INTRODUCCI ´
ON A LAL
OGICA´MATEM ´
ATICAPor:
DIEGO ALEJANDRO MEJ´IAGUZMAN´
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO DEMATEMATICAS´
´I
NDICE GENERAL
1.. C ´ALCULOPROPOSICIONAL . . . 5
1.1. SEMANTICA: TABLAS DE´ VERDAD . . . 6
1.2. SINTAXIS: TEOR´IA L . . . 12
1.3. M ´ETODOS DEDEMOSTRACION´ . . . 18
1.4. TEOREMA DECOMPLETEZ . . . 26
2.. C ´ALCULO DEPREDICADOS . . . 29
2.1. LENGUAJES DEPRIMERORDEN . . . 30
2.2. TEOR´IAS DEPRIMERORDEN . . . 38
2.3. M ´ETODOS DEDEMOSTRACION´ . . . 44
2.4. CUANTIFICADORES T´IPICOS . . . 58
2.5. TEOR´IAS CONIGUALDAD . . . 66
3.. NOCIONES INICIALES DE LATEOR´IA DECONJUNTOS . . . 75
3.1. DEFINICION DE´ ZF . . . . 75
3.2. ESQUEMA AXIOMATICO DE´ COMPRENSION´ . . . 82
3.3. OPERACIONES INICIALES ENTRE CONJUNTOS . . . 90
3.4. UNIONES E INTERSECCIONES GENERALIZADAS . . . 99
3.5. CONJUNTOS DEFINIDOS MEDIANTE OPERACIONES . . . 105
3.6. OTROS AXIOMAS DEZF . . . 111
4.. RELACIONES YFUNCIONES . . . 115
4.1. RELACIONES . . . 115
4.2. PRODUCTO CARTESIANO . . . 124
4.4. IMAGEN DIRECTA E INVERSA . . . 145
Cap´ıtulo 1
C´alculo Proposicional
Una de las componentes del lenguaje matem´atico es escribir sus afirmaciones mediante los conectivos l´ogicos¬(negaci´on), ∨ (disyunci´on), ∧ (conjunci´on), ⇒ (implicaci´on) y ⇔ (equiv-alencia) para hacer un seguimiento f´acil y efectivo en las demostraciones. Este “seguimiento” corre-sponde a las leyes (Tautolog´ıas) que se obtienen mediante el C´alculo Proposicional, el cual consiste en el estudio de las afirmaciones que se escriben mediante los conectivos l´ogicos mencionados y de sus leyes que permiten obtener, mediante t´ecnicas y c´alculos sencillos, afirmaciones siempre ver-daderas en ese lenguaje.
El c´alculo proposicional se presenta mediante dos enfoques: el sem´antico y el sint´actico. El primero consiste en el conocido an´alisis, por medio de tablas de verdad, para comprobar si una afirmaci´on dada es una tautolog´ıa o no. El segundo enfoque consiste en obtener las afirmaciones verdaderas mediante un m´etodo demostrativo que se basa en axiomas y reglas de inferencia. La diferencia de ambos enfoques es que en el primero se tiene en cuenta el significado de las afirma-ciones (la sem´atica) mientras que, en el segundo, la verdad de las afirmaafirma-ciones no dependen del significado, sino de las demostraciones, es decir, de la escritura (sintaxis).
de demostraci´on paraL, lo cual permite aligerar las pruebas y dar un contenido m´as intuitivo sin perder la formalidad. Finalmente, la ´ultima secci´on trata sobre el Teorema de Completez, el cual afirma que las tautolog´ıas son precisamente las afirmaciones que se pueden demostrar enL, lo cual garantiza de forma definitiva que enLtiene lugar todo el c´alculo proposicional.
1.1.
Sem´antica: Tablas de Verdad
As´ı como el mismo idioma espa˜nol, el c´alculo proposicional contiene una forma sem´antica y una sintaxis. En la presente secci´on resumimos la parte sem´antica, ´esto con el fin de darle validez a su sintaxis, la cual se expone desde la secci´on 1.2.
1.1 Definici´on. El C´alculo Proposicional est´a compuesto de los siguientes elementos.
Letras Sentenciales Letras que representan afirmaciones.
Conectivos L ´ogicos Son¬(negaci´on), ∨ (disyunci´on), ∧ (conjunci´on), ⇒ (implicaci´on) y ⇔ (equivalencia).
En la pr´actica, las letras sentenciales representan afirmaciones a las cuales se les puede asignar un valor de verdadV(verdadero) ´oF(falso). Los conectivos l´ogicos act´uan como operadores entre las letras para obtener un valor de verdad seg´un la asignaci´on de valores de verdad dadas a las letras. A continuaci´on ilustramos la tabla de verdad correspondiente a cada conectivo l´ogico.
A ¬A
V F
F V
Cuadro 1.1: Tabla de verdad de la negaci´on.
A B A∨B
V V V
V F V
F V V
F F F
A B A∧B
V V V
V F F
F V F
F F F
Cuadro 1.3: Tabla de verdad de la conjunci´on.
A B A⇒B
V V V
V F F
F V V
F F V
Cuadro 1.4: Tabla de verdad de la implicaci´on.
A B A⇔B
V V V
V F F
F V F
F F V
Cuadro 1.5: Tabla de verdad de la equivalencia.
Algunas peculiaridades que encontramos sobre estas tablas son las siguientes: (1) La negaci´on cambia el valor de verdad de una afirmaci´on.
(2) La disyunci´on es falsa s´olo cuando sus componentes son falsas.
(3) La conjunci´on es verdadera s´olo cuando sus componentes son verdaderas.
(4) La implicaci´on es falsa s´olo cuando el antecedente (A) es verdadero y el consecuente (B) es fal-so. ´Esto es debido a que, intuitivamente, una afirmaci´on verdadera no tiene como consecuencia una afirmaci´on falsa.
(5) La equivalencia es verdadera s´olo cuando sus componentes tienen el mismo valor de verdad. ´
Esto es debido a que, intuitivamente, dos afirmaciones equivalentes tienen el mismo significado.
(A⇒B)∧(¬A∨C)tiene un sentido l´ogico, pues se puede interpretar adecuadamente, mientras que ⇒Ano lo tiene. Por lo tanto, llamamos Forma Sentencial (F.S.) a una afirmaci´on con sentido
l´ogico1.
1.2 Ejemplo. Como se indic´o anteriormente, afirmaciones como(A⇒B)∧(¬A∨C),A∨ByA
son F.S., mientras que ⇒A,AByA∨¬no son F.S.. Encontramos dos diferencias cruciales aqu´ı: (1) Las F.S. tienen sentido l´ogico y se prestan para interpretaciones obvias, mientras que las
afir-maciones que no son F.S. no, y
(2) a las F.S. se les puede elaborar una tabla de verdad, mientras que a las afirmaciones que no son F.S. no se les puede elaborar dicha tabla.
Por ejemplo, la tabla de verdad de(A⇒B)∧(¬A∨C)es
A B C ¬A A⇒B ¬A∨C (A⇒B)∧(¬A∨C)
V V V F V V V
V V F F V F F
V F V F F V F
V F F F F F F
F V V V V V V
F V F V V V V
F F V V V V V
F F F V V V V
Cuadro 1.6: Tabla de verdad de la F.S.(A⇒B)∧(¬A∨C)
En adelante, denotaremos por letras cursivas del tipoB,C, etc., a las F.S.. Entre las afirmaciones que se pueden construir con letras sentenciales y conectivos l´ogicos adquieren importancia las F.S., pues son las que adaptan un valor de verdad y tienen un sentido l´ogico. M´as all´a de esto, en l´ogica hay un grupo de afirmaciones que se destacan entre las F.S., las cuales inclu´ımos en la siguiente definici´on.
1.3 Definici´on (Tautolog´ıa, Contradicci´on). Una F.S.Bse llama Tautolog´ıa si su tabla de verdad toma el valorV bajo cualquier asignaci´on de verdad a sus letras. Por otra parte,Bse llama
Con-tradicci´on si su tabla de verdad toma el valorFbajo cualquier asignaci´on de verdad a sus letras.
1
1.4 Ejemplo. Con tablas de verdad, es f´acil chequear que
1. A∨¬Aes una tautolog´ıa.
2. (A∧B)∧(¬A∨¬B)es una contradicci´on. 3. A⇒Bno es tautolog´ıa ni contradicci´on.
Las afirmaciones m´as importantes del c´alculo proposicional son las tautolog´ıas debido a que, al
ser siempre verdaderas, son las leyes l´ogicas del pensamiento abstracto y el sentido com ´un, adem´as de que sobre ´estas se elaboran las demostraciones en matem´aticas.
1.5 Proposici´on (Leyes del C´alculo Proposicional). Las siguientes son tautolog´ıas (lo cual se
chequea facilmente con tablas de verdad).
(a) A∨¬A(Tercer Exclu´ıdo).
(b) A⇒A.
(c) (A∨A)⇔A.
(d) (A∧A)⇔A.
(e) ¬¬A⇔A(Doble negaci´on).
(f) (A⇒B)⇔(¬A∨B).
(g) (A∧B)⇔ ¬(¬A∨¬B).
(h) (A⇔B)⇔[(A⇒B)∧(B⇒A)].
Leyes Conmutativas.
(i) (A∨B)⇔(B∨A).
(j) (A∧B)⇔(B∧A).
Leyes Asociativas.
(k) (A∨(B∨C))⇔((A∨B)∨C).
(l) (A∧(B∧C))⇔((A∧B)∧C).
Leyes Distributivas.
(m) ((A∧(B ∨C))⇔((A∧B)∨(A∧C)).
(n) ((A∨(B∧C))⇔((A∨B)∧(A∨C)).
Leyes D’ Morgan.
(o) ¬(A∨B)⇔(¬A∧¬B).
(p) ¬(A∧B)⇔(¬A∨¬B).
Leyes para ⇒.
(p) (A⇒B)⇔(¬B ⇒ ¬A)
(Contrarrec´ıpro-co).
(q) (A⇒(B ⇒C))⇔((A∧B)⇒C) (Ley
de Hip´otesis).
(r) (A⇒(B ⇒C))⇔(B⇒(A⇒C))
(Conmutatividad de Hip´otesis).
(s) ¬(A⇒B)⇔(A∧¬B)(Negaci´on).
Leyes para ⇔.
(t) (A⇔B)⇔(B ⇔A)(Conmutativa).
(u) (A⇔(B ⇔C))⇔((A⇔B)⇔C)
(Aso-ciativa).
1.6 Observaci´on. Seg´un los incisos (f), (g) y (h) para construir el c´alculo proposicional s´olo es
necesario considerar los conectivos l´ogicos¬y ∨ para definir los dem´as conectivos. Esto se ten-dr´a en cuenta a partir de la secci´on 1.2.
Finalizamos esta secci´on con una t´ecnica que determina el comportamiento de la tabla de verdad de una afirmaci´on, lo cual ilustramos en el siguiente ejemplo.
