Tema 2

(1)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS.

TEMA 2

Continuidad y diferenciabilidad de funciones reales de variable

real.

1. Repaso de las funciones elementales

En cualquier tarea cient´ıfica, la necesidad de trabajar con distintas cantidades y porcentajes de sustancias, medidas de temperatura, etc, y relacionarlas entre s´ı por leyes (f´ısicas, qu´ımicas, ...) exige el uso de funciones, en general de varias variables. Comenzamos recordando aqu´ı al-gunos de los conceptos b´asicos sobre funciones reales de variable real.

Definición 1 (Función real de variable real) Definimos función real de variable real a una aplicación de un subconjunto Dde R que hace corresponder a cada número real x∈D otro número real único; lo expresamos de la siguiente forma:

f : D⊆R−→ R

x−→ f(x) =y

A x se le llama variable independiente, a f(x) a y variable dependiente o imagen y al conjunto D se le llamadominio de definici´on o campo de existencia.

1.1. Dominio y rango de funciones

Llamamos dominio de una funci´on f, D(f), al conjunto de valores x de R para los que tiene sentido evaluar f(x).

Los casos m´as simples son:

D(√x) ={x≥0}=R+, D(logx) ={x >0}, D

µ

1 f(x)

¶

={x∈D(f)|f(x)6= 0}.

Dadas dos funciones con el mismo dominio f, g : D ⊂ R → R, se definen las siguientes funciones (observa que determinadas operaciones requieren condiciones adicionales, que nos obligan a modificar el dominio para que todo tenga sentido):

Función suma f+g:D⊂R→R:x7→[f +g](x) =f(x) +g(x). Función diferenciaf −g:D⊂R→R:x7→[f−g](x) =f(x)−g(x). Función producto f g:D⊂R→R:x7→[f g](x) =f(x)g(x).

(2)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 1.2 Simetr´ıas entre funciones

Ejemplo 2 Calcular el dominio de la siguiente funci´on y=

q x2₋₄ 2x+3

Como es una ra´ız cuadrada, el radicando tendr´a que ser no negativo; adem´as por ser el radicando un cociente, el denominador del mismo tiene que ser distinto de cero, por tanto:

x2₋₄

2x+ 3 ≥0, 2x+ 36= 0 =⇒ D=

· −2,−3

2

¶

∪[2,+∞)

Definición 3 (Recorrido) Se define el recorrido de una función como el conjunto for-mado por las imágenes de los elementos del dominio. Es decir:

Im(f) ={f(x)/ x∈Dom(f)}.

Ejemplo 4 Calcular el rango o recorrido de y=x2_.

En este caso el dominio es todo R, y los valores que toma y cuando colocamos en vez de x un n´umero real son todos los positivos y el cero.

Definici´on 5 (Grafo) Sea f :D ⊆R→R, llamamos grafo de f y lo representamos por G_f al siguiente conjunto:

G_f ={(x, y)∈R×R/ x∈D, y=f(x)}.

A la representación del grafo en el plano se le denomina gráfica de la función.

1.2. Simetr´ıas entre funciones

Las propiedades de simetr´ıa permiten hacer representaciones de funciones con menos traba-jo, esto es, basta conocer algunos tipos de funciones o algunas partes de la representación para obtener otras cuantas parecidas o para finalizar la gráfica de una función dada.

Decimos que una funci´on f : D ⊂ R → R es sim´etrica par si f(x) = f(−x) ∀x ∈

D,−x ∈ D. As´ı, la gráfica de una función simétrica par es reflejada por un espejo: el eje vertical OY, también llamado eje de ordenadas.

Ejemplo 6 Todo polinomio en el que s´olo aparezcan t´erminos con potencias pares (y=p(x) = a₂_nx2n₊_a

(3)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 1.2 Simetr´ıas entre funciones

-6

x y

La par´abola y=x2 La funci´on valor absoluto,

|x|=abs(x) =

½

x si x≥0,

−x si x <0, es otro caso particular de función simétrica par. Represéntala.

Si la función verifica que f(x) =−f(−x), entonces se dice que f es simétrica impar, es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Ejemplo 7 Sea y=x3_{. Trivialmente se tiene que} ₍₋_x)3₌₋_x3_.

-6

x y

Una funci´on c´ubica: y=x3

Otros ejemplos de la misma simetr´ıa aparecerán cuando recordemos las funciones trigonométri-cas (la función seno es impar, mientras que la función coseno es par, y la función tangente, al ser el cociente de la primera entre la segunda es impar también).

Definición 8 (Función periódica) Sea f : D ⊆ R → R y T ∈ R+, f es una función periódica si se verifica:

f(x+T) =f(x) ∀x∈D.

(4)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 1.3 Polinomios

Definición 9 (Función inversa) Una función g decimos que es inversa o rec´ıproca

de la funci´on f en D si,

f◦g = g◦f = i,

siendo i la funci´on identidad, definida como i(x) =x, ∀x∈D.

A dicha funci´on g, cuya existencia no siempre es posible, la denotaremos desde ahora por f−1_{, sin que deba entenderse esto como una potencia negativa.}

Ejemplo 10 Las funcionesLnx yex _{son inversas si}_{x >}_0.

Teorema 11 (Propiedad reflexiva de las inversas) Los grafos de dos funciones inversas son sim´etricos respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Ejemplo 12 Las funciones y = x2 _e _y ₌ √_{x, planteadas ambas en el dominio} _R

+, son in-versa una de la otra. Su representación en el primer cuadrante pone de manifiesto la simetr´ıa mencionada. Obsérvese que en este caso las gráficas se cortan en el punto(1,1).

-¡¡

¡¡ ¡¡

¡ µ 6

x y

y=x y=x2

y=√x

Simetr´ıa respecto la bisectriz

1.3. Polinomios

Las funciones más fáciles de definir, de evaluar en puntos concretos (y de derivar e integrar, esto se verá en los próximos temas) son los polinomios, es decir, cualquier expresión de la forma

p(x) =a_nxn+a_n₋₁xn−1+. . .+a₁x+a₀,

dondenes un n´umero natural y los coeficientesa_n, a_n₋₁, . . . , a₁, a₀ son n´umeros reales. Decimos que el polinomio es degradoncuando es el mayor natural con coeficientean6= 0. Por supuesto,

el dominio de definici´on de un polinomio es todo R.

(5)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 1.3 Polinomios

El comportamiento de y para |x| suficientemente grande (si va a ∞ o a −∞) depende exclusivamente del signo del coeficiente del t´ermino de mayor grado.

Vemos as´ı que de modo natural nos ha surgido el problema de definir lo que entendemos por “l´ımites”, ya que la representación global de cualquier función exige conocer esos valores. Lo analizaremos en la próxima sección, antes hacemos un breve recordatorio sobre la división y factorización de polinomios.

