Diapositivas Ecuaciones Diferenciales

(1)

Ecuaciones Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Aland Bravo Aland Bravo Vecorena Vecorena Capítulo 2 Capítulo 2

Teoría del Capítulo

N N◦◦.2.2 Ejercicios del Ejercicios del Capítulo N Capítulo N◦◦.2.2

Ecuaciones Diferenciales

Aland Bravo Vecorena Aland Bravo Vecorena

29 de julio de 2017 29 de julio de 2017

ISBN

ISBN 978-612-46978-612-46624-9-2624-9-2

(2)

(3)

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Objetivos del Capítulo 2

Los objetivos de esta sesión de aprendizaje son los siguientes: Los objetivos de esta sesión de aprendizaje son los siguientes:

••

Encontrar la solución general a cualquier EDO lineal homo- Encontrar la solución general a cualquier EDO lineal homo-génea de primer orden mediante la separación de variables. génea de primer orden mediante la separación de variables.

(4)

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Los objetivos de esta sesión de aprendizaje son los siguientes: Los objetivos de esta sesión de aprendizaje son los siguientes:

••

Encontrar la solución general a cualquier EDO lineal homo- Encontrar la solución general a cualquier EDO lineal homo-génea de primer orden mediante la separación de variables. génea de primer orden mediante la separación de variables.

••

Encontrar una solución particular a cualquier EDO lineal Encontrar una solución particular a cualquier EDO lineal de primer orden no homogénea utilizando la variación de de primer orden no homogénea utilizando la variación de parámetros.

(5)

Ecuaciones Diferenciales Aland Bravo

Vecorena Capítulo 2

Teoría del Capítulo N◦.2

Ejercicios del Capítulo N◦.2

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Los objetivos de esta sesión de aprendizaje son los siguientes:

•

Encontrar la solución general a cualquier EDO lineal

homo-génea de primer orden mediante la separación de variables.

•

Encontrar una solución particular a cualquier EDO lineal de primer orden no homogénea utilizando la variación de parámetros.

•

Encontrar la solución general para cualquier ecuación dife-rencial de primer orden no homogénea mediante la solución a la función homogénea asociada, su solución particular y luego la aplicación de superposición.

(6)

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Los objetivos de esta sesión de aprendizaje son los siguientes:

•

Encontrar la solución general a cualquier EDO lineal

homo-génea de primer orden mediante la separación de variables.

•

Encontrar una solución particular a cualquier EDO lineal de primer orden no homogénea utilizando la variación de parámetros.

•

Encontrar la solución general para cualquier ecuación dife-rencial de primer orden no homogénea mediante la solución a la función homogénea asociada, su solución particular y luego la aplicación de superposición.

•

Resolver problemas de valor inicial para ecuaciones

(7)

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

Una Ecuación Diferencial relaciona una función que incluye una variable dependiente y sus derivadas, con respecto a una o más variables independientes y sus derivadas.

(8)

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo de una Ecuación Diferencial

d 3 y dt 3 + d 2 y dt 2 + dy dt + y = 2t

(9)

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

d 3 y dt 3 + d 2 y dt 2 + dy dt + y = 2t

•

3ra Derivada de y

(10)

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

d 3 y dt 3 + d 2 y dt 2 + dy dt + y = 2t

•

3ra Derivada de y

•

2da Derivada de y

(11)

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

d 3 y dt 3 + d 2 y dt 2 + dy dt + y = 2t

•

3ra Derivada de y

•

2da Derivada de y

•

1ra Derivada de y

(12)

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

d 3 y dt 3 + d 2 y dt 2 + dy dt + y = 2t

•

3ra Derivada de y

•

2da Derivada de y

•

1ra Derivada de y

•

Variable Dependiente y

(13)

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

d 3 y dt 3 + d 2 y dt 2 + dy dt + y = 2t

•

3ra Derivada de y

•

2da Derivada de y

•

1ra Derivada de y

•

Variable Dependiente y

•

Variable Independiente t

(14)

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales

Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) Si la ecuación contie-ne derivadas respecto a una sola variable independiente.

(15)

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales

Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) Si la ecuación contie-ne derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuación en Derivadas Parciales (EDP) Si contiene

(16)

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales

Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) Si la ecuación contie-ne derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuación en Derivadas Parciales (EDP) Si contiene

deriva-das parciales respecto a dos o más variables independientes. Ejemplo de una EDO y una EDP

d 3 y dt 3 + d 2 y dt 2 + dy dt + y = 2t ( EDO) ∂ 3_y ∂ _r3 + ∂ 2_y ∂ _s2 + ∂ _y ∂ _t + y = 2

·

r

·

s

·

t ( EDP)

(17)

Deﬁniciones Preliminares

Notaciones de una Ecuación Diferencial

Para expresar las derivadas de una Ecuación Diferencial se utilizan indistintamente las notaciones: ˙, (n) ,  y _dtd . Notar que: y(n) = d _dtn yn



= yn = y

·

. . .

·

y

  

yn

(18)

Deﬁniciones Preliminares



= yn = y

·

. . .

·

y

  

yn

.

Notaciones Equivalentes

(19)

Deﬁniciones Preliminares



= yn = y

·

. . .

·

y

  

yn

.

Primera derivada: y ˙ y dy_dt

(20)

Deﬁniciones Preliminares



= yn = y

·

. . .

