la regla te95% = 3 ˜τ , se pide realizar esta estimaci´on alternativa de la constante de tiempo, a la que se llamar´a ˜τ2 [p5].

• Con objeto de poder hacer la comparaci´on con el nuevo modelo aproximado resultante del

punto anterior, indique el valor de la respuesta del sistema original (1), transcurrido un intervalo igual a la nueva constante de tiempo, despu´es de producirse el escal´on de entrada,

y(˜τ2) [p6]. An´alogamente para el nuevo sistema aproximado yaprox2(˜τ2) [p7].

3.2 Aproximaci´on por modelo de segundo orden

En este apartado, se trabajará con una función de transferencia similar a la dada en (1), con la diferencia de que los polos complejos conjugados se harán más significativos. Para ello, se modifica el valor original de los par´ametros δ y wn:

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G2(s) = K (s + c) (s + p) (s2_{+ 2 δ} 2wn2s + wn22) ; δ2 = δ− 0.2 ; wn2 = wn/6 = p (3) 3.2.1 Trabajo previo

Se desea obtener una funci´on de transferencia de segundo orden, que aproxime el comportamiento del sistema de partida dado.

Simulando la respuesta ante escal´on del sistema dado, puede comprobarse que, efectivamente, dicha respuesta se puede aproximar mediante una funci´on de transferencia de segundo orden subamortiguada, de la forma: G₂(s) ≈ K ˜˜ w 2 n s2_{+ 2 ˜}_{δ ˜}_w ns + ˜w2n (4)

A partir de la representación gráfica de la respuesta ante escalón de un sistema de este tipo, pueden estimarse los parámetros requeridos en (4). Para el trabajo a realizar a continuación, se sugiere usar las medidas de ganancia estática, sobreoscilación (que, expresada en tanto por uno, será referida como ˜SO) y tiempo de pico (˜tp), para deducir los tres parámetros: ˜K, ˜δ y ˜wn. La relación entre las citadas medidas y los parámetros de la función de transferencia, como es sabido, son las siguientes:

˜ SO = e −˜δ π √ 1−˜δ2 ˜ tp = π ˜ wn √ 1− ˜δ2 (5)

3.2.2 Trabajo en el Centro de C´alculo

• Simule la respuesta ante escal´on del sistema original (3). A la vista de esa respuesta,

identifique emp´ıricamente los parámetros de la función de transferencia aproximada (4): ganancia estática ˜K [p8], coeficiente de amortiguamiento ˜δ [p9], y frecuencia natural no

amortiguada ˜wn [p10].

Nota: Tal y como se ha dicho anteriormente, debe emplearse la expresi´on (5) para la estimaci´on de ˜wn.

• Compare la respuesta ante escal´on unitario del sistema original y del reducido. Mida el

valor de la respuesta del sistema original (3), transcurrido un intervalo igual al tiempo de subida, despu´es de producirse el escal´on de entrada, y(˜ts) [p11]. An´alogamente para el sistema aproximado (4) en ese mismo instante, yaprox(˜ts) [p12].

Nota: Emplee la siguiente expresi´on para obtener el valor del tiempo de subida en el que tomar las medidas:

˜ ts = π − arccos(˜δ) ˜ wn √ 1− ˜δ2

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4 Trabajo a desarrollar en relaci´

_{on con simulink}

En esta sección, el alumno deberá emplear simulink para simular el comportamiento de un sistema lineal que modela a un motor de corriente continua (caso simplificado). Tomando como entrada la tensi´on aplicada sobre el motor, u [V], y como salida la orientaci´on del eje de la carga, θ [rad] (o, en su caso, la velocidad de giro del mismo, ˙θ [rad/s]), la ecuaci´on diferencial del modelo es la siguiente:

Kmu = I ¨θ + b ˙θ (6)

Los par´ametros del modelo se obtienen a partir del DNI de cada alumno, seg´un las siguientes expresiones: Km = 18 + 8 D8 90 [N· m/V ] I = 225 + 15 D7 90 [ Kg· m2 ] b = 45 + 15 D6 9 [ Kg· m2/s ]

Donde D6, D7 y D8 son las tres ´ultimas cifras del DNI. Por ejemplo, para el DNI n´umero: 53568447, se tendr´ıa D8 = 7, D7 = 4, D6 = 4, con lo que resultar´ıan los siguientes valores de los par´ametros: Km = 0.82222, I = 3.16667 y b = 11.66667 2.

4.1 Modelado del motor

4.1.1 Trabajo previo

El diagrama de bloques de la ecuación diferencial (6) puede implementarse fácilmente, despe-jando la derivada segunda de la salida, ¨θ. El resultado puede apreciarse en la figura 10.

u acelAng _velAng ang

Scope 1 s 1 s Km b 1/I

Figure 10: Diagrama de bloques que implementa el modelo del motor.