1.7 Ejemplo. (1) Veamos que(A⇔(¬B∨C))⇒(¬A⇒B)es una tautolog´ıa. Claramente, una
tabla de verdad resuelve este asunto. Sin embargo, introducimos una t´ecnica con la cual no es necesario elaborar una tabla de verdad. Seg´un el diagrama al final del p´arrafo, hacemos este an´alisis:
(a) Supongamos que la F.S. toma el valorF. Como es una implicaci´on, entonces el antecedente toma el valorVy el consecuente toma el valorF.
(b) Analizemos el consecuente. Como es una implicaci´on falsa, entonces su antecedente¬Aes Vmientras que su consecuenteBesF. Esto significa que las letrasAyB toman el valor
F. Con esto, analizemosA⇔(¬B ∨C)(el antecedente de la F.S.). Como este esVyAes F, entonces¬B∨Cdebe tomar el mismo valor de verdad deA, es decir,F. Esto significa que¬B yCsonFy, por lo tanto,B esV.
Del an´alisis anterior se conluye queB toma simultaneamente los valoresVyF(ver las letras subrayadas) lo cual es imposible para una asignaci´on de valores de verdad. Esta inconsistencia se surge de suponer que la F.S. toma el valorF. Por lo tanto, la F.S. nunca toma el valorF, es decir, es una tautolog´ıa.
(A ⇔ (¬ B ∨ C)) ⇒ (¬ A ⇒ B)
(a) V F F
(b) F V F F V F F
?
? ? ? ?
?
? ?
?
?
N ´otese que para esto no tuvimos que construir la tabla de verdad de la F.S. sino razonar de forma similar al m´etodo de Reducci´on al Absurdo2.
(2) Veamos que(A⇒(B ⇒(C ⇒(D⇒(E⇒G)))))∧(A∧B∧C∧D∧E∧¬G)es una
con-tradicci´on. Procedamos de forma similar al ejemplo anterior. Supongamos que la F.S. toma el
2
valorV. Como es una conjunci´on, sus componentes toman el valorV. Luego, comoA∧B ∧C ∧D∧E∧¬Ges verdadera, entonces sus componentes son verdaderas, por lo cualA,B,C,D
yEtoman el valorVmientras queGtoma el valorF. Pero, con estos valores,A⇒(B⇒(C⇒ (D⇒(E ⇒G))))esFcuando se dijo que esV.
Esta inconsistencia indica que la F.S. nunca toma el valor de verdadVen su tabla, por lo cual es una contradicci´on.
(A ⇒ (B⇒(C⇒(D⇒(E⇒G))))) ∧ ( A ∧ B ∧ C ∧ D ∧ E ∧ ¬ G )
V,F V V V V V V V F
(3) Analizemos, como en el ejemplo anterior, aA⇒(B⇒C). Supongamos que toma el valorF por lo cual, seg´un la tabla de la implicaci´on, AesVyB⇒C esF. Esto significa queB esV yCesF.
A ⇒ (B ⇒ C)
V F V F F
? ? ? ? ?
A diferencia de los dos ejemplos anteriores, no llegamos a ninguna inconsistencia. Sin embargo, este an´alisis permite concluir el comportamiento de la forma sentencial: ´esta s´olo esFcuando
A y B toman el valor V yC toma el valorF. Esto significa que, en las dem´as asignaciones
de valores de verdad a las letras, la forma sentencial toma el valorV. Por tanto, ´esta no es una tautolog´ıa ni una contradicci´on.
1.8 Observaci´on. La t´ecnica anterior es efectiva para ahorrar el trabajo de hacer tablas de verdad.
Si en el ejemplo anterior hubi´esemos razonado con tablas de verdad, para la primera y ´ultima F.S. habr´ıa que escribir una tabla de 8 filas, mientras que para la segunda F.S. habr´ıa que escribir una tabla de 64 filas. Sin embargo, esta t´ecnica no es efectiva para todos los casos, por ejemplo, para ver que (A⇔(B ⇔C))⇔((A⇔B)⇔C) es una tautolog´ıa: si se supone que esta F.S. toma el valor Fentonces A⇔(B⇔C)y (A⇔B)⇔C toman valores diferentes de verdad, lo cual lleva a analizar dos casos. Cada caso se divide en dos, de modo que al final se terminan analizando 8 casos, lo cual equivale a hacer la tabla de verdad (que contiene 8 filas). Luego ¿en qu´e casos la t´ecnica del ejemplo 1.7 es efectiva? Las siguientes son las pautas:
(a) Es efectivo suponer que la F.S. tiene el valorFcuando se compone, en su mayor parte, de ⇒ y ∨.
Existe otra forma definitiva de comprobar si una afirmaci´on es tautolog´ıa: por el m´etodo
de-mostrativo, con el cual siempre se razona en matem´aticas. Este m´etodo es introducido en la pr´oxima
secci´on.
1.1 Ejercicio. CuandoA⇔Bes falsa, ¿Qu´e se puede decir sobre el valor de verdad de las siguientes F.S.?
(a) A∧B (b) A∨B (c) A⇒B (d) (A∧C)⇔(B∧C)
1.2 Ejercicio. Determine si las siguientes formas sentenciales son tautolog´ıas por el m´etodo del Ejemplo 1.7
o por tablas de verdad. (a) ((A⇒B)⇒B)⇒B
(b) A⇒(B⇒(B⇒A))
(c) ((A⇒B)⇒A)⇒A
(d) ((B⇒C)⇒(A⇒B))⇒(A⇒B))
(e) (A∨¬(B∧C))⇒((A⇔B)∨B)
(f) (A⇔B)⇔(A⇔(B⇔A))
(g) (A⇒B)∨(B⇒A)
(h) (¬(A⇒B))⇒A
1.2.
Sintaxis: Teor´ıa L
Es claro que los razonamientos fundamentales en matem´aticas no est´an basados en tablas de verdad, sino en demostraciones. Esto motiva el hecho de convertir el c´alculo proposicional en una teor´ıa puramente demostrativa la cual no dependa de tablas de verdad y en donde se pueda probar todo lo que es cierto all´ı, es decir, las tautolog´ıas. A esta teor´ıa la llamamosL.
Cabe advertir que, para el desarrollo completo de este cap´ıtulo, no es permitido utilizar tablas de verdad ni las leyes de la secci´on anterior hasta que se demuestre el Teorema de Completez para L (secci´on 1.4). Antes de ello, solo es permito razonar con axiomas, reglas de inferencia y afirmaciones ya demostradas.
2.1 Definici´on (Teor´ıaL). La Teor´ıaLest´a compuesta por los siguientes elementos.
(1) Lenguaje. El lenguaje deLest´a compuesto por las letras may´usculasA,B,C, etc. y los conec-tivos l´ogicos¬y ∨.
(2) F ´ormulas (bien formadas). Una f´ormula de Les una afirmaci´on escrita en el lenguaje de L que tiene sentido l´ogico3. Utilizamos letras cursivas del tipoB,C, etc. para denotar f´ormulas de
3
L. Dados dos f´ormulasByCdefinimos las siguientes afirmaciones, las cuales son f´ormulas. B ⇒ C es¬B∨C
B∧C es¬(¬B∨¬C)
B ⇔ C es(B ⇒ C)∧(C ⇒ B).
(3) Axiomas. DadosB,CyDf´ormulas deL, los siguientes son Axiomas deL (A1) (B∨B)⇒ B.
(A2) B ⇒(B∨C).
(A3) (B∨C)⇒(C∨B).
(A4) (B ⇒ C)⇒[(D∨B)⇒(D∨C)].
(4) Reglas de Inferencia.Lsolo tiene una regla de inferencia, llamada Modus Ponens (MP). (MP) B
B ⇒ C Esto significa que deByB ⇒ C se deduceC. C.
Con estos elementos es posible definir lo que significa una demostraci´on enL. Cuando se trabaja cualquier teor´ıa en matem´aticas, una prueba se puede ver como una sucesi´on finita de afirmaciones (o pasos) donde cada afirmaci´on est´a justificada por una raz´on (porque es un axioma, porque resulta de aplicar un resultado ya probado, etc.). Puesto que enLsolo contamos con axiomas y el Modus Ponens, una demostraci´on enLse define como
2.2 Definici´on (Demostraci´on en L). Una demostraci´on en L es una sucesi´on finita de f´ormulas B1,B2, . . . ,Bntal que cadaBicumple una de las siguientes condiciones:
(i) Bies un axioma deLo
(ii) Bise sigue por(MP)aplicado a f´ormulas que la preceden en la sucesi´on
De una forma m´as simple, una demostraci´on enLes una justificaci´on donde s´olo se pueden aplicar axiomas deLy(MP)(y tambi´en resultados probados enL, pues una aplicaci´on de estos correspon-den a la repetici´on de la prueba del resultado usado en la demostraci´on dada).
2.3 Definici´on (Deducciones enL). SeaΓ un conjunto de f´ormulas de L(las cuales llamaremos “hip´otesis”) y seaBuna f´ormula deL. EscribimosΓ⊢L B, lo cual se lee “Bse sigue (se
demues-tra, o se prueba) de las hip´otesis Γ”. Esto significa, formalmente, que existe una sucesi´on finita
de f´ormulas B1,B2, . . . ,Bn dondeBn es B (la conclusi´on) y tal que cadaBi cumple una de las
siguientes condiciones
(i) Bies una hip´otesis enΓ,
(ii) Bies un axioma deLo
(iii) Bise sigue por(MP)aplicado a f´ormulas que la preceden en la sucesi´on
De una forma m´as simple, Γ ⊢L B significa que B se puede demostrar usando solo axiomas, hip´otesis deΓ y (MP)(y tambi´en resultados probados enL, pues una aplicaci´on de estos corre-sponden a la repetici´on de la prueba del resultado usado en la demostraci´on dada).
2.4 Definici´on (Teorema deL). Una f´ormulaBdeLes un Teorema deLsi∅⊢L B, es decir,Bse puede demostrar enLsin necesidad de hip´otesis. Para abreviar, escribimos⊢LBpara indicar queB es un teorema deL
Intuitivamente, un teorema de L se considera una f´ormula cierta para la teor´ıaL, puesto que son las afirmaciones que se pueden demostrar a partir de los axiomas deL. Por lo tanto, el objetivo de la construcci´on deLes verificar que sus teoremas son precisamente las tautolog´ıas del c´alculo proposicional. Para efectuar esta tarea no se pueden utilizar los resultados de la secci´on anterior (pues lo que se busca es ver que se pueden probar) sino los resultados que vayamos obteniendo paso a paso.
En este punto del texto, comenzamos con las pruebas de ciertas leyes l´ogicas en L, lo cual sirve como ejemplos para las definiciones 2.2, 2.3 y 2.4. Todas las letras cursivas de los enunciados corresponden a f´ormulas deL.
L.1 Lema (Transitividad). B ⇒ C,C ⇒ D ⊢L B ⇒ D.
