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(1)Enfoque polinomial. Dr. Guillermo Valencia-Palomo gvalencia@ith.mx Instituto Tecnológico de Hermosillo. División de estudios de posgrado e investigación.. Noviembre, 2011..

(2) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Contenido 1. Introducción. 2. Problemática y diseño Planteamiento Controlador RST Ubicacion de polos Condiciones de causalidad. 3. Ecuación Diofántica Definición Solución por el algoritmo de Euclides Relación con ecuación de matrices lineales. 4. Otras consideraciones Cancelación de polos y ceros Igualación a un modelo de referencia Rechazo a perturbaciones Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 2 / 42.

(3) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Introducción Existe un enfoque diferente para el diseño de sistemas similares. Éste se denomina enfoque de ecuaciones polinomiales y es un enfoque alterno al diseño mediante ubicación de polos con un observador del estado de orden mínimo. En este enfoque se resuelven las ecuaciones Diofánticas para determinar polinomios en z que se pueden utilizar para construir sistemas físicamente realizables. Este enfoque de diseño de control tiene las ventajas de que: Proporciona una solución matemática rápida a ciertos tipos de problemas de diseño. Es relativamente fácil la estimación de los parámetros de la planta para el diseño de esquemas adaptables.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 3 / 42.

(4) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Planteamiento La idea del controlador es obtener un sistema discreto de forma A(z) ; G(z) = B(z) teniendo como resultado el siguiente modelo entrada-salida en tiempo discreto: A(z)Y (z) = B(z)U(z); Donde A(z) y B(z) son los polinomios del modelo en tiempo discreto. Se asume que el polinomio B(z) es de menor grado que el polinomio A(z); que A(z) y B(z) no tienen factores en común; y, que el polinomio A(z) es normalizado tal que el coeficiente del término con mayor valor en z es uno, por esta característica se le denomina mónico al polinomio A(z). Se analizará un problema simple de diseño el cuál permitirá encontrar un controlador de dos grados de libertad para un sistema lineal con salida retroalimentada. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 4 / 42.

(5) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Planteamiento El esquema de dos grados de libertad se ilustra en la siguiente figura: Uc(z). Hff(z). Uff(z)+. U(z). -. G(z). Y(z). Ufb(z) Hfb(z). Esta configuración tiene la ventaja de que el diseño del controlador para el problema de regulación y el diseño controlador para el problema de seguimiento son separados.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 5 / 42.

(6) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Planteamiento El esquema de dos grados de libertad se ilustra en la siguiente figura: Uc(z). Hff(z). Uff(z)+. U(z). -. G(z). Y(z). Ufb(z) Hfb(z). Esta configuración tiene la ventaja de que el diseño del controlador para el problema de regulación y el diseño controlador para el problema de seguimiento son separados. De esta manera, el controlador de retroalimentación Hfb debe ser diseñado de tal modo que el proceso se vuelva insensible a las perturbaciones, al ruido de medición y a las incertidumbres, por lo que en él recaen las propiedades de regulación; mientras que, el controlador en de prealimentación Hff debe ser diseñado para obtener las propiedades de seguimiento deseadas. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 5 / 42.

(7) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Planteamiento El esquema expuesto en la figura anterior representa la combinación de un controlador de prealimentación con la función de transferencia Hff (z) = T (z)/R(z) y un controlador de retroalimentado con una función de transferencia Hfb (z) = S(z)/R(z). Uc(z). T(z) R(z). Uff(z)+. U(z). -. B(z) A(z). Y(z). Ufb(z) S(z) R(z). Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 6 / 42.

(8) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Planteamiento El esquema expuesto en la figura anterior representa la combinación de un controlador de prealimentación con la función de transferencia Hff (z) = T (z)/R(z) y un controlador de retroalimentado con una función de transferencia Hfb (z) = S(z)/R(z). Uc(z). T(z) R(z). Uff(z)+. U(z). -. B(z) A(z). Y(z). Ufb(z) S(z) R(z) Uc(z). U(z) RU=TUc-SY. B(z) A(z). Y(z). Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 6 / 42.

(9) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Controlador RST Controlador RST El controlador tipo RST se puede representar como R(z)U(z) = T (z)Uc (z) − S(z)Y (z); Donde R(z), S(z) y T (z) son los polinomios del controlador y R(z) se puede escoger de tal forma que sea mónico. Para obtener un controlador causal se requiere que el grado del polinomio R(z) sea mayor o igual al grado de los polinomios S(z) y T (z). Para poder determinar la ecuación característica del sistema en lazo cerrado y determinar las condiciones que satisfagan la ecuación lo que se procede a realizar es eliminar el factor U(z) quedando: Y (z) =. B(z)T (z) Uc (z). A(z)R(z) + B(z)S(z) Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 7 / 42.

(10) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ubicación de polos En el diseño por ubicación de polos las especificaciones del sistema son dadas por un polinomio deseado en lazo cerrado. Por lo tanto, el polinomio característico del sistema en lazo cerrado es Acl = A(z)R(z) + B(z)S(z); Con esto la problemática del diseño por ubicación de polos se reduce simplemente a un problema algebraico en el cual se tienen que encontrar los polinomios R(z) y S(z) que satisfagan la ecuación anterior.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 8 / 42.

(11) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ubicación de polos En el diseño por ubicación de polos las especificaciones del sistema son dadas por un polinomio deseado en lazo cerrado. Por lo tanto, el polinomio característico del sistema en lazo cerrado es Acl = A(z)R(z) + B(z)S(z); Con esto la problemática del diseño por ubicación de polos se reduce simplemente a un problema algebraico en el cual se tienen que encontrar los polinomios R(z) y S(z) que satisfagan la ecuación anterior. A esta ecuación se le conoce como ecuación Diofántica.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 8 / 42.

