Unas notas en torno al cálculo efectivo
de límites de funciones de dos variables
Sea f :D⊆R2 −→R una función de dos variables definida en un dominio
DdeR2. Sea(a, b)un punto de acumulación deD, esto es, en toda bola abierta B((a, b), r)centrada en(a, b), la intersecciónB((a, b), r)∩Dcontiene al menos un punto deDdistinto de(a, b). El objetivo de esta nota es dar algunos criterios que nos permitan calcular de manera efectiva el
lim
(x,y)−→(a,b)f(x, y)
1
Límite a través de (o según) un subconjunto
En el caso de funciones de una variable se tiene que existe el límite de la función en un punto si, y sólo si, existen los límites laterales y coinciden. Pues bien, la noción similar para funciones de varias variables es el concepto de límite de una función restringida a un subconjunto de su dominio de definición.
Definición 1: Seaf :D⊆R2−→Runa función de dos variables definida
en un dominioD deR2 y sea (a, b)un punto de acumulación de D. SiA⊂D
y(a, b)es también un punto de acumulación deA, ((a, b)∈A0), el
lim
(x,y)−→(a,b)f|A(x, y) =(x,y)lim−→(a,b) (x,y)∈A
f(x, y),
si existe, se llama el límite de la funciónf en el punto(a, b) a través del sub-conjunto A o límite según el subconjunto A o límite relativo al subconjunto A.
Proposición 1: Si
lim
(x,y)−→(a,b)f(x, y) =l ,
entonces existe el límite def en(a, b)a través de cualquier subconjuntoA⊂D tal que(a, b)∈A0, y éste es precisamentel.
Consecuencia 1: Si existen dos subconjuntos distintos y el límite de la
Ejemplo 1: Estudia si existe
lim (x,y)−→(0,0)
x y x2+y2
Si tomamos el límite a través de la recta y =mx, esto es, acercándonos al origen por la rectay=mx,se obtiene
lim (x,y)−→(0,0)
(x,y)∈A={(x,y)/ y=mx} x y
x2+y2 = limx−→0
x mx x2+m2x2 =
m
1 +m2
Por tanto, como dicho límite depende de m se sigue que no existe el límite buscado ya que si hago el límite a lo largo de rectas distintas se obtienen límites diferentes.
Ejemplo 2: Estudia si existe
lim (x,y)−→(0,0)
x y2
x2+y4
Si hacemos el límite a lo largo de la rectay=mx, resulta que
lim (x,y)−→(0,0)
y=mx
x y2
x2+y4 = limx−→0
x m2x2
x2+m4x4 = limx−→0
m2x3
x2(1 +m4x2) = limx−→0
m2x 1 +m4x2 = 0
Por tanto, el límite a lo largo de todas las rectas y = mx es cero. Sin embargo, esto no nos permite concluir que el límite buscado sea cero ya que debemos encontrar dos subconjuntos a través de los cuales los límites sean dis-tintos. Ahora bien, si hago el límite a través de la parábolax=y2 se obtiene
lim (x,y)−→(0,0)
x=y2
x y2
x2+y4 = limy−→0
y4
y4+y4 = 1 2 6= 0
Por consiguiente, no existe el límite buscado. Ejemplo 3: Estudia si existe
lim (x,y)−→(0,0)
x2y2
x4+y4
Tomando límite a lo largo de la rectax= 0 se obtiene
lim (x,y)−→(0,0)
x=0
x2y2
x4+y4 = limy−→0 0
y4 = limy−→00 = 0
Por otra parte, si tomamos límite a lo largo de la rectax=y resulta
lim (x,y)−→(0,0)
x=y
x2 y2
x4+y4 = limy−→0
y4 y4+y4 =
1 2 6= 0
2
Principio de compresión
Sea f : D⊆R2−→R una función de dos variables definida en un dominioD
de R2 y sea (a, b) un punto de acumulación deD. Entonces para comprobar
que lim
(x,y)−→(a,b)f(x, y) = l es suficiente encontrar una función real y positiva
ϕ(x, y), definida en un entorno del punto (a, b), que tenga límite cero en (a, b)
y sea tal que|f(x, y)−l|≤ϕ(x, y).En resumen, se verifica que ϕ(x, y)real y positiva
|f(x, y)−l|≤ϕ(x, y)para “(x, y)cerca de(a, b)”
lim
(x,y)−→(a,b)ϕ(x, y) = 0
=⇒(x,y)lim−→(a,b)f(x, y) =l
Ejemplo 4: Se considera la función real definida enR2−{(0,0)}por
f(x, y) =x 3−y7
x2+y4
Entonces se tiene que
lim (x,y)−→(0,0)
x3−y7
x2+y4 = 0
En efecto, para “(x, y) cerca de(0,0)”, en concreto para |x|<1y |y|<1, se verifica que
|f(x, y)−0| =
¯ ¯ ¯ ¯
x3−y7
x2+y4
¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯x x2
x2+y4 −y 3 y4
x2+y4
¯ ¯ ¯ ¯≤
≤ |x| x
2
x2+y4 +|y| 3 y4
x2+y4 <|x| +|y| 3
<|x| +|y|
Puesto que ϕ(x, y) = |x| +|y| −→ 0 cuando (x, y) −→ (0,0), se sigue el resultado deseado.