Divisiones entre polinomios

Aparecerá de modo natural a veces el cociente entre polinomios. Recuerda que se puede hacer dicho cálculo como una división ordinaria con divisor de varias cifras. Sin embargo, hay un caso particularmente sencillo, posible de calcular de otra forma, el caso en que el denominador es un monomio de primer grado: la Regla de Ruffini. Toma los coeficientes del polinomio del numerador y el opuesto (cambio de signo) del coeficiente de grado cero del denominador y opera como en el ejemplo (baja el primer coeficiente, multiplica, pon el resultado arriba y suma):

Ejemplo 13 Queremos calcular el cociente x3−3x2−7x−8 x−5 1 -3 -7 -8

5 5 10 15

1 2 3 7

Observa los números obtenidos a través de la operación anterior. Salvo el último (recuadra-do), que es el resto, los demás, denotan los coeficientes de un polinomio un grado menor, o sea, 2:

Esto nos dice que

x3₋_3x2₋_7x₋₈

x−5 = (x−5)(x

2_{+ 2x}_{+ 3) + 7}

(compru´ebalo desarrollando la expresi´on de la derecha). Dicho de otro modo, si evaluamosp(5), siendo p(x) =x3₋_3x2₋_7x₋_{8, obtenemos} _{p(5) = 7.}

El caso interesante se produce cuando el resto es cero (en lugar de7), eso dice que cierto n´umero (en este caso habr´ıa sido 5) es un cero o ra´ız del polinomio y, por tanto, que ´este puede factorizarse como(x−5)por otro polinomio de un grado menos.

Ejemplo 14 Sea q(x) = x4₊_x3 ₋_7x2_{+ 4. Puedes comprobar que} _{q(2) = 0, eso indica que} q(x) = (x−2)r(x) con r(x) otro polinomio de grado3. Para hallarlo desarrollamos por Ruffini (ojo, hay que poner los coeficientes de todos los monomios, incluidos 0 por aqu´ellos que no aparecen):

1 1 -7 0 4

2 2 6 -2 -4

(6)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 1.4 L´ımites

Comprueba, desarrollando el producto, que se tiene la siguiente igualdad: x4+x3−7x2+ 4 = (x−2)(x3+ 3x2−x−2).

1.4. L´ımites

La noción rigurosa (matemática) de l´ımite representa la idea intuitiva que tenemos de acer-camiento. Tenemos una función f :D⊂R→R, cabe preguntarse por el l´ımite de f(x) cuando x∈D se acerca a un valor a.

Definici´on 15 Decimos que l´ım

x→af(x) =l si

∀ε >0, ∃δ(ε)>0 tal que 0<|x−a|< δ implica |f(x)−l| ≤ε.

Obs´ervese que no pedimos que a sea un punto del dominio de D, ni por tanto que x llegue a tomar dicho valor. Lo que se describe matem´aticamente es que si exijo acercarme mucho con f(x) al valorl basta para ello acercarme suficientemente con x al valor a.

Recordemos que gráficamente esto significa que dentro del rectángulo comprendido entre las rectas y=l±ε y x=a±δ están todos los puntos de la gráfica def(x)cuandox∈(a−δ, a+δ), salvo quizás el (a, f(a)), según se observa en la figura[1].

-6

◦

0 X

Y

x0−δ a a+δ l−ε

l+ε l

Figura 1: L´ımite de una funci´on en un punto

Teorema 16 (Unicidad del l´ımite de una función en un punto) El l´ımite de una fun-ción en un punto, si existe, es único.

En realidad, en la definición de l´ımite aparece un valor absoluto, esto simplemente representa que nos podemos acercar por los dos lados, izquierda y derecha. Dicho de otro modo: la existencia de un l´ımite (cuando x tiene a un valor finito) es el resultado de dos l´ımites laterales, que existan los l´ımites cuando sólo nos acercamos por la izquierda y cuando sólo nos acercamos por la derecha, y que además dichos l´ımites coincidan.

Definici´on 17 Se dice que existe el l´ımite por la derecha (observa la notaci´on) l´ım

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TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 1.4 L´ımites

|f(x)−l| ≤ε.

An´alogamente, se dice que existe el l´ımite por la izquierda l´ım

x→a−f(x) =l si para todo ε >0 existe un valor δ(ε)>0 tal que si 0< a−x < δ entonces se satisface que |f(x)−l| ≤ε.

Observa que aunque los l´ımites laterales existan, no siempre tienen porqu´e coincidir:

Ejemplo 18 Sea la función f : R\{0} → R definida como f(x) = |x_x|. Es fácil ver, con la definición de la función valor absoluto que

l´ım

x→0+f(x) = 1, _xl´ım_→0−f(x) =−1.

Propiedades de los l´ımites

Proposici´on 19 Sean f, g, h:D⊆R→R

1. Si f tiene l´ımite en x0, entonces f est´a acotada en alg´un entorno de x0.

2. Si a≤f(x) ≤b, ∀x ∈(x₀−r, x₀+r)− {x₀}, y existe el l´ımite de f en x₀, entonces se verifica:

a≤ l´ım

x→x0

f(x)≤b

3. Si existen l´ım

x→x0

f(x) = l´ım

x→x0

g(x) =l y adem´as se cumple f(x)≤h(x)≤g(x), entonces l´ım

x→x0

h(x) =l.

4. Si existe l´ım

x→x0 f(x), entonces se verifica: l´ım

x→x0

|f(x)|=

¯ ¯ ¯

¯_xl´ım_→_x₀ f(x) ¯ ¯ ¯ ¯

Haciendo un an´alisis exhaustivo, debemos definir varios l´ımites m´as: en los casos en que el l´ımite diverja (es decir, valga infinito), o bien, cuando el l´ımite se toma haciendo tender x a infinito. Ambas nociones tienen que ver con que los valores, bien def(x)o dex se van haciendo cada vez mayores.

Definici´on 20 Decimos que l´ım

x→af(x) =∞si para todo valorM >0 por grande que sea, existe

un valor δ(M)>0 tal que si |x−a|< δ, entoncesf(x)> M.

Por supuesto, con poco esfuerzo podemos precisar lo que significa que l´ım

x→af(x) =−∞, esto

ser´a que

(8)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 1.5 Continuidad

Adem´as, se dice que l´ım

x→∞f(x) = l si para todo ε > 0 existe un valor M(ε) > 0 tal que para todos los elementos x≥M(ε), se tiene que|f(x)−l| ≤ε. La extensi´on de la definici´on para los casos l´ım

x→−∞f(x) =l (La recta y=l se llama as´ıntota horizontal) y x→±∞l´ım f(x) =±∞ son obvias a partir de las anteriores.

En ´este ´ultimo caso, si m = l´ım

x→±∞ f(x)

x 6= 0, la funci´on tiene as´ıntota oblicua, de ecuaci´on

y=mx+n con n= l´ım

x→±∞[f(x)−mx]. Ejemplos 21 Calcular los siguientes l´ımites:

1. l´ım

x→1+

ln(x−1) x

l´ım

x→1+

ln(x−1)

x = l´ımε→0+ lnε

1 +ε = −∞ 2. l´ım

x→+∞ e 1−x

l´ım

x→+∞e

1−x ₌ _l´ım x→+∞

1

ex−1 = 0.

