Medidas de tendencia central

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I. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. La MEDIA ARITMETICA o PROMEDIO o simplemente LA MEDIA

Es la medida de tendencia central más utilizada, la cual se representa mediante el símbolo X y corresponde al promedio de todos los valores de la muestra, y se define como el cociente entre la suma de todos los datos y el número total de datos.

Si los datos son no agrupados, para encontrar la media X , se suman todos los valores de la

variable y se dividen en el número total de datos (N)

N x x

x

X  1  2 ... n

Ejemplos: a) Al final de cada mes, un fabricante de varios mercados de ventas mide la eficacia de sus 15 vendedores a crédito, expresando sus malas acreencias como porcentaje de ventas; obtiene en un mes: 8,0; 9,4; 11,0; 10,9; 9,9; 9,8; 10,0; 4,2; 9,5; 9,8; 10,1; 9,0; 8,8; 7,5 y 8,0%, respectivamente. Hallar la mala eficacia promedio del grupo.

06 , 9 15

0 , 8 5 , 7 8 , 8 0 , 9 1 , 10 8 , 9 5 , 9 2 , 4 0 , 10 8 , 9 9 , 9 9 , 10 0 , 11 4 , 9 0 , 8

                X

Por lo tanto, la mala eficacia promedio del grupo de vendedores es aproximadamente del 9%

b) El entrenador de baloncesto tiene un equipo de 5 estudiantes conformado así: Miguel tiene 17 años, Pedro 16, Alberto 20, Gonzalo 19 y Camilo 23. el entrenador necesita conocer la edad

promedio del equipo. 19

5 95 5

23 19 20 16 17

      

X . Por lo tanto, la edad promedio del

equipo es de 19 años.

Si los datos son agrupados, para calcular la media X se utiliza la fórmula:

N X f

X

i i

* ;

recuerde que

 

fi = a la frecuencia absoluta y

 

Xi = marca de clase o punto medio.

Ejemplos: a) En la siguiente tabla se muestra la cantidad de tiempo dedicada por 40 personas a estudiar en casa.

 

 

 

 

 

75 , 44 40 1790

40

210 480 400 400 240 60 40

70 3 60 8 50 8 40 10 30 8 20 3

 

                  X

En promedio, las personas encuestadas dedican 44,75 minutos diarios a estudiar en casa. Tiempo en minutos LiLs X i fi Fi

[15, 25) 20 3 3

[25, 35) 30 8 11

[35, 45) 40 10 21

[45, 55) 50 8 29

[55, 65) 60 8 37

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b) El profesor de sociales publicó las notas de los 30 estudiantes del curso octavo de la siguiente manera:

Según los datos representados en la tabla anterior halle el promedio del grupo. ¿Los estudiantes aprobaron la materia?

 

 

 

 

          

30

2 , 4 4 7 , 3 5 2 , 3 6 7 , 2 8 2 , 2 7 X

05 , 3 30

5 , 91 30

8 , 16 5 , 18 2 , 19 6 , 21 4 , 15

 

     X

En promedio, los estudiantes obtuvieron 3,05 en la calificación de sociales. Por lo tanto, aprobaron la materia.

2. MODA

La moda es el valor con una mayor frecuencia absoluta en una distribución de datos. Se representa por Mo

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Moda de datos no agrupados: La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas. 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 Mo= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda. 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes Ejemplo: 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo = 4

Moda de datos agrupados:Para obtener la moda en datos agrupados se usa la siguiente fórmula:

i D D

D L

Mo i 

  

 

  

2 1

1

1 Donde: Li − 1 = Límite inferior de la clase modal.

D1 = es el delta (diferencia) de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta premodal.

D2 = es el delta (diferencia) de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta postmodal. i = amplitud del intervalo.

Intervalos Marcas de clase

Frecuencias absolutas

Frecuencias acumuladas

Frecuencias relativas

Notas Notas N° de estudiantes N° de estudiantes % de estudiantes

s i L

LXi fi Fi hi

2,0 – 2,4 2,2 7 7 23,3

2,5 – 2,9 2,7 8 15 26,7

3,0 – 3,4 3,2 6 21 20,0

3,5 – 3,9 3,7 5 26 16,7

4,0 – 4,4 4,2 4 30 13,3

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El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.

La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos

partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:

Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal las frecuencias absolutas de los intervalos

anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.

