La raíz cuadrada de un número es otro nº que al elevarlo al cuadrado nos da el radicando La raíz cuadrado de 9 es 3. Pues 3 2 es

☺ La raíz es la operación contraria a la potencia. b a ccb a

☺ La raíz cuadrada de un número es otro nº que al elevarlo al cuadrado nos da el radicando. 2 9 3 _{La raíz cuadrado de 9 es 3. Pues 3}2 _{es 9}

9 32 

☺ La raíz cuadrada de cualquier nº “n” tiene dos soluciones una positiva y otra negativa, puesto que “n” puede ser el resultado de elevar al cuadrado tanto un número positivo como negativo.

☺ Ejemplo: 216 4 _{Es +4 porque +4}2 _{= 16 y (-4)}2 _{también es igual a 16.}

☺ La raíz cuadrada de cero 2 00 _{Siempre es cero pues al elevar 0}2 _{es = 0}

☺ La raíz cuadrada de un número negativo: No existe, pues no hay números que al elevarlo al cuadrado de otro negativo.

Existen además de las raíces cuadradas, las raíces cúbicas, cuartas …etc. La raíz cúbica de un número es otro que al elevarlo al cubo da el primero.

PARTES DE UNA RAÍZ

a

b

2

_

27

3

3

27

3 3







Índice (si es un 2 no hace falta ponerlo) Radical o símbolo de la raíz Radicando Raíz

Producto de raices

40 5 · 4 · 2 5 • 4 • 2 : Ejemplo  

Potencias de radicales cuadráticos

:

 

 

 

 

a a Pues a a a a a a a a p p p p          : Ejemplo: 25 15 • •... • •... • 2 2 3 3 2 25 25 15 15 15 15 15

Raíz de una raiz:

6 2 3 • 25 25 : Ejemplo  n p n p a a b a b a•  •

RADICALES CUADRÁTICOS (Continuación)

Extracción de factores de un radical cuadrático.

Si consideramos el número 1000, como: 10 · 10 · 10 =

10

2

•

10

resulta:

1000  102 •10 102 • 10 10 10

Se dice que del radical

1000

hemos extraído el factor 10.

Del mismo modo, del radical

108

se puede extraer el factor 6. ¿Cómo?

1º Descomponiendo en factores primos el radicando 108=

22 •33 22 •32 •3

2º Simplificando aquellos factores de exponente 2.

108  22 •32 •3 22 • 32 • 32 3 3• 6 3

Realiza los siguientes ejercicios

1.- Extrae todos los radicales posibles del radicando: a) 12  b) 18  c) 45 d) 128 e) 400  f) 5000

2.- Completa escribiendo el nombre de las partes de una raiz

a

b

3.- Averigua el resultado de las siguientes raices exactas: a) 4  16 b) 3  27 c) 2  25 d) 5  32

4.- Resuelve las siguientes operaciones con radicales, en el resultado extrae todos lo radicales posibles: a) 2 3 b) 5 4 2  c) 12 4 2  d) 25 1 2  e) 3 5 15 

5.- Resuelve las siguientes potencias de raices: a)

 

25 4  b)

 

2 3  c)

 

9 5  d)

 

7 2  6.- Resuelve: a) 2  b)3 4 5  c)3 212 

¿Recuerdas las potencias de exponente racional? Potencia de exponente n/m a b a b n m n m       / Ejemplo: 5 6 5 6 3 4 3 4       /

7.- Ahora pasa a nº racional las siguientes raices de nº racionales y viceversa:

a)        3 4 3 2 b)        7 2 6 5 c)        6 5 2 3 d)        3 2 2 9

MÁS SOBRE RADICALES CUADRÁTICOS

Como ya hemos vistos las expresiones b a y ason radicales cuadráticos.

a

b

Se lee B raíz cuadrada de A.

Cuando dos radicales cuadráticos tienen el mismo radicando se dicen que son semejantes.

Ejemplo: 3 5 y 8 5, son radicales cuadráticos semejantes; pues los dos tienen como radicando el 5.

Suma de radicales cuadráticos semejantes

Para sumar radicales cuadráticos, éstos deben ser semejantes. Primero sumamos los coeficientes y se deja el mismo radicando en la raíz.

Ejemplo:2 65 6



25



6 7 6

Resta de radicales cuadráticos semejantes

Si los radicales cuadráticos tienen distinto signo se restan los valores absolutos de los coeficientes y se deja el mismos radicando. El signo del resultado es el del mayor valor absoluto. Como en los números enteros.

Ejemplo: 5 3-9 3 



5



9



3





4

3

Coeficiente del radical Radicando

a b +c a 



b



c



a

a b a b -c a 



b



c



a

Producto de radicales cuadráticos

Debemos multiplicar tanto los coeficientes como los radicandos.

