VECTORES DEL ESPACIO. VECTORES COPLANARES. Tres vectores u, v y w son coplanares si, y solamente si, existen. dos reales α y β tales que: w = αu + βv.

V

ECTORES

DEL

ESPACIO

.

Las definiciones y operaciones con los vectores del plano se generalizan al espacio.

V

ECTORES

COPLANARES

.

Tres vectores , y son coplanares si, y solamente si, existen

dos reales

α

y

β

tales que:

.

• Si , y , entonces los puntos A, B, C y D están en el mismo plano.

• Dos vectores colineales son coplanares.

Igualdad de vectores

Fórmula de Chasles

Multiplicación de un real por un vector

si y sólo si ABDC es un paralelogramo

para cualquier terna de

puntos

A, B

y

C

,

Dos vectores y son colineales si

existe un real

k

tal que

.

AB

=

CD

AB

+

BC

=

AC

kAB

=

AM

u

v

v

=

ku

A

B

C

D

u

=

AB

v

=

AC

w

=

AD

R

EFERENCIAL

EN

EL

ESPACIO

Al igual que en el plano:

• Una terna de vectores independientes del espacio ( ; ; ) se llama una base del espacio.

Todo vector del espacio se puede expresar como una única combinación lineal de ellos: .

En un cubo de arista 1, los puntos O, I, J y K definen un referencial orto-normal en el espacio.

Los triángulos IOJ, JOK y KOI son rectángulos isósceles. Se obtiene el referencial: (O; ; ; ).

Un tetraedro ABCD define un referencial cualquiera en el espacio: (A; ; ; ).

i j k

w

=

x i

+

y j z k

+

i j k

eje de las ordenadas eje de las cotas

AB AC AD

eje de las abscisas eje

de las ordenadas eje de las cotas

C

OORDENADAS

DE

UN

PUNTO

EN

EL

ESPACIO

significa que el punto M tiene por

coorde-nadas (x; y; z) en el referencial (O; ; ; ).

x es la abscisa; y es la ordenada, z es la cota. La terna representa también a las coordenadas del vector .

• C

Se tienen las mismas propiedades de cálculo que en el plano, como por ejemplo:

Dos vectores son

iguales si, y

sola-mente si, sus

co-ordenadas

respectivas son

iguales.

Sean dos puntos A(x

; y

; z

) y B(x

; y

; z

) del espacio

El vector

tiene por

coordenadas:

(

x

– x

;

y

– y

;

z

– z

)

El punto medio M del segmento [AB] tiene

por coordenadas la semisuma de las

coor-denadas de A y B:

x

y

z

O

M’

M

(

x; y; z

)

OM

=

xi

+

yj

+

zk

i

j

k

OM

AB

M

x

+

x

2

---

y

+

y

2

---

z

+

z

2

---;

;

⎝

⎠

⎛

⎞

D

ISTANCIA

Y

ORTOGONALIDAD

EN

EL

ESPACIO

.

En un referencial ortonormado del espacio (O; ; ; ), se considera un vector representado por .

OM2 = OH2 + HM2 = OK2 + KH2 + HM2 = X2 + Y2 + Z2.

Así el cuadrado de la distancia OM es igual a la suma de los cuadrados de las co-ordenadas del vector .

Si , se obtiene la distancia AB.

D

.

Ejemplo: Si A(1; 3; 3); B(2; 0; 1) y C(4; 3; 0). Entonces y . y por lo tanto: AB2 = 12 + (–3)2 + (–2)2 = 1 + 9 + 4 = 14 BC2 = 22 + 32 + (–1)2 = 4 + 9 + 1 = 14. Como AB2 = BC2 , AB = BC = . M

x

y

z

i j k

u X Y Z

(

;

;

)

OM

OM

u

=

AB

A

C

B

x

z

y

1

4

2

3

1

AB

(

1 3 2

;

–

;

–

)

BC

(

2 3 1

;

;

–

)

14

V

ECTORES

C

OLINEALES

.

Teorema:

En un referencial ortonormal, dos vectores y son colineales si, y solamente si, .

Ejemplo: , y ¿ y son colineales?

V

O

.

Teorema:

En un referencial ortonormal, dos vectores y son ortogonales si, y solamente si,

XX′ + YY′ + ZZ′ = 0.

Ejemplo: , y y son ortogonales pues:

u X Y Z

(

;

;

v X

(

'

;

Y

'

;

Z

'

X

X

′

---

Y

Y

′

---

Z

Z

′

---=

=

u

(

2 3 5

;

;

–

)

w

(

–

4

;

–

6

;

–

10

)

u w

2

4

–

---

3

6

–

---

–

5

10

–

---≠

=

u X Y Z

(

;

;

v X

(

'

;

Y

'

;

Z

'

u

(

4 1

;

–

;

0

)

w

(

2 8 3

;

;

)

u w

4

×

2

–

1

×

8

+

0

×

3

=

0

E

CUACIONES

DE

PLANOS

PARTICULARES

.

En un referencial del espacio (O; ; ; ) las ecuaciones siguientes se obtienen de manera evidente, por simple lectura.

• P

.

• P

.

•

P

.

i j k

x

y

z

El plano (

xOz

)

y

= 0

tiene por ecuación

P

//

(

yOz

)

⇔

x

=

a

.

x y z a

M

∈ P

⇔

by

+

cz

=

d

.

P

//

(Ox)

E

CUACIÓN

C

ARTESIANA

DE

UN

PLANO

.

En un referencial ortonormado, 3x + 4y +

−

2z = 8, es la ecuación

cartesiana de un plano del espacio de vector normal:

.

P

LANOS

PARALELOS

P

) 2

x

+ 14

y

– 8

z

= 1 y

P

)

x

+ 7

y

– 4

z

= 5

son paralelos puesto que sus vectores normales

y

son colineales.