Ejemplo 5: Calcula
lim (x,y)−→(0,0)
x4sin2xcos2y
x4+y2
Teniendo en cuenta que
0≤ x
4
x4+y2 ≤1 y sin
2xcos2y
≥0
se tiene que
¯ ¯ ¯ ¯x
4sin2xcos2y
x4+y2
¯ ¯ ¯
¯≤sin2xcos2y
Puesto que lim (x,y)−→(0,0)sin
2xcos2y= 0·1 = 0se sigue que
lim (x,y)−→(0,0)
x4sin2xcos2y
3
Límites iterados (o reiterados)
Esta sección intenta reducir el cálculo del límite de funciones de dos variables al estudio de límites en una sola variable. La idea es la siguiente: fijando una vari-able, se pasa al límite en la otra, obteniendo valores que depende de la variable fijada. A continuación, se fija la otra y se reitera el proceso, obteniéndose los límites iterados. Desafortunadamente, la existencia de los límites iterados no garantiza la existencia del límite pero, en caso de que existan todos los límites, deben coincidir.
Proposición 1: Seaf :D⊆R2−→Runa función de dos variables definida en un dominioDdeR2y sea(a, b)un punto de acumulación deD. Supongamos que existe
lim
(x,y)−→(a,b)f(x, y) =l
y los dos siguientes límites:
lim
x−→af(x, y) = ϕ(y) para caday de un entorno reducido deb
lim
y−→bf(x, y) = φ(x) para cadaxde un entorno reducido dea
Entonces, existen los límites iterados y coinciden conl, esto es,
lim
x−→a
µ
lim
y−→bf(x, y)
¶
= lim
y−→b
³
lim
x−→af(x, y)
´
=l= lim
(x,y)−→(a,b)f(x, y)
Consecuencias:
1. Si existen los dos límites iterados y son distintos, se sigue que no existe el límite de la funciónf en(a, b).
2. Puede ocurrir que existan los límites iterados y coincidan y, sin embargo, no exista el límite de la funciónf en(a, b).
3. Puede existir lim
(x,y)−→(a,b)f(x, y)sin que exista alguno de los límite iterados
4. Puede ocurrir que alguno de los límites iterados valga infinito, en cuyo caso se sigue que no existe el límite de la función.
Ejemplo 6: Se considera la función real definida enR2−{(0,0)}por
f(x, y) =x 2−y2
x2+y2
Puesto que
lim
x−→0
µ
lim
y−→0
x2−y2
x2+y2
¶
= lim
x−→01 = 1
lim
y−→0
µ
lim
x−→0
x2−y2 x2+y2
¶
= lim
se sigue que no existe lim
(x,y)−→(0,0)f(x, y).
Ejemplo 7: Se considera la función real definida enR2−{(0,0)}por f(x, y) = x y
x2+y2
Es fácil comprobar que los dos límites reiterados cuando (x, y) −→ (0,0)
existen y valen cero. Sin embargo, no existe el límite de la función en(0,0). En efecto, si tomamos el límite a lo largo de la rectay=mxse tiene que
lim (x,y)−→(0,0)
x y
x2+y2 = limx−→0
m x2
(1 +m2)x2 =
m
1 +m2
Como este límite depende de la pendientem, se sigue que no existe el límite de la función en(0,0).
Ejemplo 8: Se considera la función real definida enR2−{(0,0)}por f(x, y) =
½
y si x >0
−y si x≤0
Claramente esta función tiene límite0cuando(x, y)−→(0,0) ya que |f(x, y)|=|y|−→0cuando(x, y)−→(0,0)
Claramente el límite reiterado lim
x−→0
µ
lim
y−→0f(x, y)
¶
= 0. Sin embargo, no existe el otro límite reiterado lim
y−→0
³
lim
x−→0f(x, y)
´
ya que no existe lim
x−→0f(x, y).