·

y

  

yn

.

Segunda derivada: y ¨ y d _dt2 y2 Tercera derivada: y(3) y d _dt3 y₃

(21)

Deﬁniciones Preliminares



= yn = y

·

. . .

·

y

  

yn

.

Segunda derivada: y ¨ y d _dt2 y2 Tercera derivada: y(3) y d _dt3 y₃

N-ésima derivada: y(n) y

n veces

  



_···



d n y dt n

(22)

Deﬁniciones Preliminares

Orden y Grado de una Ecuación Diferencial

•

El Orden de una Ecuación Diferencial es el valor más alto

(23)

Deﬁniciones Preliminares

•

de la derivada n

₋

ésima, que aparece en la ecuación.

•

El Grado de una Ecuación Diferencial está determinado por

el exponente de la derivada de mayor orden a la que puede escribirse como un polinomio en la función desconocida y sus derivadas de la ecuación.

(24)

Deﬁniciones Preliminares

•

de la derivada n

₋

•

Ejemplo de Orden y Grado

( y(7))2 + 3 ˙ y7 y(3) + t 7

_·

y + t 9 = 0

(25)

Deﬁniciones Preliminares

•

de la derivada n

₋

•

Ejemplo de Orden y Grado

( y(7))2 + 3 ˙ y7 y(3) + t 7

_·

y + t 9 = 0

•

Orden 7

(26)

Deﬁniciones Preliminares

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal Homogénea

•

Es una Ecuación Diferencial de grado 1 en el cual cada sumando es una función del tiempo t de y, y ˙, y ¨,

_···

, y(n), de

la forma:

(27)

Deﬁniciones Preliminares

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal Homogénea

•

Es una Ecuación Diferencial de grado 1 en el cual cada sumando es una función del tiempo t de y, y ˙, y ¨,

_···

, y(n), de

la forma:

y(n)+ p_n

₋

₁(t ) y(n

−

1) +

_···

+ p₁(t ) y˙+ p₀(t ) y = 0

Modelo Matemático de la EDO Homogénea

•

Condiciones Iniciales

•

Entrada =

_⇒

0

•

Sistema =

_⇒

y(n), . . . , y ˙

(28)

Deﬁniciones Preliminares

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal No Homogénea

•

La señal q(t ) es la entrada, el sistema es la ecuación

dife-rencial incluido sus condiciones iniciales que representa el modelo matemático del mundo real e y(t ) es la señal de salida: y(n)+ p_n

₋

₁(t ) y(n

−

1)+

_···

+ p₁(t ) y˙+ p₀(t ) y = q(t )

(29)

Deﬁniciones Preliminares

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal No Homogénea

•

La señal q(t ) es la entrada, el sistema es la ecuación

dife-rencial incluido sus condiciones iniciales que representa el modelo matemático del mundo real e y(t ) es la señal de salida: y(n)+ p_n

₋

₁(t ) y(n

−

1)+

_···

+ p₁(t ) y˙+ p₀(t ) y = q(t )

Modelo Matemático de la EDO No Homogénea

•

Condiciones Iniciales

•

Entrada =

_⇒

q(t )

•

Sistema =

_⇒

y(n), . . . , y ˙

(30)

Deﬁniciones Preliminares

Clasiﬁcación de las Ecuaciones Diferenciales

( y(n))gn ₊_p

n

₋

1(t )( y(n

−

1) )gn−1 +

···

+ p1(t )( y ˙)g1 + p0(t )( y)g0 = q(t )

Ecuaciones Diferenciales No ineale Grado No Linealizable Linealizables Lineales Grado No Homogéneas Homogéneas

(31)

Deﬁniciones Preliminares

( y(n))gn ₊_p

n

₋

1(t )( y(n

−

1) )gn−1 +

···

+ p1(t )( y ˙)g1 + p0(t )( y)g0 = q(t )

Ecuaciones Diferenciales Lineales (Grado g_i = 1) No ineale Grado No Linealizable Linealizables No Homogéneas Homogéneas

(32)

Deﬁniciones Preliminares

( y(n))gn ₊_p

n

₋

1(t )( y(n

−

1) )gn−1 +

···

+ p1(t )( y ˙)g1 + p0(t )( y)g0 = q(t )

Ecuaciones Diferenciales Lineales (Grado g_i = 1) Homogéneas q(t ) = 0 No ineale Grado No Linealizable Linealizables No Homogéneas

(33)

Deﬁniciones Preliminares

( y(n))gn ₊_p

n

₋

1(t )( y(n

−

1) )gn−1 +

···

+ p1(t )( y ˙)g1 + p0(t )( y)g0 = q(t )

Ecuaciones Diferenciales Lineales (Grado g_i = 1) No Homogéneas q(t )

_

= 0 Homogéneas q(t ) = 0 No ineale Grado No Linealizable Linealizables

(34)

Deﬁniciones Preliminares

( y(n))gn ₊_p

n

₋

1(t )( y(n

−

1) )gn−1 +

···

+ p1(t )( y ˙)g1 + p0(t )( y)g0 = q(t )

Ecuaciones Diferenciales No Lineales (Grado g_i > 1) Lineales (Grado g_i = 1) No Homogéneas q(t )

_

= 0 Homogéneas q(t ) = 0 No Linealizable Linealizables

(35)

