2. Derivadas parciales y derivadas direccionales de un campo escalar.
El cálculo de varias variables es básicamente el cálculo de una variable, aplicado a varias variables de una en una. En particular, cuando mantenemos constante todas las variables de una función me-nos una de las variables independientes y derivamos respecto de esa variable obtenemos una deri-vada parcial. En esta sección definiremos las derivadas parciales y las interpretaremos geométrica-mente. Además estudiaremos la forma de calcularlas mediante la aplicación de las reglas para la derivación de funciones de una variable.
DEFINICIÓN. Sea f : ( , )x y ∈ ⊆U \2 → f x y( , )∈\ una función de dos variables y consideremos un punto ( ,x y0 0) interior al conjunto U. Sean h>0 y k>0 números suficientemente pequeños de forma que los puntos (x0+h y, 0) y ( ,x y0 0+k) sean puntos de U. La derivada parcial de f con respecto a x en el punto ( ,x y0 0) es, si existe el siguiente límite, el número definido por
0 0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) : lim .
x
h
f x h y f x y f x y
h
→
+ −
=
La derivada parcial de f con respecto a y en el punto ( ,x y0 0) es, si existe el siguiente límite, el
número definido por 0 0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) : lim .
y
k
f x y k f x y f x y
k
→
+ − =
OBSERVACIÓN (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA). Consideramos un punto P=( ,x y z0 0, 0) en la
gráfi-ca de la función ,f de manera que z0 = f x y( ,0 0), y cortamos dicha superficie con el plano de
ecuación y= y0, obteniendo una curva en dicho plano. Observemos el siguiente gráfico donde
Un trozo pequeño de esta curva puede ser parametrizado por la función C t( )=( ,t y0, ( ,f t y0)),
don-de t∈(x0−r x, 0+r) y tomando r>0 suficientemente pequeño. Observemos que los puntos de esta curva están en el plano y= y0 y en la superficie z= f x y( , ). El punto P=( ,x y z0 0, 0) se obtiene
para el valor del parámetro t=x0. Si llamamos z t( )= f t y( , 0), el vector tangente a esta curva en el
punto P viene dado por C x′( )0 =(1, 0, (z x′ 0)), siendo entonces z x′( 0) la pendiente de la recta
tan-gente a esta curva en P. Calculemos el valor z x′( 0). Por definición
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0
( ) ( ) ( , ) ( , )
( ) : lim lim x( , ).
h h
z x h z x f x h y f x y
z x f x y
h h
→ →
+ − + −
′ = = =
Entonces la derivada parcial f x yx( ,0 0) es la pendiente de la recta tangente a esta curva en P y el
vector tangente a la curva C en el punto P=( ,x y z0 0, 0) es (1, 0,f x yx( ,0 0)).
Análogamente, la derivada parcial f x yy( ,0 0) es la pendiente en el punto P de la recta tangente a la
curva que resulta de cortar la gráfica de f con el plano de ecuación x=x0. El vector tangente a
esta otra curva en el punto P=( ,x y z0 0, 0) viene dado ahora por (0,1, f x yy( ,0 0)).
Observemos, para finalizar esta interpretación geométrica, que el vector producto vectorial de los
vectores
{
(
1, 0,f x yx( ,0 0) , 0,1,)
(
f x yy( ,0 0))
}
, esto es, el vector (−f x yx( ,0 0),−fy( ,x y0 0),1) es unOBSERVACIÓN (CÁLCULO DE DERIVADAS PARCIALES). Siguiendo un argumento similar al que hemos
usado en la interpretación geométrica de las derivadas parciales, fijado el punto ( ,x y0 0), podemos
definir una función de una variable ϕ:x∈(x0−r x, 0+ →r) ϕ( ) :x = f x y( , 0)∈\, siendo r>0 sufi-cientemente pequeño. Entonces la función ϕ es derivable en x0 si, y sólo si, existe la derivada
par-cial de f con respecto a x en el punto ( ,x y0 0). Esto se debe a que
0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( , ) ( , )
.
x h x f x h y f x y
h h
ϕ + −ϕ + −
=
Además, en caso de existir esta derivada, se verifica que ϕ′(x0)= f x yx( ,0 0). O sea, la derivada
par-cial de f con respecto a x en el punto ( ,x y0 0) se calcula derivando la función f con respecto a su variable x mientras mantenemos su variable y constante e igual a y0. Esto permite trasladar las reglas de derivación en una variable a derivadas parciales. Si existen las derivadas parciales de dos funciones f y g con respecto de x en el punto ( ,x y0 0), entonces se verifica que
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0
( ) ( , ) ( , ) ( , ),
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) , si ( , ) 0.
( , )
x x x
x x x
x x
x
f g x y f x y g x y
fg x y f x y g x y f x y g x y
f x y g x y f x y g x y f
x y g x y
g g x y
+ = +
= +
⎛ ⎞ −
= ≠
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
Análogamente, la derivada parcial de f con respecto a y en el punto ( ,x y0 0) se calcula derivando la función f con respecto a su variable y mientras mantenemos su variable x constante e igual a
0.
x La derivada parcial con respecto a y tiene reglas de derivación análogas a las que hemos des-crito anteriormente para la derivación respecto de x.
