Ejercicio 1.- (P.L.I.)
Representar el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente las inecuaciones: x ≤ 2; x ≥ – 2; y ≤ 1 (León. Junio 1990)
Solución:
Ejercicio 2.- (P.L.I.)
Describir mediante un sistema de desigualdades la región interior del polígono convexo con vértices en los puntos: O(0,0) , A(0,4), B(4,0), C(3,3). (Madrid. Junio 1995)
Solución:
x ≥ 0; y ≥ 0; 3x + y ≤ 12; x + 3y ≤12. Ejercicio 3.- (P.L.I.)
Escribe inecuaciones que definan una región plana cerrada de modo que los puntos (1,0) y (0,1) pertenezcan a dicha región, y que los puntos (0,0) y (2,2) no pertenezcan. Haz una representación gráfica de la región que elijas. (León. Junio 1993)
Solución:
x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 3; x + y ≥ 1. Ejercicio 4.- (P.L.I.)
Escribe un conjunto de inecuaciones que tengan como solución común el interior de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente y se apoyan en los ejes coordenados X e Y. (Puedes elegir cualquiera de las posibles colocaciones) (Cantabria. Junio 1991)
Solución:
x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + y ≤ 2.
Ejercicio 5.- (P.L.I.)
Se considera el recinto plano de la figura en el que están incluidos los tres lados y los tres vértices de las rectas asociadas a las desigualdades.
Hallar las inecuaciones que definen el recinto.
Maximizar la función Z = 3x – 6y sujeta a las restricciones del recinto.
-2 0 2
1
Solución:
El recinto queda delimitado por las inecuaciones: y ≤ 3; x – y ≤ 0; 3x – y ≥ 0. El máximo se alcanza en O y vale 0.
Dada la región del plano definida por las inecuaciones: x + y – 1 ≥ 0; 0 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 2.
¿Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5x + 2y? (Universidades de Galicia. Junio 1996)
Solución:
El máximo se alcanza en el punto (3,2) y vale 19. Ejercicio 7.-
Se considera la región del primer cuadrante determinada por las inecuaciones: x + y ≤ 8; x + y ≥ 4; x + 2y ≥ 6
a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices.
b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x,y) = 3x + 2y alcanza el valor mínimo y calcular dicho valor. (Universidades Andaluzas. Junio 1996)
Solución:
El mínimo se alcanza en el punto (0,4) y vale 8. Ejercicio 8.-
Hallar los valores máximo y mínimo de la función f(x,y) = x + 2y − 2, sometida a las restricciones:
x + y − 2 ≥ 0; x − y + 2 ≥ 0; x ≤ 3; y ≥ 1; y ≤ 3 (Madrid. 1990) Solución:
El máximo se alcanza en el punto (3,3) y vale 7. El mínimo se alcanza en el punto (1,1) y vale 1. Ejercicio 9.-
Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 pesetas por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada
día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? (Cataluña. Junio 1996).
Solución:
Tiene que repartir 50 impresos de la empresa A y 100 de la empresa B, y su beneficio será de 950 ptas.
Ejercicio 10.-
Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero no menos de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana 300000 ptas. y 200000 por cada viaje del B. ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? ¿Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo? (Murcia. Junio 1991)
Solución:
Las ganancias son máximas cuando el avión A hace 120 vuelos y el B 80. El consumo de combustible es mínimo cuando cada avión hace 30 vuelos.
En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen 450 pesetas y las halógenas 600 pesetas. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación? (Universidad de Murcia. Junio 1996)
Solución:
Deberá producir 200 bombillas normales y 300 halógenas, y su facturación será de 270000 ptas.
Ejercicio 12.-
Maximizar la función F(x,y) = 3x + 2y en el dominio: y + 2x ≥ 0; 3y – x ≤ 1 ; 2 ≥ x ≥ 0; y ≥ 0
(Córdoba. Junio 1995) Solución:
El máximo se alcanza en el punto (2,1) y vale 8. Ejercicio 13.-
Maximizar la función Z = 0.75x + y, sujeta a: x + 3y ≤ 15; 5x + y ≤ 20; 3x + 4y ≤ 24; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ¿Es única la solución? (Alicante. Junio 1990) Solución:
El máximo se alcanza en el segmento que une los puntos ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 5 21 , 5 27 y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 17 10 , 17 56 . Ejercicio 14.-
Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27.5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0
azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 20 y por una docena de tipo Q es 30. Halla, utilizando las técnicas de programación lineal, el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo. (Universidades de Castilla y León. Septiembre 1997)
.5 kg de
Solución:
Debe hacer 16 docenas y media de pasteles de tipo P y 11 docenas de tipo Q. Ejercicio 15.-
Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten tres días operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de pesetas y por cada automóvil 2 millones de pesetas, ¿cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias?
Solución:
Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones: x − 4y ≥ − 4; x + 2y − 4 ≤ 0; x ≥ 0 ; y ≥ 0. Se pide:
a) Dibujarlo y hallar sus vértices.
b) Razonar si es posible maximizar en él la función f(x,y) = x + 2y .
c) En caso afirmativo, calcular el valor óptimo correspondiente y puntos donde se alcanza. (Jaén. Junio 1995)
Solución: a) (0.0); (4,0); ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 4 , 3 4 ; (0,1)
b) El máximo se alcanza porque el recinto es acotado.
c) Se alcanza en el segmento que une los puntos (4,0) y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 4 , 3 4 . Ejercicio 17.-
a) Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales:
x + 2y ≤ 10; x + y ≥ 2; x ≤ 8; x ≥ 0; y ≥ 0
b) Hallar el máximo y el mínimo de F(x,y) = x − 3y, sujeto a las restricciones representadas por las inecuaciones del apartado anterior. (Zaragoza. 1991)
Solución:
El máximo se alcanza en el punto (8,0) y vale 8. El mínimo se alcanza en el punto (0,5) y vale −15. Ejercicio 18.-
Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores, de la clase A a 200 ptas. la unidad y de la clase B a 150 ptas. En la producción diaria se sabe que el número de rotuladores de la clase B no supera en 1000 unidades a los de la A; además, entre las dos clases no superan las 3000 unidades y la de la clase B no bajan de 1000 unidades por día. Hallar el costo máximo y mínimo de la producción diaria. (La Laguna. 1992)
Solución:
El coste mínimo de la producción es de 150000 ptas. fabricando 1000 unidades de la clase B y ninguno de la A.
El coste máximo de la producción es de 550000 ptas. fabricando 2000 unidades de la clase A y 1000 de la clase B.
Ejercicio 19.-
Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostinos, 5 cajas de nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210000 ptas., mientras que los del mayorista B cuestan 300000 pesetas cada uno. ¿Cuántos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible? (Universidades Públicas de la Comunidad de Madrid. Septiembre 1997)
Solución:
Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae y Viz. La fabricación de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricación de cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montaje. La fabricación del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de montaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un máximo de 1500 horas cada mes, y la de montaje de 600.Si el modelo Bae se vende a 10000 pesetas y el modelo Viz a 12000 pesetas, ¿qué cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar el beneficio mensual?
Solución:
Debe fabricar 300 sobreros de cada tipo para obtener el máximo beneficio (6600000 ptas.)
Ejercicio 21.-
Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, 1000000 ptas. en salarios y 1800000 ptas. en energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 ptas. y 50 ptas. por cada unidad de B. El coste salarial y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla:
A B
Coste salarial 200 100 Coste energético 100 300
Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo. (Universidades Andaluzas. Septiembre 1997).
Solución:
Debe producir 3600 unidades del producto A y 5200 del B. Ejercicio 22.-
Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades.
Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 800 ptas. y cada unidad de vinagre de 200 ptas. (Universidades Andaluzas. Junio 1996)
Solución:
Se deben producir 30/7 unidades de vino y 2/7 de vinagre. El beneficio máximo es de 24000/7 ptas.