Justificaci´on.
B1. B ⇒ C Hip´otesis
B2. C ⇒ D Hip´otesis
B3. (C ⇒ D)⇒[(¬B∨C)⇒(¬B∨D)] (A4) B4. (¬B∨C)⇒(¬B∨D) B2,B3,(MP)
B4. (B ⇒ C)⇒(B ⇒ D) Def. de ⇒
B5. B ⇒ D B1,B4,(MP).
Seg´un la definici´on 2.3,B1,B2,B3,B4,B5 es la demostraci´on paraB ⇒ C,C ⇒ D ⊢LB ⇒ D. N ´otese queB4aparece dos veces en la lista, pues de un paso al otro no se hizo un paso demostrativo, sino que se utiliz´o la definici´on de ⇒ (ver 2.1(2)), lo cual significa que ambas son la misma f´ormula. En adelante, para enumerar una demostraci´on, no utilizaremos una listaB1,B2, . . . ,Bncomo en el
Lema L.1 sino que usaremos simplemente n´umeros, como se indica a continuaci´on. L.2 Lema. ⊢LB ⇒(C∨B).
El resultado es claro a la intuici´on respecto al axioma (A2), pero escencialmente no son la misma f´ormula. (A2) permite agregar una f´ormula por disyunci´on a la derecha, mientras que el Lema L.2 permite agregar una f´ormula por disyunci´on a la izquierda. A pesar de que ambos significan lo mismo (por la conmutatividad de ∨), no son escencialmente lo mismo y, por lo tanto, as´ı se tenga
(A2), se debe efectuar una demostraci´on para L.2. Justificaci´on.
1.B ⇒(B∨C) (A2)
2.(B∨C)⇒(C∨B) (A3)
3.B ⇒(C∨B) 1,2,L.1.
En esta demostraci´on, seg´un la definici´on 2.2, el paso 3 no corresponde a un axioma o a apli-caci´on de (MP), sino a la aplicaci´on de un resultado ya probado. ´Esto es v´alido para simplificar la escritura de una demostraci´on, pues aplicar un resultado probado equivale a reescribir su de-mostraci´on.
L.3 Lema. ⊢LB ⇒ B.
Justificaci´on.
L.4 Lema. C ⊢LB ⇒ C.
Justificaci´on.
1.C Hip.
2.C ⇒(¬B∨C) L.2
3.¬B∨C 1,2,(MP)
3.B ⇒ C Def. de ⇒.
L.5 Lema (Tercer Exclu´ıdo). ⊢LB∨¬B.
Justificaci´on.
1. B ⇒ B L.3
1.¬B∨B Def. de ⇒
2. (¬B∨B)⇒(B∨¬B) (A3)
3.B∨¬B 1,2,(MP).
L.6 Lema (Doble negaci´on). ⊢LB ⇒ ¬¬B.
Justificaci´on.
1. ¬B∨¬¬B L.5
1. B ⇒ ¬¬B Def. de ⇒.
L.7 Lema (Contrarrec´ıproco). ⊢L(B ⇒ C)⇒(¬C ⇒ ¬B).
Justificaci´on.
1. C ⇒ ¬¬C L.6
2. (C ⇒ ¬¬C)⇒[(¬B∨C)⇒(¬B∨¬¬C)] (A4)
3. (¬B∨C)⇒(¬B∨¬¬C) 1,2,(MP)
4. (¬B∨¬¬C)⇒(¬¬C∨¬B) (A3)
5. (¬B∨C)⇒(¬¬C∨¬B) 3,4,L.1
5. (B ⇒ C)⇒(¬C ⇒ ¬B) Def. de ⇒.
L.8 Lema. B ⇒ C ⊢L(C ⇒ D)⇒(B ⇒ D)
L.9 Lema (Disyunci´on de casos). B∨C,B ⇒ D,C ⇒ D ⊢LD.
Justificaci´on.
1. B ⇒ D Hip.
2. C ⇒ D Hip.
3. (C ⇒ D)⇒[(B∨C)⇒(B∨D)] (A4)
4. (B∨C)⇒(B∨D) 2,3,(MP)
5. (B ⇒ D)⇒[(D∨B)⇒(D∨D)] (A4)
6. (D∨B)⇒(D∨D) 1,5,(MP)
7. (B∨D)⇒(D∨B) (A3)
8. (B∨D)⇒(D∨D) 7,6,L.1
9. (D∨D)⇒ D (A1)
10. (B∨D)⇒ D 8,9,L.1
11. (B∨C)⇒ D 4,10,L.1.
L.10 Lema. B ⇒(C ⇒ D),B ⇒ C ⊢LB ⇒ D.
Justificaci´on.
1. B ⇒(C ⇒ D) Hip.
2. B ⇒ C Hip.
3. (C ⇒ D)⇒(B ⇒ D) 2,L.8 4. B ⇒(B ⇒ D) 1,3,L.1
5. ¬B ⇒(¬B∨D) (A2)
5. ¬B ⇒(B ⇒ D) Def. de ⇒
6. B∨¬B L.5
7. B ⇒ D 4,5,6,L.9.
Probar los siguientes ejercicios en la Teor´ıaL. S´olo es permitido utilizar los elementos de esta secci´on.
1.3 Ejercicio. (a) ⊢L ¬B ⇒(B ⇒ C).
(b) ⊢LC ⇒(B ⇒ C).
(c) B ⇒ C ⊢L (B∨D)⇒(C∨D).
(d) ⊢L(C ⇒ D)⇒[(B ⇒ C)⇒(B ⇒ D)].
(e) Probar L.8.
(f) B ⇒ D,¬B ⇒ D ⊢LD.
1.4 Ejercicio. Demostrar enL:
(a) ⊢L(B∨(C∨D))⇒((C∨(B∨D))∨B).
Sugerencia: Comience conD ⇒(B∨D).
(b) ⊢L((C∨(B∨D))∨B)⇒(C∨(B∨D)).
Sugerencia: PruebeB ⇒(C∨(B∨D)).
(c) ⊢L (B∨(C∨D))⇒(C∨(B∨D)).
(d) ⊢L (B ⇒(C ⇒ D))⇒(C ⇒(B ⇒ D)).
(e) ⊢L (B ⇒ C)⇒[(C ⇒ D)⇒(B ⇒ D)].
Sugerencia: Utilice el Ejercicio 1.3(d) y el inciso anterior.
1.5 Ejercicio. (a) ⊢L¬¬B ⇒ B.
(b) ⊢L (¬C ⇒ ¬B)⇒(B ⇒ C).
(c) ⊢L (¬B ⇒ B)⇒ B.
(d) ⊢L (B ⇒ ¬B)⇒ ¬B.
(e) ⊢L (B∨C)⇒(¬B ⇒ C).
(f) ⊢L (¬B ⇒ C)⇒(B∨C).
1.3.
M´etodos de Demostraci´on
En esta secci´on introducimos los m´etodos de demostraci´on para facilitar las pruebas en la Teor´ıa L. Los razonamientos de la secci´on anterior, aunque precisos, dejan poco lugar a la intuici´on para
ser desarrollados. Con los m´etodos de demostraci´on, m´as los primeros resultados de esta secci´on, el desarrollo de las pruebas enLse puede basar en argumentos intuitivos que f´acilmente se pueden convertir en demostraciones.
B´asicamente, los m´etodos de demostraci´on paraLson dos: el Teorema de la Deducci´on (cono-cido tambi´en como el M´etodo Directo) y Reducci´on al Absurdo. Los m´etodos de Disyunci´on de Casos y de Contrarrec´ıproco son m´as bien leyes l´ogicas, las cuales se afirman en L.9, L.7 y en el Ejercicio 1.5(b) (L.13). Como t´ecnicas de demostraci´on, veremos al final de la secci´on la forma de razonar por equivalencias.
DadasByCf´ormulas deL, es natural entenderB ⊢LCcomo “si suponemosBcomo hip´otesis entonces probamos C”. Esto es natural entenderse como “si B entonces C”. De este modo, ¿es lo mismo afirmar B ⊢L C que ⊢L B ⇒ C? Por ejemplo, cuando en aritm´etica se va a probar que n par⇒n2 par se opta por suponer n par como hip´otesis y demostrar n2 par. En general, en matem´aticas los teoremas se enuncian como implicaciones (causa y efecto), las cuales se de-muestran suponiendo el antecedente y probando el consecuente. Esto es lo que se conoce como el
Teorema de la Deducci´on, el cual enunciamos para la Teor´ıaL.
3.1 Teorema (de la Deducci´on). Sea Γ un conjunto de f´ormulas de L, B y C f´ormulas de L. Si
Γ,B ⊢L CentoncesΓ⊢L B ⇒ C.
Justificaci´on. Ver Ap´endice I.
En el enunciado anterior,Γrepresenta hip´otesis adicionales que se requieran para probarB ⇒ C, de modo que se tomaBcomo hip´otesis (adem´as de las que est´an en Γ) y se demuestraC. Esto es muy ´util para demostrar enunciados donde el Teorema de la Deducci´on se utiliza m´as de una vez. Continuamos con la notaci´on de letras cursivas para f´ormulas deL.
Justificaci´on.
1.¬¬B Hip.
2.¬¬B ⇒(¬¬B∨B) (A2)
3.¬¬B∨B 1,2,(MP)
3.¬B ⇒ B Def. de ⇒
4.B ⇒ B L.3
5.B∨¬B L.5
6.B 5,4,3,L.9.
Hemos probado¬¬B ⊢LB. Luego, por el Teorema de la Deducci´on,⊢L¬¬B ⇒ B.
L.12 Lema. ⊢L(B ⇒ D)⇒[(¬B ⇒ D)⇒ D].
Justificaci´on. Del Ejercicio 1.3(f) se tiene queB ⇒ D,¬B ⇒ D ⊢L D. Al aplicar el Teorema de
la Deducci´on se sigue queB ⇒ D ⊢L (¬B ⇒ D)⇒ Dy, al aplicar el mismo Teorema por segunda vez, se sigue que⊢L(B ⇒ D)⇒[(¬B ⇒ D)⇒ D].
Introduzcamos ahora el m´etodo de Reducci´on al Absurdo. ´Este consiste en que, para probar una afirmaci´onB, se toma¬Bcomo hip´otesis y se obtiene una contradicci´on. ¿Qu´e significa “obtener una Contradicci´on”? la siguiente definici´on da una respuesta natural.
3.2 Definici´on (Conjunto inconsistente de hip´otesis). Un conjunto Γde f´ormulas deLes un
con-junto inconsistente de hip´otesis si existe una f´ormulaDdeLtal queΓ⊢LDyΓ⊢L¬D. Intuitiva-mente,Γes inconsistente si logra probar una contradicci´on, es decir, que prueba una afirmaci´on y su negaci´on simult´aneamente.