Ello se debe a que los límites laterales de este último límite son distintos:
lim
x−→0+f(x, y) = x−→lim0+y=y
lim
x−→0−f(x, y) = x−→lim0−−y=−y
Esto no contradice la Proposición 1 ya que no se cumple la hipótesis de que exista lim
x−→0f(x, y) = ϕ(y) para cada y de un entorno reducido de 0. Ahora
bien, dada una función f(x, y), si existe la función ϕ(y) = lim
x−→0f(x, y) “para
y cerca de 0”, pero no existe lim
y−→0ϕ(y) = limy−→0
³
lim
x−→0f(x, y)
´
4
Cambio a coordenadas polares
Como es bien sabido, dado un puntoP = (x, y)∈R2, el par(x, y)son las
co-ordenadas cartesianas o rectangulares deP.A continuación, se pretende definir las coordenadas polares deP.
Hablando sin rigor, las coordenadas polares de un punto P = (x, y) ∈ R2
distinto del origen, son los númerosρyθ que satisfacen las ecuaciones x=ρcosθ y y=ρsinθ.
Hablando en términos geométricos, el númeroρrepresenta la distancia desde P al origenO= (0,0), mientras queθ puede ser interpretado como el ‘ángulo’ desde el ejexpositivo a la rectaOP.Sin embargo, existe una cierta ambiguedad si definimosρyθ simplemente por las ecuaciones anteriores. En efecto, si(ρ, θ)
satisfacen estas ecuaciones, entonces también las verifican(ρ, θ+ 2kπ)para cada k∈Z. Por tanto, conviene dar una definición precisa de coordenadas polares.
Recordemos que los números complejos se identifican con los puntos del planoR2 al asociar al número complejoa+biel punto (a, b)deR2. Se define
el módulo de un número complejo z = a+bi como el número real positivo ρ= |z| = √a2+b2, es decir, la distancia del punto (a, b) que representa z al
origen. Además, dado un número complejoz=a+bi6= 0, el ánguloθque forma el eje positivo de lasxcon el segmento que une el origen con el punto(a, b)se llamaargumento dez,denotado porarg(z),y se tiene la siguiente expresión de z:
z=ρ(cosθ+isinθ).
Ahora bien, si sustituimosθporθ+2kπse obtiene el mismo número complejo. El argumento de un número complejo no está determinado unívocamente, sino que puede variar en un múltiplo de 360o = 2π radianes. En concreto, dados z, w ∈C, se verifica que arg(z) = arg(w)si, y sólo si, arg(z)−arg(w) = 2kπ para k∈ Z. Ahora bien, sic∈ Ry z ∈ C, z 6= 0, en el intervalo (c, c+ 2π]
existe un único argumento dez.Cuandoc=−πeste único argumento recibe el nombre deargumento principal dezy lo denotaremos con letras mayúsculas por Arg(z).Asimismo llamaremosargumentosdez,arg(z),a los ángulosargumento principal +2kπ parak∈Z,esto es,
arg(z) ={Arg(z) + 2kπ:k∈Z}.
En cualquier caso, dado un número complejoz=a+bi6= 0se puede calcular el argumento dez,arg(z),procediendo de la siguiente manera. En primer lugar, tomandoaybpositivos se obtiene
θ= arctanb
a (a, b >0).
Entonces,
1. Siz está en el primer cuadrante esarg(z) =θ=Arg(z)
2. Siz está en el segundo cuadrante esarg(z) =π−θ=Arg(z)
3. Siz está en el tercer cuadrante esarg(z) = π+θ, si bien el argumento principal dez seríaArg(z) =π+θ−2π=θ−π
4. Sizestá en el cuarto cuadrante esarg(z) = 2π−θ o también,Arg(z) =
−θ=argumento principal dez
Ejemplos:
1)Si x∈R,x >0, entoncesarg(x) ={0 + 2kπ:k∈Z}
2)Si x∈R,x <0, entoncesarg(x) ={π+ 2kπ:k∈Z}
3) arg(i) =©π
2 + 2kπ:k∈Z
ª
4) arg(−i) =©−π
2 + 2kπ:k∈Z
ª
5) arg(2 + 2i) =©π
4 + 2kπ:k∈Z
ª
6) arg(−1−√3i) =©−2π
3 + 2kπ:k∈Z
ª
7) arg(−1−i) =©−3π
4 + 2kπ:k∈Z
ª
8) arg(√3−i) =©−π
6 + 2kπ:k∈Z
ª
Teniendo en cuenta todo lo anterior, se tiene la siguiente
Definición 1: Se definen las coordenadas polares de un puntoP = (x, y)∈ R2, distinto del origen, como el par de números reales(ρ, θ)dondeρ=px2+y2
y θ = Arg(x+iy) son el módulo y el argumento principal de z = x+iy. Equivalentemente,ρyθson números reales determinados por las condiciones
ρ >0, θ∈(−π, π], x=ρcosθ y y=ρsinθ.
