1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1
Funciones reales de variable real.
1.
Conocimientos previos.
Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos b´asicos:
Intervalos y sus definiciones b´asicas. Representaci´on gr´afica de rectas.
Ser´ıa conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.
2.
Funciones. Dominio e imagen.
Definici´on: Una funci´on real de variable realf es una regla que a cada n´umero realx, perteneciente a un con-junto de n´umeros reales llamado dominio def, Dom(f), le asigna un ´unico n´umero realy que pertenece a un conjunto de n´umeros reales llamado imagen def,Im(f). Se dice quey = f(x). Simb´olicamente esto se representa por:
f : Dom(f) → Im(f)
x → y=f(x)
Por ejemplo:
f(x) =√xes una funci´on que asigna a cada valor dexsu ra´ız cuadrada. As´ı ax= 1le asigna el valory=f(1) =√1 = 1.
Ax= 2le asigna el valory=f(2) =√2 = 1,414213562373095048801688724209... Ax= 3le asigna el valory=f(3) =√3 = 1,732050807568877293527446341505... Ax= 4le asigna el valory=f(4) =√4 = 2.
Ax= 4,5le asigna el valory=f(4,5) =√4,5 = 2,121320343559642573202533086314... ...
El dominio def ser´aDom(f) = [0,∞)ya que s´olo se puede calcular la ra´ız cuadrada de n´umeros positivos. La imagen def ser´aIm(f) = [0,∞)ya que el resultado de una ra´ız cuadrada siempre es un n´umero positivo. Otro ejemplo:
Sea la funci´ong(x) = x2+ 1. La funci´ong asigna a cada n´umeroxotro n´umero que se obtiene de hallar el cuadrado dexy sumarle1. As´ı ax=−2le asignay=g(−2) = (−2)2+ 1 = 5 Ax=−1le asignay=g(−1) = (−1)2+ 1 = 2 Ax= 0le asignay=g(0) = 02+ 1 = 1 Ax= 1le asignay=g(1) = 12+ 1 = 2 Ax= 2le asignay=g(2) = 22+ 1 = 5 ...
En este caso la operaci´on que hay que hacer para calcular g(x) = x2 + 1 se puede realizar para cualquier n´umero, por lo que el dominio ser´an todos los n´umeros realesDom(g) = (−∞,∞).
3 GR ´AFICA DE UNA FUNCI ´ON. 2
A costa de dar muchos valores a laxy obtener la correspondientey=g(x)se obtiene que laIm(g) = [1,∞).
3.
Gr ´afica de una funci ´
on.
Las funciones se suelen representar usando unos ejes coordenados. Al eje horizontal se le suele llamar eje de abcisas o eje de lasx. Al eje vertical se le denomina eje de ordenadas o eje de lasy.
0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 y x
Se representar´an dando valores a lax y obteniendo la y correspondiente, obteni´endose pares(x, y). A estos pares se les denomina puntos, pues representan puntos en el sistema de ejes. Por ejemplo, para representar la gr´afica de la funci´ony= 2x−1:
❶Se dan valores a laxy se obtiene el correspondiente valor de lay. Los valores para laxse tomar´an al azar.
x=−1 y= 2x−1 = 2·(−1)−1 =−3
x= 0 y= 2x−1 = 2·(0)−1 =−1
x= 1 y= 2x−1 = 2·(1)−1 = 1
x= 2 y= 2x−1 = 2·(2)−1 = 3
4 OPERACIONES CON FUNCIONES. 3 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4
❸Si se dan un alto n´umero de valores, mayor definici´on tendr´a la funci´on, que es lo que hacen los ordena-dores o calculadoras cient´ıficas para representar las funciones.
En este caso lo que se tiene es una recta.
0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4
4.
Operaciones con funciones.
Se puede realizar casi cualquier operaci´on usando las funciones como argumentos de las operaciones. Suma de funciones: Por ejemplo: Sif(x) =x2+ 1yg(x) = 2x2+x−3entoncesf(x) +g(x) =x2+ 1 | {z } f(x) + 2x2+x−3 | {z } g(x) = 3x2+x−2
El dominio de la suma de funciones es la intersecci´on de los dominios de las funciones Dom(f +g) =
5 FUNCI ´ON INVERSA. 4 Producto de funciones: Por ejemplo: Sif(x) =x2+1yg(x) = 2x2+x−3entoncesf(x)·g(x) = (x2+ 1) | {z } f(x) ·(2x2+x−3) | {z } g(x) = 2x4+x3−x2+x−3
El dominio del producto de funciones es, en general, la intersecci´on de los dominios de las funcionesDom(f+
g) =Dom(f)∩Dom(g). Cociente de funciones:
Sif(x) =x2+ 1yg(x) = 2x2+x−3entonces fg((xx)) = 2xx22++1x
−3
El dominio del cociente son los puntos donde est´an definidas ambas funciones excepto en los que el denomina-dor se anula.
Composici´on de funciones:
Para obtener la expresi´on de la composici´on, se sustituye la expresi´on de la funci´onf(x)en laxde la funci´on g(x), es decir,(g◦f)(x) =g(f(x)). El dominio deg◦f es el conjunto de los valores dexdel dominio def tales quef(x)pertenece al dominio deg.
Por ejemplo, sif(x) =x−1yg(x) =x2−1entonces(g◦f)(x) =g(f(x)) =g(x−1) = (x−1)2−1 =
x2−2x+ 1−1 =x2−2x.
5.
Funci ´
on inversa.
Definici´on: Dada la funci´onf, se llama funci´on inversa de f a la funci´onf−1(x), tal que(f ◦f−1)(x) =
(f−1◦f)(x) =x. La funci´on inversa no siempre existe.
Para calcular la inversa de una funci´on hay que seguir los siguientes pasos: Supongamos que se desea calcular la inversa de la funci´on:
f(x) = 2x+ 1
❶Se cambia elf(x)por unay.
f(x) = 2x+ 1 ⇒ y= 2x+ 1 ❷Se cambia laxpor lay. y= 2x+ 1 ⇒ x= 2y+ 1 ❸Se despeja lay. x= 2y+ 1; x−1 = 2y; y= x−1 2
❹El valor que se obtiene es la funci´on inversa.
f−1(x) = x−1
6 SIMETR´IAS. 5
6.
Simetr´ıas.
Definici´on: Una funci´on es par si es sim´etrica con respecto al eje y; por tanto, se cumple que para todo x∈Dom(f):
f(x) =f(−x)
Por ejemplo,f(x) =x2 es una funci´on par, ya que:
f(−x) = (−x)2 =x2 ⇒ f(−x) =f(x)
Si se representa gr´aficamente la funci´onf(x) =x2se ve claramente que es par:
0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4
Definici´on: Una funci´on es impar si es sim´etrica con respecto al origen de coordenadas; por tanto, se cumple que para todox∈Dom(f):
f(−x) =−f(x)
Por ejemplo,f(x) =x3 es una funci´on impar, ya que: f(−x) = (−x)3 =−x3 −f(x) =−(x3) =−x3
)
⇒ f(−x) =−f(x)
7 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. 6 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4
7.
Crecimiento y decrecimiento.
Para entender los conceptos de crecimiento y decrecimiento, nos imaginaremos que la funci´on es el perfil de una etapa ciclista. Los corredores la recorren de izquierda a derecha.
0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4
Se dir´a que la funci´on es creciente cuando el ciclista vea una cuesta arriba y decreciente si ve una cuesta abajo. Definici´on: Una funci´onfes creciente en un intervalo(a, b)cuando para todo par de puntospyqdel intervalo, tales quep < q, se tiene quef(p)≤f(q).
Hay que notar que el crecimiento o decrecimiento de una funci´on se define por intervalos.