3.3 Proposici´on. Un conjunto inconsistente de hip´otesis demuestra cualquier f´ormula.
Justificaci´on. SeaΓun conjunto inconsistente de hip´otesis, es decir, existe una f´ormulaDtal que Γ⊢LDyΓ⊢L¬D. SeaCuna f´ormula arbitraria y veamos queΓ⊢L C. Esto se sigue de la siguiente demostraci´on en donde se toma aΓcomo conjunto de hip´otesis.
1.D porqueΓ⊢LD
2.¬D porqueΓ⊢L¬D
3.¬D ⇒(D ⇒ C) Ej. 1.3(a)
4.D ⇒ C 2,3,(MP)
5.C 1,4,(MP).
3.4 Teorema (Reducci´on al Absurdo). Sea Γun conjunto de hip´otesis, B una f´ormula. SiΓ,¬B
En principio, Γ es un conjunto de hip´otesis (que puede ser vac´ıo) de donde se quiere probar B. El m´etodo de Reducci´on al Absurdo consiste en suponer a¬Bcomo hip´otesis, adem´as deΓ, y llegar a una contradicci´on, es decir, queΓ,¬Bes un conjunto inconsistente de hip´otesis.
Justificaci´on. Como Γ,¬B es un conjunto inconsistente de hip´otesis entonces, por Proposici´on 3.3, prueba cualquier f´ormula. En particular,Γ,¬B ⊢LB. Luego,Γ⊢L¬B ⇒ Bpor Teorema de la Deducci´on. Veamos ahora queΓ⊢LBseg´un la siguiente demostraci´on en donde se toma aΓcomo conjunto de hip´otesis.
1. ¬B ⇒ BporqueΓ⊢L¬B ⇒ B
2. B ⇒ B L.3
3. B∨¬B L.5
4. B 3,2,1,L.9.
Por lo general, el Teorema de la Deducci´on y Reducci´on al Absurdo se combinan para obtener demostraciones. Los siguientes resultados son ejemplos de ´esto.
L.13 Lema (Contrarrec´ıproco). ⊢L(¬C ⇒ ¬B)⇒(B ⇒ C).
Justificaci´on.
1. ¬C ⇒ ¬B Hip.
2. B Hip.
3. ¬C Hip. (para reducci´on al absurdo)
4. ¬B 1,3,(MP).
De 2. y 4. obtenemos que¬C ⇒ ¬B,B,¬Ces un conjunto inconsistente de hip´otesis. Luego, por Reducci´on al Absurdo,¬C ⇒ ¬B,B ⊢LC. Por Teorema de la Deducci´on se sigue que¬C ⇒ ¬B ⊢L B ⇒ Cy, del mismo Teorema, conclu´ımos que⊢L(¬C ⇒ ¬B)⇒(B ⇒ C).
L.14 Lema. (a) B,C ⊢LB∧C.
(b) B ⇒ C,C ⇒ B ⊢LB ⇔ C.
Justificaci´on. (a)
1. B Hip.
2. C Hip.
3. ¬(B∧C) Hip. (para el absurdo)
3. ¬¬(¬B∨¬C) Def. de ∧
4. ¬¬(¬B∨¬C)⇒(¬B∨¬C) L.11
5. ¬B∨¬C 3,4,(MP)
5. B ⇒ ¬C Def. de ⇒
De 2. y 6. se sigue queB,C,¬(B∧C)es un conjunto inconsistente de hip´otesis. Por Reducci´on al Absurdo, obtenemosB,C ⊢L B∧C.
(b)
1. B ⇒ C Hip.
2. C ⇒ B Hip.
3. (B ⇒ C)∧(C ⇒ B) 1,2,(a)
3. B ⇔ C Def. de ⇔.
L.15 Lema. (a) ⊢L (B∧C)⇒ B.
(b) ⊢L(B∧C)⇒ C.
(c) ⊢L(B ⇔ C)⇒(B ⇒ C).
(d) ⊢L(B ⇔ C)⇒(C ⇒ B).
Justificaci´on. (a)
1. ¬B ⇒(¬B∨¬C) (A2)
2. ¬(¬B∨¬C)⇒ ¬¬B 1,L.7,(MP) 2. (B∧C)⇒ ¬¬B Def. de ∧
3. ¬¬B ⇒ B L.11
4. (B∧C)⇒ B 2,3,L.1.
(b) Demostraci´on similar a la anterior.
(c) Inmediato de (a) y la definici´on de ⇔.
(d) Inmediato de (b) y la definici´on de ⇔.
L.16 Lema. (a) ⊢L B ⇔ B.
(b) B ⇔ C ⊢LC ⇔ B.
(c) B ⇔ C,C ⇔ D ⊢LB ⇔ D.
(d) B ⇔ C ⊢L¬B ⇔ ¬C.
(e) B ⇔ C ⊢L(B∧D)⇔(C∧D).
(f) B ⇔ C ⊢L(B∨D)⇔(C∨D).
(g) B ⇔ C ⊢L(B ⇒ D)⇔(C ⇒ D).
(h) B ⇔ C ⊢L(D ⇒ B)⇔(D ⇒ C).
(i) B ⇔ C ⊢L(B ⇔ D)⇔(C ⇔ D).
Justificaci´on. (a)
(c)
1. B ⇔ C Hip.
2. C ⇔ D Hip.
3. B ⇒ C 1,L.15,(MP) 4. C ⇒ B 1,L.15,(MP) 5. C ⇒ D 2,L.15,(MP) 6. D ⇒ C 2,L.15,(MP) 7. B ⇒ D 3,5,L.1 8. D ⇒ B 6,4,L.1 9. B ⇔ D 7,8,L.14.
(e) VeamosB ⇒ C ⊢L(B∧D)⇒(C∧D).
1.B ⇒ C Hip.
2.B∧D Hip.
3.B 2,L.15,(MP) 4.D 2,L.15,(MP) 5.C 1,3,(MP) 6.C∧D 5,4,L.14.
Hemos probado que B ⇒ C,B∧D ⊢L C∧D, por lo cual B ⇒ C ⊢L (B∧D)⇒(C∧D)por
Teorema de la Deducci´on. De la misma forma se prueba queC ⇒ B ⊢L (C∧D)⇒(B∧D). De aqu´ı es f´acil concluir queB ⇔ C ⊢L(B∧D)⇔(C∧D).
(g)
1.B ⇔ C Hip.
2.¬B ⇔ ¬C 1,(d)
3.(¬B∨D)⇔(¬C∨D) 2,(f) 3.(B ⇒ D)⇔(C ⇒ D) Def. de ⇒.
(i) VeamosB ⇔ C ⊢L(B ⇔ D)⇒(C ⇔ D).
1. B ⇔ C Hip. 2. B ⇔ D Hip. 3. C ⇔ B 1,(b) 4. C ⇔ D 3,2,(c).
Hemos probado B ⇔ C,B ⇔ D ⊢L C ⇔ D de donde B ⇔ C ⊢L (B ⇔ D)⇒(C ⇔ D) por Teorema de la Deducci´on. De (c) y el mismo Teorema, se sigueB ⇔ C ⊢L(C ⇔ D)⇒(B ⇔ D), de dondeB ⇔ C ⊢L(B ⇔ D)⇔(C ⇔ D)por L.14.
3.5 Observaci´on. L.14(b) indica la t´ecnica usual para probar equivalencias en el c´alculo
queB ⇒ Cy queC ⇒ B. Ambas se pueden demostrar por Teorema de la Deducci´on. La prueba de L.16(a) es un ejemplo de esta t´ecnica, como lo ser´an muchas demostraciones posteriores.
L.17 Lema. (a) ⊢L B ⇔ ¬¬B.
(b) ⊢L(B∨B)⇔ B.
(c) ⊢L(B∧B)⇔ B.
(d) ⊢L(B∨C)⇔(C∨B).
(e) ⊢L(B∧C)⇔(C∧B).
(f) ⊢L(B ⇒ C)⇔(¬C ⇒ ¬B).
L.18 Lema (Leyes D’Morgan). (a) ⊢L¬(B∧C)⇔(¬B∨¬C).
(b) ⊢L¬(B∨C)⇔(¬B∧¬C).
Justificaci´on. (a)
1. ¬(B∧C)⇔ ¬(B∧C) L.16(a) 1. ¬(B∧C)⇔ ¬¬(¬B∨¬C) Def. de ∧
2. ¬¬(¬B∨¬C)⇔(¬B∨¬C) L.17(a),L.16(b) 3. ¬(B∧C)⇔(¬B∨¬C) 1,2,L.16(c). (b)
1. (B∨C)⇔(¬¬B∨C) L.17(a),L.16(f) 2. (C∨¬¬B)⇔(¬¬C∨¬¬B) L.17(a),L.16(f) 3. (¬¬B∨C)⇔(¬¬B∨¬¬C) 2,L.17(d),L.16(c) 4. (B∨C)⇔(¬¬B∨¬¬C) 1,3,L.16(c) 5. ¬(B∨C)⇔ ¬(¬¬B∨¬¬C) 4,L.16(d) 5. ¬(B∨C)⇔(¬B∧¬C) Def. de ∧.
L.19 Lema.
(a) ⊢L(B∧(C∧D))⇔((B∧C)∧D).
(b) ⊢L(B∨(C∨D))⇔((B∨C)∨D).
(c) ⊢L(B∧(C∨D))⇔[(B∧C)∨(B∧D)].
(d) ⊢L(B∨(C∧D))⇔[(B∨C)∧(B∨D)].
(e) ⊢L¬(B ⇒ C)⇔(B∧¬C).
(f) ⊢L(B ⇒(C ⇒ D))⇔(C ⇒(B ⇒ D)).
(g) ⊢L(B ⇒(C ⇒ D))⇔((B∧C)⇒ D).
(h) ⊢L(B ⇔ C)⇔(C ⇔ B).
(i) ⊢L[¬(B ⇔ C)]⇔[(¬B)⇔ C].
(j) ⊢L(B ⇔(C ⇔ D))⇔((B ⇔ C)⇔ D)
En la justificaci´on de este resultado introducimos otra t´ecnica de demostraci´on llamada
otra f´ormula para generar f´ormulas equivalentes y, por la transitividad de la equivalencia, se pueden hacer varias sustituciones y aplicaciones de las leyes l´ogicas probadas previamente para generar demostraciones4.
Justificaci´on. (b) Exponemos dos pruebas. La primera es
1. (¬B∧(¬C∧¬D))⇔((¬B∧¬C)∧¬D) (a)
2. (¬B∧¬(C∨D))⇔(¬(B∨C)∧¬D) Ley D’Morgan L.18 3. ¬(B∨(C∨D))⇔ ¬((B∨C)∨D) Ley D’Morgan L.18 4. ¬¬(B∨(C∨D))⇔ ¬¬((B∨C)∨D) 3,L.16(d) 5. (B∨(C∨D))⇔((B∨C)∨D) Doble neg. L.17.
