1 Un procedimiento para calcular valores de las funciones trigonométricas de un ángulo de
cualquier cuadrante
El pasaje de un número complejo escrito en forma polar a la binómica y, a la inversa, de la forma binómica a la forma polar, requiere de algunas habilidades trigonométricas.
En el primer caso es conveniente poder calcular con facilidad los valores de las funciones seno y coseno de ángulos orientados.
En el segundo caso, se requiere poder calcular el valor de un ángulo orientado a partir de los valores de su seno y su coseno.
El objetivo de este documento es plantear un procedimiento práctico para realizar estos cálculos con cierta fluidez. Para ello necesitamos recordar algunos conceptos y técnicas ya vistas:
1) Concepto de ángulo orientado
En Trigonometría se considera que un ángulo es la parte de un plano “barrida” por una semirrecta que gira alrededor de su origen. Se plantean, a partir de ahí, cuestiones tales como sentido de giro, ángulo orientado ( positivo o negativo), ángulos que superan en giro, etc. La amplitud de los ángulos se mide en el sistema sexagesimal o en el circular. En los estudios superiores se usará predominantemente el sistema circular, debido a que en este sistema la medida de un ángulo es un número real.
2) Valores exactos de las funciones seno y coseno de 0°, 30°, 45°, 60° y 90° ) radianes 2 , 3 , 4 , 6 , 0 mente respectiva (
0° (0) 30° ( 6
) 45° ( 4
) 60° ( 3
) 90° ( 2 )
sen 0
2 1 2 2 2 3 1
cos 1
2 3 2 2 2 1 0
3) Signo de las funciones seno, coseno y tangente en los cuatro cuadrantes
Una de las técnicas más prácticas consiste en evocar el gráfico
C T
2 en el que S, T y C son, respectivamente, las iniciales de segundo, tercero y cuartos cuadrantes. Pero también son las iniciales de Seno, Coseno y Tangente, y nos informan cuál es la única de estas tres funciones que es positiva en el cuadrante correspondiente.
Por ejemplo, si se quieren calcular los signos del seno, coseno y tangente de 120°, ángulo del segundo cuadrante, el gráfico nos informa que sólo el seno es positivo, por lo tanto el coseno y la tangente son negativas.
También necesitamos definir un par de conceptos:
1) Llamaremos posición normal de un ángulo orientado
en un sistema de coordenadas cartesianas, a aquél la en la que su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas. En la figura representamos el ángulo de +135° en “posición normal”
2) Si el lado final deno está sobre ninguno de los ejes coordenados, llamaremos ángulo de referencia de , al ángulo agudo que forma su lado final con el eje x. En la figura siguiente se muestra +135° y su ángulo de referencia, que es igual a 45°
Y ahora enunciamos:
+135°
45°
+135°
3 Procedimiento para calcular valores de funciones trigonométricas de un ángulo orientado
a) Considerar la posición normal de b) Calcular su ángulo de referencia '
c) Calcular la función trigonométrica del ángulo de referencia y anteponerle el signo correspondiente al cuadrante en que se encuentra el lado final de
Ejemplos
1) Calcular cos 330°
Resolución: el lado final de 330° está en el cuarto cuadrante, el signo correspondiente a su coseno es + y su ángulo de referencia es 30°. Por lo tanto, cos 330°=+cos 30°= + 32
2) Calcular sen (-225°)
Resolución: el lado final de -225° está en el segundo cuadrante, el signo correspondiente a su seno es + y su ángulo de referencia es 45°. Por lo tanto, sen (-225°)=+sen 45°= 22
3) Calcular sen 1020°
Resolución: este ángulo supera el giro, pero es congruente con 300°, ya que 1020°= 2.360°+300°. Su lado final está en el cuarto cuadrante, el signo correspondiente a su seno es – (menos) y su ángulo de referencia es 60°. Luego,
sen 1020°=sen 300°=-sen 60°=- 32
4) Calcular cos 34 Resolución: 3 4
es la medida en radianes de un ángulo de 135°, su lado final está en el segundo cuadrante, el signo correspondiente a su coseno es – (menos) y su ángulo de referencia es 45°. Por lo tanto, cos 34 =cos 135°=-cos 45°= - 22
4
Resolución: z6 56=
6 5 sen i 6 5 cos
6 . Como 56 es la medida en radianes de un ángulo de 150° (ángulo de referencia 30°), se deben calcular el sen 150° y el cos 150°. Al hacerlo resultará:
z6 56= 6 (cos 150° + i sen 150°)=6 ( - ) 3 3 3i 2
1 i 2
3
6) Calcular el ángulo que cumple, simultáneamente, las tres condiciones siguientes:
2 3 cos , 2 1
sen y 02
Resolución: para hallar este ángulo debemos mirar los valores absolutos del seno y coseno,
2 3 y 2 1
, respectivamente. Y luego buscar en la tabla de la página 1 el ángulo que corresponde, en este caso, 30°. Éste es el ángulo de referencia. Al mirar los datos vemos que los signos del seno y el coseno son ambos negativos y esto nos indica que el ángulo que buscamos pertenece al tercer cuadrante.
Luego, el ángulo α=210° ( en el sistema circular, 6 7
)
7) Escribir en forma polar el número complejo z=22i 3
Resolución: para escribirlo en forma polar deben calcularse su módulo y su argumento. El módulo de z es 22 (2 3)2 164, y el argumento principal de z es el único ángulo que satisface simultáneamente las siguientes tres condiciones:
2 1 4 2 cos , 2 3 4 3 2
sen y 02
Procediendo como en el inciso anterior, se determina que el ángulo de referencia es 60°, y que el ángulo pertenece al cuarto cuadrante. Luego, 300 (en el sistema circular,
3 5
)
Observación importante: si para hallar el argumento se usa la calculadora, utilizando el valor de una de las dos funciones trigonométricas dadas, deberá observarse si el signo de la otra función del ángulo arrojado por la misma, coincide con el proporcionado en los datos. Si coincide, el ángulo dado por la calculadora es el buscado.
5 Por ejemplo, si en el ejemplo 7) se busca el ángulo con la calculadora en base al valor de su seno, se obtiene -60°, congruente con 300°, que es el ángulo buscado porque su coseno es positivo, como lo indican los datos.