A menudo, una curva puede ser descrita por una ecuación en coordenadas cartesianas así como por una ecuación en coordenadas polares. Algunas veces, ésta última puede ser más sencilla. Por ejemplo, una circunferencia de radio
2 centrada en el origen viene descrita por la ecuaciónx2+y2 = 4, mientras
que su ecuación polar esρ= 2. Por otro lado, si nos dan la curva de ecuación ρ = asinθ (a > 0) se podría intentar expresarla en coordenadas cartesianas para ver de que curva se trata. Para ello, nótese que la ecuación polar dada es equivalente aρ2 =aρsinθ, cuya ecuación en coordenadas cartesianas viene
dada por x2+y2 = ay, esto es, x2+¡y−a
2
¢2
= ¡a2¢2. Entonces, la curva ρ=asinθes una circunferencia de radio a
2 centrada en el punto
¡
0,a
2
¢
El siguiente teorema es una herramienta útil para calcular numerosos límites, en especial aquellos en los que aparece algún término con la expresión ρ2 =
x2+y2 ya que se precisa de un cambio a coordenadas polares.
Teorema 1: SeaA= (0,∞)×(0,2π]y seag:A−→R2la función definida
porg(ρ, θ) = (x, y) = (ρcosθ, ρsinθ). Dadaf :R2−→R, seaF=f◦g, esto
es,F(ρ, θ) =f(ρcosθ, ρsinθ). Entonces se verifica que lim
(x,y)−→(0,0)f(x, y) =l
si, y sólo si, dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < ρ < δ, entonces |F(ρ, θ)−l|≤εuniformemente enθ,para todoθ∈(0,2π].
Para aplicar correctamente el teorema anterior conviene añadir las siguientes observaciones:
Observaciones:
1. Para aplicar el teorema es suficiente y puede ser más sencillo encontrar una funciónϕ(ρ)definida en (0, δ)y positiva tal que|F(ρ, θ)−l|≤ϕ(ρ)
siρ∈(0, δ)yθ∈(0,2π]y, además, lim
ρ−→0ϕ(ρ) = 0.
2. Un error posible consiste en calcular para cadaθ∈(0,2π]el límite
lim
ρ−→0+F(ρ, θ) = limρ−→0+f(ρcosθ,ρsinθ)
y concluir que este límite existe si se obtiene siempre el mismo valor. Lo que se está haciendo de esa manera es calcular el límite a lo largo de la semirrecta que forma un ángulo θ con el semieje positivo de abscisas. Obviamente, si se obtienen valores distintos para diferentes valores de θ, entonces el límite buscado no existe. Ahora bien, el hecho de encontrar un valor común l para todos los angulosθ posibles, no implica la existencia del límite ya que además de converger al mismo valor, han de hacerlo de una manera “uniforme”.
Ejemplo 9: Calcula lim
(x,y)−→(0,0)f(x, y)donde
f(x, y) =
(
x2y
x2+y2 si (x, y)6= (0,0)
0 si(x, y)6= (0,0)
Puesto que los límites reiterados valen cero, se sigue que el límite de la función en(0,0), si existe, valdrá cero. Cambiando a coordenadas polares resulta que
|F(ρ, θ)|=
¯ ¯ ¯ ¯ρ
2cos2θ ρsinθ
ρ2
¯ ¯ ¯
¯≤ρ−→0cuando ρ−→0.
Por tanto,
lim
Ejemplo 10: Calcula lim
(x,y)−→(0,0)f(x, y)donde
f(x, y) =
½
x y ln¡x2+y2¢ si (x, y)6= (0,0)
0 si (x, y)6= (0,0)
Cambiando a coordenadas polares se obtiene que
|F(ρ, θ)|=¯¯ρ2cosθsinθ ln¡ρ2¢¯¯≤ρ2ln¡ρ2¢−→0cuando ρ−→0+. Por tanto,
lim
(x,y)−→(0,0)f(x, y) = 0
Ejemplo 11: Calcula lim
(x,y)−→(0,0)f(x, y)donde
f(x, y) =
½ y x sin
¡
x2+y2¢ si x6= 0
0 six= 0
Cambiando a coordenadas polares se obtiene que |F(ρ, θ)|=
¯ ¯ ¯
¯ρρcossinθθsin
¡
ρ2¢
¯ ¯ ¯
¯=¯¯tanθsin¡ρ2¢¯¯.
Ahora bien, como tanθno esta acotada para “θcerca de π2” se deduce que |F(ρ, θ)| no satisface |F(ρ, θ)| ≤ε para todo θ ∈[0,2π] cuando ρ−→ 0. Por tanto, no existe lim