La segunda prueba est´a dada por el Teorema de la Deducci´on y la Disyunci´on de Casos. Veamos que⊢L(B∨(C∨D))⇒((B∨C)∨D).
1. B∨(C∨D) Hip.
2. B ⇒(B∨C) (A2)
3. (B∨C)⇒((B∨C)∨D) (A2) 4. B ⇒((B∨C)∨D) 2,3,L.1
5. C ⇒(B∨C) L.2
6. C ⇒((B∨C)∨D) 5,3,L.1
7. D ⇒((B∨C)∨D) L.2
8. (C∨D)⇒((B∨C)∨D) 6,7,L.9 9. (B∨C)∨D 1,4,8,L.9.
Hemos probado B∨(C∨D) ⊢L (B∨C)∨D. Por lo tanto, del Teorema de la Deducci´on se
sigue⊢L(B∨(C∨D))⇒((B∨C)∨D). De manera similar, se prueba el rec´ıproco.
(c) Procedamos a probar las dos implicaciones que permiten concluir la equivalencia. Para ⇒,
1. B∧(C∨D) Hip.
2. B 1,L.15,(MP)
3. C∨D 1,L.15,(MP).
Buscamos concluir (B∧C)∨(B∧D). Para esto, utilizemos la disyunci´on C∨Dpara razonar por disyunci´on de casos.
4.1. C Hip.
4.2. B∧C 2,4.1,L.14
4.3. (B∧C)∨(B∧D) 4.2,(A2),(MP) 4. C ⇒(B∧C)∨(B∧D) 4.1-4.3,TmaDed (3.1)
4
5.1.D Hip.
5.2.B∧D 2,5.1,L.14
5.3.(B∧C)∨(B∧D) 5.2,L.2,(MP)
5.D ⇒(B∧C)∨(B∧D) 5.1-5.3,TmaDed 3.1 6.(B∧C)∨(B∧D) 3,4,5,L.9.
Hemos probado B∧(C∨D) ⊢L (B∧C)∨(B∧D), por lo se sigue ⇒ por Teorema de la Deducci´on.
Veamos ahora el rec´ıproco:
1.(B∧C)∨(B∧D) Hip.
2.C ⇒(C∨D) (A2)
3.(C∧B)⇒((C∨D)∧B) 2,L.16(e)(ver prueba)
4.(B∧C)⇒(B∧(C∨D)) 3,L.17
5.D ⇒(C∨D) L.2
6.(D∧B)⇒((C∨D)∧B) 5,L.16(e)(ver prueba)
7.(B∧D)⇒(B∧(C∨D)) 6,L.17
8.(B∧(C∨D)) 1,4,7,L.9.
Hemos probado(B∧C)∨(B∧D)⊢L B∧(C∨D), por lo cual se sigue⇐por Teorema de la Deducci´on.
(e)
¬(B ⇒ C) ⇔ ¬(¬B∨C) Def. de ⇒ ⇔(¬¬B∧¬C) Ley D’Morgan ⇔(B∧¬C) Doble neg..
(g)
(B ⇒(C ⇒ D)) ⇔(¬B∨(¬C∨D))) Def. de ⇒
⇔((¬B∨¬C)∨D) (b)
⇔(¬(B∧C)∨D) Ley D’Morgan ⇔((B∧C)⇒ D) Def. de ⇒.
L.20 Lema. (a) B ⊢L(B∧C)⇔ C.
(b) ¬B ⊢L(B∨C)⇔ C.
1.7 Ejercicio. Probar los siguientes resultados.
(a) (b),(d),(f) y (h) de L.16. (b) L.17.
(c) (a) y (d) de L.19. (d) B ⇒ C ⊢L (B∨C)⇔ C.
(e) B ⇒ C ⊢L(B∧C)⇔ B.
1.8 Ejercicio. Demostrar los siguientes enunciados.
(d) L.20.
(e) B,C ⊢LB ⇔ C.
(f) B ⇔ ¬Bes una hip ´otesis inconsistente enL. (g) (i) de L.19.
(h) ⊢L (C ⇔(C ⇔ D))⇒ D. Sugerencia: Razone
por disyunci´on de casos conC∨¬C.
(i) (j) de L.19.
1.9 Ejercicio. Pruebe los siguientes enunciados
me-diante equivalencias.
(a) ⊢L(B ⇔ C)⇔[(B∧C)∨(¬B∧¬C)].
(b) Utilize la equivalencia anterior y los Lemas de esta secci´on para probar (i) y (j) de L.19.
1.10 Ejercicio. SeaΓun conjunto de f´ormulas. Jus-tifique los siguientes enunciados.
(a) Si Γ,B forman un conjunto inconsistente de hip ´otesis, entoncesΓ⊢L ¬B.
(b) SiΓ,B,¬Cforman un conjunto inconsistente de hip ´otesis, entoncesΓ⊢L B ⇒ C.
(c) Si existe una f´ormulaDtal queΓ ⊢L D ⇔ ¬D,
entoncesΓes un conjunto inconsistente.
1.4.
Teorema de Completez
En la secci´on anterior vimos c´omo las principales leyes del c´alculo croposicional se demuestran en L, adem´as que los m´etodos de demostraci´on conocidos en matem´aticas son v´alidos para dicha teor´ıa. Esto lleva a comparar esta parte formal del c´alculo proposicional con su parte sem´antica (discutida en la secci´on 1.1), para concluir, como se hace en esta secci´on, que las tautolog´ıas son precisamente los teoremas de L. ´Esto es lo que se conoce como el Teorema de Completez en el sentido de que muestra queLes realmente el c´alculo proposicional.
4.1 Lema. SeanByCformas sentenciales. SiByB ⇒ Cson tautolog´ıas, entonces tambi´en lo esC
Justificaci´on. En tablas de verdad deB,B ⇒ C yC, en cada filaByB ⇒ Ctoman el valorV. Si Ctomase el valorFentonces, comoBesVentoncesB ⇒ Ctoma el valorF, lo cual es imposible. Por lo tanto,Ctoma el valorVen cada fila, por lo cual es una Taotolog´ıa.
4.2 Lema. Todo teorema deLes una tautolog´ıa.
Justificaci´on. Es f´acil chequear, con tablas de verdad, que los axiomas deLson tautolog´ıas. Por otra parte, el Lema 4.1 indica que la aplicaci´on de(MP)a tautolog´ıas genera tautolog´ıas.
Todo teoremaBde Ltiene una demostraci´on en la cual solo se aplican axiomas y(MP) (Defini-ciones 2.2 y 2.4) y, puesto que estos pasos generan tautolog´ıas (seg´un el p´arrafo anterior), el resul-tado final (B) es una tautolog´ıa.
4.3 Teorema (de Completez). Sea B una f´ormula. B es una tautolog´ıa si y solo si ⊢L B (B es
teorema deL).
El Teorema anterior garantiza la confianza de razonar enLpues, como prueba todo lo que es verdad, no puede probar algo falso. Por lo tanto, la teor´ıaLes consistente, lo cual definimos y jus-tificamos a continuaci´on.
Por lo general, as´ı comoL, toda teor´ıaTse compone de un lenguaje, un conjunto de f´ormulas
(bien formadas), un conjunto de axiomas y unas reglas de inferencia. De la misma forma se puede
definir lo que significa demostraci´on enT,Γ⊢TBy⊢TB.
4.4 Definici´on (Consistencia de una Teor´ıa). Sea Tuna teor´ıa que contiene a ¬ en su lenguaje. Decimos queTes una teor´ıa inconsistente si existe una f´ormulaDen el lenguaje deTtal que⊢TD y⊢T¬D. De lo contrario, decimos que la teor´ıa es consistente.
Intuitivamente, una teor´ıa consistente es aquella que no prueba contradicciones, lo cual da un ´ındice de confianza sobre la teor´ıa. El siguiente Teorema garantiza dicha confianza paraL.
4.5 Teorema. Les una teor´ıa consistente.
Justificaci´on. Supongamos, por el contrario, queLes inconsistente, es decir, existe una f´ormulaD tal que⊢L Dy⊢L ¬D. Del Teorema de Completez se sigue queDy¬Dson tautolog´ıas, es decir, siempre toman el valorVen sus tablas de verdad. Claramente, esto es imposible.
1.11 Ejercicio. SeaBuna f´ormula. Pruebe que las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) Bes una contradicci´on.
(ii) ¬Bes una tautolog´ıa. (iii) ⊢L¬B.
(iv) Bes una hip ´otesis inconsistente deL.
1.12 Ejercicio. SeaTuna teor´ıa,ByCf´ormulas deT. SeaT′
=T+C(la teor´ıa que resulta de a˜nadir aC
como axioma aT). Pruebe que⊢T′ Bsi y solo siC ⊢TB. Sugerencia: Utilize la definici´on de demostraci´on
Cap´ıtulo 2
C´alculo de Predicados
Aunque el c´alculo proposicional tiene gran poder para formalizar y estructurar las leyes l´ogicas de razonamiento, no es suficiente para dar forma a una teor´ıa fuerte, en particular, a los fundamen-tos de la matem´atica. ´Esto se debe a que las f´ormulas dentro de este c´alculo contienen un valor de verdad constante, cuando por lo general se presentan afirmaciones cuyo valor de verdad depende de una o m´as variables. Por ejemplo, “la personaxvive en Medell´ın” o “x+y= 0”son afirmaciones cuyo valor de verdad dependen de variables.
Por lo tanto, es necesario extender el lenguaje y la teor´ıa del c´alculo proposicional de modo que pueda analizar afirmaciones con elementos m´as complejos. Dicha extensi´on, adem´as de que se constituye de conceptos simples, permite un panorama general sobre el cual se puede estruc-turar cualquier teor´ıa matem´atica elemental, m´as a´un, permite formalizar la Teor´ıa de Conjuntos de
Zermelo-Fraenkel, dentro de la cual toma lugar toda la matem´atica.
Un lenguaje de primer orden se presenta como un lenguaje elemental que puede describir una
teor´ıa de primer orden, la cual es un modelo de estructura para gran cantidad de teor´ıas matem´aticas
fundamentales y donde los elementos del c´alculo proposicional siguen siendo v´alidos. Hay una teor´ıa de primer orden que llamaremos el c´alculo de predicados, cuyos teoremas son verdaderos en cualquier otra teor´ıa del mismo tipo.
cuales, aunque extienden los m´etodos de demostraci´on paraL, contienen algunas restricciones. En la cuarta secci´on presentamos el razonamiento con cuantificadores t´ıpicos, los cuales se presentan m´as comunmente en matem´aticas. Finalizamos en la ´ultima secci´on con los elementos fundamen-tales de una teor´ıa que contiene el signo igual (=).
As´ı como el c´alculo proposicional, el c´alculo de predicados se puede analizar desde la sem´antica y desde la sintaxis. Tambi´en hay una versi´on de teorema de completez que indica la equivalencia entre ambos enfoques. En este cap´ıtulo s´olo presentamos el an´alisis desde la sintaxis, pues el trabajo desde la sem´antica demanda el conocimiento de elementos de la Teor´ıa de Modelos.