Proposici´on 22 ( ´Algebra de l´ımites) Dadas dos funciones f, g:D⊂R→R, si existen los l´ımites l´ım

x→af(x) =p y xl´ım→ag(x) =q, entonces se verifica que

l´ım

x→a(f(x) +g(x)) = l´ımx→af(x) + l´ımx→ag(x) =p+q,

l´ım

x→a ³

f(x)g(x)

´

= l´ım

x→af(x)

l´ım

x→ag(x) ₌_pq_,

Si l´ım

x→ag(x) =q6= 0, entonces xl´ım→a

f(x) g(x) =

l´ım

x→af(x)

l´ım

x→ag(x)

=p/q.

Si existe el l´ım

x→qf(x), entoncesxl´ım→af(g(x)) = l´ımx→qf(x).

No obstante, hay casos en los que el l´ımite no se puede calcular, dando lugar a indetermina-ciones: ∞ ± ∞, 0· ∞, 0₀, _∞∞, 1∞_, ₀0 _y _∞0_.

1.5. Continuidad

Definici´on 23 f :D⊂R→Rse dice continua ena∈Dsi el l´ımite l´ım

x→af(x)existe y coincide

con el valor f(a). Se dice que f es continua si lo es en todos los puntos de su dominio.

(9)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 1.6 Indeterminaciones, c´alculo de l´ımites y discontinuidades

Las funciones que son continuas tienen buenas propiedades. Enunciamos algunas de ellas:

Teorema 25 Sea f :D → R una funci´on continua, con D = [a, b]⊂R un intervalo cerrado. Entonces se satisfacen las siguientes propiedades:

(Bolzano) Si f(a) y f(b) tienen distinto signo, existe un valor c∈[a, b] tal quef(c) = 0.

-6

(a, f(a))

(b, f(b))

• • •

c₁ c₂ c₃

Teorema de Bolzano.

(Valor intermedio) f toma todos los valores entre f(a) y f(b) al menos una vez en D. (Acotaci´on) f est´a acotada, es decir, existe un valor C >0 tal que |f(x)| ≤ C para todo x∈D.

(Weierstrass o M´aximo y m´ınimo) Existen dos valores,M ymque son m´aximo y m´ınimo de f en D, y son alcanzados por f, es decir, existen x_M, x_m ∈D tales que f(x_M) =M y f(xm) =m.

(Heine-Borel)f es uniformemente continua sobreD, es decir, dadoε >0, existe un valor δ(ε)>0 tal que si |x−x0_{| ≤}_{δ, entonces}_|_f(x)₋_f(x0₎_{| ≤}_ε.

En particular, una funci´on continua definida sobre un intervalo cerrado alcanza todos los valores entre su m´aximo y su m´ınimo.

Ejemplo 26 Demostrar que la ecuaci´on x3₋_3x_{+ 1 = 0} _{tiene al menos una ra´ız real en el} intervalo[1,2].

Consideremos la función f(x) =x3₋_3x_{+ 1. Como} _f_{(1) =}₋_{1, f(2) = 3} _{y es continua en} [1,2], por el teorema de Bolzano podemos afirmar que la función f(x) = 0para algún c∈(1,2). En consecuencia la ecuación anterior tiene al menos una ra´ız en el intervalo [1,2].

1.6. Indeterminaciones, c´alculo de l´ımites y discontinuidades

A veces ocurre que para el c´alculo de l´ımites no basta con la mera sustituci´on, tendremos indeterminaciones1

Veremos métodos generales para el cálculo de l´ımites. La regla de L’Hôpital, que también es muy útil, la veremos al estudiar la derivabilidad, y tiene el inconveniente de que sólo sirve para funciones derivables.

1_{Esto es: no hay ning´}_{un resultado ´}_{unico v´alido para resolver dicho l´ımite, cada caso debe tratarse}

(10)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 1.6 Indeterminaciones, c´alculo de l´ımites y discontinuidades

1. L´ımites de funciones racionales. Indeterminaciones del tipo ∞_∞ Para calcular l´ım

x→∞ P(x)

Q(x), con P(x), Q(x) funciones polinómicas, dividimos en el nu-merador y denominador de la fracción porxn_{, con} _n₌ _máx_{_{gr P(x), gr Q(x)}_}_.

Ejemplos 27 a) l´ım

x→∞

2x2₊_x

3x2_{+ 1} = l´ım_x_→∞ 2 +1_x 3 + 1

x2 = 2

3.

De este ejemplo deducimos que si gr P(x) =gr Q(x)⇒ l´ım

x→∞ P(x) Q(x) =

an

bn.

b) l´ım

x→∞ x

x3₊_x_{+ 1} = l´ım_x_→∞ 1

x2 1 +_x12 +_x13

= 0

De este ejemplo deducimos que si gr P(x)<gr Q(x)⇒ l´ım

x→∞ P(x) Q(x) = 0. c) l´ım

x→∞ x2

x+ 1 = l´ımx→∞ 1 1

x +x12 = 1

0 =∞.

De este ejemplo deducimos que si gr P(x)>gr Q(x)⇒ l´ım

x→∞ P(x) Q(x) =∞. L´ımite de una diferencia. Indeterminaciones del tipo ∞ − ∞. Si tenemos que calcular l´ım

x→x0[f(x)−g(x)] =∞−∞, procedemos a descomponerf(x)−g(x). Ejemplos 28 a) l´ım

x→+∞(2

x₋₃x_{) = l´ım} x→+∞3

x_[(2

3)

x₋_{1] =}_−∞_.

Una posible descomposici´on es expresar f(x)−g(x) como f(x)[1− g_f₍(_xx)₎] si f(x) es la funci´on mayor.

b) l´ım

x→+∞(x−

√

x) se puede hacer como antes, pero hay otro procedimiento general que se aplica con ra´ıces cuadradas f(x)−pg(x), es multiplicar y dividir por el conjugado f(x) +pg(x).

l´ım

x→+∞(x−

√

x) = l´ım

x→+∞

x2₋_x x+√x = (

∞

∞) = l´ımx→+∞ 1− 1_x

1

x +_x13 2

= 1

0 = +∞, porquex−

√

x >

0 si x >0.

L´ımites de funciones racionales. Indeterminaciones del tipo 0₀.El caso de cocientes polinómicos de nuevo permite resolver fácilmente el caso de indeterminación del tipo 0₀, ya que el valor l´ımite al que tienex es un cero de ambos polinomios, y por tanto un factor que se puede simplificar en la expresión original:

l´ım

x→2 x2₋₄

x−2 = l´ımx→2(x+ 2) = 4. L´ımites de potencias. Indeterminaciones del tipo 1∞_.

El l´ımite de una potencia se calcula como el l´ımite de la base elevado al l´ımite del ex-ponente. Para resolver las indeterminaciones del tipo 1∞_{, hacemos uso del n´umero} _e, que recordemos que es l´ım

x→∞(1 + 1 x)

x ₌ _{e, y por tanto de forma an´aloga usaremos que}

l´ım

x→∞(1 + 1 f(x))

f(x) ₌_e_con _l´ım

(11)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 1.7 Funciones exponenciales y logar´ıtmicas

Ejemplo 29 Calcular l´ım

x→0(1+senx) 1

x = (1∞) = l´ım x→0(1+

1 1

senx

)x1 = l´ım x→0[(1+

1 1

senx

)senx1 ]senxx =

el´ımx→0 senx_x ₌_e1 ₌_e

Discontinuidades

Negando las distintas opciones que intervienen en la noci´on de continuidad, es posible analizar todos los casos en los que tendremos discontinuidades.