(12) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ubicación de polos En el diseño por ubicación de polos las especificaciones del sistema son dadas por un polinomio deseado en lazo cerrado. Por lo tanto, el polinomio característico del sistema en lazo cerrado es Acl = A(z)R(z) + B(z)S(z); Con esto la problemática del diseño por ubicación de polos se reduce simplemente a un problema algebraico en el cual se tienen que encontrar los polinomios R(z) y S(z) que satisfagan la ecuación anterior. A esta ecuación se le conoce como ecuación Diofántica. Observe que Acl (z) puede ser factorizado de la siguiente forma: Acl (z) = Ac (z)Ao (z); donde Ac = det(zI − Φ + ΓK) y Ao = det(zI − Φ + Ke C). Lo cual corresponde a una separación del controlador retroalimentado de estado y un observador. Por esta razón se denomina polinomio del controlador a Ac y polinomio del observador a Ao . Entonces, uno puede asignar cualquier valor propio a Ac si el sistema es controlable y asignar cualqiuer valor propio a Ao si el sistema es observable. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 8 / 42.

(13) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ubicación de polos Para completar el diseño se requiere determinar el polinomio T (z). Para ello se parte de la ecuación Y (z) =. B(z)T (z) B(z)T (z) Uc (z) = Uc (z); Acl Ac (z)Ao (z). la cual indica como el sistema reacciona con la entrada. Esta ecuación indica que los ceros del sistema en lazo abierto son los mismos ceros del sistema en lazo cerrado a menos que los polinomios B(z) y Acl (z) tengan factores en común. Es una elección natural escoger el polinomio T (z) de tal manera que cancele al polinomio Ao (z) para que la señal de referencia no genere errores de observación.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 9 / 42.

(14) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ubicación de polos Para completar el diseño se requiere determinar el polinomio T (z). Para ello se parte de la ecuación Y (z) =. B(z)T (z) B(z)T (z) Uc (z) = Uc (z); Acl Ac (z)Ao (z). la cual indica como el sistema reacciona con la entrada. Esta ecuación indica que los ceros del sistema en lazo abierto son los mismos ceros del sistema en lazo cerrado a menos que los polinomios B(z) y Acl (z) tengan factores en común. Es una elección natural escoger el polinomio T (z) de tal manera que cancele al polinomio Ao (z) para que la señal de referencia no genere errores de observación. Por lo que T (z) = t0 Ao (z); donde el parámetro t0 se escoge para obtener la ganancia en estado estable deseada del sistema, por ejemplo si se desea obtener una ganancia unitaria se escoge t0 = Ac (1)/B(1). Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 9 / 42.

(15) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ubicación de polos Resumen del diseño por ubicación de polos para RST Dado el modelo descrito por G(z) = B(z)/A(z) donde A(z), B(z) son polinomios que no tienen factores comunes, y Acl el polinomio deseado con las especificaciones de diseño; el diseño por ubicación de polos se puede resumir en los siguientes pasos:. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 10 / 42.

(16) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ubicación de polos Resumen del diseño por ubicación de polos para RST Dado el modelo descrito por G(z) = B(z)/A(z) donde A(z), B(z) son polinomios que no tienen factores comunes, y Acl el polinomio deseado con las especificaciones de diseño; el diseño por ubicación de polos se puede resumir en los siguientes pasos: 1. Encuentre los polinomios R(z) y S(z), donde deg {S(z)} ≤ deg {R(z)}, satisfagan Acl (z) = A(z)R(z) + B(z)S(z);. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 10 / 42.

(17) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ubicación de polos Resumen del diseño por ubicación de polos para RST Dado el modelo descrito por G(z) = B(z)/A(z) donde A(z), B(z) son polinomios que no tienen factores comunes, y Acl el polinomio deseado con las especificaciones de diseño; el diseño por ubicación de polos se puede resumir en los siguientes pasos: 1. Encuentre los polinomios R(z) y S(z), donde deg {S(z)} ≤ deg {R(z)}, satisfagan Acl (z) = A(z)R(z) + B(z)S(z);. 2. Factorize la ecuación característica Acl (z) = Ac (z)Ao (z), donde deg {Ao (z)} ≤ deg {R(z)} y haga T (z) = t0 Ao (z); donde t0 = Ac (1)/B(1).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 10 / 42.

(18) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ubicación de polos Resumen del diseño por ubicación de polos para RST Dado el modelo descrito por G(z) = B(z)/A(z) donde A(z), B(z) son polinomios que no tienen factores comunes, y Acl el polinomio deseado con las especificaciones de diseño; el diseño por ubicación de polos se puede resumir en los siguientes pasos: 1. Encuentre los polinomios R(z) y S(z), donde deg {S(z)} ≤ deg {R(z)}, satisfagan Acl (z) = A(z)R(z) + B(z)S(z);. 2. Factorize la ecuación característica Acl (z) = Ac (z)Ao (z), donde deg {Ao (z)} ≤ deg {R(z)} y haga T (z) = t0 Ao (z); donde t0 = Ac (1)/B(1).. 3. Implemente la ley de control R(z)U(z) = T (z)Uc (z) − S(z)Y (z). Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 10 / 42.

(19) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Condiciones de causalidad Se debe de cumplir que deg {S(z)} ≤ deg {R(z)} y deg {T (z)} ≤ deg {R(z)}, de no ser así la señal de control en un tiempo determinado dependerá de valores futuros de la Y (z) y Uc (z).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 11 / 42.