Deﬁniciones Preliminares

( y(n))gn ₊_p

n

₋

1(t )( y(n

−

1) )gn−1 +

···

+ p1(t )( y ˙)g1 + p0(t )( y)g0 = q(t )

Ecuaciones Diferenciales No Lineales (Grado g_i > 1) Linealizables Lineales (Grado g_i = 1) No Homogéneas q(t )

_

= 0 Homogéneas q(t ) = 0 No Linealizable

(36)

Deﬁniciones Preliminares

( y(n))gn ₊_p

n

₋

1(t )( y(n

−

1) )gn−1 +

···

+ p1(t )( y ˙)g1 + p0(t )( y)g0 = q(t )

Ecuaciones Diferenciales No Lineales (Grado g_i > 1) No Linealizables Linealizables Lineales (Grado g_i = 1) No Homogéneas q(t )

_

= 0 Homogéneas q(t ) = 0

(37)

Deﬁniciones Preliminares

( y(n))gn ₊_p

n

₋

1(t )( y(n

−

1) )gn−1 +

···

+ p1(t )( y ˙)g1 + p0(t )( y)g0 = q(t )

¿Cuál de las siguientes EDO es lineal?

1. y¨

₋

7t y ˙ y = 0

2. y¨ = et ( y+t 2) 3. y˙

₋

y2 = 0

4. y˙2

₋

ty = sen t

(38)

Deﬁniciones Preliminares

(

( y y((nn))))ggnn ₊₊_p_p

n

₋

11((t t ))(( y y((nn

−

11)) ))ggnn−−11 ++

···

++ p p11((t t ))(( y y ˙ ˙))gg11 ++ p p00((t t ))(( y y))gg00 == q q((t t ))

¿Cuál de las siguientes ¿Cuál de las siguientes EDO es lineal?

EDO es lineal? 1.

1. y y¨¨

₋

77tt yy ˙˙ y y = = 0 0

2.

2. y y¨¨ = = e et t (( y y++t t 22)) 3.

3. y y˙˙

₋

y y22 == 0 0

4.

4. y y˙˙22

₋

ttyy = = sen sen t t

5.

5. y y˙˙ = = cos cos(( y y++t t )) Solución:

Solución: Por inspec- Por inspec-ción tenemos.

ción tenemos.

1.

(39)

Deﬁniciones Preliminares

(

n

₋

11((t t ))(( y y((nn

−

11)) ))ggnn−−11 ++

···

EDO es lineal? 1.

1. y y¨¨

₋

77tt yy ˙˙ y y = = 0 0

2.

2. y y¨¨ = = e et t (( y y++t t 22)) 3.

3. y y˙˙

₋

y y22 == 0 0

4.

4. y y˙˙22

₋

5.

ción tenemos.

1.

1. y y¨¨

₋

77t t y y y y˙˙ = = 0 0

2.

(40)

Deﬁniciones Preliminares

(

n

₋

11((t t ))(( y y((nn

−

11)) ))ggnn−−11 ++

···

EDO es lineal? 1.

1. y y¨¨

₋

77tt yy ˙˙ y y = = 0 0

2.

2. y y¨¨ = = e et t (( y y++t t 22)) 3.

3. y y˙˙

₋

y y22 == 0 0

4.

4. y y˙˙22

₋

5.

ción tenemos.

1.

1. y y¨¨

₋

77t t y y y y˙˙ = = 0 0

2.

2. y y¨¨ == eet t (( y y++t t 22))

₋

_−→

_→

y y¨¨++((

₋

eet t )) y y == t t 22eet t

3.

(41)

Deﬁniciones Preliminares

( y(n))gn ₊_p

n

₋

1(t )( y(n

−

1) )gn−1 +

···

+ p1(t )( y ˙)g1 + p0(t )( y)g0 = q(t )

1. y¨

₋

7t y ˙ y = 0

2. y¨ = et ( y+t 2) 3. y˙

₋

y2 = 0

4. y˙2

₋

ty = sen t

5. y˙ = cos( y+t )

Solución: Por inspec-ción tenemos.

1. y¨

₋

7t y ˙ y = 0

2. y¨ = et ( y+t 2)

_−→

y¨+(

₋

et ) y = t 2et

3. y˙

₋

y2 = 0

(42)

Deﬁniciones Preliminares

( y(n))gn ₊_p

n

₋

1(t )( y(n

−

1) )gn−1 +

···

+ p1(t )( y ˙)g1 + p0(t )( y)g0 = q(t )

1. y¨

₋

7t y ˙ y = 0

2. y¨ = et ( y+t 2) 3. y˙

₋

y2 = 0

4. y˙2

₋

ty = sen t

5. y˙ = cos( y+t )

1. y¨

₋

7t y ˙ y = 0

2. y¨ = et ( y+t 2)

_−→

y¨+(

₋

et ) y = t 2et

3. y˙

₋

y2 = 0

4. y˙2

₋

ty = sen t

(43)

Deﬁniciones Preliminares

( y(n))gn ₊_p

n

₋

1(t )( y(n

−

1) )gn−1 +

···

+ p1(t )( y ˙)g1 + p0(t )( y)g0 = q(t )

1. y¨

₋

7t y ˙ y = 0

2. y¨ = et ( y+t 2) 3. y˙

₋

y2 = 0

4. y˙2

₋

ty = sen t

5. y˙ = cos( y+t )

1. y¨

₋

7t y ˙ y = 0

2. y¨ = et ( y+t 2)

_−→

y¨+(

₋

et ) y = t 2et

3. y˙

₋

y2 = 0

4. y˙2

₋

ty = sen t

5. y˙ = cos( y+t )

Luego, la alternativa 2 es la única EDO lineal ya que las otras ecuaciones son no lineales ( en color naranja ).