El coeficiente de colinealidad es 2 y como para los términos independientes no se verifica esa proporcionalidad se puede asegurar que los planos son distintos.

n

n

(

3 4 2

;

;

–

)

P

x

y

z

O

P

’

Planos paralelos

n

_{1 2 14 8}

(

;

;

–

)

n

_{2 1 7 4}

(

;

;

–

)

E

CUACIÓN

DE

LA

RECTA

EN

EL

ESPACIO

.

Una recta del espacio está determinada por dos ecuaciones cartesianas

de

coeficientes no proporcionales

:

R

.

La recta (r), que pasa por A(x

; y

; z

) y vector director

está caracterizada por el sistema

, con t

∈

R

_.

x y z O Planos secantes P P ’ (r)

ax by cz

+

+

=

d

a

'

x b

+

'

y c

+

'

z

=

d

'

⎩

⎨

⎧

A

B

u

u a b c

(

;

;

)

x

=

x

_A

+

ta

y

=

y

_A

+

tb

z

=

z

_A

+

tc

⎩

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎧

S

ISTEMAS

E

INTERSECCIÓN

DE

PLANOS

.

I

.

Sea el sistema con .

Las soluciones del sistema son las coordenadas de los eventuales puntos de intersección de los planos P y P’ de ecuaciones respectivas, en un referencial ortonormal del espacio (O; ; ; ),

ax + by + cz = d y a’x + b’y + c’z = d’ . Se tiene entonces tres posibilidades:

Los dos planos son: P∩P’ = ∅ P∩P’ = P P∩P’ = r El sistema: no tiene solución.

Sistema incompatible

tiene infinitas soluciones. Sistema indeterminado

tiene infinitas soluciones. Sistema indeterminado

ax by cz

+

+

=

d

a'x b'y c'

+

+

z

=

d'

⎩

⎨

⎧

(

a b c

;

;

)

≠

(

0 0 0

,

,

)

a'

;

b'

;

c'

(

)

≠

(

0 0 0

,

,

)

i j k

• P y P’ son estrictamente paralelos. • P y P’ coinciden. • P y P’ son secantes.

P (r)

P’

P P’

I

NTERSECCIÓN

DE

TRES

PLANOS

.

Sea el sistema con .

Las soluciones del sistema, en un referencial ortonormal del espacio (O; ; ; ), son las coordenadas de los eventuales puntos de intersección de los planos P , P’ y P’’ de ecuaciones respectivas:

ax + by + cz = d, a’x + b’y + c’z = d’ y a’’x + b’’y + c’’z = d’’.

Q

A. Los tres planos son paralelos.

Los tres planos son:

coincidentes:

P∩P’ ∩ P’’ = P

dos entre ellos son estrictamente paralelos:

P∩P’ ∩ P’’ = ∅ El sistema: tiene infinitas soluciones.

Sistema indeterminado no tiene solución. Sistema incompatible

ax by cz

+

+

=

d

a'x b'

+

y c'z

+

=

d'

a''x b''y c''

+

+

z

=

d''

⎩

⎨

⎧

(

a b c

;

;

)

≠

(

0 0 0

,

,

)

a'

;

b'

;

c'

(

)

≠

(

0 0 0

,

,

)

a''

;

b''

;

c''

(

)

≠

(

0 0 0

,

,

)

i j k

Q

B. Los planos son secantes dos a dos

Los tres planos son: P∩P’ ∩ P’’ = ∅ P∩P’ ∩ P’’ = r P∩P’ ∩ P’’ = {P} El sistema: no tiene solución.

Sistema incompatible

tiene infinitas soluciones. Sistema indeterminado

El sistema tiene una única solución. Sistema determinado • P ∩ P’ = r y r ⊂ P’’ P ∩ P’ = r y r secante a P’’ • P ∩ P’ = r y r estrictamente paralela a P’’ P’’ (r) P P’ P P’’ P’ (r) P’ (r) P P’’

Interpreta geométricamente los siguientes sistemas y luego resuelve.

x

+

2

y z

+

=

5

2

x

+

4

y

+

2

z

=

7

5

x y

–

+

z

=

8

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

n

1 1 2 1

( ,

;

)

n

_{2 2 4 2}

( ,

;

)

n

_{3 5 1}

( ,

–

;

1

)

2

x y z

+

–

=

10

x y

–

+

2

z

=

4

x

–

+

y

–

2

z

=

8

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

n

1 2 1 1

( ,

;

–

)

n

_{2 1 1}

( ,

–

;

2

)

n

_{3 1}

( ,

–

1 2

;

–

)

x

+

2

y z

+

=

5

2

x

+

4

y

+

2

z

=

15

10

x

+

20

y

+

10

z

=

25

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

n

1 1 2 1

( ,

;

)

n

_{2 2 4 2}

( ,

;

)

n

_{3 10 20 10}

( ,

;

)

n

n

n

n

Sistema Compatible Indeterminado.

n

n

n

n

n

n

n

n

d)

• La recta (r) de intersección de P₁ y P₂ :

con

t

∈

R

_.

tiene como vector director . • y no son ortogonales ya que • (r) y P₃ son secantes.

Sistema Compatible Determinado.

x y

+

=

3

y z

+

=

6

2

x

+

2

z

=

6

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

n

1 1 1 0

( ,

;

)

n

_{2 0 1 1}

( ,

;

)

n

_{3 2 0 2}

( ,

;

)

x y

+

=

3

y z

+

=

6

⎩

⎨

⎧

x

=

3

–

t

y

=

t

z

=

6

–

t

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

u

( ,

–

1

1 1

;

–

)

n

₃

u

–

1

×

2 1 0 1

+

×

–

×

2

≠

0

n

n

n

n

n

n