Dado que este sistema es lineal, suponiendo condiciones iniciales nulas, puede obtenerse su funci´on de transferencia de forma inmediata, resultando Gv(s) para la salida en velocidad y 2_{A diferencia de lo que ocurre con los dem´}_{as par´}_{ametros, el denominador de la expresi´}_{on que define el par´}_ametro b es 9, en lugar de 90.

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Gp(s) para la salida en posici´on: Gv(s) = K 1 + τ s ; Gp(s) = 1 sGv(s) = K s (1 + τ s) (7)

Pueden calcularse de forma directa los par´ametros K y τ de las expresiones anteriores, a partir de los parámetros del modelo (6). Una vez hecho esto, una forma equivalente de modelar el motor, a través de su función de transferencia, ser´ıa mediante un único bloque de simulink, como se muestra en la figura 11.

u K velAng ang

tau .s+1 _Scope

1 s

Figure 11: Modelado del motor mediante funci´on de transferencia.

Desde el punto de vista práctico, la única diferencia entre el modelo representado en la figura 10 y el mostrado en la figura 11 es que, en el primero de ellos, se puede simular la evolución del sistema ante condiciones iniciales no nulas para velocidad y que existen señales intermedias directamente accesibles, como la aceleración angular, ¨θ, o el par de fricción, b ˙θ.

• Implemente el diagrama de bloques mostrado en la ﬁgura 10, pero haciendo que entre

también en el visor la velocidad angular 3. Configure una condici´on inicial no nula, θ(t = 0) = 0.2 [rad], para la salida en posici´on, a través de las propiedades del integrador correspondiente. Mantenga, sin embargo, condición inicial nula para la velocidad angular,

˙

θ(t = 0) = 0 [rad/s].

Nota: De cara al siguiente punto, tenga precauci´on para no pasar por alto el instante en el que se produce el escal´on, dado que, por defecto, no es cero.

• Simule la respuesta del sistema ante una entrada de tipo escal´on: u(t) = 4V . Tome nota

de los valores θ(t) [p13] y ˙θ(t) [p14], 0.3 segundos despu´es de producirse dicho escal´on.

Nota: En algunos casos, si se observa que las curvas de respuesta tienen pocos puntos,

significa que la simulación puede requerir un paso de integración máximo más reducido. Esto puede dar lugar a medidas imprecisas, a partir de las representaciones gráficas de las señales de interés. El parámetro que controla este paso de integración puede establecerse en (Menu→Simulation→Configuration Parameters→Max. step size) del método numérico de integración de simulink (ver figura 12). Por defecto, el valor de este parámetro suele ser auto, pero puede modificarse este valor a voluntad, para forzar a que el n´umero de puntos en los que se lleva a cabo la simulación se incremente sustancialmente.

Si, como consecuencia de lo anterior, el número de puntos a registrar durante una simu-lación aumenta considerablemente, y la simulación dura el tiempo suficiente, puede ser necesario tener en cuenta un detalle adicional, en relaci´on con los elementos Scope, en caso 3

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Figure 12: Opción para cambiar el paso máximo de integración de simulink.

de que éstos se estén usando. Estos visores, poseen un buffer para el registro de las variables que se reciben como entrada, el cual puede verse desbordado. Esto llevar´ıa a la pérdida del registro de la primera parte del experimento. Por defecto, los bloques Scope s´olo mantienen el registro de los últimos 5000 puntos de una simulación. Este problema puede solventarse de forma inmediata, accediendo a las propiedades del Scope y desactivando, en la pesta˜na

Data History, la limitaci´on del buﬀer, tal y como se muestra en la ﬁgura 13.

Figure 13: Opci´on para desactivar la limitaci´on del buﬀer del Scope.

• Proporcione los valores de los par´ametros de la funci´on de transferencia Gv(s): K [p15],

τ [p16]. Estos par´ametros pueden obtenerse, bien de forma anal´ıtica, bien de forma experimental, como se desee.

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4.2 Motor en realimentaci´on 4.2.1 Trabajo previo

A partir de la función de transferencia del motor, resulta muy cómodo establecer una configu-ración en realimentación, añadiendo una ganancia ajustable en la cadena directa, como se mues-tra en la figura 14. Como puede apreciarse, en este caso, se ha usado directamente la función de transferencia de salida en posición, siendo ésta la señal que se realimenta.

u ang

e

r K

tau .s +s2 _Scope

Kc

Figure 14: Sistema motor realimentado con ganancia ajustable.