EJEMPLO. 1) Vamos ahora a calcular las derivadas parciales de la función f x y( , )=x2+2xy−y2 en el punto (1, 2). Derivando ( , )f x y con respecto a x obtenemos que f x yx( , )=2x+2 .y Por tanto,
(1, 2) 6.
x
f = Derivando ( , )f x y con respecto a y obtenemos que f x yy( , )= −2 2 .y Por tanto,
(1, 2) 2.
y
f = −
2) Podemos calcular las derivadas parciales en un punto arbitrario. Consideremos la función
( , ) sen( ) cos( ).
f x y = x+y x−y
Entonces, derivando la función ( , )f x y con respecto a x obtenemos que
( , ) cos( ) cos( ) sen( ) sen( ).
x
f x y = x+y x−y − x+y x−y
Derivando ahora con respecto a y obtenemos que
( , )f x yy =cos(x+y) cos(x−y) sen(+ x+y) sen(x−y).
ex-presamos una tercera variable z como función de x e y, digamos z= f x y( , ), entonces podemos
escribir las derivadas parciales de las siguientes maneras: fx f D fx zx z
x x
∂ ∂
= = = =
∂ ∂ y,
análogamen-te, fy f D fy zy z.
y y
∂ ∂
= = = =
∂ ∂
EJEMPLO. La función ( , ) 0, 0,
1, 0
xy f x y
xy = ⎧
= ⎨ ≠
⎩ es discontinua en
( )
0, 0 . Sin embargo, existen lasderi-vadas parciales fx(0, 0)=0 y fy(0, 0)=0.
Derivada direccional. La derivada parcial con respecto a x resulta de analizar el ritmo de varia-ción de la funvaria-ción f cuando nos acercamos a ( ,x y0 0) manteniendo la segunda coordenada cons-tante; o sea, cuando nos acercamos a dicho punto según la dirección marcada por el vector (1, 0). Análogamente, la derivada parcial con respecto a y nos da la tasa de cambio de f al acercarnos al punto ( ,x y0 0) según la dirección marcada por el vector (0,1). Más generalmente, consideremos el
punto ( ,x y0 0) interior al conjunto 2
U ⊆\ donde está definida la función f y un vector unitario
1 2
( , ),
u= u u es decir, tal que u =1.
DEFINICIÓN. Sea f : ( , )x y ∈ ⊆U \2 → f x y( , )∈\ una función de dos variables y consideremos un punto ( ,x y0 0) interior al conjunto U. La derivada direccional de f en la dirección u, es, si existe el siguiente límite, el número definido por
0 1 0 2 0 0
0 0 0
( , ) ( , )
( , ) : lim .
u h
f x hu y hu f x y D f x y
h
→
+ + −
=
OBSERVACIÓN (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA). Consideramos un punto P=( ,x y z0 0, 0) en la
plano π que pasa por el punto P=( ,x y z0 0, 0) paralelo al eje OZ y con vector director ( ,u u1 2, 0),
obteniendo una curva C en dicho plano y en la superficie.
Un trozo pequeño de esta curva puede ser parametrizado por la función
3
0 1 0 2
: ( , ) ( ) ( , , ( )) ,
C t∈ −r r ⊆ →\ C t = x +tu y +tu z t ∈\
siendo r>0 suficientemente pequeño y z t( )= f x( 0+tu y1, 0+tu2). Observemos que los puntos de
la curva están en el plano π y en la superficie z= f x y( , ). El punto P se obtiene para t=0. El vector tangente a esta curva en el punto P viene dado por C′(0)=( ,u u z1 2, (0)),′ siendo entonces
(0)
z′ la pendiente (medida en el plano π) de la recta tangente a esta curva C en el punto P.
Cal-culemos el valor (0).z′ Por definición tenemos que
0
( ) (0) (0) : lim
h
z h z z
h
→
−
′ = y puesto que este
co-ciente incremental es ( 0 1, 0 2) ( ,0 0)
,
f x hu y hu f x y h
+ + −
tenemos que z′(0)=D f x yu ( ,0 0). Esto
quie-re decir que la derivada diquie-reccional D f x yu ( ,0 0) representa la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto P.
Derivadas parciales de orden superior. Cuando existen las derivadas parciales de una función f
en cada punto ( , )x y del dominio U (suponemos que el dominio es un conjunto abierto) se pueden definir las funciones derivadas parciales de f dadas por
2
: ( , ) ( , )
x x
f x y ∈ ⊆U \ → f x y ∈\ y fy: ( , )x y ∈ ⊆U \2 → f x yy( , )∈\.