(20) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Condiciones de causalidad Se debe de cumplir que deg {S(z)} ≤ deg {R(z)} y deg {T (z)} ≤ deg {R(z)}, de no ser así la señal de control en un tiempo determinado dependerá de valores futuros de la Y (z) y Uc (z). Si el tiempo para calcular la señal de control es sólo una fracción pequeña del período de muestreo, normalmente se toma deg {R(z)} = deg {S(z)} = deg {T (z)};. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 11 / 42.

(21) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Condiciones de causalidad Se debe de cumplir que deg {S(z)} ≤ deg {R(z)} y deg {T (z)} ≤ deg {R(z)}, de no ser así la señal de control en un tiempo determinado dependerá de valores futuros de la Y (z) y Uc (z). Si el tiempo para calcular la señal de control es sólo una fracción pequeña del período de muestreo, normalmente se toma deg {R(z)} = deg {S(z)} = deg {T (z)}; si se tiene un período de muestreo para los cálculos deg {R(z)} = deg {S(z)} + 1 = deg {T (z)} + 1;. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 11 / 42.

(22) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Condiciones de causalidad Se debe de cumplir que deg {S(z)} ≤ deg {R(z)} y deg {T (z)} ≤ deg {R(z)}, de no ser así la señal de control en un tiempo determinado dependerá de valores futuros de la Y (z) y Uc (z). Si el tiempo para calcular la señal de control es sólo una fracción pequeña del período de muestreo, normalmente se toma deg {R(z)} = deg {S(z)} = deg {T (z)}; si se tiene un período de muestreo para los cálculos deg {R(z)} = deg {S(z)} + 1 = deg {T (z)} + 1; Ya que el sistema es estrictamente causal, esto es, deg {B(z)} < deg {A(z)} entonces deg {S(z)} ≤ deg {R(z)}. Para obtener el grado mínimo del controlador deg {S(z)} < deg {A(z)}; por lo que si deg {A(z)} = n, deg {R(z)} = deg {S(z)} = deg {T (z)} = deg {Ao (z)} = n − 1; deg {Ac (z)} = n. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 11 / 42.

(23) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Condiciones de causalidad Se debe de cumplir que deg {S(z)} ≤ deg {R(z)} y deg {T (z)} ≤ deg {R(z)}, de no ser así la señal de control en un tiempo determinado dependerá de valores futuros de la Y (z) y Uc (z). Si el tiempo para calcular la señal de control es sólo una fracción pequeña del período de muestreo, normalmente se toma deg {R(z)} = deg {S(z)} = deg {T (z)}; si se tiene un período de muestreo para los cálculos deg {R(z)} = deg {S(z)} + 1 = deg {T (z)} + 1; Ya que el sistema es estrictamente causal, esto es, deg {B(z)} < deg {A(z)} entonces deg {S(z)} ≤ deg {R(z)}. Para obtener el grado mínimo del controlador deg {S(z)} < deg {A(z)}; por lo que si deg {A(z)} = n, deg {R(z)} = deg {S(z)} = deg {T (z)} = deg {Ao (z)} = n − 1; deg {Ac (z)} = n. Y si se le incluye la acción integral el controlador será de orden n. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 11 / 42.

(24) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio Ejercicio 1 Considere el doble integrador definido por: 2. G(z) =. h (z + 1) B(z) = 2 A(z) (z − 1)2. diseñe un controlador RST para un polinomio Acl deseado arbitratio suponiendo que: (a) Acl es de segundo orden; (b) R(z) y S(z) son de primer orden; (c) se requiere acción integral en el controlador del inciso b.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 12 / 42.

(25) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio Ejercicio 1 Considere el doble integrador definido por: 2. G(z) =. h (z + 1) B(z) = 2 A(z) (z − 1)2. diseñe un controlador RST para un polinomio Acl deseado arbitratio suponiendo que: (a) Acl es de segundo orden; (b) R(z) y S(z) son de primer orden; (c) se requiere acción integral en el controlador del inciso b. Solución: (a) En este caso la ecuación Diofántica es: (z 2 − 2z + 1)R(z) +. h2 (z + 1)S(z) = Acl (z); 2 Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 12 / 42.

(26) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio Se requiere determinar los polinomios R(z) y S(z) para que satisfagan la ecuación, es natural que se busquen soluciones sencillas, por lo que R(z) y S(z) deberán de ser del menor orden posible. En este caso R(z) = 1 y S(z) = s0 , esto es, un control proporcional: s0 h 2 (z + 1) = Acl (z); 2 el cual no puede ser resuelto para un polinomio arbitrario Acl de segundo orden. (z 2 − 2z + 1) +. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 13 / 42.

(27) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio Se requiere determinar los polinomios R(z) y S(z) para que satisfagan la ecuación, es natural que se busquen soluciones sencillas, por lo que R(z) y S(z) deberán de ser del menor orden posible. En este caso R(z) = 1 y S(z) = s0 , esto es, un control proporcional: s0 h 2 (z + 1) = Acl (z); 2 el cual no puede ser resuelto para un polinomio arbitrario Acl de segundo orden. (z 2 − 2z + 1) +. (b) Para el caso cuando el controlador es de primer orden se tiene que R(z) = z + r1 y S(z) = s0 z + s1 lo cual da h2 Acl (z) =(z 2 − 2z + 1)(z + r1 ) + (z + 1)(s0 z + s1 ); 2       2 h h2 h2 Acl (z) =z 3 + r1 + s0 − 2 z 2 + 1 − 2r1 + (s0 +s1 ) z + r1 + s1 . 2 2 2 Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 13 / 42.