Caso 1: Existe el l´ımite, pero no coincide con el valor que la funci´on tiene asignado en ese punto. Por ejemplo, si definimos

f(x) =

½

x+ 1 si x∈R\{0},

2 si x= 0.

Claramente existe el l´ımite en cero, l´ım

x→0f(x) = 1, pero no coincide con el valor asignado. Por razones obvias a esta posibilidad la llamaremos discontinuidad evitable.

Caso 2: Existen los l´ımites laterales, y son finitos, pero no iguales:

f(x) =

 



+1 si x >0, 0 si x= 0,

−1 si x <0.

Esta posibilidad se llamar´a discontinuidad inevitable de salto finito.

Caso 3: Existen los l´ımites laterales, pero alguno de ellos (o ambos) valen infinito. Eso le ocurre a la funci´on f(x) = 1/xdefinida en R\{0}. Esta posibilidad se llamar´a discontinuidad inevitable de salto infinito.

Caso 4: No existe el l´ımite, sin ser el caso 2 ó 3. Cuando veamos la representación de las funciones trigonométricas, podremos comprobar que ése es el caso de l´ım

x→0sen(1/x). Esta última opción se llamarádiscontinuidad por oscilación.

Ejercicio: Averigua el valor dec para que la siguiente funci´on sea continua:

f(x) =

 



x3₋_x2₋_11x₋₄

x2₋₁₆ si x6= 4,

c si x= 4.

Sol. c= 29/8.

1.7. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas

Seguimos introduciendo algunas funciones elementales. Para ello, recordamos brevemente algunas propiedades de las potencias (sea a >0 una constante, y m, n∈R):

(12)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 1.7 Funciones exponenciales y logar´ıtmicas

Por tanto, y dado que por definici´on

y= log_a(x) si y s´olo si ay =x, se tienen las siguientes propiedades b´asicas de los logaritmos2:

log(AB) = logA+ logB, log(Am_{) =}_m_log_A,

log 1 = 0.

Considérense una función potencial y=ax y su inversa respecto de la composición, la fun-ción logar´ıtmica en base a,y = log_a(x). Teniendo en cuenta la simetr´ıa respecto de la bisectriz de los cuadrantes 1 y 3 (la función y =x), de funciones inversas respecto de la composición, las representaciones gráficas de ambos tipos de funciones resultarán muy fáciles.

Comenzamos suponiendo que a >1. As´ı, l´ım

x→∞a

x ₌_∞_, _l´ım x→−∞a

x_{= 0.}

La representaci´on de la funci´ony =ax _es:

-_x 6y

1 • a >1

y=ax

Mientras que por simetr´ıa par entre esa funci´on, y la que tiene por base el inversoa−1_, obten-dr´ıamos la siguiente gr´afica:

2_{Por comodidad en la notaci´on, no explicitamos la base, puede ser cualquiera en general; normalmente, se usa}

la notaci´on lnxpara logaritmo en base e(logaritmo neperiano), logxpara logaritmo en base 10, y logaxsi se

(13)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 1.8 Funciones trigonom´etricas

-_x 6y

1•

0< a <1 y=ax

Utilizando el hecho de la simetr´ıa respecto de la diagonal y = x, las gr´aficas de las funciones logar´ıtmicas con base a mayor que1, son de la forma:

-x 6y

1•

a >1 y= log_ax

La representaci´on de y= log_ax siendo 0< a <1 no es dif´ıcil ahora.

1.8. Funciones trigonom´etricas

Daremos las caracter´ısticas b´asicas que nos ayuden a “intuir” sus representaciones. Si x /∈[0,2π], el seno y el coseno se definen de modo que:

½

senx=sen(x+ 2nπ)

(14)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 1.8 Funciones trigonom´etricas

Las restantes razones trigonom´etricas se definen: tgx= senx

cosx; ctgx= 1

tgx; cosecx= 1

senx; secx= 1 cosx.

Las funciones seno y coseno son peri´odicas de periodo2π, y la tangente y cotangente son peri´odi-cas de periodoπ.

La propiedad fundamental de la trigonometr´ıa (o teorema de Pit´agoras) nos dice que:sen2_x+ cos2_x_{= 1, por lo que} _{senx, cosx}_∈_[₋_1,_1].

Las gr´aficas de las funciones circulares elementales son:

Enumeramos las relaciones trigonom´etricas que nos ser´an de gran utilidad en siguientes temas :

1. 1 +tg2_x₌ 1

(15)

2. sen2x= 2senx·cosx; cos2x=cos2_x₋_sen2_x 3. senx₂ =

q

1−cosx

2 ; cosx2 =

q

1+cosx

2

4. sen(x+y) =senx·cosy+cosx·seny cos(x+y) =cosx·cosy−senx·seny 5. senx+seny = 2sen(x+₂y)·cos(x−₂y)

senx−seny = 2cos(x+₂y)·sen(x−₂y) cosx+cosy= 2cos(x+₂y)·cos(x−₂y) cosx−cosy=−2sen(x+₂y)·sen(x−₂y)

La función tangente es una función impar y es periódica también, pero de periodo π.

x -6y

y = tanx

π/2 π 3π/2 2π

2. Funciones derivables. Aplicaciones

(16)

Derivada de una funci´on en un punto. Relaci´on con la continuidad

Definici´on 30 SeanI = (a, b)un intervalo abierto,f :I ⊆R→Runa funci´on real de variable real y x0 ∈I. Decimos quef es derivable en x0 si existe y es finito el siguiente l´ımite

l´ım

x→x0

f(x)−f(x0) x−x0

| {z }

Cociente incremental

. (1)

Al valor del l´ımite se le llama derivada def enx₀ y se denota por f0_(x

0). Cuando existe, de la unicidad del l´ımite se deduce la unicidad de la derivada de una funci´on en un punto.

Diremos que f es derivable en I si existe f0_(x

0) para cualquier x0 ∈I.

Considerandox−x0 =hen la definici´on anterior, obtenemos la siguiente expresi´on (equivalente) para la derivada de f en x0:

f0(x0) = l´ım

h→0

f(x0+h)−f(x0)

h . (2)

Durante el desarrollo del tema utilizaremos indistintamente las expresiones (1) y (2) seg´un convenga en cada caso.

Para que exista el l´ımite (1) es necesario que existan los l´ımites laterales por la derecha y por la izquierda de x0 y que sus valores coincidan. Esto nos conduce a definir las derivadas laterales de f por la derecha y por la izquierda de x0 como

f0(x+₀) = l´ım

x→x+0

f(x)−f(x0)

x−x₀ , f 0_(x−

0) = l´ım

x→x−0

f(x)−f(x0) x−x₀ .

La función es derivable en x0 cuando las derivadas laterales anteriores existen y coinciden. Si existen y no coinciden, la función no es derivable en x₀; en este caso a x₀ se le denomina punto anguloso de f. Si alguno de los l´ımites laterales no existe, la función no es derivable en dicho punto.