Ejercicio 23.-
La casa X fabrica helados A y B, hasta un máximo diario de 1000 kg. La fabricación de un kg de A cuesta 180 ptas., y uno de B, 150. Calcule cuántos kg de A y B deben fabricarse, sabiendo que la casa dispone de 270000 ptas/día y que un kg de A deja un margen igual al 90% del que deja uno de B.(Las Palmas de Gran Canaria. Junio 1991)
Solución:
Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son 8, 12, 9 unidades respectivamente. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando los productos A y B cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la siguiente tabla:
Proteínas Hidratos Grasas Coste(kg)
Producto A 2 6 1 600
Producto B 1 1 3 400
¿Cuántos kilogramos de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo? (Universidad de La Laguna. Junio 1997). Solución:
Debe comprar 3 kg. del producto A y 2 del B. Ejercicio 25.-
Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 15% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un 15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A es de 500 pesetas y el de la colonia B es 2000 pesetas. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo. (Universidades Públicas de la Comunidad de Madrid. Septiembre 1996)
Solución:
Deben producirse 150 litros de colonia del tipo B y ninguno del A. El beneficio máximo es de 300000 ptas.
Ejercicio 26.-
Una persona tiene 500000 pesetas para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo 300000 pesetas en A y como mínimo 100000 pesetas en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B. ¿Cómo deberá invertir sus 500000 pesetas para maximizar sus intereses anuales? (Universidad de Castilla y León. Junio 1996).
Solución:
Debe invertir 300000 ptas. en acciones del tipo A y 200000 en acciones del tipo B. Ejercicio 27.-
Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete.
Marca K P N Precio A 4 6 1 15 B 1 10 6 24
¿En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N? (Valencia. 1993)
Solución:
Dos mataderos, P y Q, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente en tres ciudades, R, S y T: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. El matadero P produce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Sabiendo que los costes de transporte, por tonelada de carne, desde cada matadero de a cada ciudad, son los reflejados en la siguiente tabla:
R S T P 1 3 1 Q 2 1 1
Determinar cuál es la distribución de transporte que supone un coste mínimo.
(Extremadura. 1993)
Solución:
La distribución en toneladas de carne es la siguiente: R S T P 20 0 6 Q 0 22 8 Ejercicio 29.- (P.T.)
Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro:
Almacén Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3
A 10 15 20
B 15 10 10
Planificar el transporte para que el coste sea mínimo. (Salamanca. Junio 1992). Solución:
La distribución, en toneladas, debe ser la siguiente:
Almacén Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3
A 8 2 0
B 0 6 9
Ejercicio 30.-
Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo
y 2 del tercero. Si se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos respectivamente y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B, calcule los kilos de A y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale 200 ptas. y uno de B 1000 ptas. ¿Puede eliminarse alguna restricción? (Zaragoza. Junio 1990)
Solución:
El coste es mínimo tomando 2 kg de la sustancia A y ninguno de B. Se puede eliminar la restricción/condición sobre el tercer elemento.
A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones:
• No debe tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g. • La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B.
• No debe incluir más de 100 g de A.
Si 100g de A contiene 450 calorías y 100 g de B 150, ¿cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más pobre en calorías? (País Vasco. 1992)
Solución:
Debe mezclar 25g de cada producto. Ejercicio 32.-
Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo de 9 conductores para ese día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8000 ptas. y el de cada uno de los pequeños, 6000 ptas. ¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible? (País Vasco. Junio 1990)
Solución:
El viaje será más económico alquilando 5 autobuses pequeños y 4 grandes. Ejercicio 33.-
Un carpintero tiene que construir mesas rectangulares cuyas dimensiones no sobrepasen 2 metros y tales que la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sobrepase 4 metros. ¿Cuál es el máximo valor del perímetro de dichas mesas? (Universidad de Murcia. Septiembre 1996)
Solución:
El perímetro máximo es 6 m. Ejercicio 34.-
Los precios de venta de dos productos A y B están en la misma relación que 7 y 6. La producción de estos está definida por las siguientes condiciones:
• La producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B.
• La producción total es tal que si sólo se produce A, se producen 10 kg, y si sólo se produce B, se producen 15 kg.
• Y si se producen conjuntamente, la producción máxima se encuentra en la recta que une los puntos anteriores.
Dar la función objetivo de la venta de ambos productos. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido.
Determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el máximo beneficio. (Universidad de Cantabria. Junio 1997).
Solución:
Si x representa los kilos del producto A e y los de B, la función objetivo es: f(x,y) = 7mx + 6my.
Las inecuaciones son: y ≤ 2x; x ≤ 2y; 0 ≤ x ≤ 10; 0 ≤ y ≤ 15; 3x + 2y ≤ 30. Hay que producir 15/2 kg del producto A y 15/4 del B.
Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos; por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 20 electricistas y 30 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es 25000 ptas. por electricista y 20000 por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio? (Universidad de Murcia. Junio 1998)
Solución:
Deben elegirse 20 electricistas y 30 mecánicos. Ejercicio 36.-
Un fabricante de alfombras dispone de las siguientes existencias de lana: 500 kg. de color azul, 400 kg. de color verde y 225 kg. de color rojo. Desea fabricar alfombras de dos tipos que llamaremos A y B. Las del tipo A llevan 1 kg. de lana azul, y 2 kg. de lana verde. Las del tipo B, 2 kg. de lana azul, 1 kg. de verde y 1 kg. de lana roja. Por cada alfombra del tipo A obtiene un beneficio de 2000 ptas. y 3000 por cada una del tipo B. ¿Cuántas alfombras debe fabricar de cada clase para que la ganancia sea máxima?
Solución:
Debe fabricar 100 alfombras de la clase A y 200 de la clase B. Ejercicio 37.-
Minimizar la función F = 12x + 4y sujeta a las siguientes restricciones: x + y ≤ 2; 2x ≤ 1; y ≤ 4; x – y ≤ 0
Solución:
No tiene solución. Ejercicio 38.-
Minimizar la función F = 12x + 4y sujeta a las siguientes restricciones: x + y ≥ 2; 2x ≤ 1; y ≤ 4; x – y ≤ 0
Solución:
El mínimo se alcanza en el punto (-2,4). Ejercicio 39.-
Minimizar la función F = 12x + 4y sujeta a las siguientes restricciones: x + y ≥ 2; 2x ≥ 1; y ≤ 4; x – y ≤ 0
Solución:
El mínimo se alcanza en el punto ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 3 , 2 1 . Ejercicio 40.-
Minimizar la función F = 12x + 4y sujeta a las siguientes restricciones: x + y ≤ 2; 2x ≥ 1; y ≤ 4; x – y ≤ 0
Solución:
El mínimo se alcanza en el punto ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 , 2 1
En una urbanización se va a construir casas de dos tipos, A y B. La empresa constructora dispone de 300 millones de ptas. siendo el coste de las casas del tipo A de 6.5 millones de ptas. y el de las del tipo B, 4 millones. Además las casas del tipo A han de ser al menos el 40% del total y las del tipo B, al menos el 20%. Determinar cuántas casas hay que fabricar de cada tipo para que, siendo 1.5 millones de ptas. el beneficio producido por cada casa tipo A, y 1 millón el proporcionado por las del tipo B, el beneficio se máximo.
Solución:
Deben construirse 24 casas del tipo A y 36 del tipo B. Ejercicio 42.-
En una fábrica de dulces se producen dos tipos de pasteles. Uno de ellos lleva 2 huevos, 50 gr. de harina y 20 gr. de azúcar. El otro tipo lleva 2 huevos, 40 gr. de harina y 25 gr. de azúcar. Si se dispone de 15 kg. de harina, 7 kg. de azúcar y 50 docenas de huevos, y el fabricante ha de servir al menos 100 pasteles del primer tipo y 150 del segundo, se pide:
Calcular el número de pasteles que deben producirse de cada clase para que, siendo 12 ptas. el beneficio que produce cada pastel del primer tipo y 10 las del segundo, el beneficio sea máximo.
Solución:
Deben producirse 375 pasteles de la primera clase y 250 de la segunda. Ejercicio 43.- (P.T.)