(44)

Deﬁniciones Preliminares

( y(n))gn ₊_p

n

₋

1(t )( y(n

−

1) )gn−1 +

···

+ p1(t )( y ˙)g1 + p0(t )( y)g0 = q(t )

¿Cómo clasiﬁcarías las ecuaciones diferenciales: y˙ = ay e y˙ =

₋

ay ? Seleccione todas las opciones que apliquen. 1. Primer Orden 2. Segundo Orden 3. Lineal 4. No Lineal 5. Homogénea 6. No Homogénea

(45)

Deﬁniciones Preliminares

( y(n))gn ₊_p

n

₋

1(t )( y(n

−

1) )gn−1 +

···

+ p1(t )( y ˙)g1 + p0(t )( y)g0 = q(t )

¿Cómo clasiﬁcarías las ecuaciones diferenciales: y˙ = ay e y˙ =

₋

ay ? Seleccione todas las opciones que apliquen. 1. Primer Orden 2. Segundo Orden 3. Lineal 4. No Lineal 5. Homogénea 6. No Homogénea Solución:

Por inspección tene-mos que son Ecua-ciones Diferenciales de Primer Orden, Li-neal y Homogénea, que corresponde a las alternativas 1, 3 y 5.

(46)

Deﬁniciones Preliminares

Derivadas Parciales

Dada la función f ( x, y), la derivada parcial con respecto a x e y

se calcula del siguiente modo:

Derivada Parcial con respecto a x: f _x = _∂∂ _x f ( x, y) Derivada Parcial con respecto a y: f _y = _∂∂ _y f ( x, y)

(47)

Deﬁniciones Preliminares

Derivadas Parciales

Derivación Parcial de f = 4 x2 y2 +6

∂ _f ∂ _x = ∂ ∂ _x



4 x2 y2+6



⇐⇒

= _∂∂ _x(4 x2 y2) +  _∂∂ _x  (_6)

⇐⇒

= 4 y2 _∂∂ _x( x2) +0

⇐⇒

= 4 y2(2 x) ∂ _f ∂ _x = 8 xy2

(48)

Deﬁniciones Preliminares

Derivadas Parciales

Derivación Parcial de f = 4 x2 y2 +6

∂ _f ∂ _x = ∂ ∂ _x



4 x2 y2+6



⇐⇒

= _∂∂ _x(4 x2 y2) +  _∂∂ _x  (_6)

⇐⇒

= 4 y2 _∂∂ _x( x2) +0

⇐⇒

= 4 y2(2 x) ∂ _f ∂ _x = 8 xy2 ∂ _f ∂ _y = ∂ ∂ _y



4 x2 y2+6



⇐⇒

= _∂∂ _y(4 x2 y2) +  _  ∂ ∂ _y(6)

⇐⇒

= 4 x2_∂∂ _y( y2) +0

⇐⇒

= 4 x2(2 y) ∂ _f ∂ _y = 8 x2 y

(49)

Deﬁniciones Preliminares

Derivadas Parciales

Sea la función f ( x, y) = 3 x4

₋

4 x2 y2

₋

5 y4 +6, calcular sus

derivadas parciales con respecto a x e y.

Solución:

Derivada Parcial con respecto a x:

∂ _f ∂ _x = ∂ ∂ _x



3 x4

−

4 x2 y2

−

5 y4 +6



⇐⇒

= _∂∂ _x(3 x4)

₋

_∂∂ _x(4 x2 y2)

₋

 _∂∂ _x  (5 y  _4) +  ∂ ∂ _x  (  6)

⇐⇒

= 3(4 x3)

₋

4 y2_∂∂ _x( x2)

₋

0+0

⇐⇒

= 12 x3

₋

4 y2(2 x) ∂ _f ∂ _x = 12 x3

−

8 xy2

(50)

Deﬁniciones Preliminares

Derivadas Parciales

Sea la función f ( x, y) = 3 x4

₋

4 x2 y2

₋

5 y4 +6, calcular sus

derivadas parciales con respecto a x e y.

Solución:

Derivada Parcial con respecto a y:

∂ _f

∂ _y =

∂

∂ _y



3 x4

−

4 x2 y2

−

5 y4 +6



⇐⇒

=  _∂∂ _y  (3 x__4)

₋

_∂∂ _y(4 x2 y2)

₋

_∂∂ _y(5 y4) +   

∂

∂ _y(6)

⇐⇒

= 0

₋

4 x2 _∂∂ _y( y2)

₋

5(4 y3) +0

⇐⇒

= 0

₋

4 x2(2 y)

₋

20 y3 +0

∂ _f

(51)

Deﬁniciones Preliminares

Modelado de un Acuario Marino

Modele el cambio de concentración de sal en un Acuario Marino sobre un tanque con 800 litros de agua fresca, con un flujo de agua de en-trada _min5 L , un flujo de concentración de sal de 75_Lg y un flujo de salida 3_minL . Asuma una mezcla instantá-nea y contínua. 5 L/min 75 g/L 3 L/min V 0 x(t ) 800L x(0) = 0 g