Ejemplo 31 Sea f(x) =|x|. Hallar, utilizando la definici´on, las derivadas laterales enx0= 0.

l´ım

x→0+

f(x)−f(0)

x−0 = l´ımx→0+ x−0

x = 1; xl´ım→0−

f(x)−f(0)

x−0 = l´ımx→0−

(17)

Ejercicio:Hallar, utilizando la definici´on, las derivadas laterales de la siguiente funci´on en x0 = 0

g(x) =

½

xsen_x1 si x∈R\{0},

0 si x= 0.

Se puede comprobar fácilmente que las funciones f y g de los ejemplos anteriores son con-tinuas en x = 0 y sin embargo no son derivables en dicho punto. No obstante, s´ı ocurre lo contrario, la derivabilidad asegura la continuidad (es una condición más fuerte):

Teorema 32 Sea f :I ⊆R→Runa funci´on real de variable real derivable enx0∈I, entonces f es continua x0.

Demostraci´on

Escribimosf(x)−f(x0) = f(x)_x−₋f_x(x0)

0 (x−x0). Tomando l´ımite en ambos miembros cuan-do x tiende a x₀ y utilizando el ´algebra de l´ımites obtenemos

l´ım

x→x0

[f(x)−f(x0)] = l´ım

x→x0

f(x)−f(x0)

x−x₀ (x−x0) = l´ım

x→x0

f(x)−f(x0) x−x₀ xl´ım→x0

(x−x0) = f0(x0)·0 = 0.

Por tanto, l´ımx→x0f(x) =f(x0), esto es, la funci´on es continua en x0.

Interpretaciones f´ısica y geom´etrica de la derivada

• La derivada nos proporciona un instrumento para el c´alculo de velocidades. Supongamos que y =s(t) nos da el camino recorrido por un m´ovil en l´ınea recta a lo largo del tiempo. La velocidad media entre los instantes t y t0 se define de manera natural como vm = s(t_t)−₋s_t₀(t0).

Para calcular la velocidad en el instante t₀, considerov_m cuandotse aproxima a t₀ tanto como queramos, esto es,

vt0 = l´ım

t→t0

s(t)−s(t0) t−t0 =s

0_(t 0).

La derivada de una función en un punto resuelve el problema que planteábamos en la intro-ducción, pues f0_(x

0) es el valor de la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de la funci´on en el punto (x0, f(x0)).

Consideremos la figura [2]. Sea x1 ∈ E(x0), tomemos xi ∈ (x0, xi−1), i = 2,3, . . . se tiene f(xi)−f(x0)

xi−x0

(18)

Pi(xi, f(xi)) tienden a la recta tangente t, luego

f0(x₀) = l´ım

x→x0

f(x)−f(x₀) x−x0

= l´ım

n→∞

f(x_n)−f(x₀) xn−x0

= l´ım

n→∞ tgαn= tgα.

Es decir, la derivada de una funci´on en un punto es la pendiente de la recta tangente a la

-6 P0 P₁ P2 t x2 ´´ ´´ ´´ ´´ ¡¡ ¡¡ ¡ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

f(x1)−f(x0) x1−x0

x0 x1

α α1

X Y

0

Figura 2: Interpretaci´on geom´etrica de la derivada

gráfica de dicha función en el punto. La ecuación de la recta tangente t será, entonces: t(x) =f(x0) +f0(x0)(x−x0).

Si f es continua en x0 y l´ım

x→x0

f(x)−f(x0) x−x0

= ±∞, la funci´on no es derivable aunque s´ı tiene tangente vertical en x₀.

Funci´on derivada. C´alculo de funciones derivadas

Si una funci´on es derivable en un intervalo I = (a, b), podemos definir a partir de ella una nueva funci´on, la que a cada x0∈I le asocia el valor f0(x0).

Definición 33 Sea f :I ⊂R → R una función derivable en I. La función derivada de f en I,f0_{, denotado también d}f

dx ´o Df, se define como

f0 :I ⊂R−→R

x−→f0(x).

A partir de la definición y usando propiedades básicas del álgebra de l´ımites, se pueden demostrar las siguientes propiedades generales de derivación

(19)

1. Linealidad de la derivaci´on. Si k∈R, entonces

(f(x) +g(x))0 =f0(x) +g0(x), (kf(x))0 =kf0(x).

2. Derivada del producto (f(x)g(x))0 ₌_f0_{(x)g(x) +}_f_(x)g0_(x).

3. Derivada del cociente (siempre que estemos en un entorno donde g no se anule)

µ

f(x) g(x)

¶₀

= f0(x)g(x)−f(x)g0(x) (g(x))2 .

4. Derivada de una funci´on compuesta. Regla de la cadena.Consideramos la com-posici´on de las funcionesf y g (cuando tenga sentido)

f g

g◦f :I ⊆R−→f(I)⊆R−→R

x−→ f(x) −→g(f(x)) = (g◦f)(x).

Si f es derivable en x0 ∈ I y g es derivable en f(x0), entonces la función composición (f ◦g) es derivable en x0 y además

(f◦g)0(x0) =g0(f(x0))f0(x0).

5. Derivada de la funci´on inversa. Si f es continua en I y con derivada no nula en x0 ∈I, entonces la funci´on inversa (si existe)

f−1 :f(I)⊆R−→R

y−→f−1(y) es derivable eny0 =f(x0) y se verifica

(f−1)0(y0) =

1

f0_(f−1_(y₀₎₎ = 1 f0_(x₀₎.

Utilizando las propiedades anteriores y la propia definición de la derivación podemos hallar reglas útiles para calcular derivadas.

(20)

POTENCIA (xn)0 =nxn−1 (f(x)n)0 =nf(x)n−1f0(x)

TRIGONOM ´ETRICAS

          

(senf(x))0 =f0_{(x) cos}_f_(x) (cosf(x))0 =−f0_(x)_senf_(x)

(tanf(x))0=£1 + (tanf(x))2¤f0(x)

EXPONENCIALES      ¡

ef(x)¢0₌_ef(x)_f0_(x)

¡

af(x)¢0_{= (ln}_a)af(x)_f0_(x)

LOGAR´ITMICAS         

(lnf(x))0= 1 f(x)f

0_(x)

(log_af(x))0= 1 lna

1 f(x)f

0_(x)

INVERSAS TRIGONOM ´ETRICAS

                      

(arcsenf(x))0= p f0(x)

1−f(x)2

(arc cosf(x))0= −f 0_(x)

p

1−f(x)2

(arctanf(x))0= f0(x) 1 +f(x)2

• Derivación logar´ıtmica. Dada la función y =f(x), la derivación logar´ıtmica consiste en tomar logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad y derivar. Este método se utiliza sobre todo para el cálculo de la derivada de las funciones de la formaf(x) = [h(x)]g(x). Tomando logaritmos en ambos miembros resulta

lnf(x) = ln [(h(x)]g(x) =g(x) lnh(x),

donde en la última igualdad hemos utilizado las propiedades del logaritmo (ver Tema 0). Derivando esta última expresión obtenemos

f0_(x) f(x) =g

0_{(x) ln}_{h(x) +}_g(x)h0(x) h(x),

de donde se deduce la expresión de f0_(x) _{sin más que despejar en la ecuación anterior y} susti-tuyendo la expresión de f(x):

f0(x) = [h(x)]g(x)

·

g0(x) lnh(x) +g(x)h 0_(x) h(x)

¸

(21)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 2.1 Derivadas de orden superior. Derivaci´on impl´ıcita

Nota: La idea de tomar logaritmos es útil también en el cálculo de l´ımites de las funciones de la forma f(x) = [h(x)]g(x).