Una empresa posee dos fábricas F1 y F2 que producen 80 y 100 unidades respectivamente de un determinado producto. Deben abastecer a tres centros de consumo C1, C2 y C3, que necesitan 50, 70 y 60 unidades respectivamente. El coste del transporte de cada fábrica a cada centro de consumo, en euros por unidad, viene dado en la siguiente tabla:
C1 C2 C3 F1 50 100 90 F2 100 75 120
¿Cómo ha de realizarse el transporte para que sea lo más económico posible? Solución:
C1 C2 C3 F1 50 0 30 F2 0 70 30 Ejercicio 44.-
Los abonos A y B se obtienen mezclando cierto sustrato con dos fertilizantes F1 y F2 en las siguientes proporciones:
A B
F1 100 g/kg 50 g/kg F2 70 g/kg 80 g/kg
La cantidad disponible de los fertilizantes F1 y F2 son 39 kg y 24 kg. El beneficio que producen los abonos A y B son 75 céntimos/kg y 60 céntimos/kg. ¿Cuántos kilos se deben fabricar de cada tipo de abono para maximizar el beneficio?
Solución:
Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m2 de tejido de algodón y 1000 m2 de tejido sintético. Cada pantalón precisa de 1 m2 de algodón y 2 m2 de tejido sintético, y cada chaqueta de 1.5 m2 de algodón y 1 m2 de tejido sintético. Si el precio de venta del pantalón es de 5000 ptas. y el de la chaqueta 4000 ptas., ¿cuántos pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante para que el importe de la venta sea máximo?
Solución:
Debe suministrar 300 chaquetas y ningún pantalón. Ejercicio 46.-
Una persona desea adelgazar. En la farmacia le ofrecen dos compuestos A y B para que tome una mezcla de ambos en la comida, con las siguientes condiciones:
No debe tomar más de 150 g de la mezcla, ni menos de 50 g. La cantidad de A debe ser mayor o igual que la de B.
No debe incluir más de 100 g del compuesto A.
mente el conjunto de restricciones, dibuje la región ctible y determine sus vértices.
to) ¿Cuántos gramos debe tomar de cada compuesto para obtener el
as de la siguiente forma: Caja 1: 200 g de polvoron y 100 d ntecad Precio Caja 2: 200 g de polvoro y 300 d anteca recio 6
¿Cuántas cajas de cada tipo se ten ue pre ar y ve ara obtener el máximo
15 del 2, y los esos serán 510€. Ejercicio 48.- (P.T.)
os fábricas F1 y F2 que produ 40 y unidad espectivamente de un roducto. Deben abastecer a tres centros de consumo C1, C2 y C3, que
C1 C2 C3
Se sabe que cada 100 g de A contienen 30 mg de vitaminas y cada 100 g de B
contienen 20 mg de vitaminas. a) (2 puntos) Formule matemática fa
b) (1 pun
preparado más rico en vitaminas? Solución:
Debe tomar 100 g. del compuesto A y 50 del compuesto B. Ejercicio 47.-
En una confitería se dispone de 24 kg de polvorones y 15 de mantecados, que se envasan en dos tipos de caj
es e ma os. 4€.
nes e m dos. P €.
drán q par nder p ingreso?
Solución:
Se deben preparar 105 cajas del tipo 1 y tipo ingr D
d
cen 50 es r
eterminado p
necesitan 20, 45 y 25 unidades respectivamente. El coste del transporte de cada fábrica a cada centro de consumo, en euros por unidad, viene dado en la siguiente tabla:
F1 50 10 10 50
F2 100 75 140
¿Cómo ha de realizarse el transporte para que sea lo más económico posible? Solución:
C1 C2 C3 F1 20 0 20 F2 0 45 5
Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de 4 mg de vitamina A y 6 mg de vitamina B en el pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de pienso P1 y P2 cuyos contenidos vitamínicos por kilogramo son los siguientes:
A B
P1 2 6 P2 4 3
Si el kg de pienso P1 vale 0.4 euros y el de P2 vale 0.6 euros, ¿cómo debe suministrar as requeridas en un coste mínimo?
o 2/3 Kg. de cada pienso..
irigidos. oches.
bricar los juguetes y sabe que la
bricarse 200 muñecas y 200 coches, y en tal caso el beneficio es 5.000
yola y 30 Tm de yeso. e escayola.
cantidad diaria que debe producirse de cada material, para obtener la ancia y determine dicha ganancia.
Tm de escayola y 150 de yeso, y la ganancia será 28.500€.
e la merluza es de 1000 ptas/kg y el precio del rape es de 1500 ptas/kg, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?
Solución:
3.-
Minimizar z = 15x + 33y, sujeta a 3x + 2y ≥ 6; 6x + y ≥ 6; x y ≥ 0 Solución:
El mínimo de z es 30 y se alcanza en el punto (2 las vitamin
Solución: Proporcionand Ejercicio 50.-
(3 puntos) Una fábrica produce dos tipos de juguetes, muñecas y coches teled La fábrica puede producir, como máximo, 200 muñecas y 300 c
La empresa dispone de 1800 horas de trabajo para fa
producción de cada muñeca necesita 3 horas de trabajo y reporta un beneficio de 10 euros, mientras que la de cada coche necesita 6 horas de trabajo y reporta un beneficio de 15 euros.
Calcule el número de muñecas y de coches que han de fabricarse para que el beneficio global de la producción sea máximo y obtenga dicho beneficio.
Solución: Han de fa euros. Ejercicio 51.-
(3 puntos) Una empresa gana 150 euros por cada Tm de escayola producida y 100 euros por cada Tm de yeso.
La producción diaria debe ser como mínimo de 30 Tm de esca La cantidad de yeso no puede superar en más de 60 Tm a la d
El triple de la cantidad de escayola, más la cantidad de yeso, no puede superar 420 Tm. Calcule la máxima gan Solución: Debe producirse 90 Ejercicio 52.-
Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de rape, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio d
2000 kg de rape y 1000 de merluza. Ejercicio 5
≥ 0;
Para abonar una parcela de huerta se necesitan, por lo menos, 8 kg de nitrógeno y 12 kg de fósforo. Se dispone de un producto M cuyo precio es de 3 euros por kilogramo y que contiene un 10 % de nitrógeno y un 30 % de fósforo y otro producto N que contiene un 20 % de nitrógeno y un 20 % de fósforo, y cuyo precio es de 4 euros por kilogramo. ¿Qué cantidades se de tom de y N para abonar la parcela con el menor gasto posible?
e la ánea. En concreto, transporta vehículos de dos modelos X e Y. Cada
a 15 ptas. unidad. En la producción diaria se sabe que: el número de la clase n 1000 unidades a los de A; entre las dos clases no superan a 3000
7.-
s) Represente el conjunto solución y determine
l máximo se alcanza en el punto (5,9) y vale 35.
e todas las soluciones posibles del sistema 2x + 5y ≤ 20; 5x + 2y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0, aximiza la función objetivo z = 2x + 7y.
olución:
se alcanza en el punto (0,4) y vale 28.
ben ar M
Solución:
0 kg de producto M y 30 de N. 2
Ejercicio 55.-
n barco se dedica al transporte de mercancías y pasajeros entre dos puertos d U
costa mediterr
coche del modelo X ocupa 7 m2 y cada uno del modelo Y ocupa 4 m2. La superficie disponible para transporte de coches es de 28 m2, y, por otra parte, existe un contrato que prohíbe transportar en cada trayecto más de 5 coches. Si el beneficio neto por transportar cada coche del modelo X es de 200€ y de 150€ por cada uno del modelo Y, ¿cuántos coches deberá transportar por trayecto con el fin de maximizar los beneficios?
Solución:
ebe transportar 3 coches del tipo X y 2 del tipo Y. D
Ejercicio 56.-
Una empresa fabrica dos clases de lápices. De la clase A a 20 ptas. unidad y de la lase B
c
B no supera e
unidades y los de la clase B no bajan de 1000 unidades. Hallar el costo máximo y mínimo de la producción diaria.
Solución:
El coste mínimo de la producción es de 15000 ptas. fabricando 1000 unidades de la clase B y ninguno de la A.
El coste máximo de la producción es de 55000 ptas. fabricando 2000 unidades de la clase A y 1000 de la clase B.