2.1.
Lenguajes de Primer Orden
Puesto que muchas afirmaciones en matem´aticas no tienen un valor de verdad constante sino que dependen de variables, modificamos el lenguaje del c´alculo proposicional de modo que admita afirmaciones con variables y cuantificadores.
1.1 Definici´on (Lenguaje de primer orden). Un lenguaje de primer orden L se consituye de los siguientes elementos.
1. S´ımbolos l´ogicos. Son¬, ∨ y∀.
2. Variables. Una cantidad infinita contable de variablesx1, x2, x3, . . .las cuales representan inc´ogni-tas para objetos del lenguaje. Usualmente, usamos las letrasx, y, z, u, v, w para denotar vari-ables.
3. Constantes. Son objetos constantes del lenguaje.
4. Letras funcionales. Son operadores que, aplicados a objetos del lenguaje, generan nuevos obje-tos.
5. Letras predicativas. Son signos que permiten construir afirmaciones sin utilizar s´ımbolos l´ogi-cos.
Los elementos 1. y 2. son comunes para todos los lenguajes de primer orden. Por lo tanto, para definir un lenguaje de primer orden s´olo basta indicar 3., 4. y 5..
1.2 Ejemplo. (1) Lenguaje de la aritm´etica. El lenguaje de la aritm´etica esLS :={0, s,+,·,=},
operaci´on sucesor dondes(x)es el n´umero que le sigue ax. De esta forma, se define1 =s(0), 2 =s(1),3 =s(2), etc´etera.
Como se indica en la definici´on 1.1, las letras funcionales s, +y·denotan operaciones para generar nuevos objetos. Por ejemplo, los objetos1,2,3, . . .se generan a partir de la operaci´on
saplicada a0, yx+ 0,4·1yx·x+y·(x+s(z) + 1)son objetos del lenguaje generados por letras funcionales.
La letra predicativa=tiene el fin de la construcci´on de afirmaciones. Por ejemplo,x+ 0 = 0, 1 = 0,1 + 1 = 2yx·x+y·(x+s(z) + 1) = 3son afirmaciones construidas desde el s´ımbolo =aplicado a objetos del lenguaje.
Aunque los n´umeros0,1,2,3, . . .son objetos fijos en ese lenguaje, el ´unico que se define como
constante del lenguajeLSes0debido a que los dem´as n´umeros se definen a partir de ´este y de la operaci´on sucesor.
(2) Lenguaje deZF.ZFdenota la Teor´ıa de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (la cual describimos en detalle desde el cap´ıtulo 3). El lenguaje de esta teor´ıa esLZF := {=,∈}, donde ambos=y ∈son letras predicativas. Por ejemplo,x∈yyx=xson afirmaciones que se construyen con dichas letras.
En principio, LZF no contiene constantes ni letras funcionales. Esto genera la pregunta de qu´e pasa con s´ımbolos como ∅,∪ (uni´on),∩(intersecci´on) ´o⊆(contenci´on) con los cuales es fundamental la escritura de la teor´ıa de conjuntos. La raz´on por la cual no es necesario in-clu´ırlos al definir el lenguaje es que se presentan como s´ımbolos secundarios, es decir, solo se necesita=,∈y algunos teoremas de la teor´ıa de conjuntos para definirlos.
El ejemplo anterior aclara que un lenguaje de primer orden se presenta como un conjunto de s´ımbolos que sirven de punto de partida para construir afirmaciones y objetos m´as complejos. Por lo general, un lenguaje se define para asociarlo a una teor´ıa que se quiere describir, como sucede en el primer caso con la Aritm´etica y en segundo con la Teor´ıa de Conjuntos. N ´otese que en estos ejemplos hemos utilizado constantemente dos expresiones: “objetos del lenguaje” y “afirmaciones del lenguaje”. Es importante distinguir entre ambas nociones para un lenguaje de primer orden, pues tienen diferente naturaleza. Las afirmaciones se presentan para relacionar objetos y dar un juicio so-bre ellos, adem´as, se les puede asignar un valor de verdad, mientras que a un objeto no.
para denotar afirmaciones. N ´otese de los ejemplos anteriores que en los objetos construidos inter-vienen variables, constantes y letras funcionales, los cuales son los elementos fundamentales para la construcci´on de objetos.
1.3 Definici´on (T´ermino). Dado un lenguaje de primer ordenL, un t´ermino deLes un objeto que se construye a partir de variables, constantes y letras funcionales del lenguaje1.
1.4 Ejemplo. Respecto al Ejemplo 1.2:
(1) 0,1,2,3, . . .,x+ 0,4·1,x·x+y·(x+s(z) + 1)yxson t´erminos deLS.
(2) Los ´unicos t´erminos deLZF son las variables, pues dicho lenguaje no contiene constantes ni letras funcionales para generar otros t´erminos. Sin embargo, objetos como∅yx∪yse definen seg´un teoremas deZF, lo cual se aclara en el Cap´ıtulo 3.
(3) Para cualquier lenguaje de primer orden, las variables y las constantes son t´erminos.
Una f´ormula en un lenguaje de primer orden se define como una expresi´on con “sentido l´ogico” sobre t´erminos del lenguaje. De manera similar al c´alculo proposicional, en este tipo de afirmaciones intervienen conectivos l´ogicos, m´as expresiones simples escritas a partir de las letras predicativas, las cuales llamamos f´ormulas at´omicas.
1.5 Definici´on (F ´ormula at´omica). Dado un lenguaje de primer ordenL, una f´ormula at´omica de
Les una afirmaci´on constitu´ıda por una letra predicativa que relaciona t´erminos deL. ´Este tipo de f´ormula no tiene s´ımbolos l´ogicos.
1.6 Ejemplo. Respecto al ejemplo 1.2:
(1) x+ 0 = 0,1 = 0,1 + 1 = 2yx·x+y·(x+s(z) + 1) = 3son f´ormulas at´omicas deLS. ∀x(x+ 0 = 0)yx6= 0∨x= 0no son f´ormulas at´omicas, pues contienen s´ımbolos l´ogicos.
(2) x = y, x = x y x ∈ y son ejemplos de f´ormulas at´omicas de LZF. Afirmaciones como ∀x(x∈y⇒x∈z)y¬(x∈x)no son f´ormulas at´omicas, pues contienen s´ımbolos l´ogicos.
1.7 Definici´on (F ´ormula (bien fundada)). Una f´ormula (bien fundada) de un lenguaje de primer
ordenL es una expresi´on con “sentido l´ogico” que se compone de f´ormulas at´omicas y s´ımbolos l´ogicos. Usamos las letras cursivas B,C,D, etc. para denotar f´ormulas de un lenguaje de primer
1
orden2.
Dadas dos f´ormulasByCdeL, definimos las siguientes f´ormulas: B ⇒ C ≡ ¬B∨C
B∧C ≡ ¬(¬B∨¬C)
B ⇔ C ≡(B ⇒ C)∧(C ⇒ B)
∃xB ≡ ¬∀x(¬B).
El s´ımbolo∀se conoce como el cuantificador universal,∃es el cuantificador existencial.
1.8 Ejemplo. Respecto al ejemplo 1.2:
(1) ∀x(x+ 0 =x),∃z(¬(z= 0)∧x+z=y)y0 = 4son f´ormulas deLS. La segunda f´ormula se suele denotar comox < y.
(2) x∈x,∀z(z∈x⇒z∈y)y∀x(¬(x /∈y))son f´ormulas deLZF. La segunda f´ormula se suele
denotar porx⊆y.
S´ımbolos como<y⊆, aunque corresponden a su respectivo lenguaje, no se toman desde la defini-ci´on ya que se construyen a partir de los otros s´ımbolos.
Intuitivamente, un t´ermino representa un objeto del lenguaje, mientras que una f´ormula es una afirmaci´on (con sentido l´ogico) sobre los t´erminos del lenguaje. Una f´ormula de un lenguaje es cierta o falsa dependiendo de la teor´ıa donde se razone, hecho sobre el cual profundizamos en la secci´on 2.2.
A continuaci´on aclaramos algunas nociones respecto al uso de cuantificadores en un lenguaje de primer orden.
1.9 Definici´on. SeaLun lenguaje de primer orden.
(1) El alcance de un cuantificador dentro de una f´ormula es la f´ormula a la cual se aplica el cuan-tificador.
(2) Dada f´ormulaB, decimos que una ocurrencia dexest´a ligada (o acotada) enBsi est´a al alcanze de un cuantificador de la forma∀x ´o∃x. De lo contrario, decimos quexes libre enB. Decimos
que una variable no es libre enBsi aparece ligada, o si no est´a en la f´ormula.
2
1.10 Ejemplo. (1) Consideremos las siguientes f´ormulas del lenguajeLS: C1 :x+ 0 =x
C2 : (∃z(x·z= 0))∧x=z+ 3
C3 :∃y(x·y+ 6 =y+ 5).
En la f´ormulaC1ambosxson libres.
En la f´ormulaC2el alcance de∃zesx·z= 0. Ambosxson libres enC2, el primerzest´a ligado a∃zy el segundozes libre.
El alcance de∃yenC3 esx·y+ 6 =y+ 5. Ambosyest´an ligados a∃yyxes libre.
La variableuno es libre en las tres f´ormulas debido a que no aparece.
(2) Consideremos las siguientes f´ormulas del lenguajeLZF: B1 :∀x(x∈y⇔ ¬(x∈x))
B2 : (∃x(x=x))∧∃y(x∈y⇒x=x)
B3 :∀x(z∈y⇒ ∃x(x∈x))
B4 :x∈y⇔x∈z.
En la f´ormulaB1el alcance de∀xesx∈y⇔ ¬(x∈x), los tresxest´an ligados al cuantificador
∀xyyes libre.
En la f´ormula B2 el alcance de ∃x esx = xy el alcance de ∃y esx ∈ y⇒x = x, los dos
primerosxest´an ligados a∃xmientras que el tercer, cuarto y quintoxson libres, pues no est´an
al alcance de ning´un cuantificador con variablex. El ´unicoydeB2est´a ligado a∃y.
EnB3el alcance de∀xesz∈y⇒ ∃x(x∈x)y el alcance de∃xesx ∈x.zyyson libres en
B3y losxest´an ligados a∃x, pero no est´an ligados a∀x(una variable solo puede estar ligada a
un solo cuantificador, en este caso, al que est´a m´as pr´oximo). EnB4las variables que aparecen son libres.
La variablewno es libre en las cuatro f´ormulas, ya que no aparece.
Sea Lun lenguaje de primer orden. En la pr´actica, es usual destacar ciertas variables en una f´ormula. De este modo, siBes una f´ormula deLy se quieren destacar las variablesxyz, se escribe B(x, z)en vez deBpara destacar dichas variables.
