Probabilidades Geom´etricas
1.
Definici´
on y concepto
La idea de que una probabilidad como una medida de proporcionalidad (directa en el caso cl´asico), puede extenderse ha fen´omenos que no son de naturaleza discreta.
Ejemplo 1. Supongamos que de una varilla de longitud x (metros, yardas, o cualquier otra unidad) elegimos un punto al azar (es decir, sin preferencia alguna) para hacer un corte.
1) Supongamos que un extremo de la varilla la identificamos con el origen y el otro extremo con el n´umero x, ¿cu´al es la probabilidad de que el corte se realize en la primera tercera parte de la varilla?
2) ¿Cu´al es la probabilidad de que el corte deje un par de trozos en pro-porci´on de al menos 2 a 1?
3) Si se hacen dos cortes en la varilla, ¿cu´al es la probabilidad de que con los trozos restantes se forme un tri´angulo?
Soluci´on de 1) En este caso, la intuici´on nos lleva a extender el modelo proporcional cl´asico a una proporci´on geom´etrica. Para la pregunta 1, tenemos entonces que la probabilidad buscada es
longitud del intervalo0,13x longitud del intervalo [0, x] =
1
3. (1)
y=1/3; n=100;
x=rand(1,n); u=(x(1)<y); for i=2:n
u=[u;(x(i)<y)]; endfor
v=sum(u); p=v/n
Nosostros obtuvimos, en 10 tandas de n = 100 elecciones cada una, los siguientes valores dep, respectivamente
0,28 0,29 0,34 0,33 0,31 0,30 0,36 0,33 0,34 0,39.
Modificando el valor de n a 1000, obtuvimos los siguientes diez valores distintos de p, respectivamente
0,328 0,333 0,331 0,338 0,360 0,339 0,321 0,302 0,339 0,331.
Notamos que en todos los casos, la frecuencia relativa es pr´oxima al par´ametro te´orico
1 3 = 0.¯3.
Esto justifica nuestra elecci´on de la proporci´on (1) como una elecci´on ade-cuada de una medida de probabilidad.
Soluci´on de 2) Siguiendo el modelo de la soluci´on anterior, llamamos cal punto de corte, es decir,ces un punto entre el n´umero 0 y el n´umero x, o en s´ımbolos,c∈[0, x]. Si llamamos “primer pedazo” al trozo que queda a la izquierda del corte y “segundo pedazo” al trozo de varilla que queda a la derecha del corte, entonces hay dos casos:
Caso Uno: Sic < x/2 el primer pedazo es menor al segundo, y sic > x/2, el segundo pedazo es mayor al primero (observe que el caso c = x/2 es irrelevante). Luego, si la proporci´on entre ambos trozos ha de ser mayor a 2 a 1, entonces hay solo dos opciones posibles (mutuamente excluyentes):
x−c
c >2 cuando c < 1 2x, o bien
c
Luego, haciendo algunos c´alculos, la probabilidad buscada es
1
3x+x− 2 3x
x =
2 3.
Soluci´on de 3) Seacel primer corte ydel segundo. En este caso, tenemos dos elecciones al azar de un mismo intervalo [0, x]. Se trata entonces de encontrar condiciones en la elecci´on decydde tal manera que los trozos restantes formen un tri´angulo. Estas condiciones definir´an una regi´on en el producto [0, x]×[0, x], la cual denotaremos con la letraT. La probabilidad buscada ser´a entences la raz´on proporcional
´
Area de la regi´onT ´
Area de cuadrado [0, x]×[0, x] .
Para calcular el ´area de la regi´on T, procedemos del siguiente modo: Primero el caso c≤d. Tenemos tres trozos de logitud
c, d−c y x−d,
respectivamente. Ahora, recordemos que para poder formar un tri´angulo con tres segmentos, deben cumplirse las desigualdades triangulares
c+ (d−c)≥x−d c+ (x−d)≥d−c (d−c) + (x−d)≥c.
De donde se siguen las desigualdades
d≥ 1
2x≥c y 1
2x≥d−c.
Con las restriccionesc, d∈[0, x].
El casod≤cse trata de forma an´aloga, basta intercambiar papeles entre las literalesc yden el caso anterior, llegando a las desigualadades
c≥ 1
2x≥d y 1
2x≥c−d.