Debe tenerse en cuenta que la señal de tipo escalón es, en este caso, de naturaleza distinta a la que ten´ıa en los diagramas en bucle abierto, figuras 10 y 11. En los casos anteriores, al estar el sistema en bucle abierto, el escalón se usaba para proporcionar directamente la señal de entrada al sistema o actuación, u(t). Sin embargo, en el esquema realimentado, la se˜nal proporcionada por el escalón será una se˜nal de referencia, r(t), que debe ser comparada con la salida y, por tanto, debe ser una señal de la misma naturaleza que ésta; es decir, se trata de una referencia para el ángulo de salida del motor. Por otro lado, como puede comprobarse, se ha añadido una ganancia ajustable que, a partir del error observado en el ángulo de salida respecto a la referencia fijada, e(t), proporciona una actuación directamente proporcional a dicho error: u(t) = Kc e(t).

Si se realiza la reducci´on del diagrama de bloques, para un valor gen´erico de ganancia Kc, puede comprobarse que la funci´on de transferencia equivalente al conjunto es una de segundo orden, que puede hacerse corresponder con la forma t´ıpica de sistema de segundo orden subamortiguado:

Gbc = Kbcwn2bc s2_{+ 2 δ} bcwnbcs + w 2 nbc (8)

• Determine anal´ıticamente el valor de la ganancia Kc [p17], para que el sistema realimen-tado resulte estable y con un coeﬁciente de amortiguamiento δbc = 0.7, de acuerdo con la expresi´on (8).

• Implemente el diagrama de bloques mostrado en la ﬁgura 14 y veriﬁque el punto

ante-rior (basta comprobar que la sobreoscilaci´on del sistema realimentado resultante debe ser ligeramente inferior al 5%).

• Para el valor de ganancia Kcﬁjado, determine anal´ıticamente el tiempo de pico que tendr´ıa la respuesta ante referencia en escal´on, tpteorico [p18]. Determine este mismo valor

ex-perimentalmente, tpexperim [p19], a partir de una simulaci´on con el modelo de la ﬁgura

(18)

5 Instrucciones para entregar las respuestas en Goodle

Las respuestas del módulo entregarán en Goodle. La página web del servidor de docencia es:

http://bono.us.es/sdocencia

Para entregar el proyecto hay que darse de alta en Goodle siguiendo las instrucciones de la gu´ıa que puede encontrarse en el entorno de Ense˜nanza Virtual (apartado Contenido del Curso / Tutoriales / Gu´ıa de Goodle GMS). La entrega de los resultados consiste en rellenar el formulario

de texto siguiendo las siguientes instrucciones:

• Cada respuesta correspondiente a una cuesti´on de trabajo en el centro de c´alculo tiene

asignado un nombre. En el enunciado de la pr´actica se indica con una etiqueta entre corchetes cada respuesta que hay que entregar.

Ejemplo: A la primera respuesta (valor de la ganancia est´atica identiﬁcada) le corresponde el nombre p1 y a la ´ultima respuesta le corresponde el nombre p19.

• Para cada respuesta hay que escribir una l´ınea con el siguiente formato:

nombre = valor;

Ejemplo: Para responder que el valor de la constante de tiempo de la funci´on de transfe-rencia (2) es 0.3 segundos, se escribir´ıa la siguiente l´ınea:

p2 = 0.3;

• Observe que los decimales se separan utilizando el punto, no la coma.

• En caso de que hubiera que dar una respuesta que correspondiera a un polinomio (por

ejemplo, el denominador de una funci´on de transferencia), hay que utilizar el formato explicado al principio para introducir polinomios en matlab en la Secci´on 1.1. En caso de que alguno de los polinomios fuera una constante, los corchetes deben obviarse. Por ejemplo, para indicar:

Gbc(s) = 7

3s2_{+ 0.45} habr´ıa que escribir las siguientes l´ıneas:

p14 = 7;

p15 = [3, 0, 0.45];

• Goodle rechaza los env´ıos con errores de sintaxis.

• Es recomendable confeccionar la respuesta en un ﬁchero de texto plano antes de pasarla

al servidor, por ejemplo utilizando el bloc de notas de Windows.

• Si desconoce alguno de los datos solicitados, evite dar respuestas que provoquen error de

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p5 = ; p6 =

En lugar de eso, introduzca en la respuesta alg´un valor, preferentemente un valor nulo: p5 = 0;

p6 = 0;

Ejemplo de formulario relleno

(Los n´umeros siguientes son aleatorios)

p1 = 3; p2 = 4.3; p3 = 0.65; p4 = 23.4; p5 = 34; p6 = -4; p7 = 76.5; p8 = 12; p9 = 1; p10 = 9; p11 = 43; p12 = 3.1; p13 = 5.2; p14 = 2.4; p15 = 29.5; p16 = 0.0005; p17 = -92.4; p18 = 2.84; p19 = 4.17;