1.11 Ejemplo. (1) Respecto al Ejemplo 1.10(1) destacamos las variables de las siguientes
f´ormu-las:
C1(x) :x+ 0 =x
C2(x, z) : (∃z(x·z= 0))∧x=z+ 3
(2) Respecto al Ejemplo 1.10(2) destacamos las variables de las siguientes f´ormulas: B1(y) : ∀x(x∈y⇔ ¬(x∈x))
B2(x) : (∃x(x=x))∧∃y(x∈y⇒x=x)
B3(x, w) : ∀x(z∈y⇒ ∃x(x∈x))
B4(x, y, z, w) : x∈y⇔x∈z.
Por lo general se destacan las variables que son libres en una f´ormula, aunque no es estricta-mente necesario. Se pueden destacar variables que no sean libres o que nisiquiera aparecen en la f´ormula, adem´as que no es obligaci´on destacar una variable que sea libre o que est´e ligada. Destacar variables es m´as una cuesti´on de gusto y necesidad en una situaci´on dada.
Una de las razones por las cuales se destaca una variable en una f´ormula es para denotar susti-tuci´on. En otras palabras, siLes un lenguaje de primer orden,B(x)una f´ormula deLen donde se destaca la variablexytes un t´ermino deL,B(t)denota la f´ormula que resulta de sustituir todos losxlibres portenB(x).
1.12 Ejemplo. Retomemos la notaci´on del Ejemplo 1.11.
(1) Al fijarC1(x),C2(x, z)yC(x, y)obtenemos las siguientes sustituciones C1(3) : 3 + 0 = 3
C1(5·z) : 5·z+ 0 = 5·z
C1(x+y) : (x+y) + 0 =x+y C2(5, z) : (∃z(5·z= 0))∧5 =z+ 3
C2(x,6) : (∃z(x·z= 0))∧x= 6 + 3
⋆C2(z+ 1, z) : (∃z((z+ 1)·z= 0))∧z+ 1 =z+ 3
C3(0, y) :∃y(0·y+ 6 =y+ 5)
C3(x,852) : ∃y(x·y+ 6 =y+ 5)
⋆C3(y, y) :∃y(y·y+ 6 =y+ 5).
(2) Al fijarB1(y),B2(x),B3(x, w)yB4(x, y, z, w)obtenemos las siguientes sustituciones B1(R) :∀x(x∈R⇔ ¬(x∈x))
⋆B1(x) :∀x(x∈x⇔ ¬(x∈x))
B2(∅) : (∃x(x=x))∧∃y(∅∈y⇒∅=∅)
⋆B2(x∪y) : (∃x(x=x))∧∃y(x∪y∈y⇒x∪y =x∪y)
B3(A∩∅, w) : ∀x(z∈y⇒ ∃x(x∈x))
B3(x, T) :∀x(z∈y⇒ ∃x(x∈x))
En la pr´actica, las sustituciones se˜naladas por ⋆ no se dan en matem´aticas porque da˜nan la estructura y el significado de una f´ormula. ´Esto se debe a que estas sustituciones generan nuevas variables ligadas, lo cual modifica el significado esencial de la f´ormula.
1.13 Definici´on (T´ermino libre para una f´ormula). SeaLun lenguaje de primer orden,xuna vari-able,B(x)una f´ormula deLytun t´ermino deL. Decimos quetes libre paraxenB(x)si enB(t) no se generan nuevas variables ligadas. ´Esto significa, intuitivamente, que la sustituci´on detpor los
xlibres enB(x)no da˜nan la estructura de la f´ormula. 1.14 Ejemplo. Tomemos como referencia el Ejemplo 1.12.
(1) 3es libre paraxen C1(x), tambi´en 5·zes libre paraxenC1(x). M´as a´un, cualquier t´ermino de LS es libre parax en C1(x), pues como dicha f´ormula no tiene cuantificadores, cualquier sustituci´on por xno genera nuevas variables ligadas. El t´ermino5es libre paraxen C2(x, z), peroz+ 1no es libre paraxenC2(x, z)ya que genera una nueva variable zligada. Teniendo en cuenta el significado de las f´ormulas respecto aC2(x, w), obtenemos
C2(x, z) : Existe un n´umero que multiplicado porxes igual a cero, yxes igual azm´as 3. C2(5, z) : Existe un n´umero que multiplicado por5es igual a cero, y5es igual azm´as 3. C2(z+ 1, z) : Existe un n´umero que multiplicado por ´el mismo m´as1es igual a cero,
yz+ 1es igual azm´as 3.
N ´otese que en las dos primeras f´ormulas se conserva la esencia de la f´ormula, a diferencia que se cambia el papel dexpor5, mientras que la ´ultima tiene una interpretaci´on muy alejada. La raz´on de esto es que enC2(z+ 1, z)aparece una nueva variable ligada.
0 es libre para x en C3(x, y), 852 es libre para y en C3(x, y), pero y no es libre para x en C3(x, y), pues al sustituir,C3(y, y)contiene una nueva variable ligada.
(2) Res libre parayenB1(y), peroxno es libre parayenB1(y), pues enB1(x)aparece una nueva
xligada. Comparemos el significado de las f´ormulas que resultan:
B1(y) : yes un conjunto cuyos elementos no se pertenecen a s´ı mismos. B1(R) : Res un conjunto cuyos elementos no se pertenecen a s´ı mismos.
B1(x) : todo conjunto se pertenece a s´ı mismo si y solo si no se pertenece a s´ı mismo. Es claro que en la ´ultima sustituci´on la esencia de la f´ormula cambia por completo.
A∩∅es libre paraxenB3(x, w), puesB(A∩∅, w)es lo mismo queB3(x, w)porque no hay
B3(x, w), y parawenB3(x, w).
Cualquier t´ermino es libre para cualquier variable enB4(x, y, z, w), pues como dicha f´ormula no tiene cuantificadores, cualquier sustituci´on no genera variables ligadas.
La importancia de esta notaci´on radica en un axioma que presentamos en la secci´on 2.2 para el c´alculo de predicados. Dado un lenguaje de primer ordenL,B(x)una f´ormula ytun t´ermino deL, se propone siguiente axioma
∀xB(x)⇒ B(t)
siempre y cuandotsea libre paraxenB(x). Esto se debe a que una sustituci´on que altere la esen-cia de la f´ormula puede generar contradicciones (damos un ejemplo en la pr´oxima secci´on). Por lo tanto, una sustituci´on es permitida siempre que no altere la estructura de la f´ormula, es decir, si el t´ermino es libre para la variable por la cual se va a sustituir. Debido a esto, las sustituciones mar-cadas por⋆en el Ejemplo 1.12 no son permitidas en l´ogica y las evitaremos en lo que resta del texto.
Entre los t´erminos y las f´ormulas de un lenguaje de primer orden, se destacan los siguientes.
1.15 Definici´on. Dado un lenguaje de primer ordenL, llamamos t´ermino cerrado deLa un t´ermino que no tiene variables. Llamamos sentencia o f´ormula cerrada de La una f´ormula que no tiene variables libres.
1.16 Ejemplo. (1) Los t´erminos0,1,2,3, . . .,5 + 7,s(6)·8son cerrados enLS, pues no contienen variables. Las f´ormulas1 = 0,∀x(x+ 0 =x)y∀x∃y(x·y= 1)son sentencias enLS, pues no contienen variables libres.
(2) Las f´ormulas∀x∀y[(∀z(z ∈ x⇔z ∈ y))⇒x = y]y∃y∀x¬(x ∈ y)son sentencias enLZF, pues no contienen variables libres.
Para finalizar la secci´on, presentamos la siguiente serie de generalidades.
1.17 Proposici´on. SeaLun lenguaje de primer orden.
(a) Un t´ermino cerrado es libre para cualquier variable en cualquier f´ormula deL.
(b) SeaBuna f´ormula ytun t´ermino deL. Si las variables detno aparecen ligadas enBentonces
tes libre para cualquier variable enB.
(d) SeaBuna f´ormula deL. Sixno aparece libre enBentonces cualquier t´ermino es libre parax
enB.
Justificaci´on. (a) Sear un t´ermino cerrado yB(x)una f´ormula deL. Comor no contiene vari-ables, es claro que enB(r)no aparecen nuevas variables ligadas. Por lo tanto,res libre parax
enB(x).
(c) SeaB(x)una f´ormula deL. Al sustituirxporxenB(x)resulta la misma f´ormula, por lo cual no aparecen nuevas variables ligadas. Por lo tanto,xes libre paraxenB(x).
2.1 Ejercicio. En las siguientes f´ormulas deLS
in-dique el alcance de cada cuantificador, las variables libres y las variables ligadas.
(a) D1(w) :∃z(0 +z=w). (b) D2(w) :w= 0∨∃z(w=s(z)). (c) D3(w) :∀w∃z(z=s(w)).
(d) D4(w, z) :w= 3∨∃w(w·z= 3).
2.2 Ejercicio. Respecto al ejercicio anterior, indique
si las siguientes afirmaciones son ciertas o no. En ca-da caso justifique su respuesta.
(i) x+ 3es libre parawenD1(w).
(ii) z·zes libre parawenD1(w).
(iii) 5 +xes libre parawenD2(w).
(iv) zes libre parawenD2(w).
(v) Cualquier t´ermino es libre parazenD2(w).
(vi) z+zes libre parawenD3(w).
(vii) Cualquier t´ermino es libre parazenD4(w, z).
(viii) D3(w)es una sentencia.
(ix) D1(w)es una sentencia.
2.3 Ejercicio. Justifique (b) y (d) de la Proposici´on
1.17.
2.4 Ejercicio. SeaLun lenguaje de primer orden. In-dique si las siguientes afirmaciones son ciertas o no. En cada caso, d´e una justificaci´on precisa.
(i) SiBes una f´ormula deLentoncesxno es libre en∀xB.
(ii) Considerando la f´ormula ∀xB, se puede con-cluir quexno es libre enB.
(iii) Sizno figura libre en la f´ormulaB, entonces en ∃zBno aparecen nuevas variables ligadas.
2.2.
Teor´ıas de Primer Orden
Una teor´ıa de primer orden es una estructura muy general en donde se puede formalizar cualquier teor´ıa matem´atica elemental. El primer elemento que permite describir una teor´ıa de este tipo es un
lenguaje de primer orden, el cual se define respecto a la teor´ıa que se desea construir. En la secci´on
anterior dimos los ejemplosLSyLZFde lenguajes de primer orden, el primero para definir la teor´ıa de la aritm´etica, el segundo para la teor´ıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.
2.1 Definici´on (Teor´ıa de Primer Orden). Dado un lenguaje de primer ordenL, una teor´ıa de primer
1. Lenguaje. El lenguajeL.
2. F ´ormulas (bien formadas). Las f´ormulas de L. En este caso, decir f´ormula de Ksignifica lo mismo que ser f´ormula deL. An´alogamente, decir t´ermino deKdenota ser un t´ermino deL.
