Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 1/80
Álgebra Lineal
Ma1010
Espacios Vectoriales
Departamento de MatemáticasITESM
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 2/80
Objetivos
En esta lectura se introduce el concepto de
espacio vectorial. Este concepto generaliza los
vectores
n
y las matrices
m
×
n
. El concepto es
abstracto y por tanto tiene alguna dificultad natural;
se le pide al estudiante un esfuerzo extra para
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 3/80
Motivación
Ejemplo
Considere el sistema homogéneo:
x
+ 2
y
+
w
+ 2
t
= 0
2
x
+ 4
y
−
z
+
w
+ 5
t
= 0
x
+ 2
y
+
z
+ 2
w
+
t
= 0
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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Motivación
Ejemplo
Considere el sistema homogéneo:
x
+ 2
y
+
w
+ 2
t
= 0
2
x
+ 4
y
−
z
+
w
+ 5
t
= 0
x
+ 2
y
+
z
+ 2
w
+
t
= 0
z
+
w
−
t
= 0
Si utilizamos el orden
x
→
y
→
z
→
w
→
t
la
matriz aumentada reducida queda:
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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Motivación
Ejemplo
Considere el sistema homogéneo:
x
+ 2
y
+
w
+ 2
t
= 0
2
x
+ 4
y
−
z
+
w
+ 5
t
= 0
x
+ 2
y
+
z
+ 2
w
+
t
= 0
z
+
w
−
t
= 0
Si utilizamos el orden
x
→
y
→
z
→
w
→
t
la
matriz aumentada reducida queda:
1 2
0 1
2 0
2 4
−
1 1
5 0
1 2
1 2
1 0
0 0
1 1
−
1 0
→
1 2 0 1
2 0
0 0 1 1
−
1 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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De donde la fórmula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
=
y
−
2
1
0
0
0
+
w
−
1
0
−
1
1
0
+
t
−
2
0
1
0
1
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R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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De donde la fórmula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
=
y
−
2
1
0
0
0
+
w
−
1
0
−
1
1
0
+
t
−
2
0
1
0
1
Si utilizamos el orden
x
→
y
→
w
→
z
→
t
la
matriz aumentada reducida queda:
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R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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De donde la fórmula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
=
y
−
2
1
0
0
0
+
w
−
1
0
−
1
1
0
+
t
−
2
0
1
0
1
Si utilizamos el orden
x
→
y
→
w
→
z
→
t
la
matriz aumentada reducida queda:
1 2 1
0
2 0
2 4 1
−
1
5 0
1 2 2
1
1 0
0 0 1
1
−
1 0
→
1 2 0
−
1
3 0
0 0 1
1
−
1 0
0 0 0
0
0 0
0 0 0
0
0 0
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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De donde la fórmula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
=
y
−
2
1
0
0
0
+
z
1
0
1
−
1
0
+
t
−
3
0
0
1
1
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R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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De donde la fórmula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
=
y
−
2
1
0
0
0
+
z
1
0
1
−
1
0
+
t
−
3
0
0
1
1
Si utilizamos el orden
x
→
y
→
t
→
z
→
w
la
matriz aumentada reducida queda:
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R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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De donde la fórmula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
=
y
−
2
1
0
0
0
+
z
1
0
1
−
1
0
+
t
−
3
0
0
1
1
Si utilizamos el orden
x
→
y
→
t
→
z
→
w
la
matriz aumentada reducida queda:
1 2
2
0 1 0
2 4
5
−
1 1 0
1 2
1
1 2 0
0 0
−
1
1 1 0
→
1 2 0
2
3 0
0 0 1
−
1
−
1 0
0 0 0
0
0 0
0 0 0
0
0 0
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R
nM
m×nP
P
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(
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De donde la fórmula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
=
y
−
2
1
0
0
0
+
z
−
2
0
1
0
−
1
+
w
−
3
0
0
1
1
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R
nM
m×nP
P
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(
R
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De donde la fórmula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
=
y
−
2
1
0
0
0
+
z
−
2
0
1
0
−
1
+
w
−
3
0
0
1
1
Si utilizamos el orden
y
→
x
→
z
→
w
→
t
la
matriz aumentada reducida queda:
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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De donde la fórmula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
=
y
−
2
1
0
0
0
+
z
−
2
0
1
0
−
1
+
w
−
3
0
0
1
1
Si utilizamos el orden
y
→
x
→
z
→
w
→
t
la
matriz aumentada reducida queda:
2 1
0 1
2 0
4 2
−
1 1
5 0
2 1
1 2
1 0
0 0
1 1
−
1 0
→
1
1
2
0
1
2
1 0
0 0 1 1
−
1 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
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R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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De donde la fórmula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
=
x
1
−
1
/
2
0
0
0
+
w
0
−
1
/
2
−
1
1
0
+
t
0
−
1
1
0
1
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R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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De donde la fórmula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
=
x
1
−
1
/
2
0
0
0
+
w
0
−
1
/
2
−
1
1
0
+
t
0
−
1
1
0
1
Todas las soluciones previas aparentant ser
diferentes, sin embargo, todas representan el
mismo conjunto solución.