(28) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio Para un polinomio arbitrario de tercer orden: Acl (z) = z 3 + p1 z 2 + p2 z + p3 ; se pueden obtener los valores de los parámetros de los polinomios R(z), S(z): 3 + p1 + p2 − p3 3 + p1 − p2 − 3p3 5 + 3p1 + p2 − p3 r1 = ; s1 = . ; s0 = 4 2h2 2h2 Finalmente ya que Acl (z) es de tercer orden se tiene al menos una raiz real, la cual se selecciona como Ao (z); por lo que T (z) = t0 Ao (z) donde t0 = A(1)/B(1).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 14 / 42.

(29) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio Para un polinomio arbitrario de tercer orden: Acl (z) = z 3 + p1 z 2 + p2 z + p3 ; se pueden obtener los valores de los parámetros de los polinomios R(z), S(z): 3 + p1 + p2 − p3 3 + p1 − p2 − 3p3 5 + 3p1 + p2 − p3 r1 = ; s1 = . ; s0 = 4 2h2 2h2 Finalmente ya que Acl (z) es de tercer orden se tiene al menos una raiz real, la cual se selecciona como Ao (z); por lo que T (z) = t0 Ao (z) donde t0 = A(1)/B(1). (c) Para incluir la acción integral se requiere que el polinomio R(z) contenga una raíz más en 1, es decir tenga (z − 1) como un factor. Por lo que ahora R(z) = (z − 1)(z + r1 ) y S(z) = s0 z 2 + s1 z + s2 . El orden del sistema aumenta en uno y se requiere determinar los parámetros r1 , s0 , s1 , s2 . Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 14 / 42.

(30) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ecuación Diofántica Para realizar realizar el diseño de los controladores anteriormente expuestos es necesario resolver una ecuación Diofántica para determinar los polinomios del controlador.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 15 / 42.

(31) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ecuación Diofántica Para realizar realizar el diseño de los controladores anteriormente expuestos es necesario resolver una ecuación Diofántica para determinar los polinomios del controlador. Ecuación Diofántica La forma general de la ecuación Diofántica es AX + BY = C; de donde A, B, C son polinomios conocidos y X , Y son polinomios por determinar. La ecuación Diofántica recibe su nombre de Diofantus (300 a.C.), mismo que fue uno de los inventores del álgebra.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 15 / 42.

(32) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ecuación Diofántica Para realizar realizar el diseño de los controladores anteriormente expuestos es necesario resolver una ecuación Diofántica para determinar los polinomios del controlador. Ecuación Diofántica La forma general de la ecuación Diofántica es AX + BY = C; de donde A, B, C son polinomios conocidos y X , Y son polinomios por determinar. La ecuación Diofántica recibe su nombre de Diofantus (300 a.C.), mismo que fue uno de los inventores del álgebra. Un ejemplo serían las ecuaciones: 3x + 2y = 5; 4x + 6y = 1; con x , y ∈ Z. ¿Tienen estas ecuaciónes solución? Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 15 / 42.

(33) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ecuación Diofántica Si consideramos x , y como números reales, ambas ecuaciones tienen un número infinito de soluciones. Pero, si solamente se consideran x , y enteros, la cosa cambia, Para 3x + 2y = 5 es obvio que una solución sería x = 1, y = 1. Y de hecho, se puede hallar la solución general de la ecuación: x = x0 + 2n; y = y0 − 3n siempre que x0 , y0 satisfagan la ecuación, donde n ∈ Z. Sin embargo, para 4x + 6y = 1 no es posible encontrar una solución, esto es debido a que no se tiene un factor común en ambos lados de la ecuación. Estas dos ecuaciones se relacionan de manera muy cercana a las ecuaciones Diofánticas, ya que los polinomios con coeficientes reales obedecen a las mismas reglas que los números enteros: ambos pueden ser multiplicados, sumados, restados pero la división no siempre resulta en polinomios (enteros).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 16 / 42.

(34) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ecuación Diofántica Si consideramos x , y como números reales, ambas ecuaciones tienen un número infinito de soluciones. Pero, si solamente se consideran x , y enteros, la cosa cambia, Para 3x + 2y = 5 es obvio que una solución sería x = 1, y = 1. Y de hecho, se puede hallar la solución general de la ecuación: x = x0 + 2n; y = y0 − 3n siempre que x0 , y0 satisfagan la ecuación, donde n ∈ Z. Sin embargo, para 4x + 6y = 1 no es posible encontrar una solución, esto es debido a que no se tiene un factor común en ambos lados de la ecuación. Estas dos ecuaciones se relacionan de manera muy cercana a las ecuaciones Diofánticas, ya que los polinomios con coeficientes reales obedecen a las mismas reglas que los números enteros: ambos pueden ser multiplicados, sumados, restados pero la división no siempre resulta en polinomios (enteros). Su estructura algebraica es un anillo. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 16 / 42.

(35) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Método de Euclides Un método para resolver la ecuación Diofántica es el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor. Algoritmo de Euclides Suponiendo que deg A(z) ≥ deg {B(z)} entonces se inicializa a0 = A y b0 = B, teniendose de manera recursiva lo siguiente a : an+1 = bn ; bn+1 = an mod bn ; hasta que bn+1 = 0, y se asigna G = bn , donde G es el máximo común divisor. Y se cumple la relación: AX + BY = G; donde los polinomios X , Y se encuentran, siempre que C sea divisible entre G, buscando los cosientes y residuos de las operaciones. a La. operación mod corresponde al módulo del residuo de la división de a entre b.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 17 / 42.