Ejercicio 5
Sea el siguiente sistema de inecuaciones:
−5x +3y≤ 2; −x + 2y≥ 6; 2x + 3y≤ 37 a) (2.25 punto
sus vértices.
b) (0.75 puntos) Halle el punto del recinto anterior en el cual la función F(x, y) = −2x + 5yalcanza su valor máximo. Solución: E Ejercicio 58.- D hallar la que m S El máximo (2,4) (8,7) (5,9)
(3 puntos) Una empresa fabrica sofás de dos tipos, A y B, por los que obtiene un beneficio, por unidad, de 1500 y 2000 euros, respectivamente.
Al menos se deben fabricar 6 sofás del tipo A y 10 del tipo B, por semana, y además, el número de los del tipo A no debe superar en más de 6 unidades al número de los del B.
¿Cuántas unidades de cada tipo se deben fabricar semanalmente para obtener eneficio máximo, si no se pueden fabricar más de 30 sofás semanalmente?
e deben fabricar 6 sofás del tipo A y 24 del tipo B, y el beneficio será 57000€.
) A(6,2), B(6,8), C(0,8), D(0,5)
o se alcanza en B y vale 600. jercicio 61.-
uje el recinto definido por el siguiente sistema de b
Solución: S
Ejercicio 60.-
a) (1 punto) Dibuje el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:
x ≤ 6; y ≤ 8; x + 2y ≥ 10; x ≥ 0; y ≥ 0 b) (1 punto) Calcule sus vértices.
c) (1 punto) Calcule el máximo de la función F(x,y) = 20x + 60y Solución: b c) El máxim E (1 punto) Dib inecuaciones: x ≤ 6; y ≤ 8; x + 2y ≥ 10; x ≥ 0; y ≥ 0 a) (1 punto) Calcule sus vértices.
b) (1 punto) Calcule el máximo de la función F(x,y) = 20 + 60y en dicho recinto.
Solución:
b) A(6,2), B(6,8), C(0,8), D(0,5)
c) El máximo se alcanza en el segmento CB y vale 500.
Ejercicio 62.- a) (1 punto) siguientes inec
Dibuje el recinto limitado por las
y el mínimo en A y vale 1440.
olución:
uaciones: x + y ≤ 27; x ≥ 12; y ≥ 6 b) (1 punto) Determine
c) (1 punto) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la
los vértices de este recinto. función F(x,y) = 90x + 60y en el recinto anterior y en qué puntos alcanza dichos valores? Solución:
b) A(12,6), B(21,6), C(12,15)
c) El máximo se alcanza en el punto B y vale 2250
Ejercicio 63.-
Minimizar z = 2x + 3y, sujeta a las condiciones: 3x + y ≥ 3; 2x + 8y ≥ 6; x ≥ 0; y ≥ 0. S
El mínimo se alcanza en el punto⎜⎛ ⎟⎞ 11 6 , 11 9 y vale ⎠ ⎝ 11 36 . A D C B A D C B A C B
Dos abonos A y B, están compuestos por los tres mismos componentes: P, Q y R, aunque en distinta proporción. El abono consta de 1 unidad de P, 2 de Q y 2 de R. Si el abono necesario ipo A y B que supone un coste mínimo?
kg del abono A y 1kg del abono B y el coste mínimo es 63 ptas.
2y sujeta a:
y ≤ –10; x ≥ 0; y ≥ 0
l máximo es 47.5 y se alcanza en el punto (7.5, 12.5)
+ 3y ≤ 26; 4x + 3y ≤ 44; 2x + 3y ≤ 28; x ≥ 0; y ≥ 0
2 y se alcanza en el punto (8, 4).
: en color y en blanco y negro. Todos ellos han de pasar por los departamentos de electrónica y de montaje; cada departamento dispone semanalmente de 100 horas. Un televisor en color necesita 3 horas
mento de electrónica y de 1 hora en el de montaje, n blanco y negro requiere 1 y 2 horas
de cada tipo han de semanalmente para que, siendo el beneficio que produce 4000 ptas., el beneficio sea
0000 ptas.
es:
x ≥ 0; y ≥ 0
nto de esa región en el que la función F(x,y) = 6x +
to A y v
tipo A, cuyo precio es de 12 ptas/kg. consta de 2 unidades de P, 2 de Q y 1 de R; el abono tipo B, cuyo precio es de 15 ptas./kg. para determinada plantación es de 8, 10 y 6 unidades de P, Q y R, respectivamente, ¿cuál es la combinación de los abonos t
Solución: 4 Ejercicio 65.- Maximizar z = 3x + –7x + 5y ≤ 10; –7x + 3y ≥ –15; 2x – 3 Solución: E Ejercicio 66.- Maximizar z = x + y sujeta a: x Solución: El máximo es 1 Ejercicio 67.-
Una empresa fabrica dos tipos de televisores
en el departa
mientras que uno e
respectivamente. ¿Qué cantidad de televisores fabricarse
uno de color de 5000 ptas. y uno de blanco y negro máximo?
Solución:
20 en color y 40 en blanco y negro y el beneficio es de 26 Ejercicio 68.-
e considera la región del plano determinada por las S
inecuacion
x + 3 ≥ y ; 8 ≥ x + y ; y ≥ x - 3 ;
a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus rtices.
vé
b) Hallar el pu
4y alcanza el valor máximo y calcular dicho valor. Solución:
a) A(5.5, 2.5), B(2.5, 5.5), C(0, 3), D(0, 0), E(3, 0) b) El máximo se alcanza en el pun ale 43.
A B
D C
Una fábrica de mu madera de ébano y fabrica dos clases d muebles del tipo A de los del tipo B ut precio de venta de l calcular el número d de la venta sea el m Solución:
de pesetas.
ado de que ha de proporcionar como mezcla para la oner 40 mg. y de 45 mg. Se pone en contacto con un fabricante que le ha ofrece dos tipos de
, cuyas características son:
ebles tiene almacenada de 1200 m3 de 1500 m3 de madera de pino, con los cuales e muebles, A y B. En la fabricación de los utiliza 1 m3 de ébano y 3 m3 de pino; en la iliza 3 m3 de ébano y 2 m3 de pino. Si el
os muebles tipo A y B es de 50000 y 60000 ptas. respectivamente, e muebles que han de fabricarse de cada tipo para que el importe áximo posible.
300 muebles de cada tipo y el importe de la venta será 33 millones Ejercicio 70.-
Cierto laboratorio ha sido inform
fabricación de un producto H, dos materias primas A y B. De A debe p B
producto H
Producto mg de A mg de B Precio ptas./mg
H1 4 9 35
H2 10 5 50
¿Qué cantidad de cada tipo de producto habrá d abricar un producto H idóneo con un coste mínimo?
e comprar el laboratorio si quiere f Solución: 7 1 25 mg. de H y 7 18 mg. de H2. Ejercicio 71.-
Una empresa pro requerido para la conocido que si ún 5000 al día. El sum fabricación de 400 márgenes comerci
mponentes de cada tipo deberá fabricar diariamente durante dicho mes on objeto de maximizar su beneficio?
ería el beneficio máximo? olución:
nentes A y 1500 componentes b.
tenga un mínimo de es del pienso A y un mínimo de 25 unidades del pienso B. En el mercado se
n ambos piensos iendo su precio 1 ptas. y el de C2 ontiene 4 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 300 ptas. ¿Que cantidades de C1
berá emplear la ganadería para preparar su dieta con el mínimo coste? paquetes de C1 y 5 de C2, siendo el coste 1900 ptas.
duce dos tipos de componentes eléctricos (A y B). El tiempo fabricación del componente A es el doble que para la B, y es icamente fabricara componentes tipo B podría hacer un máximo de
inistro de material para cierto mes hace posible, como máximo, la 0 componentes diarios (incluyendo ambos tipos). Sabiendo que los ales (beneficios) son de 200 ptas. por cada componente tipo A y de 150 ptas. por cada componente de tipo B, contestar justificando la respuesta:
a) ¿Cuántos co c b) ¿Cuál s S a) 2500 compo b) 725000 pesetas. Ejercicio 72.-
Una ganadería desea proporcionar a su ganado una dieta que con 24 unidad
comercializan dos tipos de compuestos C1 y C2, elaborados co paquete de C1 contiene 1 unidad de A y 5 de B, s
. El 00 c y de C2 de Solución: 4
Maximizar z = x + y sujeta a:
x + 3y ≤ 26; 4x + 3y ≤ 44; 2x + 3y ≥ 28; x ≥ 0; y ≥ 0 Solución:
El máximo es 12.666 y se alcanza en el punto (6, 6.666) Ejercicio 74.-
Minimizar F(x,y) = 2(x – 1) + 3(y + 2) – 3x – 2y – 4, sujeta a las restricciones: ≥ 0, y ≥ 0, y – x ≤ 2, y + x ≤ 4, y – x ≥ –2
l mínimo es –2 y se alcanza en el segmento que une (0, 2) con (1, 3).
úmero de operarios de que
dispone, se sabe i c ar
tipo B, podría hac n
determinado mes, sólo hace pos la confección de 800 c isetas
beneficio, sabiendo que cada ipo A vendida reporta una ganancia de 200 ptas. y cada camiseta tipo B, Solución:
00 del tipo A y 300 del tipo B, con unas ganancias de 145000 ptas.
P2. 7.-
rar naranjas con en dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 tas. el kg y las de tipo B a 80 ptas. el kg. Sabiendo que sólo furgoneta de espacio para transportar 700 Kg. de
olución:
del tipo A y ninguno del tipo B. x
Solución: E
Ejercicio 75.-
Una empresa textil confecciona dos tipos de camisetas, A y B. El tiempo requerido para la confección de una camiseta tipo A es el doble que para una
del tipo B. Teniendo en cuenta el n que si ún er 0 e camente un onfeccion stro de mat a camisetas del l para
100 día. El sumini eria
ible am
diarias, (incluyendo ambos tipos). Determinar el número de camisetas de cada tipo que han de confeccionarse diariamente
urante dicho mes con objeto de obtener máximo d
camiseta t 150 ptas. 5
Ejercicio 76.-
Una marca comercial prepara dos tipos de pintura (P1 y P2). El bote P1 contiene 1 Kg. de la sustancia A, 2 Kg. de la B y 1 Kg. de la C y el bote de P2 contiene 2 Kg. de A y 1 Kg. de B. La marca comercial dispone en su almacén de 4000 Kg. de A, 5000 Kg. de B y 3000 Kg. de C. Sabiendo que por cada bote de P1 obtiene una ganancia de 200 ptas. y por cada bote de P2, 300 ptas. ¿cuántos botes de cada tipo deberá preparar con objeto de obtener máximo beneficio? Justificar la respuesta.
Solución:
2000 botes del tipo P1 y 1000 del tipo Ejercicio 7
Un comerciante acude a cierto mercado a comp 50000 ptas. Le ofrec
p
dispone en su
naranjas como máximo y que piensa vender el Kg. de naranjas
tipo A a 58 ptas. y el Kg. de tipo B a 90 ptas. Contestar justificando las respuestas: a) ¿Cuántos Kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio?
b) ¿Cuál seria ese beneficio máximo? S
a) 625 Kg.
Una empresa construye en dos factorías (F1 y F2) tres tipos de barcos deportivos (A, ipo A, 5 tipo B y 1 tipo C, siendo su oste de mantenimiento mensual 6 millones de euros. y F2 construye en un mes: 1 A, 1 tipo B y 2 tipo C, siendo su coste mensual 3 millones de euros. La cierto club náutico, 3 barcos po A, 15 tipo B y 12 tipo C. ¿Cuántos meses al año deberá trabajar cada factoría con la empresa cumpla su compromiso con el mínimo coste? Justificar la olución:
F1 debe trabajar 2 meses y la factoría F2 debe trabajar 5 meses. El coste
mercializan dos tivamente. En la 40% de A y un ar la piscina con . ) 190000 pesetas.
ea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones: + y ≤ 10; x + y ≥ 0; x ≥ 0; y ≥ 0.
) Sí, es posible porque la región factible está acotada.
s 0 y se alcanza en el vértice D. El máximo es 30
n objetivo F(x,y) = 3x + 2y, halle
) A(2,2), B(6,0), C(8,0), D(0,8), E(0,4)
o vale 8 y se alcanza en el punto E. B y C). La factoría F1 construye en 1 mes: 1 barco t c
barco tipo
empresa se ha comprometido a entregar anualmente a ti
objeto de que respuesta. S
La factoría
en ese caso es de 24 millones de euros. Ejercicio 79.-
Para la desinfección de cierta piscina es necesario un mínimo de 24 litros del producto A y un mínimo de 25 litros del producto B. En el mercado se co
preparados (P1 y P2 ) al precio de 1000 y 3000 pesetas el litro, respec composición de P1 hay un 10% de A y un 50% de B, y en la de P2, un 10% de B. Determinar, justificando la respuesta:
a) ¿Cuántos litros de P1 y de P2 tendremos que utilizar para desinfect el coste mínimo?
b) ¿Cuál será el coste mínimo? Solución: a) 40 litros de P1 y 50 de P2 b Ejercicio 80.- S 3x − y ≥−2; x Se pide:
(a) (1 punto) Dibujarlo y hallar sus vértices.
(b) (1 punto) Razonar si es posible maximizar y minimizar en él la función f(x,y) = 3x + y
(c) (1 punto) En caso afirmativo, calcular el valor óptimo correspondiente indicando en que puntos se consigue el máximo o el mínimo.
Solución: a) A(10,0), B(2,8), C(0,2), D(0,0). b c) El mínimo e y se alcanza en A. Ejercicio 81.-
Se considera la región del primer cuadrante determinada por las ine x + y ≤ 8; x + y ≥ 4; x + 2y ≥ 6.
a) (2 puntos) Dibuje la región y determine sus vértices. b) (1 punto) Dada la funció
cuaciones:
dónde alcanza dicha función su valor mínimo y calcule éste. Solución: a b) El mínim A D C B A C B D E
Un laboratorio utiliza las sustancias A y B en la elaboración de dos vacunas. La
jercicio 83.-
e de tierras de abono, pero éstas no contienen ni calcio ni potasio. El tipos de pastillas A y B cuyos contenidos en nidades de calcio y potasio se dan en el cuadro siguiente:
primera se prepara con 2 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 3000 ptas. y la segunda se elabora con 2 unidades de A y 3 de B, siendo su precio 4000 ptas. Sabiendo que dicho laboratorio dispone de un total de 400 unidades de A y 300 de B, ¿cuántas vacunas de cada tipo deberá preparar para obtener el máximo beneficio? Solución:
150 unidades de la primera y 50 de la segunda, con un beneficio de 650000 ptas. E
Se dispon
agricultor necesita que cada Kg. de tierra de abono tenga al menos 12 unidades de Ca y 13 de K. Dispone en el mercado de dos
u
Ca K
A 2 6
B 4 2
Sabiendo que cada pastilla de tipo A cuesta 10 ptas. y cada una del tipo B, 20 ptas. y que no se pueden añadir más de 6 pastillas por Kg. de tierra (ello "quemaría" la
ir los requisitos a un costo mínimo? ¿Cuánto costaría producir una ontar el costo de la tierra)?
gramación lineal entera la región to discreto de puntos. Hay 3 combinaciones osibles para minimizar el coste 2 pastillas de cada tipo, 4 de e tipo B y 6 pastillas de tipo A. El coste de una 4.-
uadernos, 1200 bolígrafos y 1100 lápices. tipo L1 está cuadernos, 20 bolígrafos y 10 lápices, y se venderá a 1000 ptas. Cada ) (2 puntos) Cuántos lotes conviene hacer de cada tipo para alcan
ndrá por la venta de todos esos lote L2.
) 64000 pesetas.
o determinada por las inecuaciones:
x + 4y
lcanza el valor mínimo y calcular dicho valor.
y se alcanza en el segmento
cosecha) ¿Cuantas pastillas de tipo A y de tipo B debe añadir a cada Kg. de tierra de abono para cumpl
tonelada de tierra de abono (sin c Solución:
Al ser un problema de pro factible es un conjun
p
tipo A y una d
tonelada de tierra de abono es 60000 ptas. Ejercicio 8
El dueño de una papelería dispone de 700 c
Desea ponerlos a la venta en lotes de dos tipos, L1 y L2. Cada lote del formado por 10
lote L2 está formado por 10 cuadernos, 10 bolígrafos y 20 lápices, y se venderá a 700 ptas. Calcule:
a zar un ingreso
s. máximo.
b) (1 punto) Cuánto dinero se obte Solución:
a) 50 lotes L1 y 20 lotes b
Ejercicio 85.-
Se considera la región del plan
x + 3 ≥ y ; x + y ≥ 8 ; y ≥ x - 3 ; x ≥ 0; y ≥ 0
a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices. b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x,y) = 4 a
Solución:
a) A(5.5, 2.5), B(2.5, 5.5) b) El mínimo es 32 AB. A B
ica dos tipos de anillos de boda. Cada anillo del primer tipo requiere 2
) (1 punto) Halle cuántos anillos de cada tipo debe vender el joyero para que obtenga ingreso.
s, A y B. Una unidad de producto A ocupa 1.6 m y una unidad de producto B ocupa 2.5 m3, siendo la capacidad total del almacén 1000 m3. El precio de una unidad del producto A es de 120 ptas. y el de una unidad del B es de 130 ptas. Calcule cuantas unidades de cada clase deben producirse para que la diferencia entre los ingresos por venta y los gastos
iendo 625 unidades del roducto A y ninguna del B.
0 ptas. y el artículo B das diariamente del ntre los dos artículos . También se sabe que la producción del rtículo B no baja diariamente de 10 unidades.
ormule el sistema de inecuaciones asociado al enunciado.
+ y ≤ 30; y ≥10; x ≥ 0.
mínimo es 15000 pesetas (fabricando sólo 10 artículos 9.-
evisión mecánica y eléctrica de dos marcas de Automóviles de un automóvil de la marca A requiere 1 hora de mecánica y 1 ora de electricidad, siendo el precio de la revisión de 7000 ptas, y la revisión de un arca B requiere 1 hora de mecánica y 2 horas de electricidad, siendo su de que dispone el e puede dedicar a las revisiones mecánicas automóviles de cada
ima ganancia? olución:
arca A y 20 de la marca B, obteniendo una ganancia de 350000 ptas. Un joyero fabr
gramos de platino y 1 gramo de oro; cada anillo del segundo tipo requiere 1 gramo de platino y 2 gramos de oro. Los anillos del primer tipo se venden a 6000 ptas./unidad y los del segundo tipo a 4000 ptas./unidad. El joyero dispone de 150 gramos de cada metal y desea fabricar anillos de forma que el beneficio que obtenga sea máximo. a) (1 punto) Plantee el problema y dibuje la región factible.
b
el máximo
c) (1 punto) Calcule dicho ingreso. Solución:
b) 50 anillos de cada tipo. c) 500000 pesetas. Ejercicio 87.-
Una empresa agrícola necesita almacenar sus dos clases de producto 3
por almacenamiento sea máxima, sabiendo que el coste de cada m3 de almacén es de 5 ptas.
Solución:
El beneficio máximo es 70000 ptas. y se obtiene produc p
Ejercicio 88.-
Una empresa fabrica dos artículos, A y B. El artículo A cuesta 200 cuesta 1500 ptas. Se sabe que el número de unidades fabrica artículo B no supera en 10 unidades a las del artículo A, y que e no se superan diariamente las 30 unidades
a
a) (1 punto) F
b) (1 punto) Dibuje la región factible y determine sus vértices.
c) (1 punto) Halle los costes máximo y mínimo de la producción diaria. Solución:
a) y ≤ x + 10; x
b) A(0, 10); B(20,10); C(10,20) c) El coste
B) y el máximo 55000 (fabricando 20 artículos A y 10 B). Ejercicio 8
Cierto taller se dedica a la r (A y B). La revisión
h
automóvil de m
precio de 10000 ptas. Teniendo en cuenta el numero de operarios taller, el máximo número de horas al día qu
es de 50 hora y las revisiones eléctricas de 70 horas. ¿Cuántos marca deberá revisar diariamente el taller con objeto de obtener máx S
30 de la m
A B C
y B tienen bas dos tipos de pigmentos p y q; A está compuesto de Dos pinturas A am
os cues rícolas 300€/m2.
proyecto de mejora del suelo, el director del proyecto se encuentra con
n:
ínimo es 3100000 € mejorando 4000 m2 para usos urbanos y 5000 m2 para
ierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500
e entradas?
audación máxima es 1040000 pesetas, que se consigue vendiendo 1000 e adulto y 500 de niño.
un 30% de p y un 40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones:
La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos. a) ¿Qué mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p?
b) ¿Qué mezcla hace q mínimo? Solución:
a) 60 gramos de A y 30 de B. ) 20 gramos de A y 10 de B. b
Ejercicio 91.-
a mejora de tierra para usos urban ta 400 €/m2 y para usos ag L
Realizando un
las siguientes condiciones aprobadas en el Ayuntamiento:
a) Se deben mejorar al menos 4000 m2 de tierra destinados a usos urbanos. b) Se deben mejorar al menos 5000 m2 de tierra destinados a usos agrícolas. c) En total se deben mejorar como máximo 20000 m2 de tierra destinada a
cualquier uso.
Hallar cual es el coste mínimo del proyecto. olució S El coste m usos agrícolas. jercicio 92.- E (3 puntos) C
personas, entre adultos y niños; el número de niños asistentes no puede superar los 600. El precio de la entrada a una sesión de un adulto es de 800 pts, mientras que la de un niño es de un 40 % menos. El número de adultos no puede superar al doble del número de niños.
Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿cuál es la cantidad máxima que se puede recaudar por la venta d
¿Cuántas de las entradas serán de niños? Solución:
a rec L
entradas d Ejercicio 93.-
Sea la función
f
( )
x,
y
=
2x
−
3y
definida en la región⎧
x−2y ≤ 0⎪
⎪
⎩
≥ ≤ ≤ 0 x 5 y 0a) Representar la región de factibilidad. b) Hallar el máximo de dicha función. Solución: a) A(0,0), B(10,5), C(2.5,5) ) f(10,5) = 5.
⎪⎪
⎨
2x−y ≥ 0 b A C By el mínimo (4) en E.
zar un puente aéreo entre dos ciuda para transportar 1600 personas y aje. Los aviones disponibles son de dos
tone ¿Cu
millones de pesetas.
o a 30000 ptas. y de piel a 50000 ptas. unidad. 00000 ptas. para la operación y no precisa más de 20 precio de venta, ¿c
obtener beneficios Solución:
15 de paño y 5 de piel para obtener unos beneficios de 105 Ejercicio 97.-
n agricultor dispo ilares, en cada uno de
calabacín. En la tabla siguiente aparecen los recursos de que a) Representa el conjunto de puntos del primer cuadrante que verifican las
inecuaciones:
x + 3y ≥ 3; x + y ≤ 5; x + 2y ≤ 8.
b) Dada la función F(x,y) = 3x + 5y, calcular los puntos del conjunto anterior donde F toma su valor máximo y su valor mínimo.
Solución:
a) A(3,0), B(5,0), C(2,3), D(0,4), E(0,1) b) F alcanza el máximo (21) en C Ejercicio 95.-
(3 puntos) Se quiere organi des, con plazas
suficientes de pasaje y carga, 96 toneladas de equip
tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de un avión del tipo A cuesta 4 millones de pts y puede transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje; la contratación de uno del tipo B cuesta 1 millón de pts y puede transportar 100 personas y 15
ladas de equipaje.
ántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo? Solució
6 del tipo A y 4 del tipo B y el coste es de 28 n:
Ejercicio 96.-
Un comerciante desea comprar en un mayorista de modas abrigos de dos tipos: de pañ
Dispone de 7 unidades.
Sabiendo que en la venta posterior de cada abrigo gana el 15 % del uántos abrigos ha de comprar de cada tipo para máximos?
000 ptas. ne de 8 invernaderos de características sim U
ellos cultivará pimiento o
dispone, los que son necesarios (en unidad de recurso por tonelada) para cada cultivo así como la ganancia en millones de pesetas por tonelada que le da cada cultivo.
RECURSO UNIDADES DE RECURSO POR TONELADA
Pimiento calabacín
TOTAL DE RECURSO Invernaderos 2 1 8 Abono 1 1 5 Agua 1 2 8 Ganancia por Tm 2 3
Calcule las cantidades en toneladas que debe cosechar para que la ganancia sea máxima.
ebe cultivar 2 Tm de pimiento y 3 de calabacín. Solución: D A B C D E
presa dedicada a la fabricación de componentes de ordenador tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a
0 piezas, respectivamente. Los costes de transporte, en euros por pieza son
los que a ómo debe organizarse el
ara q
Tienda B Tienda C
Una em
tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 60 parecen en la tabla adjunta. ¿C
transporte p ue el coste sea mínimo?
Tienda A
Fábrica I 3 7 1
Fábrica II 2 2 6
Solución:
La distribución de las piezas debe ser la siguiente:
Tienda A Tienda B Tienda C
Fábrica I 200 0 600
Fábrica II 800 700 0
El coste para esta distribución es 4200€. Ejercicio 99.-
Un industrial quiere invertir hasta un máximo de 25.000 euros en Plata y Bronce, sabiendo que hay unos gastos fijos de 1.900 euros kg. de Bronce es de 20
la elaboración de . El coste de cada 0 euros y el de cada kg. de plata de 300 euros y los beneficios kg. de lata obtenido.
de fabricación obliga a elaborar un número de kg.
que se espera obtener son 100 euros por cada kg. de Bronce y 80 por cada P
El proceso
de Bronce comprendido entre 13 y 35 del número de kg. de
plata.
a) Representar el recinto formado por las restricciones del problema.
b) Determinar la función objetivo del industrial y
calcular el número de kg. de cada tipo que debe elaborar para maximizar su beneficio mensual.
Solución:
) A(0,0), B(63,21), C(55,33). a
b) f(x,y)= 80x + 100y, que alcanza su máximo produciendo 55 kg. de plata y 33 de
ades
de A y u s de 100
tipo Y es de
¿Qué cada tipo para brir las
ecesidad aleares. Junio 19
Solución:
a) 2. a susta
iene iones, 3 unidades de cada sustancia y 5 de la sustancia A y 2 de la B.
bronce (el máximo es 77000€). Ejercicio
100.-En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unid
na de B. El precio del tipo X e 3000 pesetas.
0 pesetas y el del cu
cantidades se han de comprar de
n es con un coste mínimo?(Islas B 90) 5 unidades de cad ncia.
b) Considerando el problema como un problema de programación lineal entera t dos soluc
A
B C
de soluciones posibles del problema de programación lineal x + by ≤ 1 ; cx + dy ≤ 1} es un cuadrado, un es el punto (3,2). a) Dibuje la re b) Calcule los c) Encuentre valor de la Solución: a) A(2,1); B(3,2); C b) a = 1; b = – 1; c = d = El conjunto Mín {5 x + 6 y | x + y ≥ 3 ; – x + y ≤ 1 ; a o de cuyos vértices gión factible. números reales a, b, c y d.
el punto donde la función objetivo alcanza el mínimo y calcule el función en ese punto.
(2,3); D(1,2) 5 1
.
) El míni y se alcanza en el punto A.
c mo es 16
Ejercicio 102.-
Sea el conjunto de restricciones siguiente:
0 x x 0; y x+ ≤9; x−y≤ +2y≤16; ≥
a) (1 pun e la región factible determinada por dichas restriccio b) (1 pun le los vértices de dicha región.
que la función objetivo presenta el máximo y el mínimo.
to) Dibuj ne . s
to) Calcu
c) (1 punto) Obtenga los puntos en los
( )
x,y x 2y F = + Solución: b) A(0,0); B(4.5,4.5); C(2,7); D(0,8) c) El mínimo es F(0,0) = 0 y el máximo F( CD) = 16. Ejercicio 103.-(3 puntos) Una empresa pastelera dispone semanalmente de 1 240 kg
Se nec
60 de almendra para hacer tortas de almendra y tabletas de turrón.
na torta de almendra eficio neto por e turrón es de 1 euro.
pa
obtener un beneficio máximo de 2800€.
Para fabricar 2 tipos de cable, A y B, que se venderán a 150 y 100 pts el metro, respectivamente, se emplean 16 Kg de
determine la longitu cantidad de dinero o Solución:
Los ingresos máximos 7 Hm. d l tipo B.
kg de azúcar y de esitan 150 g de almendra y 50 g de azúcar para hacer u
100g de almendra y 100 g de azúcar para cada tableta de turrón. El ben
y la venta de cada torta es 1.75 euros, y por cada tableta d
Determine cuántas tortas de almendra y cuántas tabletas de turrón han de elaborarse ra obtener la máxima ganancia. ¿Cuál es el beneficio máximo semanal?
Solución:
Debe elaborar 1600 tortas para Ejercicio 104.-
(3 puntos)
plástico y 4 Kg de cobre para cada Hm (hectómetro) del tipo A y 6 Kg de plástico y 12 Kg de cobre para cada Hm del tipo B.
Sabiendo que la longitud de cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además, no pueden emplearse más de 252 Kg de plástico ni más de 168 Kg de cobre, d, en Hm, de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la
btenida en su venta sea máxima.
son 280000 ptas., que se obtienen vendiendo 14 Hm. de cable del tipo A y e A B C D A B C D
(3 puntos) Un ahorrador dispone de 10000 euros para invertir en fondos de dos tipos:
A ó B. La inversión en fondos A debe superar los 5000 euros y, además, ésta debe doblar, al menos, la inversión en fondos B.
de los
a, determine o beneficio. Calcule este beneficio.
un tercio en B, consiguiéndose un beneficio e 390€.
áficamente el recinto definido por el siguiente sistema de
se alcanzan.
e un estante y s.
Ejercicio 108.- Sea el recinto definid
La rentabilidad del pasado año de los fondos A ha sido del 2.7 % y la
B ha sido del 6.3 %.
Suponiendo que la rentabilidad continúe siendo la mism la inversión que obtenga el máxim
Solución:
La inversión óptima es dos tercios en A y d Ejercicio 106.- a) (1 punto) Represente gr inecuaciones:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎨
≥ ≥ ≤ + ≤ + 0 y ; 0 x 16 y x 26 3y 2x 18⎪
⎧
2x+y ≤b) (1 punto) Calcule los vértices de ese recinto.
máximo y el c) (1 punto) Obtenga en dicho recinto el valor
mínimo de la función F
( )
x,y =5x+3y. Diga en que puntosSolución:
b) A(0,0); B(9,0); C(7,4); D(0,26/3)
c) El mínimo es F(0,0) = 0 y el máximo F(7,4) = 47. Ejercicio 107.-
(3 puntos) Una fábrica de muebles dispone de 600 kg de madera para fabricar librerías de 1 y de 3 estantes. Se sabe que son necesarios 4 kg de madera para fabricar una librería de 1 estante, siendo su precio de venta 20 euros; para fabricar una librería de 3 estantes se necesitan 8 kg de madera y el precio de venta de ésta es 35 euros.
Calcule el número de librerías de cada tipo que se deben fabricar para obtener el máximo ingreso, sabiendo que, por falta de otros materiales, no se pueden fabricar
ás de 120 librerías de 1 estante, ni tampoco más de 70 de 3 estantes. m
Solución:
l ingreso máximo es 2925 €, que se obtiene vendiendo 120 librerías d E
15 de 3 estante
o por las siguientes inecuaciones:
0 y 0; x 0; 20 4y 3x 0; 2 y x 0; 10 ≥ ≥ 2y 5x+ − ≥ − − ≤ + − ≤ a) (2 puntos) Dibuj b) (1 punto) Det ) A(2,0); B(4,2); C(0,5) o es F(4,2) = 22.
e dicho recinto y determine sus vértices.
ermine en qué punto de ese recinto alcanza la función el máximo valor. Solución: 3y 4x y) F(x, = + a c) El máxim B C A B C D
Sea el sistema de inecuaciones siguiente:
x + y ≤ 120; 3y ≤x; x ≤ 100; y ≥ 10.
l máximo? 0,20); D(90,30).
jercicio 110.-
tos) Represente gráficamente la región del plano delimitada por las a) (2 puntos) Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.
b) (1 punto) ¿En qué punto de esa región, F(x, y) = 25x + 20y alcanza e Solución: a) A(30,10); B(100,10); C(10 b) El máximo es F(100,20) = 2900. E a) (2 pun siguientes inecuaciones:x +y ≥1; y≤x; x≤2 4 3 vértices. Solución: a) A(12/7,12/7); B(2,4/3); C(2,2). b) El máximo es F(2,2) = –1 y el mínimo F(2,4/3) = –7/3. Ejercicio 111.- rufas, dulces y a
uni lleva 100 g de 15 g de azúcar y se
vende a 1.3 euros la unidad.
n sólo dispone de 30 kg de cacao, 8 kg de nata y 10.5 kg de biendo que vende todo lo que elabora, calcule cuántas trufas de cada tipo
imizar los ingresos, y determine dichos ingresos. s y 275 amargas, que producen 482.5€.
fábrica produce dos tipos de relojes: de pulsera, que vende a 90 euros o. La capacidad máxima diaria 00 relojes, pero no puede fabricar más de 800 de pulsera ni producir para obtener el
s de pulsera y 600 de bolsillo, que producen 108000€. Determine sus
(
b) 1 punto) Calcule los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) = –x + 2y – 3 en la región anterior e indique para qué valores se alcanzan.
(3 puntos) Una pastelería elabora dos tipos de t amargas. Cada truf v
dulce lleva 20 g de cacao, 20 g de nata y 30 g de azúcar y se dad. Cada trufa amarga cacao, 20 g de nata y
un día, la pastelería
ende a 1 euro la E
azúcar. Sa
deben elaborarse ese día, para max olución:
S
125 trufas dulce Ejercicio 112.-
(3 puntos) Una piscifactoría vende gambas y langostinos a 10 y 15 euros el kg, respectivamente.
La producción máxima mensual es de una tonelada de cada producto y la producción mínima mensual es de 100 kg de cada uno.
Si la producción total es, a lo sumo, de 1700 kg al mes, ¿cuál es la producción que maximiza los ingresos mensuales? Calcule estos ingresos máximos.
Solución:
700 Kg. de gambas y 1000 de langostinos, que producen 22000€ jercicio 113.-
E
(3 puntos) Una
la unidad, y de bolsillo, que vende a 120 euros cada un de fabricación es de 10
más de 600 de bolsillo. ¿Cuántos relojes de cada tipo debe máximo ingreso? ¿Cuál sería dicho ingreso?
Solución: 400 reloje A B C D B A C
(3 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo que alcanza la función , en el recinto del plano determinado por las inecuaciones:
5y 3x y) F(x, = + 1 5y x 24, 3y 2x 10, 2y 3x 0, y 0, x ≥ ≥ − ≥ + ≤ − ≥− .
a región del plano delimitada por las 80, 3x + 2y ≥ 160, x + y ≤ 70, y determine sus
Solución:
(20, 50). jercicio 116.-
F(x, y) = 5x + 4y en la siguiente región factible:
≥3
}
un polígono convexo son (1, 1), (3, 1/2), (8/3, 5/2), (7/3, Solución:
ínimo: F(4,1) = 17, máximo F(6,4) = 38. M
Ejercicio 115.-
amente l a) (2 puntos) Represente gráfic
iguientes inecuaciones: x + 2 y ≥ s
vértices. (
b) 1 punto) Calcule el máximo y el mínimo de la función F(x, y) = 9x + 8y − 5 en la región anterior e indique para qué valores se alcanzan.
a) A(40, 20); B(60, 10); C
b) Mínimo: F(A) = 515, máximo F(B) = 615. E
Optimizar
RF
=
{
(x, y)∈
ℝ
2:
y ≥ 1, x – y ≥ – 2, x + ySolución:
El mínimo es 12.5 y se alcanza en (0.5, 2.5). No tiene máximo. Ejercicio 117.-
a) (1 punto) Los vértices de
3) y (0, 5/3). Calcule el máximo de la función objetivo F(x,y)=3x−2y+4en la región delimitada por dicho polígono.
b) (2 puntos) Dibuje el recinto del plano definido por las inecuaciones: 0 y 0; x 5; y 1; y x 6; 2y ≥ ≥ x+ ≥ − ≤ ≤
y determine sus vértices. Solución:
a) El máximo es 12 y se alcanza en (3, 0.5). b) A(8/3, 5/3); B(6, 5); C(0, 5); D(0, 3). Ejercicio 118.-
Sea el sistema de inecuaciones
⎪⎪
⎨
⎧
≤ − ≤ + 13 2y 3x 6 y x .⎪⎩
x ≥ 0⎪
x+3y ≥ −3a) (2 puntos) Dibuje el recinto cuyos puntos son las solu
) El mínimo es F(D) = −12 y el máximo F(B) = 7.
ciones del sistema y obtenga sus vértices.
b) (1 punto) Halle los puntos del recinto en los que la función 2yF(x,y)=x− toma los valores máximo y mínimo, y determine éstos.
Solución: a) A(0, −1); B(3, −2); C(5,1); D(0,6). b A B C A B C D C D
inecuaciones: a) (1 punto) Dibuje la región del plano definida por las siguientes
.
0 y , 11 y x , 17 3y 2x , 13 3y 2x− ≥− + ≥ + ≤ ≥b) (1 punto) Determine los vértices de este recinto.
lcule los valores máximo y mínimo de la función F(x,y)=5x
c) (1 punto) Ca en la
región anterior e indique en qué puntos se alcanzan.
) El mínimo es F(D) = 31 y el máximo F(C) = 62.
x −y ≤ 1; x + 2y ≥ 7; x ≥ 0; y ≤ 5. e la (x, y) = 2x + 4y − 5 y en qué puntos alcanza dichos valores?
) El mínimo es F(D) = 1 y el máximo F(B) = 27. Sea el siguiente sistema de inecua
) (2 puntos) Dibuje la región que definen y calcule sus vértices.
o) Halle los puntos de esa región en los que la función F(x, y) = 2x + 3y
s) Represente la región definida po
6y + Solución: b) A(8.5,0); B(11,0); C(4,7); D(1,5). c Ejercicio 120.-
a) (1 punto) Dibuje el recinto definido por las siguientes inecuaciones: b) (1 punto) Determine los vértices de este recinto.
c) (1 punto) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo d función ob ivo jet F Solución: b) A(3,2); B(6,5); C(0,5); D(0,7/2). c Ejercicio 121.- ciones: 2x − 3y ≤ 6; x ≥ 2y − 4; x + y ≤ 8; x ≥ 0; y ≥ 0. a b) (1 punt
alcanza los valores máximo y mínimo y calcule dichos valores. Solución:
a) A(3,0); B(6,2); C(4,4); D(0,2); E(0,0).
b) El mínimo es F(E) = 0 y el máximo F(C) = 20. Ejercicio 122.-
a) (2 punto r las guientes inecuacsi iones y calcule
sus vértices: 1; x 0 3 y 12 x 2y; 10 x 6; 2y x+ ≥ ≤ − + ≥ ≥
o) Calcule el máximo y el mínimo de la función F(x, = 4 − 3x − 6y en la anzan.
olución:
); C(0,5). b) El mínimo es F(
b) (1 punt y)
región anterior e indique en qué puntos se alc S
a) A(0,3); B(8,1
BC ) = −26 y el máximo F(A) = −14.
Con 80 kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabrica Ejercicio 123.-
r bicicletas de montaña y de paseo que se venderán a 200 euros y 150 euros 3 de aluminio y para la de paseo 2 kg de cada uno de los metales.
e montaña mo beneficio?
neficio.
respectivamente. Para la de montaña son necesarios 1 kg de acero y ¿Cuántas bicicletas de paseo y cuántas d se deben fabricar para obtener el máxi
Solución:
20 bicicletas de montaña y 30 de paseo reportan 8500€ de be
A B C D A B D C A B D C E A B C