Ejercicio: Calcular l´ım

x→0x

x _{(Indicaci´on: Considerar}_l_{= l´ım} x→0x

x_{, tomar logaritmos en ambos}

miembros y utilizar propiedades b´asicas de los logaritmos as´ı como del ´algebra de l´ımites).

2.1. Derivadas de orden superior. Derivaci´on impl´ıcita

Definición 35 Si f0 _{es derivable en} _{I, su derivada se llama derivada segunda o derivada de} orden dos, y se denota por f00_{. En general, la} _derivada _n-´_{esima de} _f _{se denota} _f(n)_{, y se} define como la derivada de f(n−1) _{(si existe). Cuando existe la derivada de cualquier orden de} una función f enI, ésta se dice que es infinitamente derivable y se escribe f ∈C∞_(I_).

Dentro del cálculo de derivadas n-ésimas es muy útil la fórmula de Leibnitz para calcular derivadas del producto de funciones. Podremos aplicar el siguiente teorema para el cálculo de la derivada n-ésima de funciones que se puedan expresar como producto de otras más simples.

Teorema 36 (F´ormula de Leibnitz) Sean f y g funciones definidas deI en R, n veces deriv-ables. Entonces, el producto f g tiene derivada n-´esima y se verifica

(f·g)(n)(x) =f(n)(x)g(x) +

µ

n 1

¶

f(n−1)(x)g0(x) +

µ

n 2

¶

f(n−2)(x)g00(x) +. . .+

µ

n n−1

¶

f0(x)g(n−1)(x) +f(x)g(n)(x)

=

n X

k=0

µ

n k

¶

f(n−k)(x)g(k)(x),

donde recordemos que el n´umero de combinaciones dea sobre b es

µ

a b

¶

= a!

(a−b)!b!.

Derivación impl´ıcita. Hasta ahora hemos trabajado con curvas dada en forma expl´ıcita, esto es, expresiones donde la variable dependiente y aparece despejada,y =f(x). Sin embargo, como consecuencia de la regla de la cadena podemos derivar en las expresiones de curvas dada de forma impl´ıcita, esto es, cuando la variableyno está despejada (y no representa necesariamente una función). Es lo que llamamos derivación impl´ıcita.

Ejemplo 37 Dada la circunferencia x2₊_y2 _{= 9, hallar la ecuaci´on de la recta tangente en el} punto (2,√5).

Si despejamos la inc´ognita y de la ecuaci´on que define la circunferencia, nos queda y =

(22)

TEMA 2 F. MATEM ´ATICOS. 2.2 Aplicaciones de la derivada

En vez de despejar, y derivar, observamos quey2 _{es una composici´on de funciones, y que si} llamamos y0 = d_dy

x, de la regla de la cadena se deduce

dy2 dx =

dy2 dy

dy dx = 2yy

0_.

Utilizando la derivaci´on impl´ıcita en la ecuaci´on x2 ₊_y2 _{= 9} _{que define la circunferencia,} obtenemos

2x+ 2yy0 = 0;

de donde despejando se obtiene que y0 =−x_y. Por tanto, y_|(20 _,√ 5) =−

2 √

5. As´ı, la ecuaci´on de la recta tangente buscada es y−√5 =−√2

5(x−2).

2.2. Aplicaciones de la derivada

Recta tangente a una curva dada

(a) En forma expl´ıcita. Dada la curva y = f(x), con f una funci´on definida en un intervaloI, y x0 ∈I tal que f es derivable en dicho punto. La recta tangente a la curva en un punto x₀ viene dada por la ecuaci´on

y−f(x0) =f0(x0)(x−x0) (ver en sección 1,3 interpretación geométrica de la derivada).

Ejemplo 38 C´alculo de la recta tangente af(x) =x2 y que pasa por x0 = 1.

Se tiene quef0_{(x) = 2x, por tanto,}_f0_{(1) = 2. Por otro lado,}_f_{(1) = 1, con lo que la ecuaci´on} de la recta tangente ser´ay−1 = 2(x−1).

(b) En forma impl´ıcita. La ecuación de la recta tangente en este caso es la misma que la del anterior. La diferencia radica en el cálculo de f0(x0), donde hay que utilizar derivación impl´ıcita, consecuencia de la regla de la cadena (ver Ejemplo 37).

(c) En forma paramétrica. Supongamos una curva en el plano dada en forma paramétri-ca, esto es, f(t) = (x(t), y(t))definida en un intervalo I ⊆R. Para t0 ∈I, si (x0(t0), y0(t0))6= (0,0), se trata de un vector de la tangente a la curva en el punto correspondiente, y la ecuación de la recta tangente viene dada por la expresión

x−x(t0) x0_(t₀₎ =

y−y(t0) y0_(t₀₎ .

Velocidad y aceleraci´on instant´anea.

(23)

la derivada). Si la curva viniera dada en forma param´etrica, tendr´ıamos un vector velocidad

− →_v _{= (v}

1, v2) = (x0(t0), y0(t0)).El m´odulo de dicho vector (|−→v|=

p

v2

1+v22 ) nos dar´ıa tambi´en la velocidad instant´anea.

La aceleraci´on a(t) viene dada por la derivada segunda de s(t), esto es, a(t) = s00_{(t) =} v0_(t). _{Es muy frecuente encontrarse en la vida real con magnitudes que representan la tasa de} crecimiento de otras ya dadas: reacciones qu´ımicas, en el estudio del agua que penetra en suelo, radioactividad...

Teoremas fundamentales del cálculo diferencial. Enunciamos algunos resultados clásicos relativos al uso de la derivada. Servirán en este tema para localizar valores óptimos de funciones y soluciones de ecuaciones y para dar dos métodos de aproximación de dichas soluciones: método de la bisección y método de Newton-Raphson. Además, estos resultados resultan imprescindibles para la demostración de las aplicaciones de la derivadas al estudio local de funciones.

Teorema 39 Sean a < b y f, g: [a, b]⊆R→Rfunciones continuas y derivables en todo punto de (a, b). Se satisfacen las siguientes propiedades:

(ROLLE) Si f(a) =f(b), entonces existe al menos un punto c∈(a, b) tal quef0_{(c) = 0.} (Incrementos finitos de LAGRANGE) ∃c∈(a, b) tal que f(b)−f(a)

b−a =f 0_(c). (Valor medio de CAUCHY) Existe un puntoc∈(a, b) tal que

[f(b)−f(a)]g0(c) = [g(b)−g(a)]f0(c).

(Regla de L’H ˆOPITAL) Sean f y g funciones derivables en un entorno del puntox0, tales que l´ım

x→x0f(x) = 0 y xl´ım→x0g(x) = 0. Si g

0_(x) ₆_{= 0} _{en dicho entorno, y existe el l´ımite} l´ım

x→x0 f0_(x)

g0_(x), entonces existe el l´ımite _xl´ım_→_x₀ f(x)

g(x) y coincide con el anterior. Esto es, l´ım

x→x0 f(x)

g(x) = l´ımx→x0 f0(x) g0_(x).

La demostración del teorema se basa en que la derivada de una función se anula en un extremo relativo de dicha función (lo veremos posteriormente). As´ı, cada apartado es consecuencia o pequeña generalización del anterior.

Notas:

1. La regla de L’Hôpital también es válida para las indeterminaciones del tipo l´ım

x→x0 f(x) g(x) =

∞

∞, y xl´ım→∞ f(x) g(x) =

∞ ∞ ´o

(24)

2. La regla de L’Hˆopital no siempre resuelve estas indeterminaciones, como ocurre con l´ım

x→∞

e3x₊_ex

e2x₋_ex.

A veces, tendr´ıamos que aplicar varias veces L’Hˆopital, por ejemplo,

l´ım

x→0

senx−tanx x3 .

En la sección 4 veremos cómo aproximar localmente una función, con lo que tendremos una nueva herramienta para el cálculo de l´ımites como el anterior.

Veamos ahora algunas de las aplicaciones de la derivada al estudio local de funciones. En lo que sigue, consideraremosf :I = (a, b)⊆R→Runa funci´on real de variable real y x0 ∈I. Crecimiento y decrecimiento de una funci´on

Recordemos que una funci´onf se dicecreciente(resp.estrictamente creciente) sia < b implica f(a)≤f(b) (resp. (f(a)< f(b))).

An´alogamente, f se dice decreciente (resp. estrictamente decreciente) si a < b implica f(a)≥f(b) (resp. (f(a)> f(b))).

Podemos conocer el crecimiento y decrecimiento de una funci´on por el estudio del signo de su funci´on derivada:

Proposici´on 40 Si f es derivable, se verifica:

1. Si f0_(x)_≥_{0 (f}0_(x)_>₀₎ _∀_x_∈_{I, entonces} _f _{es creciente en} _I _{(estrictamente creciente).} 2. Si f0_(x) _≤ ₀ _(f0_(x) _< ₀₎ _∀_x _∈ _{I, entonces} _f _{es decreciente en} _I _{(estrictamente}

decreciente).

El rec´ıproco no es cierto, es decir, pueden existir funciones estrictamente crecientes tales que su derivada NO es estrictamente positiva, como por ejemplo le ocurre a la funci´on f(x) =x3_, que es estrictamente creciente, pero su derivada en el punto x0 = 0 se anula.

Extremos relativos de una funci´on

Decimos que f :I = (a, b)⊆R→R alcanza en x0 su

M´aximo absoluto (resp. m´ınimo absoluto) si f(x0)≥f(y) (resp. f(x0)≤f(y)) para cualquiery ∈I.

(25)

Las funciones continuas definidas en intervalos cerrados alcanzan sus valores máximos y m´ınimos (ver Teorema 25 del tema ). Ahora bien, una función derivable es en particular una función continua. Además, los máximos o m´ınimos son puntos donde la función pasa de ser creciente a decreciente o viceversa. Se tiene entonces el siguiente resultado:

Proposici´on 41 Si existe f0(x) y f alcanza en x un m´aximo o un m´ınimo relativo entonces f0_{(x) = 0.}

Notas:

1. El hecho quef0_(x

0) = 0 NO implica la existencia de máximo o m´ınimo local (como ocurre con la función f(x) =x3 en el punto x0 = 0, donde tiene un “punto de inflexión” cuya definición veremos posteriormente).

2. En los extremos del intervalo de definición de la función pueden alcanzarse máximos y m´ınimos relativos. En estos puntos extremos, al no poder calcular los dos l´ımites laterales, no tiene por qué existir función derivada, y si existe, la derivada no tiene por qué valer0. Por ejemplo, f : [0,2]→ R, f(x) =x2, que alcanza su máximo absoluto en su dominio de definición en el punto x0 = 2 donde la derivada no se anula f0(2) = 46= 0.

Al igual que estudiamos el crecimiento y decrecimiento de una funci´on por el signo de su derivada, podemos dar la siguiente caracterizaci´on de extremo relativo mediante el signo de la derivada segunda:

Proposici´on 42 Si f0_(x

0) = 0, f00(x0)6= 0 , se verifica: 1. Si f00(x)>0 entonces f alcanza m´ınimo relativo en x0. 2. Si f00_(x)_<₀ _entonces _f _{alcanza m´aximo relativo en} _x

0. ¿Qu´e ocurre si f00_(x

0) = 0? Además de conocer los extremos relativos y el crecimiento de una función, también es útil conocer la posición de la recta tangente a una curva con respecto a ella. Esto se utiliza en la representación de funciones. Además, nos permitirá responder a la pregunta anterior en la mayor´ıa de las funciones que manejaremos:

Concavidad y convexidad de una funci´on

(26)

(((((((( ((

C´oncava Convexa

Dada f :I ⊆R→ R derivable en x0 ∈ I. Diremos que f es convexa (resp. c´oncava) en x0 si existe un entorno de dicho punto donde la curva est´a por encima (resp. debajo) de la recta tangente en x0.

Estudiando el signo de la derivada segunda de una funci´on, se tiene la siguiente identificaci´on de zonas de concavidad y convexidad:

Proposici´on 43 Si f00_(x) _{es continua en un entorno de} _x

0 se verifica: 1. Si f00_(x

0)>0, entoncesf es convexa en un entorno de x0, 2. Si f00_(x

0)<0 entonces f es c´oncava en un entorno de x0.

En las condiciones anteriores se dice que f tiene un punto de inflexión en x0 si el arco de curva está a distintos lados de la recta tangente, como le ocurre a la función f(x) = x3 en el punto x0 = 0.

Si existe la derivada segunda de una función en un punto de inflexión, ésta debe anularse, ya que por la proposición anterior, pasar de cóncava a convexa (o viceversa) significa un cambio en el signo de la función. As´ı, los puntos de inflexión deben ser ceros de la derivada segunda: esto es, si x0 es un punto de inflexión, debe ser f00(x0) = 0.

Veamos como aplicación de todo ésto, la representación gráfica de una función:

Ejemplo 44 Veamos la representaci´on gr´afica de la curva:f(x) = _{2 (}_xx23₋₄₎.

Dominio. El dominio es R− {−2,2}.

Continuidad. La funci´on es continua en su dominio.

Corte con los ejes. La gr´afica corta a los ejes en el punto (0,0).

Simetr´ıa. Puesto que se cumple: f(x) =−f(−x), la funci´on es impar o sim´etrica respecto del origen.

As´ıntotas.

- Verticales: Lo son las rectas x = 2 y x=−2, ya que l´ım

x→2f(x) = +∞ y por simetr´ıa se tiene: l´ım

x→−2f(x) =−∞.