(36) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Solución de la ecuación Diofántica por el método de Euclides Solución general de la ecuación Diofántica Sea la ecuación Diofántica AX + BY = C, donde A, B, C son polinomios conocidos, y el máximo común divisor G divide a C. La solución general para X , Y es: C B X = X0 + Q ; G G A C Y = Y0 − Q ; G G Donde X0 , Y0 son soluciones particulares de la ecuación AX + BY = G y Q es un polinomio arbitrario. Si G divide C se tiene que es posible encontrar múltiples soluciones a la ecuación Diofántica. Pero se puede probar que existe una única solición si: deg {X } < deg {B} o deg {Y } < deg {A}. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 18 / 42.

(37) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Solución de la ecuación Diofántica por el método de Euclides Solución de la ecuación Diofántica por el método de Euclides 1. Determine el máximo común divisor G de los polinomios A, B utilizando el algoritmo de Euclides. Si G no divide C, el sistema no tiene solución.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 19 / 42.

(38) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Solución de la ecuación Diofántica por el método de Euclides Solución de la ecuación Diofántica por el método de Euclides 1. Determine el máximo común divisor G de los polinomios A, B utilizando el algoritmo de Euclides. Si G no divide C, el sistema no tiene solución.. 2. Encuentre las soluciones particulares X0 , Y0 de AX + BY = G seguiendo los pasos intermedios del algoritmo de Euclides, lo cual se puede hacer convenientemente sustituyendo hacia atrás en el algoritmo.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 19 / 42.

(39) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Solución de la ecuación Diofántica por el método de Euclides Solución de la ecuación Diofántica por el método de Euclides 1. Determine el máximo común divisor G de los polinomios A, B utilizando el algoritmo de Euclides. Si G no divide C, el sistema no tiene solución.. 2. Encuentre las soluciones particulares X0 , Y0 de AX + BY = G seguiendo los pasos intermedios del algoritmo de Euclides, lo cual se puede hacer convenientemente sustituyendo hacia atrás en el algoritmo.. 3. Exprese la solución general C B +Q ; G G A C Y = Y0 − Q ; G G donde Q es un polinomio arbitrario. X = X0. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 19 / 42.

(40) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Relación con ecuación de matrices lineales.                . La ecuación Diofántica también se puede resolver mediante cálculos matriciales. Asumiendo deg {A(z)} = deg {B(z)} = n y deg {X (z)} = deg {Y (z)} = n − 1 se obtiene:   a0 0 0 . . . 0 b0 0 0 ... 0 c0    c1 a1 a0 0 . . . 0 b1 b0 0 ... 0   x0   a2 a1 a0 . . . 0 b2 b1 b0 ... 0    ..   c3 .. .. .. .. .. .. .. ..   .   .. .. ..    . . . .  . . . . . . .   xn     =  cn an an−1 an−2 . . . a0 bn bn−1 bn−2 . . . b0    y0      0 an an−1 . . . a1 0 bn bn−1 . . . b1    .   cn+1 .  0 0 an . . . a2 0 0 bn . . . b2   .    cn+2  .. .. .. .. .. .. .. ..  yn .. .. ..  . . . .  . . . . . . . 0. 0. 0. . . . an. 0. 0. 0. . . . bn. c2n−1. La matriz del lado izquierdo se llama matriz de Sylvester y tiene la propiedad de no ser singular si los coeficientes de A(z) y B(z) no tienen factores comunes..                . Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 20 / 42.

(41) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio Ejercicio 2 Encuentre la solución general de la siguiente ecuación 720X + 230Y = 950.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 21 / 42.

(42) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio Ejercicio 2 Encuentre la solución general de la siguiente ecuación 720X + 230Y = 950. Solución: Primero se encuentra el máximo común divisor G utilizando el algoritmo recursivo de Euclides: n. a. b. a/b(entero). Residuo. 0 1 2 3. 720 230 30 10. 230 30 20 1. 3 7 1 10. 30 20 10 0. El cual es G = 10. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 21 / 42.

(43) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio La solución particular para 720X + 230Y = G, se puede hallar mediante sustitución hacia atrás del procedimiento anterior: 10 = 30 − (20 · 1); 10 = 30 − (230 − 30 · 7) · 1 = 30 · 8 − 230; 10 = (720 − 230 · 3) · 8 − 230 = 720 · 8 − 230 · 25. De esta forma, una solución particular es X0 = 8 y Y0 = −25. Finalmente se expresa la solución general: C B + Q = 760 + 23Q; G G C A Y = Y0 − Q = −2375 − 72Q. G G X = X0. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 22 / 42.

(44) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio Ejercicio 3 Tres marineros y un mono llegan a una isla desierta. Se dedican a recolectar cocos, y forman un montón común. Al llegar la noche, se van a dormir dejando para el día siguiente el reparto de los cocos. Durante la noche, uno de los marineros, desconfiando de los otros dos, decide hacerse con su parte, procediendo a formar tres montones iguales y guardándose uno de ellos. Como al hacerlo le sobra un coco, se lo da al mono. El segundo marinero, teniendo la misma idea, procede en igual forma con los cocos que ha dejado el primero. Al hacer los tres montones le sobra un coco, que se lo da al mono. Por último, el tercer hombre se levanta y procede de la misma forma que los anteriores. A la mañana siguiente, aunque el montón de cocos – que al comienzo de toda manipulación era inferior a 100 se encuentra notablemente reducido, los tres marineros se sienten igualmente culpables y no dicen nada, procediendo al reparto de los cocos. Al hacerlo les sobra uno, que se lo dan al mono. ¿ Cuántos cocos había? Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 23 / 42.

(45) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio Solución: Sea X el número total de cocos y xi el número de cocos que toma el marinero i al hacer los montones y Y el número de cocos que les toca por la mañana. Entonces,: X = 3x1 + 1; X − x1 − 1 = 2x1 = 3x2 + 1; X − x1 − x2 − 2 = 2x2 = 3x3 + 1; X − x1 − x2 − x3 − 3 = 2x3 = 3Y + 1;. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 24 / 42.

(46) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio Solución: Sea X el número total de cocos y xi el número de cocos que toma el marinero i al hacer los montones y Y el número de cocos que les toca por la mañana. Entonces,: X = 3x1 + 1; X − x1 − 1 = 2x1 = 3x2 + 1; X − x1 − x2 − 2 = 2x2 = 3x3 + 1; X − x1 − x2 − x3 − 3 = 2x3 = 3Y + 1; Sustituyendo en cascada hacia atrás para eliminar las xi ’s: 8X − 81Y = 1;. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 24 / 42.

(47) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio Solución: Sea X el número total de cocos y xi el número de cocos que toma el marinero i al hacer los montones y Y el número de cocos que les toca por la mañana. Entonces,: X = 3x1 + 1; X − x1 − 1 = 2x1 = 3x2 + 1; X − x1 − x2 − 2 = 2x2 = 3x3 + 1; X − x1 − x2 − x3 − 3 = 2x3 = 3Y + 1; Sustituyendo en cascada hacia atrás para eliminar las xi ’s: 8X − 81Y = 1; De donde se obtiene G = −1, X0 = 10, Y0 = 1 y su solución general: X = −650 − 81Q; Y = −65 − 8Q. De tal forma que con Q = −9 se tiene que habían 79 cocos y en la repartición en la mañana a cada marinero le tocó 7 cocos. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 24 / 42.

(48) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio Ejercicio 4 Resuelva la siguiente ecuación Diofántica polinomial: (x0 z + x1 )(z 2 + z + 0.5) + (y0 z + y1 )(z + 2) = z 3. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 25 / 42.

(49) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicio Ejercicio 4 Resuelva la siguiente ecuación Diofántica polinomial: (x0 z + x1 )(z 2 + z + 0.5) + (y0 z + y1 )(z + 2) = z 3 Solución: Se construye la ecuación de matriz lineal asociado y se resuelve:      0 x0 0.5 0 2 0  1 0.5 1 2   x1   0   =    1 1 0 1   y0   0  1 y1 0 1 0 0 donde: x0 = 1;. x1 = −1.2;. y0 = 0.2;. y1 = 0.3.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 25 / 42.

(50) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Cancelación de polos y ceros Anteriormente se supuso que no existían cancelaciones entre factores de los polinomios A(z) y B(z). En algunas ocaciones es posible ignorar estas cancelaciones. Suponga que los polinomios se pueden factorizar como A(z) = A+ A− ; B(z) = B + B − ; donde A+ y B + son los factores que pueden ser cancelados, los cuales supondremos que son mónicos para que la factorización sea única.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 26 / 42.

(51) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Cancelación de polos y ceros Anteriormente se supuso que no existían cancelaciones entre factores de los polinomios A(z) y B(z). En algunas ocaciones es posible ignorar estas cancelaciones. Suponga que los polinomios se pueden factorizar como A(z) = A+ A− ; B(z) = B + B − ; donde A+ y B + son los factores que pueden ser cancelados, los cuales supondremos que son mónicos para que la factorización sea única. Las raíces de A+ y B + deberán estar dentro del círculo unitario para que la cencelación no afecte al diseño.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 26 / 42.

(52) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Cancelación de polos y ceros Anteriormente se supuso que no existían cancelaciones entre factores de los polinomios A(z) y B(z). En algunas ocaciones es posible ignorar estas cancelaciones. Suponga que los polinomios se pueden factorizar como A(z) = A+ A− ; B(z) = B + B − ; donde A+ y B + son los factores que pueden ser cancelados, los cuales supondremos que son mónicos para que la factorización sea única. Las raíces de A+ y B + deberán estar dentro del círculo unitario para que la cencelación no afecte al diseño. Y la estructura de los polinomios del controlador es la siguiente: R = B + R̄;. S = A− S̄;. T = A− T̄ ;. y la ecuación característica en lazo cerrado: Acl = AR + BS = A+ B + (A− R̄ + B − S̄) = A+ B + Ācl donde la ecuación característica se factoriza como: Acl = Ac Ao = A+ B + Ācl ;. Ac = B + Āc ;. Ao = A+ Āo ;. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 26 / 42.

(53) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Cancelación de polos y ceros Cancelando términos la ecuación característica en lazo cerrado queda: A− R̄ + B − S̄ = Āc Āo = Ācl . El grado mínimo del controlador es deg {S̄} < deg {A− } y la ley de control puede escribirse como B + R̄u = A+ T̄ uc + A+ S̄y ;   S̄ A+ T̄ uc + y ; u= + B R̄ R̄ esto quiere decir que si ocurrieran cancelaciones entre polos y ceros, siempre que estos sean estables se procede con el diseño convencional y se ve afectado. Finalmente, ya que T = t0 Ao , la función de transferencia discreta desde la señal de referencia a la salida es BT t0 B − t0 B + B − Ao = = . Acl Ac Ao Āc Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 27 / 42.