Ejemplos: a) Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla del peso de 100 personas de un grupo universitario:

FILA MODAL

42 18

 

42 27

3 18

42

66 

  

 

o

M

84 , 67 13 882 13

24 858 13

24 13 66 13 24 66 3 39 24 66 3 15 24

24

66             

  

La moda en el peso de las personas encuestadas es 67,84 kilogramos.

b) En la siguiente tabla se muestra la cantidad de tiempo dedicada por 40 personas a estudiar en casa.

FILA MODAL

 

2 2 10 35 5 40

2 35 10 8 10 8 10

8 10

35    

      

 

o

M

La moda en las personas encuestadas es 40 minutos diarios dedican a estudiar en casa.

Pe s o en

K g r fi Xi Fi

[ 60, 63) 5 61,5 5

[ 63, 66) 18 64,5 23

[ 66, 69) 42 67,5 65

[ 69, 72) 27 70,5 92

[ 72, 75) 8 73,5 100

100

Tiempo en minutos

s i L

L

i

X fi Fi

[15, 25) 20 3 3

[25, 35) 30 8 11

[35, 45) 40 10 21

[45, 55) 50 8 29

[55, 65) 60 8 37

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3. MEDIANA

La mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil.

Existen dos estrategias para calcular la mediana: considerando los datos en forma individual, sin agruparlos, o bien utilizando los datos agrupados en intervalos de clase. De esta manera:

Datos sin agrupar

Seanx1,x2,x3,... xn los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como Me, se distingue dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición

2

1  n

una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir:

Me =  

2 1

n

x

. Ejemplo, si se tienen 5 datos, que ordenados son: x1 = 3, x2 = 6, x3 = 7, x4 = 8, x5 = 9

El valor central es el tercero:  

2 1 5

x

= x3 = 7. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de

datos, deja dos datos por debajo (x1, x2) y otros dos por encima de él (x4, x5).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de las dos observaciones centrales. Cuando n es

par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones 2 n

y       2 n

+ 1. Es

decir:

2

1 2 2

      

 

n n

e

x x

M Ejemplo, si se tienen 6 datos, que ordenados son: x1 = 3, x2 = 6, x3 = 7,

x4 = 8, x5 = 9, x6 = 10 => Hay dos valores que están por debajo del 3 7 2

6  x

x y otros dos que

quedan por encima del siguiente dato 3 1 4 8

1 2

6    

     

x x

x . Por tanto, la mediana de este grupo

de datos es la media aritmética de estos dos datos: 7,5 2

8 7 2

4

3 

x x

Me .

Datos agrupados

Al tratar con datos agrupados, si

2

n

coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de

frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia a: i f

F n L

M

i i i

e

   

 

   

 

 

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Li − 1 = Límite inferior de la clase modal.

2 n

= mitad de los datos muestreados. Fi= es la

frecuencia acumulada antes de la fila modal. fi= frecuencia absoluta de la fila modal i = amplitud del intervalo.

Ejemplos para datos sin agrupar:

1. Hallar la mediana de las siguientes series de números:

a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8. Ordenando los datos 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 8, 9. Me =

5

b) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6. Ordenando los datos 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9. 5

2 5 5    e M

c) 10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18 Ordenando los datos 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17,

18, 18, 20 10

2 10 10    e M

Ejemplos para datos agrupados:

2.Hallar la mediana de la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

Se halla la mitad de los datos 2 21 2

n

=10,5 se puede trabajar en decimales o en fracciones.

78 , 21 14 305 14 25 14 20 5 14 5 20 5 7 2 16 21 20 5 7 8 2 21

20     

                                        e M

Rta. La mediana de los datos de la distribución es 21,78

3.Calcular la mediana de las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto, que vienen dadas por la tabla:

Altura en m [1,70 – 1,75) [1,75 – 1,80) [1,80 – 1,85) [1,85 – 1,90) [1,90 – 195) [1,95 – 2,00)

Nº de jugadores 1 3 4 8 5 2

87

,

1

16

95

,

29

16

35

,

0

16

85

,

1

05

,

0

16

7

85

,

1

05

,

0

8

2

16

23

85

,

1

05

,

0

8

8

2

23

85

,

1

e

M

Rta. La mediana de las estaturas de los jugadores es de 1,87 metros

Tiempo [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)

fi 3 5 7 4 2

(6)

[1.70,

1.75) 1 1

[1.75,

1.80) 3 4

[1.80,

1.85) 4 8

[1.85, 1.90) 8

1 6

[1.90, 1.95) 5

2 1

[1.95, 2.00) 2

2 3

2

Figure

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