lagrange

Optimización

Optimización Con Restricciones de Igualdad

Dr. E Uresti

Intro

Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Introducción

En esta lectura veremos el problema de optimizar una función de valor real sujeta a un conjunto de restricciones. El método que veremos se debe a Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y la prueba de que define condiciones necesarias para los puntos óptimos aparece en el libro de A. Khuri (1993): Advanced Calculus with Applications in Statistics (John Wiley and Sons, New York) y la

prueba de las condiciones de suficiencia aparecen en el libro R. P. Gillespie (1954): Partial

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

El método de los Multiplicadores de Lagrange

Suponga que se desea optimizar la función real valuada f(x₁, x₂, . . . , xn) donde las variables

x₁,x₂,. . . ,xn están sujetas a las restricciones de

igualdad (m < n):

g₁(x₁, x₂, . . . , xn) = 0

g₂(x₁, x₂, . . . , xn) = 0

.. .

gm(x1, x2, . . . , xn) = 0

donde las funciones f,g₁,g₂,. . . ,gm son

diferenciables. f debe tener segundas derivadas continuas, mientras que las gi deben tener

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

El primer paso consiste en determinar los puntos críticos para ello se forma la función Lagrangeana:

F(x_{, λ) = f(}x_{) +}

m X

j=1

Intro Multilicadores de Lagrange Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

El primer paso consiste en determinar los puntos críticos para ello se forma la función Lagrangeana:

F(x_{, λ) = f(}x_{) +}

m X

j=1

λj gj(x)

Los puntos estacionarios se determinan resolviendo ∇ _{F =} 0_:

∇F =

            ∂F ∂x₁ .. . ∂F ∂xn ∂F ∂λ₁ .. . ∂F ∂λm             =             ∂f ∂x₁ +

Pm

j=1 λj

∂gj ∂x₁ .. . ∂F ∂xn + Pm

j=1 λj

Intro Multilicadores de Lagrange Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Es decir, los puntos máximos o mínimos se

encuentran dentro del conjunto de puntos críticos que se obtienen de resolver el sistema formado por las ecuaciones:

∂F ∂xi = ∂f ∂xi + m X j=1 λj ∂gj ∂xi

= 0 para i = 1, 2, . . . , n

y junto con las m ecuaciones dadas por las restricciones:

g₁(x₁, x₂, . . . , xn) = 0

g₂(x₁, x₂, . . . , xn) = 0

.. .

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Este sistema se resuelve para las variables

x₁,x₂,. . . ,xn y λ1,λ2,. . . , λm. Así pues el sistema

Habiendo ubicado los puntos estacionarios viene el problema de determinar si son máximos o mínimos locales. Para cada punto estacionario x_{o y para los valores λ1,λ2,. . . ,λm}

Habiendo ubicado los puntos estacionarios viene el problema de determinar si son máximos o mínimos locales. Para cada punto estacionario x_{o y para los valores λ1,λ2,. . . ,λm}

correspondientes. Se construye la matriz:

B_{1 =} H_{F =}

            

F₁₁ F₁₂ · · · _{F1n g}(1)

1 g

(1)

2 . . . g

(1)

m

F₂₁ F₂₂ · · · F_2n g(2)

1 g

(2)

2 . . . g

(2)

m

..

. ... . .. ... ... ... . .. ...

g₁(1) g₁(2) . . . g₁(n) 0 0 · · · ₀

g₂(1) g₂(2) . . . g₂(n) 0 0 · · · 0

..

. ... . .. ... ... ... . .. ...

gm(1) gm(2) . . . gm(n) 0 0 · · · 0

Sea ahora para i = 2, 3, . . . , n − m_, B_{i la matriz obtenida de} B₁

eliminando las primeras i − 1 _{filas y las primeras} i − 1

columnas, y sea ∆i el determinante de Bi. xo es un mínimo

local si:

■ siendo m par cuando

∆₁ > 0, ∆₂ > 0, . . . , ∆n₋m > 0

■ siendo m impar, cuando

∆₁ < 0, ∆₂ < 0, . . . , ∆n₋m < 0

x_{o es un máximo local si:}

■ siendo n par cuando

∆₁ > 0, ∆₂ < 0, . . . , (−1)n−m∆

n₋m < 0 ■ siendo n impar, cuando

∆₁ < 0, ∆₂ > 0, . . . , (−₁₎n−m∆

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Ejemplo 1

Encuentre los valores óptimos de la función

f(x, y) = x2 + 12xy + 2y2

sujeto a

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Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Aquí

F _{= x}2 _{+ 12xy + 2y}2 _{+ λ(4 x}2 _{+ y}2 − ₂₅₎

El sistema de ecuaciones es:

Fx = 0 = 2 x + 12 y + 8 λ x

Fy = 0 = 12 y + 4 y + λ y

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Aquí

F _{= x}2 _{+ 12xy + 2y}2 _{+ λ(4 x}2 _{+ y}2 − ₂₅₎

El sistema de ecuaciones es:

Fx = 0 = 2 x + 12 y + 8 λ x

Fy = 0 = 12 y + 4 y + λ y

g₁ = 0 = 4 x2 + y2 − ₂₅

De la primera ecuación despejas y (Observe que no conviene que despeje x o λ pues implica

indicar una división con una expresión que dependerá de una variable y se tendría que

considerar por separado el caso cuando es cero.):

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Si sustituimos esto en las ecuaciones 2 y 3 del sistema nos queda:

Fy = 0 = 34/3 x − 3 λ x − 4/3 λ2 x = 0

g = 0 = 145/36 x2 + 2/9 λ x2 + 4/9 λ2 x2 − _{25 = 0}

Si tomamos la nueva ecuación 1 y la factorizamos queda:

−1/3 x (4 λ + 17) ∗ (λ − 2) = 0

Esto nos origina tres posibles casos:

x = 0, λ = −17/4, _y λ = 2

Si sustituimos el caso x = 0 en la segunda nueva ecuación nos queda:

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Es decir, este caso de la primera ecuación es incompatible con la segunda. El caso λ = 2

sustituido en la segunda ecuación da:

25/4 x2 − _{25 = 0}

La cual da las soluciones:

x = 2 y x = −2

sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y:

y = −3 _y y = 3

Resumiendo tenemos los puntos:

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

El caso λ = −_{17/4 sustituido en la segunda}

ecuación da:

100/9 x2 − _{25 = 0}

La cual da las soluciones:

x = 3/2 y x = −3/2

sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y:

y = 4 y y = −4

Resumiendo tenemos los puntos:

R x = 3/2, y = 4, λ = −_17/4

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

En nuestro problema n = 2 (número de variables en f) y m = 1 (número de restricciones), y por tanto debemos calcular ∆i desde i = 1 hasta

i = n − _{m = 1. Es decir, que en este ejemplo basta}

calcular ∆₁ para cada punto. La matriz B

1 queda:

B_{1 =}



 

2 + 8λ 12 8 x

12 4 + 2λ 2 y

8 x 2 y 0



Intro Multilicadores de Lagrange Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

En nuestro problema n = 2 (número de variables en f) y m = 1 (número de restricciones), y por tanto debemos calcular ∆i desde i = 1 hasta

i = n − _{m = 1. Es decir, que en este ejemplo basta}

calcular ∆₁ para cada punto. La matriz B

1 queda:

B_{1 =}



 

2 + 8λ 12 8 x

12 4 + 2λ 2 y

8 x 2 y 0



 

Para el punto P (x = −_{2, y = 3, λ = 2),} B

1 queda:

B_{1(P) =}



 

18 12 −16

12 8 6

−_{16 6 0}





Intro Multilicadores de Lagrange Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

En nuestro problema n = 2 (número de variables en f) y m = 1 (número de restricciones), y por tanto debemos calcular ∆i desde i = 1 hasta

i = n − _{m = 1. Es decir, que en este ejemplo basta}

calcular ∆₁ para cada punto. La matriz B

1 queda:

B_{1 =}



 

2 + 8λ 12 8 x

12 4 + 2λ 2 y

8 x 2 y 0



 

Para el punto P (x = −_{2, y = 3, λ = 2),} B

1 queda:

B_{1(P) =}



 

18 12 −16

12 8 6

−_{16 6 0}





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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Para el punto Q(x = 2, y = −_{3, λ = 2),} B

1 queda:

B_{1(Q) =}



 

18 12 16

12 8 −₆

16 −6 0





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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Para el punto Q(x = 2, y = −_{3, λ = 2),} B

1 queda:

B_{1(Q) =}



 

18 12 16

12 8 −₆

16 −6 0





 → ∆1 = −5000

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Para el punto R(x = 3/2, y = 4, λ = −_17/4), B 1

queda:

B_{1(R) =}



 

−_{32 12 12}

12 −9/2 8

12 8 0





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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Para el punto R(x = 3/2, y = 4, λ = −_17/4), B 1

queda:

B_{1(R) =}



 

−_{32 12 12}

12 −9/2 8

12 8 0





 → ∆1 = 5000

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Para el punto S(x = −_{3/2, y =} −_{4, λ =} −_17/4), B 1

queda:

B_{1(S) =}



 

−_{32 12} −₁₂

12 −9/2 −8 −₁₂ −_{8 0}





Intro

Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Para el punto S(x = −_{3/2, y =} −_{4, λ =} −_17/4), B 1

queda:

B_{1(S) =}



 

−_{32 12} −₁₂

12 −9/2 −8 −₁₂ −_{8 0}





 → ∆1 = 5000

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

La gráfica en la figura 1 ilustra los puntos críticos de ejemplo 1 sobre la misma superficie de la

función: se puede observar que tales puntos

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Repitamos los cálculos utilizando ahora la calculadora TI. En la figura 2 se ilustra el borrado de las variables utilizadas (x, y, nos faltó incluir a la variable t, que funcionará como λ₁ ,como t no tenía asignado valor no tuvimos problema); en la variable f está la

función a optimizar; en g está la restricción; y en la variable f b la función F = f + λ g.

En la figura 3 se obtiene el cálculo de Fx(variables f bx), Fy (variable f by) y el

planteamiento del sistema para determinar los puntos críticos.

En la figura 4 se obtienen las soluciones al sistema y su conversión a una forma más conveniente. En la matriz representada por p: los valores de x están en la primer columna, los de y en la segunda, y en la tercera los de t (λ). También aparece el cálculo de la matriz hessiana de F (variable h). Nuevamente,

utilizaremos la variable i para ahorrarnos la escritura de comandos en el cálculo de

∆₁ en cada punto crítico representado en cada renglón de p.

En la figura 5 se obtienen los determinantes ∆₁ para cada uno de los puntos críticos encontrados. Recuerde que al ser m = 1 (impar): _x es mínimo local si

∆1 < 0 y siendo n = 2 (par): x es máximo local si ∆1 > 0. Por tanto, el primero y el

segundo renglón de p representan mínimos locales, mientras que el cuarto y el quinto representan máximos locales. Los cálculos coinciden los realizados

anteriormente

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Ejemplo 2

Encuentre los máximos y los mínimos de la función

f(x, y, z) = x2 y + 3z ₋ 6y + 3x

sujeta a las condiciones

En la figura 6 se preparan los cálculos: se limpian las variables usadas en las

expresiones (t1 hará el papel de λ₁ y t₂ hará el papel de λ₂); se captura la función

f, las restricciones g₁ y g₂; y el cálculo de las parciales.

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

En la figura 7 se obtiene la hessiana de F (guardada en h) y la

obtención de los puntos críticos y convenientemente codificados en la matriz p. Obervamos que sólo determina tres puntos críticos

P(x = 1, y = 2, z = 2, λ₁ = 2, λ₂ = −3) (renglón 1 de p),

Q(x = 0, y = 1, z = 2, λ₁ = 3, λ₂ = ₋3) (renglón 2 de p), y

R(x = ₋1, y = 2, z = 4, λ₁ = 2, λ₂ = ₋3) (renglón 3 de p). Se utilizó Maple para validar este resultado y hubo concordancia.

Como n = 3 y m = 2, sólo debemos determinar hasta ∆n₋m = ∆₁ en los puntos

críticos. Recordemos que al ser m par, _x es un mínimo local si ∆1 > 0. Mientras

que al ser n impar, _x es un máximo local si ∆1 < 0. En la figura 8 se obtiene el

determinante ∆₁ en cada uno de los puntos críticos. Por tanto, P y R son mínimos locales y Q es máximo local

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Ejemplo 3

Determine los valores máximos y mínimos relativos de

f(x, y, z) = 3 + 4 x − x2 − y2 − 24 z

sujeta a

En la figura 9 se preparan los cálculos: se limpian las variables usadas en las expresiones (t hará el papel de λ); se captura la función f, la restricción g; y el cálculo de las parciales.

En la figura 10 se obtiene la hessiana de F, también llamada _B1, y se guarda en h. Como en este ejemplo se debe calcular hasta ∆n₋m = ∆₂ determinamos la

segunda submatriz principal primera de h, también llamada _B2, y la guardamos en la variable h1.

En la figura 11 se obtiene el único punto crítico de F el cual corresponde a

P(x = −2, y = 4, z = −4, t = −8). Al ser sólo uno el punto crítico es más

conveniente hacer la sustituión directa de las variables en _B1 y en _B2. Note que la sustitución no es necesaria pues ni _B1 ni _B2 tienen variables. Así que la sustitución las dejará igual. Los determinantes que se obtienen son ∆₁ = ₋36 y ∆₂ = 18. Al ser n impar el criterio indica que el punto P es un máximo local.

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Multilicadores de Lagrange

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Nota

Nota importante

Los ejemplos anteriores fueron adecuadamente fabricados de forma tal que los sistemas de

ecuaciones para la obtención de los puntos críticos resultaran relativamente fáciles de