Definici´on: Una funci´onf es decreciente en un intervalo(a, b)cuando para todo par de puntospyqdel inter-valo, tales quep < q, se tiene quef(p)≥f(q).
8 M ´AXIMOS Y M´INIMOS. 7
Por ejemplo, en la gr´afica anterior, el ciclista dir´ıa que:
La funci´on es decreciente para(−∞,−1,1), creciente para(−1,1,1,1)y vuelve a ser decreciente para(1,1,∞).
8.
M ´aximos y m´ınimos.
Definici´on: Una funci´onf(x)se dice que tiene un m´aximo relativo si existe un intervalo abiertoI, al que pertenece el puntox0, tal que para todoxde ese intervalof(x)≤f(x0).
De manera id´entica se puede definir un m´ınimo relativo.
Definici´on: Una funci´onf(x)se dice que posee un m´aximo absoluto enx0sif(x)≤f(x0)para cualquierx del dominio def(x).
De forma similar se puede definir un m´ınimo absoluto.
Hay que notar que la diferencia entre unos y otros es que los absolutos son m´aximos o m´ınimos para todo el dominio y los relativos lo son s´olo en un intervalo. Por ejemplo:
a) 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 b) 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 c) 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4
La gr´afica representada en a) posee un m´ınimo absoluto en(x= 0, y = 0), ya que no hay ning´un otro valor de la gr´afica que se encunetre por debajo.
En la funci´on representada en b) se tiene un m´ınimo relativo en(x =−1,1, y = −1,1)y un m´aximo relativo en(x= 1,1, y= 1,1).
La funci´on dada en c) no tiene ni m´aximos ni m´ınimos, ya sean relativos o absolutos.
Definici´on: Tanto a los m´aximos como a los m´ınimos se les denominan extremos de una funci´on.
9.
Interpretaci ´
on de una gr ´afica.
Por lo general se dar´a la gr´afica de una funci´on. Para interpretar una gr´afica se debe dar sobre ella la siguiente informaci´on:
❶M´aximos y m´ınimos, tanto absolutos como relativos, si existen.
❷Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
❸Simetr´ıas.
❹Puntos de corte con los ejes.
10 PROBLEMAS DE OPTIMIZACI ´ON. 8 Por ejemplo: 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4
Esta funci´on dispone de un m´ınimo relativo en(x=−1,1, y=−1,1)y un m´aximo relativo en(x= 1,1, y = 1,1).
La funci´on es decreciente para(−∞,−1,1), creciente para(−1,1,1,1)y vuelve a ser decreciente para(1,1,∞). La funci´on es sim´etrica respecto del origen, por lo que va a tener una simetr´ıa impar.
Corta, con el eje x, enx=−2,5, enx= 0y enx= 2,5. Corta, con el eje y, enx= 0.
En este caso el dominio es(−∞,∞)y la imagen es(−∞,∞).
Hay que fijarse en que los m´aximos y m´ınimos suelen separar las zonas de crecimiento y decremiento. En el tema de derivadas se estudiar´a una forma de obtener est´as propiedades sin necesidad de tener la gr´afica de la funci´on.
10.
Problemas de optimizaci ´
on.
Los problemas de optimizaci´on son aquellos en los que se busca una soluci´on que haga m´axima o m´ınima una magnitud dada. Por ejemplo:
Se desean mezclar dos tipos de aceite para obtener4litros de mezcla. Hay que conseguir la mejor relaci´on calidad-precio. El aceite tipo A vale1euro el litro. El tipo B vale2euros el litro. La calidad viene dada por la expresi´onC=√a+ 4bdondeason los litros que se han usado del aceite A ybson los litros que se han usado del aceite B.
