2012 - invierno Matemáticas 0b ingenierias v1

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(1)ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS CURSO NIVEL CERO “B” INVIERNO 2012 PARA INGENIERÍAS PRIMERA EVALUACIÓN DE MATEMÁTICAS - VERSIÓN 1 GUAYAQUIL, 07 DE MARZO DE 2012 NOMBRE:__________________________________________________________________________. PARALELO _____. INSTRUCCIONES •. Escriba sus datos de acuerdo a lo solicitado en esta hoja y en la de respuestas.. •. Esta prueba consta de dos secciones: Sección I con 18 preguntas de opción múltiple, Sección II con 2 preguntas de desarrollo.. •. Cada pregunta tiene un valor de 3. 5 puntos.. •. Para desarrollar esta prueba tiene un tiempo de 2 horas.. •. Puede escribir en cualquier parte del bloque de la prueba con esferográfica o lápiz, pero en la hoja de respuestas sólo debe marcar en la opción que usted considere correcta, utilizando el lápiz y la marca que se indican en la hoja de respuestas.. •. En esta prueba no se permite el uso de calculadoras.. •. La prueba es estrictamente personal.. SECCIÓN I: PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE (3.5 puntos c/u). 1. Si la proposición [( r → ¬p) ∧ (p ∨ ¬q)] → (¬r → ¬q) es FALSA entonces una proposición VERDADERA es: a) ( ¬ q ∨ p ) ≡ 0 b) ( p → 1) ≡ 0 c) ( r ∨ p ) ≡ 0 d) ( ¬r ∧ q ) ≡ 1. e) ( ¬ q ∧ p ) ∨ r ≡ 1. 2. La NEGACIÓN del enunciado “Si sales bien en el examen 0B, te invito a almorzar” es: a) b) c) d) e). No sales bien en el examen 0B y no te invito a almorzar. No te invito a almorzar y sales bien en el examen 0B. Te invito a almorzar si no sales bien en el examen 0B. Si no sales bien en el examen, no te invito a almorzar. No sales bien en el examen 0B y te invito a almorzar.. 3. Dadas las siguientes premisas de un razonamiento: H1: Pedro tiene buena salud o tonifica sus músculos si se ejercita. H2: Pedro no tiene buena salud y se ejercita Entonces una conclusión que VALIDA el razonamiento es: a) b) c) d) e). Pedro tiene buena salud y no se ejercita Pedro tiene buena salud si se ejercita Pedro tiene buena salud Pedro se ejercita y tiene buena salud Pedro se ejercita o tiene buena salud. 4. Indique cuál de las siguientes proposiciones es FALSA: a) [ A – (B ∪ C)] = [ (A – B) ∩ ( A – C) ] b) [ A x (B – C)] = [ (A x B) – ( A x C) ] c) [ A – (B ∩ C)] = [ (A – B) ∪ ( A – C) ] d) [ A x (B ∪ C)] = [ (A ∪ B) x ( A ∪ C) ] e) [ (A – B) x C] = [ (A x C) – ( B x C) ] 5. Sea el conjunto referencial Re = {1, 2, 3, 4, 5,} y los predicados: p(x): x+1 = 2x. ;. q(x): x+1 = x+1. Entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA. Identifíquela. a) ∃x p(x) → ∀x q(x) b) [∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ] → ∀x [ p(x) ∨ q(x) ] c c) [∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ] → ∀x [ p(x) ∧ q(x) ] d) A p(x) ∪ A q(x) = Re e) A p(x) ⊆ A q(x).

(2) VERSIÓN 1 2. 1. x 3 − ( xy ) 3 + y 6. Al simplificar la expresión x2 − y 2. a) 1. b) x − y. 2. 3. ⋅. (x. c) x. 1 1. 3. +y. 1. 3. ). ⋅ −1. 2 x 2 − 3 xy + y 2 , se obtiene: 2x − y. d) x + y. e) 2x. 7. Se desea colocar 3 pelotas de color rojo, azul y blanco respectivamente en cajas numeradas con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Calcule el número de maneras distintas en que las pelotas pueden ser colocadas en las cajas, si cada caja es capaz de contener sólo una pelota. a) 60. b) 720. c) 30. d) 3(10)!. e) (10)!. 10. ⎛ x2 ⎞ − y ⎟ , el término que NO contiene y, sin considerar el 8. En el desarrollo del binomio ⎜ ⎝ y ⎠ signo − , es: a) 252 x 20. b) 252. c) x10. d) 252 x10. e) x 20. 9. Considere la siguiente progresión aritmética: 2, 8, 14, 20,….. El número de términos que hay que tomar para que la suma de ellos sea 1180, es: a) 20 b) 30 c) 60 d) 50 e) 59 ⎧ − −x +1 ; x≤0 ⎪ 2 10. Sea la función h( x) = ⎨( x − 1) + 1 ; 0 < x ≤ 1 . ⎪ 2x ; x >1 ⎩. Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela. a) ∀x1, x2 ∈ [ 0,1] : [ x1 < x2 ⇒ h( x1 ) > h( x2 ) ] . c) h no es una función inyectiva. e) h no es acotada.. b) rg h = [0, +∞). d) h es impar.. 11. Considere la gráfica de una función f : \ 6 \ que se muestra a continuación. Su regla de correspondencia es: ⎧ u ( x) ; x <2 ⎪ a) f ( x) = ⎨2sgn( x) ; x ≤ −2 ⎪ 3 x −1 ; x ≥ 2 ⎩. ⎧ u ( x) ; x < 2 ⎪ b) f ( x) = ⎨ sgn( x) ; x ≤ −2 ⎪ ⎩ x −1 ; x ≥ 2. ⎧ u ( x) ; x < 2 ⎪ c) f ( x) = ⎨ sgn( x) ; x ≤ −2 ⎪⎡ x − 1 ⎤ ; x ≥ 2 ⎦ ⎩⎣. ⎧ u ( x) ; x < 2 ⎪ d) f ( x) = ⎨ sgn( x) ; x ≤ −2 ⎪ ⎩3 x − 1 ; x ≥ 2. ⎧ u ( x) ; x <2 ⎪ e) f ( x) = ⎨2sgn( x) ; x ≤ −2 ⎪ x −1 ; x≥2 ⎩.

(3) VERSIÓN 1. 12. Sean. ⎧⎪ e x−1 ; x ≥1 f ( x) = ⎨ ⎪⎩log 2 ( x + 1) ; 0 < x < 1. y. ⎧ln ( x ) + 1 ; x ≥ 1 ⎪ g ( x ) = ⎨ x −1 ; x <1 ⎪ 2x ; x ≤ −1 ⎩. Entonces la regla de correspondencia de gof es: a). x −1 ; x ≥1 ⎧ ⎪ 1 ⎨log 2 ( x + 1) − 1 ; 4 < x < 1 ⎪ x +1 ; 0 < x ≤ 14 ⎩. ⎧log ( x + 1) − 1 ; x < 1 b) ⎨ 2 ; x ≥1 x ⎩. c). ⎧log 2 ( x + 1) − 1 ; 0 < x < 1 ⎨ x ; x ≥1 ⎩. ⎧log ( x ) ; 0 < x < 1 d) ⎨ 2 ; x ≥1 ⎩ x. e). ; x ≥1 ⎧ x ⎪ ⎨log 2 ( x ) ; −1 < x < 1 ⎪ 2x ; x ≤ −1 ⎩. 13. Sea p(x) un polinomio que satisface las siguientes condiciones: • Es de grado 4 y el coeficiente de x 4 es diferente de 1. • p(−1) = 0 . • x = 3 es una raíz de multiplicidad 2. • Es divisible entre ( x + 4) . • El residuo de dividir p(x) entre ( x − 1) es 80. La suma de los coeficientes de x 2 y x 3 es: a) −36. b) −54. c) 54. d) 24. 3 ⎛ ⎛ 9π 14. Si cos (α ) = . La expresión 3 x sec (α ) − tan ( 45o ) = sec ( 60o ) ⎜ sec ⎜ 5 ⎝ 4 ⎝ se satisface si x es: a) 5. b) 4. c) 3. d) 2. e) 36. ⎞ ⎛ 3π ⎟ + sen ⎜ ⎠ ⎝ 4. ⎞⎞ ⎟⎟ ⎠⎠. ( ). csc 30o. e) 1.

(4) VERSIÓN 1. ⎡ π⎤ 15. Considere como conjunto referencial al intervalo ⎢ 0, ⎥ . El valor numérico de la expresión ⎣ 2⎦ ⎛ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ sen ⎜ arcsen ⎜ ⎟ + arccos ⎜ ⎟ ⎟ es: ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ a). 1 2. c) −. b) 1. 1 2. d). 1 4. e). 3 4. 16. Considere la gráfica de una función f : \ 6 \ que se muestra a continuación. Entonces su regla de correspondencia es:. ⎛π ⎞ a) y = 2sen ⎜ ( x − 1) ⎟ − 2 ⎝3 ⎠ ⎛π ⎞ c) y = 2sen ⎜ ( x + 1) ⎟ − 2 ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ e) y = 2sen ⎜ ( x + 1) ⎟ − 2 ⎝3 ⎠. ⎛π ⎞ b) y = 2sen ⎜ ( x − 1) ⎟ − 2 ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ d) y = 2sen ⎜ ( x − 1) ⎟ + 2 ⎝2 ⎠. 17. La siguiente expresión trigonométrica a) cos(x). b). 1 1 + cos ( x ). 18. Sea Re = [ 0, 2π ] y p ( x ) :. tan ( x ) − sen ( x ) es idéntica a: sen3 ( x ). c) sec(x). d). sec ( x ) 1 + cos ( x ). e). 1 1 − cos ( x ). cos ( x ) − 1 > 0 . Ap(x) es: tan ( x ). ⎛ π ⎞ ⎛ 3π ⎞ , 2π ⎟ a) ⎜ 0, ⎟ ∪ ⎜ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠. ⎛ π ⎞ ⎛ 3π ⎞ b) ⎜ 0, ⎟ ∪ ⎜ π , ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝. ⎛ 3π ⎞ , 2π ⎟ d) ⎜ ⎝ 2 ⎠. ⎛π ⎞ ⎛ 3π ⎞ , 2π ⎟ e) ⎜ , π ⎟ ∪ ⎜ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠. ⎛π ⎞ c) ⎜ , π ⎟ ⎝2 ⎠.

(5) VERSIÓN 1 SECCIÓN II: PREGUNTAS DE DESAROLLO (3.5 puntos c/u) NOMBRE:____________________________________________PARALELO _____. 19. Utilizando inducción matemática demuestre que:. ∀n ∈ ` , 5n +1 − 1 es divisible para 4..

(6) VERSIÓN 1 ⎧ −2 x − x 2 ; x ≤ −2 20. Dada la función f ( x ) = ⎨ . + > − log ( x 3) ; x 2 3 ⎩ a) Determine la regla de correspondencia de f −1.. b) Grafique f −1 ( x ) en el plano adjunto. Especifique la escala utilizada..

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