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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De donde la fórmula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
=
x
1
−
1
/
2
0
0
0
+
w
0
−
1
/
2
−
1
1
0
+
t
0
−
1
1
0
1
Todas las soluciones previas aparentant ser
diferentes, sin embargo, todas representan el
mismo conjunto solución. Necesitamos una teoría
que nos dé confianza en los resultados obtenidos;
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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De donde la fórmula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
=
x
1
−
1
/
2
0
0
0
+
w
0
−
1
/
2
−
1
1
0
+
t
0
−
1
1
0
1
Todas las soluciones previas aparentant ser
diferentes, sin embargo, todas representan el
mismo conjunto solución. Necesitamos una teoría
que nos dé confianza en los resultados obtenidos;
qué nos indique las cosas que permanecen y las
cosas que pueden cambiar en las múltiples
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 8/80
Además de los conjuntos solución en
R
n
, existen
otras áreas de la ingeniería que requieren un
apoyo matemático: las matrices tienen su
importancia y uso en ingeniería industrial y en
control; las series trigonométricas en
procesamiento de señales; los conjuntos de
polinomios y las series de potencias para los IFIs,
etc..
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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Álgebra Lineal - p. 8/80
Además de los conjuntos solución en
R
n
, existen
otras áreas de la ingeniería que requieren un
apoyo matemático: las matrices tienen su
importancia y uso en ingeniería industrial y en
control; las series trigonométricas en
procesamiento de señales; los conjuntos de
polinomios y las series de potencias para los IFIs,
etc..
¿Cómo desarrollar una teoría comodín que se
pueda aplicar a diferentes contextos sin ningún
cambio importante?
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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Abstracción y Generalización
Si se hace una encuesta entre los matemáticos
sobre que palabras describen a las matemáticas
se notará que la mayoría responde al menos dos
palabras claves:
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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Abstracción y Generalización
Si se hace una encuesta entre los matemáticos
sobre que palabras describen a las matemáticas
se notará que la mayoría responde al menos dos
palabras claves:
abstracción
y
generalización
.
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
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(
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Abstracción y Generalización
Si se hace una encuesta entre los matemáticos
sobre que palabras describen a las matemáticas
se notará que la mayoría responde al menos dos
palabras claves:
abstracción
y
generalización
. La
abstracción
tiene que ver con representar
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
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Abstracción y Generalización
Si se hace una encuesta entre los matemáticos
sobre que palabras describen a las matemáticas
se notará que la mayoría responde al menos dos
palabras claves:
abstracción
y
generalización
. La
abstracción
tiene que ver con representar
cantidades por medio de símbolos ,y la
generalización tiene que ver con la construcción
de estructuras o teorías que engloban ciertas
cosas o hechos conocidos.
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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Abstracción y Generalización
Si se hace una encuesta entre los matemáticos
sobre que palabras describen a las matemáticas
se notará que la mayoría responde al menos dos
palabras claves:
abstracción
y
generalización
. La
abstracción
tiene que ver con representar
cantidades por medio de símbolos ,y la
generalización tiene que ver con la construcción
de estructuras o teorías que engloban ciertas
cosas o hechos conocidos. La que nos interesa
más para abrir este tema es el aspecto de la
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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Abstracción y Generalización
Si se hace una encuesta entre los matemáticos
sobre que palabras describen a las matemáticas
se notará que la mayoría responde al menos dos
palabras claves:
abstracción
y
generalización
. La
abstracción
tiene que ver con representar
cantidades por medio de símbolos ,y la
generalización tiene que ver con la construcción
de estructuras o teorías que engloban ciertas
cosas o hechos conocidos. La que nos interesa
más para abrir este tema es el aspecto de la
generalización. La
generalización
también tiene
que ver con la economia del trabajo realizado para
investigar, y con determinar cuáles son los
elementos mínimos responsables de que ciertos
resultados ocurran.