(52)

Deﬁniciones Preliminares

Figura 1: Tanque de Salmuera

Solución: El primer paso es dibujar el diagrama del sis-tema. Ver ﬁgura 1. Luego identiﬁcamos las cantidades relevantes con sus respecti-vas unidades:

Video de un Tanque Marino

(53)

Deﬁniciones Preliminares

Solución: El primer paso es dibujar el diagrama del sis-tema. Ver ﬁgura 1. Luego identiﬁcamos las cantidades relevantes con sus respecti-vas unidades:

Planteo de Variables

t = Tiempo en minutos (min) x(t ) =



Total de gramos de_{Sal en el tanque}

(g) V (t ) =



Total de litros de_{Fluído en el tanque}

( L)

x(t )

V (t ) =



Concentración de Sal

en el Fluído del tanque ( g_L)

dx(t )

dt =



Tasa de

(54)

Deﬁniciones Preliminares

Modele el cambio de concentración de sal en un Acuario Marino sobre un tanque con 800 litros de agua fresca, con un flujo de agua de en-trada _min5 L , un flujo de concentración de sal de 75_Lg y un flujo de salida

3_minL . Asuma una mezcla instantá-nea y contínua. 5 L/min 75 g/L 3 L/min V 0 x(t ) 800L x(0) = 0 g

Solución: El primer paso es dibujar el diagrama del sis-tema. Ver ﬁgura 1. Luego identiﬁcamos las cantidades relevantes con sus respecti-vas unidades: Planteo de Ecuaciones V (t ) = 800( L) + (5₋3)(_minL )t (min) ⇐⇒ = (800+2t )( L) Tasa de Entrada = (75 g L )(5minL ) = 375 g min Tasa de Salida = ( x(t ) V (t ) g L )(3minL ) ⇐⇒ = ₍₈₀₀3 x(₊t )₂_t₎ _ming d dt x(t ) = 375− 3 x(t ) (800+2t )

(55)

Deﬁniciones Preliminares

Derivadas Exactas e Implícitas

Derivada Exacta Dada la función f ( x, y), la derivada exacta o total se calcula del siguiente modo:

d f ( x, y) = ∂

∂ _x f ( x, y)

·

dx+ ∂

(56)

Deﬁniciones Preliminares

Derivada Exacta Dada la función f ( x, y), la derivada exacta o total se calcula del siguiente modo:

d f ( x, y) = ∂

∂ _x f ( x, y)

·

dx+ ∂

∂ _y f ( x, y)

·

dy

Derivada Implícita Dada la función F ( x, y), la derivada

implí-cita y = dy_dx se calcula del siguiente modo: F _x = ∂ ∂ _xF ( x, y) F  y = ∂ ∂ _yF ( x, y) y = dy dx =

−

F _x F _y =

−

∂ ∂ _xF ( x, y) ∂ ∂ _yF ( x, y)

(57)

Deﬁniciones Preliminares

Calcular la diferencial exacta de la siguiente función:

(58)

Deﬁniciones Preliminares

f ( x, y) = ysen x

₋

xcos y

Solución: Por inspección tenemos

∂ _f

∂ _x =

∂

∂ _x [ ysen x

−

xcos y]

⇐⇒

= _∂∂ _x( ysen x)

₋

_∂∂ _x( xcos y)

∂ _f

(59)

Deﬁniciones Preliminares

f ( x, y) = ysen x

₋

xcos y

∂ _f

∂ _x =

∂

∂ _x [ ysen x

−

xcos y]

⇐⇒

= _∂∂ _x( ysen x)

₋

_∂∂ _x( xcos y)

∂ _f

∂ _x = ycos x

−

cos y

∂ _f

∂ _y =

∂

∂ _y [ ysen x

−

xcos y]

⇐⇒

= ∂ ∂ _y( y sen x)

−

∂

∂ _y( x cos y) ∂ _f

(60)

Deﬁniciones Preliminares

f ( x, y) = ysen x

₋

xcos y

∂ _f

∂ _x =

∂

∂ _x [ ysen x

−

xcos y]

⇐⇒

= _∂∂ _x( ysen x)

₋

_∂∂ _x( xcos y)

∂ _f

∂ _x = ycos x

−

cos y

∂ _f

∂ _y =

∂

∂ _y [ ysen x

−

xcos y]

⇐⇒

= ∂ ∂ _y( y sen x)

−

∂

∂ _y( x cos y) ∂ _f

∂ _y = sen x+ x sen y

Por lo tanto la diferencial exac-ta o toexac-tal de f ( x, y) es:

d f ( x, y) = ∂ f ∂ ( x_x, y)dx+

∂ _f₍_x_,_y₎ ∂ _y dy

d f ( x, y) = ( y cos x

−

cos y)dx+ (sen x+ xsen y)dy

(61)

Deﬁniciones Preliminares

Sea la función _yx

₋

xy2 +3 = 0. Calcular su derivación implícita. Solución:

Por inspección tenemos :

F ( x, y) = _yx

₋

xy2 +3

∂ _F ∂ _x = ∂ ∂ _x



x_y

−

xy2+3



⇐⇒

= _y1

₋

y2 ∂ _F ∂ _x = 1

₋

y3 y

(62)

Deﬁniciones Preliminares

Sea la función _yx

₋

F ( x, y) = _yx

₋

xy2 +3

∂ _F ∂ _x = ∂ ∂ _x



x_y

−

xy2+3



⇐⇒

= _y1

₋

y2 ∂ _F ∂ _x = 1

₋

y3 y

F ( x, y) = _yx

₋

xy2+3

∂ _F

∂ _y =

∂

∂ _y



x_y

−

xy2+3



⇐⇒

=

₋

_yx₂

₋

2 xy

∂ _F

∂ _y =

−

x

₋

2 xy3 y2

(63)

Deﬁniciones Preliminares

Sea la función _yx

₋

F ( x, y) = _yx

₋

xy2 +3

∂ _F ∂ _x = ∂ ∂ _x



x_y

−

xy2+3



⇐⇒

= _y1

₋

y2 ∂ _F ∂ _x = 1

₋

y3 y

F ( x, y) = _yx

₋

xy2+3

∂ _F

∂ _y =

∂

∂ _y



x_y

−

xy2+3



⇐⇒

=

₋

_yx₂

₋

2 xy

∂ _F

∂ _y =

−

x

₋

2 xy3 y2

Entonces la derivada de dy_dx es:

y = dy dx =

−

F _x F _y =

−

∂ ∂ _xF ( x, y) ∂ ∂ _yF ( x, y) dy dx =

−

1

₋

y3 y

−

x

₋

2 xy3 y2 = y

−

y 4 x+2 xy3

(64)

Deﬁniciones Preliminares

Entorno de Programación Octave

Resuelva la EDO: y˙ = 3 y

Solución: ˙ y = 3 y dy dt = 3 y dy y = 3dt Recordando que



dy

y = ln

|

y

|

, e inte-grando:



dy y =



_3dt ln

_|

y

_|

= 3t y =

_±

ce3t Instalamos el Octave: octave-4.2.0-w64-installer.exe

En el entorno gráﬁco de comandos del Octave: pkg install symbolic-win-py-bundle-2.5.0.zip Luego ejecutamos el código:

pkg load symbolic syms y(t); dsolve(diﬀ(y) == (3*y))92

Resultado en Octave:

(65)

Ejercicios del Capítulo N

◦

.1

Ejercicio 2.1: Encuentre la Derivación Implícita dy_dx de la si-guiente ecuación:

5 x2 y+ln x = 0

Ejercicio 2.2: Encuentre la Diferencial Exacta o Total de la siguiente función:

g( x, y) = xytan( xy)

Ejercicio 2.3: Encuentre la Derivada Parcial con respecto a

x e y de la siguiente función:

(66)

Ejercicios del Capítulo N

◦

.2

Ejercicio 2.4: Sabiendo que y( x) = y(π _{) =}₀ ₌

_⇒

₍_x_,_y_{) = (}π _,₀₎_.

Desarrolle con Octave y en forma manual para encontrar la solución particular de la EDO:

x

_·

cos x

_·

dx+ (1

₋

6 y5)

_·

dy = 0

Ejercicio 2.5: Encuentre la solución general de la siguiente EDO

y compruebe su respuesta con Octave:

e y(1+ x2)dy

₋

2 x(1+e y)dx = 0

Ejercicio 2.6: Veriﬁcar que la siguiente función implícita o explícita

sea solución de la EDO correspondiente. Compruebe su respuesta con Octave.

(67)

Ejercicios del Capítulo N

◦

.2

Ejercicio 2.7:

El Gobierno Regional de Huánuco planea implementar una política pa-ra la producción de Ovinos Lecheros como actividad empresarial rentable (Ver Figura 2 ). Ellos utilizan el si-guiente modelo:

Huánuco-Perú

Figura 2: Ovinos de Huánuco.

La población de Ovinos tiene una tasa positiva de crecimiento de

k años−1 y una tasa constante de

ca-za a Ovinos_año . Se le pide:

a) Escriba la ecuación diferencial

para el modelo de la población de Ovinos.

b) Elabore el modelo en el lenguaje

de señales y sistemas.

c) Suponga que no se caza a los

Ovinos: a = 0. ¿Cuál es el tiempo

que se necesita para duplicar la po-blación de Ovinos? ¿Cuál es la re-lación entre la pobre-lación actual y la

(68)

Ejercicios del Capítulo N

◦

.2

Ejercicio 2.7:

Huánuco-Perú

d) Encuentre la solución general de

la ecuación diferencial y luego com-pruebe la respuesta con Octave.

e) Existe una solución constante,

encuéntrela. ¿Tiene sentido que la solución dependa de los

paráme-tros k y a? ¿Están bien concebidas

las unidades de dichos parámetros? ¿La solución es consistente cuando

el valor de a es muy pequeña o muy

grande? Dibuje los gráﬁcos para al-gunas soluciones.

(69)

Ejercicios del Capítulo N

◦

.2

Ejercicio 2.7:

Huánuco-Perú

f) Note que para valores iniciales

menores al punto de equilibrio, la solución deja de tener un signiﬁca-do en términos de su aplicación al mundo real para valores negativos. En estos casos, prediga el tiempo

t e en el cual la población de

Ovi-nos se extingue del área. Por

ejem-plo, suponga que x(0) = x0 es menor

al punto de equilibrio de población. Para esta condición inicial ¿Cuál es el valor de t e?.

g) ¿Recomendaría al Gobierno

Re-gional Huánuco basar su política

(70)

Ejercicios del Capítulo N

◦

.2

Índice Derivación Índice Derivación

1 _dxd (c) = 0 c = Cte. 16 _dxd (sen u) = cos u_· du_dx 2 _dxd ( x) = 1 17 _dxd (cos u) =₋sen u_· du_dx 3 _dxd (u+v+_···) = _dxd (u) + _dxd (v) +_··· 18 _dxd (tan u) = sec2u_· du_dx 4 _dxd (cu) = c_dxd (u) 19 _dxd (cot u) =₋csc2u_· du_dx 5 _dxd (uv) = u_dxd (v) +v_dxd (u) 20 _dxd (sec u) = sec u_·tan u_· du_dx 6 _dxd (uvw) = uv_dxd (w) +uw_dxd (v) +vw_dxd (u) 21 _dxd (csc u) =₋csc u_·cot u_· du_dx 7 _dxd ( u_c ) = 1_c_· _dxd (u), c_= 0 22 _dxd (arcsenu) = 1



1₋u2 · du dx 8 _dxd



c_u



= c_· _dxd



1_u



=₋ c u2 · d dx (u), u= 0 23 d dx (arccos u) =− 1



1₋u2 · du dx 9 _dxd



u_v



= v d dx (u)−udxd (v) v2 , v= 0 24 d dx (arctan u) = 1 1+u2 · du dx 10 _dxd ( xm) = m_· xm−1 25 _dxd (arccot u) =₋ 1 1+u2 · du dx 11 _dxd (um) = m_·um−1_· _dxd (u) 26 _dxd (arcsec u) = 1 u



u2₋1 · du dx 12 dy_dx = _dx1 dy 27 _dxd (arccsc u) =₋ 1 u



u2₋1 · du dx 13 dy_dx = dy_du_· du_dx 28 _dxd (au) = au_·ln a_· du_dx , (a > 0) 14 _dxd (log_au) = 1_u_·log_ae_· du_dx , (a > 0, a_= 1) 29 _dxd (eu) = eu_· du_dx

15 _dxd (ln u) = 1_u_· du_dx 30 _dxd ( y) = y_· _dxd (ln y)

(71)

Ejercicios del Capítulo N

◦

.2

Índice Derivación Índice Derivación

1 senh u = e u −e−u 2 13 coth u = 1 tanhu = eu+e−u eu₋e−u , (u= 0) 2 cosh u = e u₊_e₋u 2 14 sech u = 1 cosh u = 2 eu+e−u 3 tanh u = senh u cosh u = eu₋e−u eu+e−u 15 csch u = 1 senh u = 2 eu₋e−u , (u= 0) 4 _dxd (senhu) = cosh u_· du_dx 16 _dxd (coth u) =₋csch2u_· du_dx

5 _dxd (coshu) = senh u_· du_dx 17 _dxd (sechu) =₋sechu_·tanhu_· du_dx 6 _dxd (tanh u) = sech2u_· du_dx 18 _dxd (cschu) =₋cschu_·cothu_· du_dx 7 senh−1u = ln(u+



1+u2), _∀u 19 coth−1u = 1₂_·ln



u_u+1

−1



, (u2 > 1)

8 cosh−1u = ln(u+



u2₋1), (u1) 20 sech−1u = ln



1+√ _u1−u2



, (0 < u1) 9 tanh−1u = 1 2 ·ln



1+u 1₋u



, (u2 < 1) 21 csch−1u = ln



1u + √ ₁₊_u₂ |u_|



, (u= 0) 10 _dxd (senh−1u) = _√1 1+u2 · du dx 22 dxd (coth−1u) = 1 1₋u2 · du dx , (u2 > 1) 11 _dxd (cosh−1u) = _√1 u2₋1· du dx , (u > 1) 23 dxd (sech−1u) = − 1 u



1₋u2 · du dx , (0 < u < 1) 12 _dxd (tanh−1u) = 1 1₋u2 · du dx , (u2< 1) 24 dxd (csch−1u) = − 1 |u_|



1+u2 · du dx , (u= 0)

(72)

Ejercicios del Capítulo N

◦

.2

Índice Fórmula Índice Fórmula

1 (a_±b)2 = a2_±2ab+b2 7 (a+b)(a₋b) = a2₋b2

2 (a_±b)3 = a3_±3a2b+3ab2_±b3 8 ( x+a)( x+b) = x2+ (a+b) x+ab 3 a3+b3 = (a+b)(a2₋ab+b2) 9 a3₋b3= (a₋b)(a2+ab+b2) 4 an_·am = an+m 10 (an)m = an·m 5 (ab)n= an_·bn 11 _aman = an−m = 1 am−n 6 (a)mn ₌



_am1



n = ( m√ a)n 12 log_a x = logb x log_ba = ln x ln a 7 log_ab = x_⇔ a x= b 13 log_e x = ln x

8 log_b(m_·n) = log_bm+log_bn 14 log_b( m_n ) = log_bm₋log_bn 9 log_b(mn) = n_·log_bm 15 log_b( n√ m) = logbm

n

(73)

Ejercicios del Capítulo N

◦

.2

Índice Integral Índice Integral

1



u_·dv = uv₋



v_·du 16



csc u_·cot u_·du =₋csc u+C 2



un_·du = _n₊1₁un+1+C Si n_=₋1 17



tan u_·du = ln_|sec u_|+C 3



du_u = ln_|u_|+C 18



cot u_·du = ln_|sen u_|+C

4



eu_·du = eu+C 19



sec u_·du = ln_|sec u+tan u_|+C 5



au_·du = _lnau_a +C 20



csc u_·du = ln_|csc u₋cot u_|+C 6



sen u_·du =₋cos u+C 21



1



a2₋u2 ·du = sen−1 u_a +C 7



cos u_·du = sen u+C 22



1 a2+u2 ·du = 1 a tan−1 ua +C 8



sec2u_·du = tan u+C 23



1 a2₋u2 ·du = 1 2a ln



uu+₋aa



+C 9



csc2u_·du =₋cot u+C 24



1 u



u2₋a2 · du = 1_a sec−1



u_a



+C 10



sec u_·tan u_·du = sec u+C 25



sen3u_·du =₋1₃ (2+sen2u)_·cos u+C 11



sen2u_·du = 1

2u−

1

4 sen2u+C 26



cos3u·du = 13 (2+cos2u)·sen u+C

12



cos2u_·du = 1 2u+

1

4 sen2u+C 27



tan3u·du = 12 tan2u+ln|cos u|+C

13



tan2u_·du = tan u₋u+C 28



cot3u_·du =₋1₂ cot2u₋ln_|sen u_|+C 14



cot2u_·du =₋cot u₋u+C 29



un_·eu_·du = un_·eu₋n_·



un−1_·eu_·du 15



u_·eu_·du = (u₋1)_·eu+C 30



ln u_·du = u_·ln u₋u+C

(74)

Ejercicios del Capítulo N

◦

.2

Índice Integral 1



sec3u_·du = 1 2 sec u·tan u+ 1 2 ln|sec u+tan u|+C 2



csc3u_·du =₋1 2 csc u·cot u+ 1 2 ln|csc u−cot u|+C

3



sen au_·sen bu_·du = sen(a−b)u 2(a₋b) − sen(a+b)u 2(a+b) +C Si a 2  = b2 4



cos au_·cos bu_·du = sen(a−b)u

2(a₋b) + sen(a+b)u 2(a+b) +C Si a 2  = b2 5



sen au_·cos bu_·du =₋cos(a−b)u

2(a₋b) − cos(a+b)u 2(a+b) +C Si a 2  = b2 6



sennu_·du =₋1 n sen n₋1_u ·cos u+ n−1 n



_senn₋2_u ·du 7



cosnu_·du = 1 n cos n₋1_u ·sen u+ n−1 n



_cosn₋2_u ·du 8



tannu_·du = 1 n₋1 tan n₋1_u −



tann−2u_·du Si n_= 1 9



cotnu_·du =₋ 1 n₋1 cot n₋1_u −



cotn−2u_·du Si n_= 1 10



secnu_·du = 1 n₋1 sec n₋2_u ·tan u+ n−2 n₋1



sec n₋2_u ·du Si n_= 1

(75)

Ejercicios del Capítulo N

◦

.2

Índice Integral 11



cscnu_·du =₋ 1 n₋1 csc n₋2_u ·cot u+ n−2 n₋1



csc n₋2_u ·du Si n_= 1 12



u_·sen u_·du = sen u₋u_·cos u+C

13



u_·cos u_·du = cos u+u_·sen u+C

14



un_·sen u_·du =₋un_·cos u+n



un−1_·cos u_·du 15



un_·cos u_·du = un_·sen u₋n



un−1_·sen u_·du 16





u2_±a2_·du = u₂



u2_±a2_± a 2 2 ln|u+



u 2_±_a2_|₊_C 17



du



u2_±a2 = ln_|u+



u2_±a2_|+C 18





u 2₊_a2 u ·du =



u 2₊_a2₋_a_·_ln



a+



u2+a2 u



+C 19





u2−a2 u ·du =



u 2 −a2₋a_·sec−1 u_a +C 20



u2_·



u2_±a2_·du = u₈_·(2u2_±a2)_·



u2_±a2₋ a₈4 _·ln_|u+



u2_±a2_|+C

(76)

Ejercicios del Capítulo N

◦

.2

Índice Integral 1



u 2



u2_±a2 du = u₂_·



u2_±a2_∓ a₂2 _·ln_|u+



u2_±a2_|+C 2





a2₋u2du = ₂u_·



a2₋u2+ a₂2 _·sen−1 u_a +C 3





a 2₋_u2 u du =



a 2 −u2₋a_·ln



a+√ au2−u2



+C 4



u 2



a2₋u2du =− u 2 ·



a2−u2+ a2 2 ·sen− 1 u a +C 5



u2_·



a2₋u2_·du = u₈_·(2u2₋a2)_·



a2₋u2+ a 4 8 ·sen− 1 u a +C 6



un_·ln u_·du = u n+1 n+1 ·ln u− un+1 (n+1)2 +C 7



eau_·sen bu_·du = e au a2+b2 ·(a·sen bu−b·cos bu) +C 8



eau_·cos bu_·du = e au a2+b2 ·(a·cos bu+b·sen bu) +C 9



sen−1u_·du = u_·sen−1u+



1₋u2+C

10



tan−1u_·du = u_·tan−1u₋ 1

2 ·ln(1+u

2_{) +}_C