3. Axiomas. Una teor´ıa de primer orden tiene dos tipos de axiomas.
Axiomas l´ogicos. DadosB,C,Df´ormulas,x variable ytun t´ermino deL, los siguientes son axiomas:
(A1) (B∨B)⇒ B.
(A2) B ⇒(B∨C).
(A3) (B∨C)⇒(C∨B).
(A4) (B ⇒ C)⇒[(D∨B)⇒(D∨C)].
(A5) (Particularizaci´on) ∀xB(x)⇒ B(t)siempre quetsea libre paraxenB(x).
(A6) ∀x(B ⇒ C)
⇒(B ⇒ ∀xC)siempre quexno sea libre enB. Axiomas propios. Dependen de la teor´ıa.
4. Reglas de inferencia. S ´olo dos reglas de inferencia, Modus Ponens (MP) y Generalizaci´on (GEN).
(MP) B (GEN) B
B ⇒ C ∀xB
C
En la pr´actica, para definir una teor´ıa de primer orden s´olo es necesario considerar dos elementos:
el lenguaje de primer orden y los axiomas propios, puesto que las f´ormulas se definen a partir del
lenguaje y los axiomas propios y reglas de inferencia son comunes a todas las teor´ıas de primer orden que corresponden a un mismo lenguaje.
De forma an´aloga al trabajo con la teor´ıaL, definimos lo que significa una prueba, deducci´on y teorema para una teor´ıa de primer orden.
2.2 Definici´on. SeaKuna teor´ıa de primer orden,Γun conjunto de f´ormulas deKyBuna f´ormula de la misma teor´ıa. EscribimosΓ ⊢K Bpara indicar que de las hip´otesis enΓse demuestraB, lo cual significa, formalmente, queBtiene una prueba finita donde cada paso est´a justificado por una hip´otesis enΓ, un axioma deKo por una regla de inferencia ((MP) ´o(GEN)). De un modo m´as t´ecnico, existe una sucesi´on finitaB1, . . . ,Bn de f´ormulas deKdondeBnesBy cadaBi cumple
(i) Bies hip´otesis enΓ,
(ii) Bies axioma (l´ogico o propio) deK,
(iii) Bise sigue por (MP) aplicado a f´ormulas que la preceden en la sucesi´on o
(iv) Bise sigue por (GEN) aplicado a una f´ormula que la precede en la sucesi´on.
Por otra parte, decimos queBes teorema deKcuando∅⊢KB, es decir,Bse demuestra enKsin necesidad de hip´otesis. Este concepto lo abreviamos como⊢KB.
2.3 Ejemplo (Aritm´etica de Peano). Definimos como la aritm´etica de Peano a la teor´ıa de primer
ordenSen el lenguajeLScuyos axiomas propios son (S1) x=y⇒(x=z⇒y =z) (S2) x=y⇒s(x) =s(y) (S3) ¬(0 =s(x))
(S4) s(x) =s(y)⇒x=y
(S5) x+ 0 =x
(S6) x+s(y) =s(x+y) (S7) x·0 = 0
(S8) x·s(y) =x·y+x
(S9) [B(0)∧∀x(B(x)⇒ B(s(x)))]⇒ ∀xB(x).
El axioma (S9) es el conocido principio de inducci´on matem´atica. En esta teor´ıa se tiene, por ejem-plo,⊢Sx+ (y+z) = (x+y) +z,⊢S s(x) =x+ 1y⊢S1 + 1 = 2. En general, todos los resultados conocidos de la aritm´etica de n´umeros naturales se pueden demostrar en esta teor´ıa.
En el cap´ıtulo 3 damos como ejemplo la teor´ıaZFen donde se formaliza toda la matem´atica.
En adelante, fijemos un lenguaje de primer orden L. El inter´es de este cap´ıtulo es probar las leyes l´ogicas m´as generales que son teoremas de cualquier teor´ıa de primer orden en el lenguajeL. 2.4 Definici´on (C´alculo de Predicados). El c´alculo de predicados en el lenguajeLes una teor´ıa de primer orden en dicho lenguaje, la cual no tiene axiomas propios. Es claro que cualquier teorema del c´alculo de predicados es un teorema de cualquier teor´ıa de primer orden en el lenguajeL, por lo cual llamamos f´ormula l´ogicamente v´alida a un teorema del c´alculo de predicados.
2.5 Proposici´on. Toda f´ormula con estructura de tautolog´ıa es l´ogicamente v´alida, es decir, es
un teorema del c´alculo de predicados (y, por lo tanto, de cualquier teor´ıa de primer orden en el
lenguajeL). Adem´as, la prueba de una tautolog´ıa solo requiere los axiomas (A1)-(A4) y (MP).
Justificaci´on. Del teorema de completez enL, cualquier tautolog´ıa es teorema de L, es decir, su
demostraci´on se sigue de los axiomas (A1)-(A4) y (MP). Como cualquier teor´ıa de primer orden contiene estos axiomas y la regla de inferencia (MP), entonces puede probar cualquier tautolog´ıa.
Siguiendo la idea de la secci´on 1.4, damos la siguiente definici´on en relaci´on con la capacidad de una teor´ıa de primer orden para no caer en contradicciones.
2.6 Definici´on. Una teor´ıa de primer ordenKen el lenguajeLes inconsistente si existe una f´ormula CenKtal que⊢KCy⊢K¬C. De lo contario, decimos que la teor´ıa es consistente.
2.7 Corolario. SiKes una teor´ıa inconsistente en el lenguajeL, entonces puede probar cualquier
f´ormula del lenguajeL.
Justificaci´on. SiKes una teor´ıa de primer orden inconsistente, existe una f´ormulaCtal que⊢KC y ⊢K ¬C. Dada una f´ormula arbitraria Den el lenguajeL, veamos que⊢K D seg´un la siguiente demostraci´on enK:
1.C ⊢KC
2.¬C ⊢K¬C
3.¬C ⇒(C ⇒ D) Tautolog´ıa
4.C ⇒ D 2,3,(MP)
5.D 1,4,(MP).
Del corolario anterior se deduce que una teor´ıa de primer orden es consistente si existe una f´ormula de su lenguaje que no pueda demostrar. El hecho anterior permite concluir el siguiente resul-tado pero, debido a los conocimientos avanzados que requiere su justificaci´on, no lo demostraremos en este texto.
2.8 Corolario. El c´alculo de predicados enLes consistente.
Desde ahora, fijamos una teor´ıa de primer orden Karbitraria en el lenguaje L. Los resultados que probaremos a continuaci´on son f´ormulas l´ogicamente v´alidas. Las letras del tipo B, C, etc. denotan f´ormulas deKy letras comot,r,s, etc. denotan t´erminos deK.
(b) Sites un t´ermino libre paraxenB(x), entonces⊢KB(t)⇒ ∃xB(x).
(c) ⊢KB ⇒ ∃xB.
Demostraci´on. (a) Destaquemos la variablexenB, de modo queB(x)esB
1.(∀xB(x))⇒ B(x) (A5) aplicado ax, el cual es libre paraxenB(x)
1.(∀xB)⇒ B Notaci´onB(x)≡ B.
(b)
1.(∀x(¬B(x)))⇒ ¬B(t) (A5), puestes libre paraxenB(x)y, por lo tanto, en¬B(x)
2.¬¬B(t)⇒ ¬∀x(¬B(x)) 1,deL(contrarrec´ıproco)
3.B(t)⇒ ¬¬B(t) deL(doble negaci´on) 4.B(t)⇒ ¬∀x(¬B(x)) 2,3,deL(transitividad)
4.B(t)⇒ ∃xB(x) Def. de∃.
(c) Destaquemos la variablexenB, de modo queB(x)esB
1.B(x)⇒ ∃xB(x) (b) aplicado ax, el cual es libre paraxenB(x)
1.B ⇒ ∃xB Notaci´onB(x)≡ B.
El siguiente Lema est´a marcado con * debido a que su uso involucra una generalizaci´on en x. Este hecho se tendr´a en cuenta en la secci´on 2.3.
K.2 Lema*. (a) B ⇒ C ⊢K(∀xB)⇒(∀xC).
(b) B ⇒ C ⊢K(∃xB)⇒(∃xC).
(c) B ⇔ C ⊢K(∀xB)⇔(∀xC).
(d) B ⇔ C ⊢K(∃xB)⇔(∃xC).
Demostraci´on. (a)
1. B ⇒ C Hip.
2. (∀xB)⇒ B K.1
3. (∀xB)⇒ C 1,2, transitividad
4. ∀x((∀xB)⇒ C) 1,(GEN)
5. [∀x((∀xB)⇒ C)]⇒[(∀xB)⇒(∀xC)] (A6),xno es libre en∀xB
6. (∀xB)⇒(∀xC) 4,5,(MP).
(b)
1. B ⇒ C Hip.
2. ¬C ⇒ ¬B 1, contrarrec´ıproco 3. (∀x(¬C))⇒(∀x(¬B)) 2,(a)
4. (¬∀x(¬B))⇒ ¬(∀x(¬C)) 3, contrarrec´ıproco
(c)
1.B ⇔ C Hip.
2.B ⇒ C 1, deL 3.C ⇒ B 1, deL 4.(∀xB)⇒(∀xC) 2,(a)
5.(∀xC)⇒(∀xB) 3,(a)
6.(∀xB)⇔(∀xC) 4,5, deL.
(d) Prueba similar a (c), pero usando (b) en vez de (a).
El resultado anterior, junto con el Lema L.16, justifica que en una teor´ıa de primer orden se puedan reemplazar f´ormulas equivalentes en una demostraci´on, lo cual hace que el razonamiento
mediante equivalencias sea permitido. Ver el Apendice II para una justificaci´on de este hecho.
K.3 Lema. (a) ⊢K(¬(∃xB))⇔ ∀x(¬B). (b) ⊢K(¬(∀xB))⇔ ∃x(¬B).
Demostraci´on. En esta prueba razonamos mediante equivalencias.
(a)
¬(∃xB) ⇔ ¬¬(∀x(¬B))Def. de∃
⇔ ∀x(¬B) doble negaci´on.
(b)
∃x(¬B) ⇔ ¬∀x(¬¬B) Def. de∃
⇔ ¬(∀xB) doble negaci´on y sustituci´on (K.2).
Hemos probado ⊢K (∃x(¬B))⇔ ¬(∀xB). Por la conmutatividad de ⇔ (probada en L) se
sigue el resultado.
Para finalizar la secci´on, damos ejemplos de malas aplicaciones de los axiomas (A5) y (A6) en donde no se tienen en cuenta sus restricciones.
2.9 Ejemplo. (a) ∀x∃z(¬(x =z))es un teorema de la aritm´etica de PeanoS. Al aplicar (A5) con
el t´ermino z, se obtiene (∀x∃z(¬(x = z)))⇒ ∃z(¬(z = z)) y, por (MP), conclu´ımos que
∃z(¬(z = z))es un teorema de la aritm´etica de Peano, lo cual es falso (siempre que S sea