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
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Generalización
Para entender como ocurre la generalización en
nuestra materia recordemos algunos conceptos
hemos visto en diferentes cursos de matemáticas:
1. vectores en el espacio
n
dimensional (
R
n
),
2. matrices con entradas reales (
M
n
×
m
),
3. polinomios reales,
4. series de pontencias,
5. series trigonométricas, y
6. soluciones a ecuaciones diferenciales lineales
homogéneas
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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El objetivo que se persigue en el presente tema
consiste en introducir aquella
estructura abstracta
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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Álgebra Lineal - p. 11/80
El objetivo que se persigue en el presente tema
consiste en introducir aquella
estructura abstracta
que engloba las anteriores construcciones, y qué
resultados se pueden obtener en lo general sin
importar a cual de las estructuras específicas se
haga referencia.
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 12/80
El concepto de operación
Antes que el concepto de espacio vectorial está el
concepto de
operaci ´
on
. Veamos algunos ejemplos
de operaciones para
ir entendiendo que las
operaciones de suma o de multiplicación por
escalares podrían ser diferentes de las que
conocemos
.
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 12/80
El concepto de operación
Antes que el concepto de espacio vectorial está el
concepto de
operaci ´
on
. Veamos algunos ejemplos
de operaciones para
ir entendiendo que las
operaciones de suma o de multiplicación por
escalares podrían ser diferentes de las que
conocemos
.
Lo que es importante recordar es el uso de los
paréntesis
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 12/80
El concepto de operación
Antes que el concepto de espacio vectorial está el
concepto de
operaci ´
on
. Veamos algunos ejemplos
de operaciones para
ir entendiendo que las
operaciones de suma o de multiplicación por
escalares podrían ser diferentes de las que
conocemos
.
Lo que es importante recordar es el uso de los
paréntesis : sirven para indicar un orden en las
operaciones.
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 13/80
Ejemplo
Suponga que
V
=
R
2y que se define la operación:
(
x, y
)
⊕
(
z, w
) = (5
x
+
z,
2
w
+ 2
y
)
Si
a
= (−2
,
−3)
,
b
= (−1
,
3)
,
c
= (−1
,
−1)
Calcule:
1.
a
⊕
b
2.
b
⊕
a
3.
(
a
⊕
b
)
⊕
c
4.
a
⊕
(b
⊕
c)
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
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Álgebra Lineal - p. 13/80
Ejemplo
Suponga que
V
=
R
2y que se define la operación:
(
x, y
)
⊕
(
z, w
) = (5
x
+
z,
2
w
+ 2
y
)
Si
a
= (−2
,
−3)
,
b
= (−1
,
3)
,
c
= (−1
,
−1)
Calcule:
1.
a
⊕
b
= (5
·
(
x
=
−2) + (
z
=
−1)
,
2
·
(
w
= 3) + 2
·
(
y
=
−3)) = (−11
,
0)
2.
b
⊕
a
= (5
·
(−1) + (−2)
,
2
·
(−3) + 2
·
(−1)) = (−7
,
0)
3.
(
a
⊕
b
)
⊕
c
= (−11
,
−0)
⊕
(−1
,
−1) = (5
·
(−11) + (−1)
,
2
·
(−1) + 2
·
(0)) =
(−56
,
−2)
4.
a
⊕
(
b
⊕
c
)
= (−2
,
−3)
⊕
(−6
,
4) = (−16
,
2)
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 14/80
Ejemplo
Suponga que
V
=
R
2y que se definen las operaciones:
(
x, y
)
⊕
(
z, w
) = (2
x,
3
w
+
y
)
y
t
⊙
(
x, y
) = (2
t x,
3
t y
)
Si
a
= (1
,
0)
, c
1= 1
, c
2=
−4
Calcule:
1.
(
c
1+
c
2)
⊙
a
2.