Soluci´on:
Se desean mezclar A y B para obtener 10 litros, por lo tantoa+b= 4
El precio total de la mezcla ser´aP = 1a+ 2beuros La relaci´on calidad-precio viene dada por la expresi´onC
P =
a+ 3b
1a+ 2b
11 ACTIVIDADES. 9
ha hallado paraben la expresi´on de la relaci´on calidad-precio: C P = √ a+ 4b 1a+ 2b b= 4−a ⇒ C P = p a+ 4(4−a) 1a+ 2(4−a) = √ 16−3a 8−a Por lo tanto el problema se reduce a encontrar el m´aximo de la funci´on:
f(a) =
√
16−3a
8−a
Por ahora el ´unico m´etodo que se ha estudiado para encontrar el m´aximo de una funci´on es dibujarla. Para dibujarla hay que ir dando valores:
0.5 0.505 0.51 0.515 0.52 0.525 0.53 0.535 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
En este caso el m´aximo se encuentra ena= 2,66yf(a= 2,66) = 0,5303. Por lo ha habr´a que mezclar2,66
litros del aceite A con1,34litros de aceite B.
11.
Actividades.
1. Indica si los valores de x:0;−2;3,5;√2;−0,25pertenecen al dominio de las siguientes funciones.:
a) y= √1 x b) y= x2x −4 c) y=x−√2 d) y=√x2+ 4 e) y=√x−3 f ) y=√7−2x
2. Halla el dominio de estas funciones:
11 ACTIVIDADES. 10 b) y= x (x−2)2 c) y= x−1 2x+1 d) y= x2+21x+3 e) y= 5x2 −x2 f ) y= x21 −2
3. Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensionesx,x/2y2xcm.
a) Escribe la funci´on que da el volumen del envase en funci´on dex.
b) Halla su dominio sabiendo que el envase m´as grande tiene 1 litro de volumen. ¿Cu´al es su imagen? 4. Se dispone de 20 metros de valla. Con ella se quiere cercar un terreno rectangular, pero se pretende abar-car la mayor cantidad posible de superficie. ¿Cu´anto debe medir la base y cu´anto la altura para que la superficie abarcada sea la m´axima posible?
Sol.: 5m
5. Calcula las inversas de las siguientes funciones y despu´es comprueba que el resultado es correcto, com-poniendo la funci´on original y la inversa obtenida a partir de los c´alculos:
a) f(x) = 5x−7 b) f(x) = −3x+7 2 c) f(x) = 3x−5 17 d) f(x) = 23x+17
6. Indica el tipo de simetr´ıa, si la hay, de las siguientes funciones:
a) f(x) = xx2 −1 b) f(x) =x3−x c) f(x) =x3+ 2 d) f(x) =x2−2x e) f(x) = 2x4+x2 Sol.: b:impar e:par 7. Interpretar la gr´afica:
11 ACTIVIDADES. 11 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 Sol.: M´aximos relativos en(x=−3,7, y=−1,6)y(x= 3,7, y=−1,6) M´ınimos relativos en(x=−2,8, y=−2,3)y(x= 2,8, y=−2,3) M´aximo absoluto en(x= 0, y= 2)
La funci´on es creciente en(−∞,−3,7), decreciente en (−3,7.−2,8), creciente en(−2,8,0), decreciente en (0,2,8), creciente en(2,8,3,7)y decreciente en(3,7,∞).
Es una funci´on par.
Corta al ejexenx=−1,4y enx= 1,4. Corta al ejeyeny= 2.
El dominio de esta funci´on es(−∞,∞)y la imagen(−∞,2).
8. Realizar las siguientes operaciones con funciones:
a) Seaf(x) = 1x−1yg(x) = xx+1 −2 calcularf(x) +g(x) b) Seaf(x) = x+1 x−1 yg(x) = x2 −1 x2+1 calcularf(x)·g(x) c) Seaf(x) =√2−xyg(x) = 1x calcularfg((xx)) d) Seaf(x) =√xyg(x) = 2x−1calcular(f◦g)(x) Sol.: a) 4x−2 x2−2x b) (x+1)2 x2+1 c)x√2−x d)√2x−1
Las soluciones a los ejercicios se pueden encontrar el la p´agina web de la asignatura en el apartado de ejercicios resueltos.