DEFINICIÓN. Consideremos una función f : ( , )x y ∈ ⊆U \2 → f x y( , )∈\ para la que existen sus funciones derivadas parciales primeras, esto es, fx: ( , )x y ∈ ⊆U \2 → f x yx( , )∈\ y también
2
: ( , ) ( , ) .
y y
f x y ∈ ⊆U \ → f x y ∈\ Las derivadas parciales de estas funciones fx y fy se llaman, si existen, derivadas parciales segundas de f y pueden ser cuatro, cuyas notaciones habituales damos a continuación:
a) derivada parcial segunda de f respecto de x dos veces:
2
2 .
x
xx xx
f f f
f D f
x x x x
∂ = ∂ ∂ =∂ = =
∂ ∂ ∂ ∂
b) derivada parcial segunda (o cruzada) de f primero respecto de x y luego de y:
2
.
x
xy xy
f f f
f D f
y y x y x
∂ ∂ ∂ ∂
= = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
c) derivada parcial segunda (o cruzada) de f primero respecto de y y luego de x:
2
.
y
yx yx
f f f
f D f
x x y x y
∂ ∂ ∂ ∂
= = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
d) derivada parcial segunda de f respecto de y dos veces:
2
2 .
y
yy yy
f f f
f D f
y y y y
∂ = ∂ ∂ =∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂
Reiterando el proceso, a partir de las derivadas parciales segundas se definen las derivadas parcia-les terceras de f que son ocho. Estas son las siguientes
: xx, : xx , : xy, : xy , : yx , : yx, : yy , : yy.
xxx xxy xyx xyy yxx yxy yyx yyy
f f f f f f
f f
f f f f f f f f
x y x y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
= = = = = = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
TEOREMA (IGUALDAD DE LAS DERIVADAS CRUZADAS). Consideremos una función de dos variables
2
: ( , ) ( , ) .
f x y ∈ ⊆U \ → f x y ∈\ Si las derivadas parciales de primer orden existen y son conti-nuas y la derivada parcial cruzada fxy existe y es una función continua en ,U entonces existe la
otra derivada cruzada fyx y ambas coinciden.
OBSERVACIÓN. También es cierto el resultado si intercambiamos los papeles de x e ,y es decir, si las derivadas parciales de primer orden existen y son continuas y la derivada parcial cruzada fyx
existe y es una función continua en ,U entonces existe la otra derivada cruzada fxy y ambas
coin-ciden.
EJEMPLO. 1) La función f x y( , )=x y3 2−x y2 4+3x y5 7 tiene derivadas parciales y son
2 2 4 4 7
( , ) 3 2 15
x
f x y = x y − xy + x y y f x yy( , )=2x y3 −4x y2 3+21x y5 6.
Estas dos funciones son continuas, existe la derivada cruzada 2 3 4 6
( , ) 6 8 105
xy
( , )
yx
f x y existe y coincide con fxy( , ),x y como se comprueba con un simple cálculo.
2) En la mayoría de los casos, con las funciones que nosotros trabajaremos, se verifican las hi-pótesis del teorema de las derivadas cruzadas y, en consecuencia, las derivadas cruzadas coinci-dirán. Sin embargo, esto no es cierto en general. Por ejemplo, para la función f definida por
3 3
2 2 , si ( , ) (0, 0)
( , )
0, si ( , ) (0, 0)
x y xy
x y
f x y x y
x y
⎧ − ≠
⎪ =⎨ +
⎪ =
⎩
tenemos que no coinciden las derivadas parciales cruzadas en el origen, es decir, se verifica que (0, 0) (0, 0).
xy yx
f ≠ f Este hecho se comprueba calculando estas derivadas con la definición, pero es
un proceso complicado y no lo detallaremos aquí.
EJERCICIO 1. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones (1) f x y( , )=
(
xy−1 ,)
2 (2) 2 2( , ) ,
f x y = x +y (3) f x y( , ) 1 ,
x y =
+
(4) ( , ) , 1
x y f x y
xy + =
− (5) ( , ) arctan , y f x y
x
= (6) f x y( , )=e−xsen(x+y),
(7) ( , )f x y =exylog ,y (8) f x y( , )=cos2
(
3x−y2)
, (9) ( , )f x y =xy.EJERCICIO 2. Escribe la definición de derivada parcial para una función de tres variables.
EJERCICIO 3. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones (1) f x y z( , , )=x2+2zx−y2+z y2 , (2) f x y z( , , )=log(1+xyz−z2),
(3)
2 2 2
1
( , , ) ,
f x y z
x y z
=
+ + (4) f x y z( , , )=arcsen(xyz),
(5) ( )
2 2 2
( , , ) x y z ,
f x y z =e− + + (6) f x y z( , , )=tanh
(
x+3y+3z)
.EJERCICIO 4. Escribe la definición de derivada direccional para una función de tres variables.
EJERCICIO 5. Calcula la derivada direccional de las siguientes funciones en los puntos y según las
direcciones que se indican
1) f x y( , )=2xy−3y P2, =
( )
5, 5 ,u=( )
4, 3 , 3) f x y z( , , )=3excos(yz P), =(
0, 0, 0 ,)
u=(
2,1, 2 ,−)
2) f x y( , )=2x2+y P2, = −
(
1,1 ,)
u=(
3, 4 ,−)
4) ( , , ) log( ), 1, 0,1 ,(
1, 2, 2 .)
2yz
f x y z =e + xz P=⎛⎜ ⎞⎟ =
⎝ ⎠ u
EJERCICIO 6. Escribe las definición de derivada parcial de segundo orden para una función de tres