(54) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Igualación a un modelo de referencia En algunas ocaciones no solamente se requiere especificar la ubicación de los polos en lazo cerrado sino también la ubicación de los ceros, a esto se le conoce como modelo de referencia. Considere nuevamente los polinomios A = A+ A− y B = B + B − y sea la respuesta deseada a la referencia Am ym = Hm uc = uc ; Bm para obtener un seguimiento al modelo perfecto, B − debe de ser un factor de Bm , ya que éste no puede ser cancelado. Por lo que Bm = B − B̄m , los siguientes factorizaciones se definen R = Am B + R̄;. S = Am A+ S̄;. T = B̄m Āo Āc A+ ;. La ley de control es u=. A+ B+. . S̄ B̄m Āo Āc uc + y R̄ Am R̄. . ;. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 28 / 42.

(55) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Igualación a un modelo de referencia De la ecuación Diofántica se tiene A− R̄ + B − S̄ = Āc Āo = Ācl ; por lo tanto, R̄m (A− R̄ + B − S̄) R̄m A− Am A− B̄m Āo Āc B̄m B − S̄ Bm S̄ = = = ; + + − Am Bm B Am R̄ Am R̄ Am R̄ Am R̄ La ley de control puede ser escrita entonces como u=. Bm A A+ S̄ uc + + (ym − y ); Am B B R̄. El controlador se compone de un bloque de retroalimentación Hfb y uno de prealimentación Hff , definidos por Hff =. Bm A B̄m A ; = Am B Am B +. Hfb =. A+ S̄ . B + R̄. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 29 / 42.

(56) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Igualación a un modelo de referencia El controlador corresponde a la estructura general de un controlador de dos grados de libertad. A B uff uc. Bm Am. ym. +. -. S R. ufb. +. +. u. B A. y. La respuesta a las perturbaciones es determinada por los polinomios Āc , Āo y la respuesta a la señal de referencia por Bm /Am .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 30 / 42.

(57) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Igualación a un modelo de referencia El controlador corresponde a la estructura general de un controlador de dos grados de libertad. A B uff uc. Bm Am. ym. +. -. S R. ufb. +. +. u. B A. y. La respuesta a las perturbaciones es determinada por los polinomios Āc , Āo y la respuesta a la señal de referencia por Bm /Am . Note que el controlador no puede ser implementado por bloques debido a que se obtienen bloques individuales no causales. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 30 / 42.

(58) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Igualación a un modelo de referencia Diseño del controlador con igualación a un modelo de referencia 1. Considere las condiciones de compatibilidad deg {Am } = deg {A}; deg {Bm } = deg {B}; Bm = B − B̄m ; deg {R̄} = deg {B − } − deg {R} deg {Ao } = deg {A} − deg {B + } − 1.. 2. Factorize B = B + B − con B + mónico.. 3. Encuentre la solución de (deg S < deg A) AR̄ + B − S = Ao Am ;. 4. Forme R = R̄B + , T = Ao B̄m y construya la ley de control Ru = Tuc − Sy . Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 31 / 42.

(59) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Rechazo a perturbaciones Ahora se modificará el controlador para que se mejore la respuesta ante la presencia de perturbaciones. Se considera una señal de perturbación a la entrada v (perturbaciones de carga) y una de perturbación a la salida e (ruido de medición). e. v uc Ru=Tuc-Sy. u. + +. B A. x. + +. y. Las ecuaciones que describen al sistema son Ax = B(u + v ); y = x + e; Ru = Tuc + Sy . Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 32 / 42.

(60) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Rechazo a perturbaciones Resolviendo para x , y , y u se obtiene: BT BR BS x= uc + v− e; AR + BS AR + BS AR + BS BR AR BT uc + v+ e; y= AR + BS AR + BS AR + BS BS AS AT uc − v− e; u= AR + BS AR + BS AR + BS Estas ecuaciones muestran como responde el sistema ante cada una de las señales. Si el sistema se diseña para que sea estable en lazo cerrado, Acl = AR + BS tendrá sus raíces dentro del círculo unitario.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 33 / 42.

(61) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Rechazo a perturbaciones Resolviendo para x , y , y u se obtiene: BT BR BS x= uc + v− e; AR + BS AR + BS AR + BS BR AR BT uc + v+ e; y= AR + BS AR + BS AR + BS BS AS AT uc − v− e; u= AR + BS AR + BS AR + BS Estas ecuaciones muestran como responde el sistema ante cada una de las señales. Si el sistema se diseña para que sea estable en lazo cerrado, Acl = AR + BS tendrá sus raíces dentro del círculo unitario. Para una perturbación de carga constante v . La respues en estado estable está dada por una ganancia estática, para eliminarla se requiere que la ganancia de x a v sea cero, esto es, B(1)R(1) = 0. Si el proceso no tiene una ganancia estática cero B(1) 6= 0, entonces se requiere que R(1) = 0 es decir que se tenga acción integral en el controlador. Que (z − 1) sea un factor de R. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 33 / 42.

(62) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Rechazo a perturbaciones Para el ruido de medición e. Normalmente el ruido de medición es de frecuancia alta. La frecuencia de Nyquist es la frecuencia más alta de interés en un sistema de muestreo. Esto se corresponde a z = −1. Una manera de asegurarse de que la medición de ruido no genere grandes señales es requerir que el polinomio S(z) contenga el factor z + 1 para filtar la señal de salida.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 34 / 42.