Con las restricci´on c, d∈[0, x], evidentemente.
Figura 1: Regi´onT.
La probabilidad buscada es 1 8x
2+1
8x
2
x2 =
1 4.
Recursos electr´onicos
Aqu´ıse puede encontrar una simulaci´on animada m´as o menos bien hecha de este ejercicio con Geogebra.
Aqu´ı pueden encontrar otra forma de resolver este problema (con la misma conclusi´on por supuesto).
2.
Paradojas: Un problema, muchas soluciones.
Desde los tiempos de Bernoulli se conocen ciertos problemas, llamados paradojas, cuyas soluciones no son ´unicas debido a que pueden plantearse desde diversas perspectivas.
En muchos casos, como en laparadoja de los dados o bien laparadoja de Chevalier de Mere, hay de hecho una ´unica respuesta acertada, siendo las restantes simples falacias.
Pero en algunos otros casos, las distintas respuestas son realmente v´ ali-das, o por lo menos, ninguna soluci´on es incuestionable, y por tanto es dif´ıcil decidir cu´al de ellas es la respuesta “correcta”.
Dentro de este ´ultimo tipo de “paradojas”, algunas de las m´as famosas son conocidas ahora como paradojas de Bertrand, publicadas por el ma-tem´atico franc´es Joseph Bertrand hacia finales del siglo XIX1.
1
Una de ellas, quiz´a la m´as famosa, plantea el problema de calcular la probabilidad de que, al elegir al azar una cuerda en una circulo, la longitud de ´esta sea mayor que la longitud del lado del tri´angulo equil´atero inscrito en la circunferencia.
Figura 2: Paradoja de Bertrand.
En esencia, el problema con la paradoja de Bertrand se encuentra en la interpretaci´on de lo que se entiende por “elecci´on al azar” de una cuerda de una circunferencia.
Algunas soluciones a este problema, parten de la hip´otesis de que elegir una cuerda en una circunferencia es equivalente a elegir uniforme e indepen-dientemente dos puntos de la circunferencia, y a su vez, esto es equivalente a elegir uniforme e independientemente dos puntos,xey, del intervalo [0,2πr], donder es el radio de la circunferencia.
Otras soluciones, por otro lado, parten de la idea de que una cuerda tam-bi´en queda determinada por su punto medioM dentro de la circunferencia, (para ello se traza el ´unico radio que pasa por este punto medio, la cuerda en cuesti´on ser´a entonces el segmento de recta perpendicular a este radio que pasa por el punto medio), de manera que elegir una cuerda al azar es equivalente a elegir un punto al azar dentro de la circunferencia.
En el primer caso, el modelo de probabilidad aplicado es un modelo de probabilidades geom´etricas sobre el rect´angulo Ω = [0,2πr]×[0,2πr], mientras que en el segundo es sobre la propia circunferencia Ω ={(x, y) ∈ R2:x2+y2≤r2}. ¡ Dos modelos de probabilidad correctos, una sola inter-pretaci´on ! El primer modelo arroja una probabilidad de 1/3, y el segundo modelos una probabilidad de 1/4.
Figura 3: Dos formas de “elegir al azar” una cuerda en una circunferencia.
Pero entonces, ¿cu´al es la respuesta apropiada? Pues todas y ninguna. Todas son correctas porque cada una de ellas corresponde a problemas diferentes aunque parecidos. En efecto, cada interpretaci´on del concepto de “elecci´on al azar” es en realidad una hip´otesis que asumimos de for-ma impl´ıcita. En el primer modelo, el problefor-ma que realmente es resuelto puede plantearse as´ı: Si elegimos al azar e independientemente dos puntos de la circunferencia de longitud 2πr (es decir, la circunferencia del c´ırcu-lo de radio r), ¿cu´al es la probabilidad de que la longitud de la cuerda que une estos puntos, sea mayor que la longitud del lado del tri´angulo equil´atero inscrito en el c´ırculo?El segundo modelo resuleve el problema siguiente:Si elegimos al azar y uniformemente un punto dentro del c´ırculo de radio r, ¿cu´al es la probabilidad de que la longitud de la cuerda que pasa por este punto, sea mayor sea mayor que la longitud del lado del tri´angulo equil´atero inscrito en el c´ırculo?