(
c
1⊙
a
)
⊕
(
c
2⊙
a
)
3.
(
c
1·
c
2)
⊙
a
4.
c
1⊙
(
c
2⊙
a
)
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 14/80
Ejemplo
Suponga que
V
=
R
2y que se definen las operaciones:
(
x, y
)
⊕
(
z, w
) = (2
x,
3
w
+
y
)
y
t
⊙
(
x, y
) = (2
t x,
3
t y
)
Si
a
= (1
,
0)
, c
1= 1
, c
2=
−4
Calcule:
1.
(
c
1+
c
2)
⊙
a
=
−3
⊙
(1
,
0) = (2(−3)(1)
,
3(−3)(0)) = (−6
,
0)
2.
(
c
1⊙
a
)
⊕
(
c
2⊙
a
) = (2
,
0)
⊕
(−8
,
0) = (4
,
0)
3.
(
c
1·
c
2)
⊙
a
=
−4
⊙
(1
,
0) = (−8
,
0)
4.
c
1⊙
(
c
2⊙
a
) = 1
⊙
(−8
,
0) = (−16
,
0)
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 15/80
Espacio Vectorial
Sea
V
un conjunto no vacío sobre el cual existen
dos operaciones.
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 15/80
Espacio Vectorial
Sea
V
un conjunto no vacío sobre el cual existen
dos operaciones. Una llamada
suma de vectores
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 15/80
Espacio Vectorial
Sea
V
un conjunto no vacío sobre el cual existen
dos operaciones. Una llamada
suma de vectores
y otra llamada
mulitplicación de un escalar por un
vector
.
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 15/80
Espacio Vectorial
Sea
V
un conjunto no vacío sobre el cual existen
dos operaciones. Una llamada
suma de vectores
y otra llamada
mulitplicación de un escalar por un
vector
. La suma de vectores, o simplemente
suma, es una regla o función que asocia a dos
vectores, digamos
u
y
v
un tercer vector, a este se
le representará como
u
⊕
v
.
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 15/80
Espacio Vectorial
Sea
V
un conjunto no vacío sobre el cual existen
dos operaciones. Una llamada
suma de vectores
y otra llamada
mulitplicación de un escalar por un
vector
. La suma de vectores, o simplemente
suma, es una regla o función que asocia a dos
vectores, digamos
u
y
v
un tercer vector, a este se
le representará como
u
⊕
v
. La multiplicación es
una regla que asocia a un escalar y a un vector,
digamos
c
y
u
un segundo vector representado por
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 15/80
Espacio Vectorial
Sea
V
un conjunto no vacío sobre el cual existen
dos operaciones. Una llamada
suma de vectores
y otra llamada
mulitplicación de un escalar por un
vector
. La suma de vectores, o simplemente
suma, es una regla o función que asocia a dos
vectores, digamos
u
y
v
un tercer vector, a este se
le representará como
u
⊕
v
. La multiplicación es
una regla que asocia a un escalar y a un vector,
digamos
c
y
u
un segundo vector representado por
c
⊙
u
. Diremos que el conjunto
V
se llama
espacio
vectorial
si cumple todos y cada uno de los
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 16/80
(A1) Para cualquiera dos vectores
u
y
v
en
V
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 16/80
(A1) Para cualquiera dos vectores
u
y
v
en
V
u
⊕
v
∈
V
Este axioma se conoce como el
axioma de
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 16/80
(A1) Para cualquiera dos vectores
u
y
v
en
V
u
⊕
v
∈
V
Este axioma se conoce como el
axioma de
cerradura bajo la suma
:
La suma de dos elementos del conjunto
debe dar como resultado también un
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 17/80
(A2) Para cualquiera dos vectores
u
y
v
en
V
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 17/80
(A2) Para cualquiera dos vectores
u
y
v
en
V
u
⊕
v
=
v
⊕
u
Este axioma se conoce como el
axioma de la
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 17/80
(A2) Para cualquiera dos vectores
u
y
v
en
V
u
⊕
v
=
v
⊕
u
Este axioma se conoce como el
axioma de la
conmutatividad de la suma
:
El orden de los sumandos no altera el
resultado de la suma.