(63) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Rechazo a perturbaciones Para el ruido de medición e. Normalmente el ruido de medición es de frecuancia alta. La frecuencia de Nyquist es la frecuencia más alta de interés en un sistema de muestreo. Esto se corresponde a z = −1. Una manera de asegurarse de que la medición de ruido no genere grandes señales es requerir que el polinomio S(z) contenga el factor z + 1 para filtar la señal de salida. En resumen, las perturbaciones pueden ser tratadas mediante la imposición de ciertas condiciones a los polinomios de R y S: Las perturbaciones en la entrada al proceso (perturbaciones de carga) se tratan a través del polinomio R. Las perturbaciones en la salida del proceso (medición del ruido) a través del polinomio de S.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 34 / 42.

(64) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicios Ejercicio 5 Considere un sistema con una función de transferencia discreta K (z − b) G(z) = ; (z − 1)(z − a) donde K =e. −h. − 1 + h;. a=e. −h. ;.  h 1 − e−h b = 1 − −h ; e −1+h. note que b > 0, esto es, tiene un cero en el eje real negativo. Diseñe un controlador que se comporte como z(1 + p1 + p2 ) . Hm (z) = 2 z + p1 z + p2. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 35 / 42.

(65) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicios Solución: El modelo G(z) incluye un cero z = b que no contiene Hm (z) y debe de ser cancelado para cumplir con las especificaciones de diseño. Factorizando B B = B−B+; B − = K , B + = z − b; Por lo que z(1 + p1 + p2 ) Bm = ; B̄m = K K El grado de los polinomios Ao , R̄ y S son deg {Ao } = deg {A} − deg {B + } − 1 = 0; deg {R} = deg {S} = deg {A} − 1 = 1; deg {R̄} = deg {B − } − deg {R} = 0; Definiendo Ao = 1, la ecuación característica es (z − 1)(z − a)r0 + K (s0 z + s1 ) = z 2 + p1 z + p2 ; r0 z 2 + (Ks0 − ar0 − r0 )z + (Ks1 + ar0 ) = z 2 + p1 z + p2 ; Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 36 / 42.

(66) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicios Cuya solución es r0 = 1;. s0 =. 1 + a + p1 ; K. s1 =. p2 − a ; K. Los polinomios R, S, T son entonces: R = B + R̄ = z − b;     1 + a + p1 p2 − a S= z+ ; K K z(1 + p1 + p2 ) T = Ao B̄m = = t0 z. K La ley de control Ru = Tuc + Sy , puede ser reescrita para su implementación como: u(k ) = t0 uc − s0 y (k ) − s1 y (k − 1) − bu(k − 1). Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 37 / 42.

(67) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicios. 1. 0. Salida. Salida. Si las especificaciones deseadas son ζ = 0.7, ω = 1, con períodos de muestreo h = 0.25 y h = 1. El comportamiento en las muestras es como el modelo de referencia, pero debido a la cancelación del cero existen oscilaciones entre muestras.. 0. 5. 0. 10. 0. 5. 10. 0. 5 Tiempo. 10. 2 Entrada. 2 Entrada. 1. 1 0. 0. 5 Tiempo. 10. 1 0. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 38 / 42.

(68) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicios Ejercicio 6 Considere un sistema con una función de transferencia discreta K (z − b) ; G(z) = (z − 1)(z − a) donde K =e. −h. − 1 + h;. a=e. −h. ;.  h 1 − e−h b = 1 − −h ; e −1+h. note que b > 0, esto es, tiene un cero en el eje real negativo. Diseñe un controlador que se comporte como    1 + p1 + p2 z −b Hm (z) = . 1−b z 2 + p1 z + p2. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 39 / 42.

(69) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicios Solución: G(z) ya incluye el cero z = b de Hm (z) y no debe ser cancelado para cumplir con las especificaciones de diseño. Factorizando B B = B−B+; B + = 1, B − = K (z − b); Por lo que z(1 + p1 + p2 ) Bm = B̄m = K K (z − b) El grado de los polinomios Ao , R̄ y S son deg {Ao } = deg {A} − deg {B + } − 1 = 1; deg {R} = deg {S} = deg {A} − 1 = 1; deg {R̄} = deg {B − } − deg {R} = 0; Definiendo Ao = z, la ecuación característica es (z − 1)(z − a)(z + r1 ) + K (z − b)(s0 z + s1 ) = z 3 + p1 z 2 + p2 z;. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 40 / 42.

(70) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicios Cuya solución es r0 = −b +. b(b2 + p1 b + p2 ) ; (b − 1)(b − a). s0 =. (1 + p1 + p2 )(a − b)(1 + 2a) − (a3 + p1 a2 + p2 a)(1 − b) ; K (1 + a)(a − b)(1 − b). s1 =. (a3 + p1 a2 + p2 a)(1 − b) − a(1 + p1 + p2 )(a − b) ; K (1 + a)(a − b)(1 − b). El polinomio T es entonces: T = Ao B̄m =. z(1 + p1 + p2 ) = t0 z. K (z − b). La ley de control Ru = Tuc + Sy , puede ser reescrita para su implementación como: u(k ) = t0 uc − s0 y (k ) − s1 y (k − 1) − r1 u(k − 1). Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 41 / 42.

(71) Introducción. Problemática y diseño. Ecuación Diofántica. Otras consideraciones. Ejercicios. 1. 0. Salida. Salida. Las especificaciones deseadas son ζ = 0.7, ω = 1, con períodos de muestreo h = 0.25 y h = 1. La forma de la solución es igual que la anterior, pero no existe la oscilación de la señal de entrada. La respuesta es más lenta por el orden de Ao .. 0. 5. 0. 10. 0. 5. 10. 0. 5 Tiempo. 10. 2 Entrada. 2 Entrada. 1. 1 0. 0. 5 Tiempo. 10. 1 0. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Enfoque polinomial 42 / 42.

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