(27)

m= l´ım

x→∞ f(x)

x = l´ımx→∞ x2 2(x2₋₄₎ =

1 2. n= l´ım

x→∞f(x)−mx= l´ımx→∞ x3 2(x2₋₄₎−

x 2 = 0. Por consiguiente la as´ıntota oblicua es y= 1₂x.

Monoton´ıa. Para estudiar la monoton´ıa calculamos primero la derivada. f0_{(x) =} x4₋₁₂_x2

2(x2₋₄₎2.

f0(x) = 0⇒x=−2√3 x= 0, x= 2√3

(−∞, −2√3) (−2√3,−2) (−2,0) (0,2) (2,2√3) (2√3,∞)

f0_(x) ₊ ₋ ₋ ₋ ₋ ₊

f(x) cre. decrec. decre. decrec. decre. cre.

Por tanto tiene un m´aximo en (−2√3, −3₂√3) y un m´ınimo en (2√3, 3√₂3).

Concavidad y convexidad. Para ello calculamos la derivada segunda. f00_{(x) =} 4x(x2₊₁₂₎

(x2₋₄₎3 .

Los posibles puntos de inflexión son aquellos en los que la derivada segunda se anula o no existe. En este caso, la derivada segunda cambia de signo en: −2, 0 y 2, pero en 2 y -2 la función no está definida. Solo hay un punto de inflexión enx= 0.

3. Aproximaci´

on local de funciones

Si nos preguntasen qu´e valor num´erico tiene ln 1,1, sin usar calculadora, no tendr´ıamos las herramientas para precisar exactamente su valor.

Observemos la definici´on de funci´on derivada en un punto l´ım

x→x0

f(x)−f(x0) x−x0 =f

0_(x

0). Pode-mos escribir

f(x)−f(x0)

x−x₀ ≈ f 0_(x

0), si x→x0

y despejando obtenemos f(x)

|{z} no

≈

x→x0 f| {z }(x0)

no

+f_|0(x0)(x_{z−x0_})

pol 1er

= recta tangente a f en x0.

(28)

que se estudia. El error cometido en la aproximaci´on viene dado por E =|valor real - valor aproximado|.

Vamos a aplicar el razonamiento anterior para calcular un valor aproximado de ln 101: Consideramos f(x) = lnx; nos interesa tomar x0 = 1, ya que sabemos que f(1) = ln 1 = 0. Por otro lado, como f0_{(x) =} 1

x, se tiene que f0(1) = 1. Sustituyendo los datos anteriores en la

f´ormula de la recta tangente obtenemos la siguiente aproximaci´on

f(101) = ln 101 ≈ f(1) +f0(1)(101−1) = 0 + 1(001) = 001.

Resulta que ln 10_{1 = 0}0_{0953101..., y hemos obtenido el valor aproximado} _{ln 1}0₁ _≈ ₀0_{1. Hemos} cometido un error

E =|valor real - valor aproximado|=|001−000953101...|= 00004689...= 10−340689. . . (hemos dado una aproximaci´on hasta la cent´esima).

Existen distintos métodos para calcular valores con mejores aproximaciones como la fórmula de Taylor o fórmula de interpolación.

Estudiaremos en esta sección la aproximación de funciones mediante la fórmula de Taylor: generaliza la aproximación (de grado1) que da la recta tangente. Con su ayuda, podemos aprox-imar funciones en un entorno mediante un polinomio algebraico. Será especialmente importante la expresión del error, también llamado resto, pues nos dice la diferencia entre el valor real y el aproximado. Un error no se calcula de forma exacta (de serlo, ¡tendr´ıamos el valor exacto de la función!), sino que usaremos la expresión para hacer acotaciones (por cantidades pequeñas) y as´ı tener estimaciones a priori sobre cómo de buena es nuestra aproximación.

Teorema 45 (F´ormula de Taylor) Sean f :I ⊆R →R derivable hasta el orden n en x0 ∈I (n∈N). Entonces, para cualquierx∈I se verifica la siguiente igualdad denominadadesarrollo de Taylor de orden n en un entorno de x0

f(x) =f(x0) +f0(x0)(x−x0) +f 00_(x

0)

2 (x−x0) 2

+. . .+ f(n−1)(x0)

(n−1)! (x−x0)

n−1₊f(n)(x0)

n! (x−x0)

n₊f(n+1)(ξ)

n!k (x−ξ)

n−k+1_(x₋_x 0)k =

n X

k=0 f(k)_(x

0)

k! (x−x0)

k

| {z }

Tf,x₀,n(x)

+f

(n+1)_(ξ)

n!k (x−ξ)

n−k+1_(x₋_x 0)k

| {z }

Resto

,

para todo k= 1,..., n+ 1, donde ξ∈(x, x₀) es un n´umero que depende de x, x₀ yk.

(29)

La expresión del resto que hemos dado es general. Más fácil de recordar resulta la expresión para el caso particular en que tomamos k=n+ 1 :

f(x)−T_f,x₀_,n(x) = f(n+1)(ξ)

(n+ 1)! (x−x0)

n+1_,

siendo ξ un punto intermedio entre x₀ y x. As´ı, si “controlamos” (acotamos) la derivadan+ 1−´esima de f en todo un intervalo que contenga axy a x0,y si (x−x0)

n+1

(n+ 1)! es suficientemente pequeño (eventualmente conn grande, y por ejemplo con |x−x0| ≤1), podemos afirmar que el resto es pequeño, y que la aproximación que de f(x) da el polinomio de Taylor es buena.

Ejercicio: Calcular un valor aproximado hasta la mil´esima de ln 10_1.

Si el desarrollo anterior se realiza en un entorno de x0 = 0, ´este se denomina desarrollo de McLaurin.

Dada una función, su desarrollo de Taylor lo realizamos hasta el ordennsegún convenga en cada caso, dependiendo del grado de precisión con que queramos aproximar la función.

Las funciones que son infinitamente derivables en un punto x0 se pueden expresar por su desarrollo de Taylor “infinito”en un intervalo que contiene al punto. Esta es la idea que define las denominadas funciones anal´ıticas. En general se tiene el siguiente resultado:

Teorema 46 (Desarrollo en serie de Taylor) Sean f :I ⊆R→Rinfinitamente derivable (esto es, f ∈C∞_{(I)) y} _x

0 ∈I, entonces, para cualquier x∈(x0−R, x0+R) se verifica f(x) =

∞

X

k=0 f(k)_(x

0)

k! (x−x0)

k_,

dondeRse denominaradio de convergenciade la serie de Taylor y viene dada por el siguiente l´ımite

R=



_{l´ım sup} n→∞

n s ¯_¯

fn)_(x₀₎¯¯ n!





−1 .

Aplicaremos el desarrollo de Taylor al cálculo de l´ımites. Sif es una función tal quef(x)→0 cuandox→0, se tienen los siguientes infinitésimos equivalentes :

senf(x) ∼ f(x) 1−cosf(x) ∼ f(x)2

2 tanf(x) ∼ f(x) log(1 +f(x)) ∼ f(x), ef(x)−1 ∼ f(x).

Ejemplo 47 Supongamos que tenemos que calcular el siguiente l´ımite l´ım

x→0