Ejemplo: 2 7  14

Ejemplo: 2 3 5 6 

 

2



5

3



6



10

18

Cociente de radicales cuadráticos

Para dividir radicales cuadráticos debemos dividir los coeficientes entre si y los radicandos de las raíces entre si.

Ejemplo: 4 6 4 6 _ 6 2 6 2 a· e 

a



e

a b ·c e 

 

b



c

a



e

b a b a _ e a c b e c a b _

HOJA DE TRABAJO

1. Clasifica los siguientes radicales cuadráticos que sean semejantes: 2 2 ; ; 3 ; ; 2 6 ; ; 5 ; ; 5 2 ; ; 2 3 ; ; 5   

2. Escribe cinco radicales cuadráticos semejantes a: 2 15 3. Calcula el valor de los siguientes radicales sin hacer la raíz:

a) 625  b) 169  c) 144  d) 121

4. Halla las siguientes sumas: a) 30 10 7 10 3 10  b) 5 23 24 26 2  c) 33 35 34 32 3

5. Realiza los siguientes productos y cocientes, simplificando todo lo que puedas: a) 3 3  b) 7 7  c) 2 2  d) 5 5  e) 8 8  f) 2 35 4  g) 12 3



5 4



 h)



7 5



4 3 i) 2 35 4 2  j)



1 3



3 7



2 2



 k) 3 3  l) 7 7  m) 2 2  n)

5



5



o) 8 8  p) 10 45 2  q) 12 3



5 4



 r)



21 10



3 2  s) 2 35 42 2  t)



1 3



3 7



2 2



 6. Calcula: a) 3 3



7 218 21



 b) 3 37 212 94 7  c)  3 3 2 4

7. Extrae todos los factores posibles del radicando: a) 12  b) 18  c) 20  d) 45  g) 60  h) 72  i) 128  j) 400 

Contesta a las siguientes preguntas: a) ¿Comó se suman o restan radicales? b) ¿Comó se multiplican radicales? c) ¿Comó se dividen radicales?

d) ¿Como se resuelve una potencia cuya base sea un radical? 1.- Resuelve las siguiente sumas:

a)30 107 103 10  b) 2 53 512 5 c) 4 32 3 d) 107 10 2.- Calcula: a) 3* 3 b) 7* 7* 7  c) 2 3 3 3*  d) 3 3 2 5*  e) 2 3 4 2 5 4 • •  f) 3 3 7 21( 8 21)

3.- Resuelve: (Debes tener en cuenta que para sumar radicales deben tener el mismo radicando. Por lo que primero debes factorizar)

a) 20 125 45 b) 502 18 32  c) 2 123 75 27  d) 63 28 7  5.- Resuelve: a) 14 7  b) 8 125 4 125  c) 5 6 5 3  d) 50 32  e) 5 36  f) 4 25  g) 12 121  h) 4 625  6.- Calcula: a)

 

7 3  Recuerda 73  72 • 7 7• 7 b)

 

13 4  d)

 

3 6  e)

 

13 4 





No lo hemos dado, pero seguro que te sirve para el curso próximo.

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES CUADRÁTICOS.

Ya sabemos que para averiguar una fracción equivalente, una de las

formas es, multiplicar numerador y denominador por el mismos número.

a b

a n b n

 •

•

siendo

n

un número distinto de 0 (cero).

Cuando en una expresión fraccionaria nos encontramos con un radical

como denominador, muchas veces y para poder operar, nos interesa reducirla

a otra expresión equivalente pero con un denominador racional. Esta reducción

se llama racionalización de denominadores.

Para racionalizar denominadores con radicales cuadráticos se pueden

presentar dos casos:

Primer caso: Cuando el denominador no incluye sumas y restas.

Para racionalizar la expresión fraccionaria

5

3

se multiplican los dos

términos (numerador y denominador) por la raíz del denominador:

De forma general sería:

 

a c b a b c b b a b c b a b cb  •   • 2

Ejemplo:

 

5 3 5 3 3 3 5 3 3 5 3 3 2    •

Segundo caso: Cuando el denominador incluye sumas o restas.

Para racionalizar el denominador de las fracciones de términos no

enteros como:

5 3

2



se multiplican los dos términos de la fracción por lo

expresión conjugada del denominador,

3 5

(operación contraria)

De forma general sería:











_{   }









a b c a b c b c b c a b c b c a b c b c           • • • • 2 2

Ejemplo:















   



3•5



5 3 • 2 5 3 5 3 • 2 5 3 5 3 5 3 • 2 5 3 2 2 2          