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 18/80
(A3) Para cualquiera tres vectores
u
,
v
y
w
en
V
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 18/80
(A3) Para cualquiera tres vectores
u
,
v
y
w
en
V
u
⊕
(
v
⊕
w
) = (
u
⊕
v
)
⊕
w
Este axioma se conoce como
axioma de la
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 18/80
(A3) Para cualquiera tres vectores
u
,
v
y
w
en
V
u
⊕
(
v
⊕
w
) = (
u
⊕
v
)
⊕
w
Este axioma se conoce como
axioma de la
asociatividad de la suma
:
En una suma de vectores, no importa el
orden cómo asocien la sumas entre dos; el
resultado será siempre el mismo.
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 19/80
(A4) Existe un único vector en
V
que se simbolizará
por
0
y que se llamará el
vector cero
tal que
para cualquier vector
u
∈
V
se cumple
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 19/80
(A4) Existe un único vector en
V
que se simbolizará
por
0
y que se llamará el
vector cero
tal que
para cualquier vector
u
∈
V
se cumple
u
⊕
0
=
0
⊕
u
=
u
Este axioma se conoce como el
axioma de la
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 19/80
(A4) Existe un único vector en
V
que se simbolizará
por
0
y que se llamará el
vector cero
tal que
para cualquier vector
u
∈
V
se cumple
u
⊕
0
=
0
⊕
u
=
u
Este axioma se conoce como el
axioma de la
existencia del elemento neutro
:
Existe en el conjunto un elemento
distinguido que sumado con cualquier
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 20/80
(A5) Para cualquier vector
u
∈
V
existe un único
vector también en
V
y simbolizado por
−
u
que
cumple
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 20/80
(A5) Para cualquier vector
u
∈
V
existe un único
vector también en
V
y simbolizado por
−
u
que
cumple
u
⊕
(
−
u
) = (
−
u
)
⊕
u
=
0
Este axioma se conoce como
axioma de la
existencia de inversos aditivos
:
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 20/80
(A5) Para cualquier vector
u
∈
V
existe un único
vector también en
V
y simbolizado por
−
u
que
cumple
u
⊕
(
−
u
) = (
−
u
)
⊕
u
=
0
Este axioma se conoce como
axioma de la
existencia de inversos aditivos
:
Cada elemento del conjunto posee un
inverso aditivo; un elemento del conjunto
que sumado con él da el neutro aditivo.
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 21/80
(M1) Para cualquier vector
u
∈
V
y para cualquier
escalar
c
∈
R
se cumple
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 21/80
(M1) Para cualquier vector
u
∈
V
y para cualquier
escalar
c
∈
R
se cumple
c
⊙
u
∈
V
Este axioma se conoce como el
axioma de
cerradura bajo la multiplicación por escalares:
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 21/80
(M1) Para cualquier vector
u
∈
V
y para cualquier
escalar
c
∈
R
se cumple
c
⊙
u
∈
V
Este axioma se conoce como el
axioma de
cerradura bajo la multiplicación por escalares:
El resultado del producto entre cualquier
escalar por cualquier elemento del conjunto
debe dar como resultado también un
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 22/80
(M2) Para cualquiera dos vectores
u
y
v
en
V
, y para
cualquier escalar
c
en
R
se cumple
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 22/80
(M2) Para cualquiera dos vectores
u
y
v
en
V
, y para
cualquier escalar
c
en
R
se cumple
c
⊙
(
u
⊕
v
) = (
c
⊙
u
)
⊕
(
c
⊙
v
)
Este axioma se conoce como la
propiedad
distributiva del producto (por escalares) sobre la
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
R
nM
m×nP
P
nF
(
R
)
Subespacio definicion Resultado ClaveEspacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 22/80
(M2) Para cualquiera dos vectores
u
y
v
en
V
, y para
cualquier escalar
c
en
R
se cumple
c
⊙
(
u
⊕
v
) = (
c
⊙
u
)
⊕
(
c
⊙
v
)
Este axioma se conoce como la
propiedad
distributiva del producto (por escalares) sobre la
suma (de vectores)
:
En un producto de un escalar por una suma
de vectores, da lo mismo realizar la suma
de los vectores y el resultado multiplicarlo
por el vector que individualmente multiplicar
cada vector por el escalar y después sumar
los resultados.
Objetivos Motivaci ´on Abstracci ´on y Generalizaci ´on Generalizaci ´on Operaci ´on Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV