Modelo viscohipoplástico para interacción dinámica suelo - estructura

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(1)Modelo Viscohipoplástico Para Interacción Dinámica Suelo - Estructura. JAIME FERNANDO ERASO MARTÍNEZ. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Facultad de Ingenieria Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental Magister en Ingeniería Civil Bogotá D.C., 2006.

(2) Modelo Viscohipoplástico Para Interacción Dinámica Suelo - Estructura. JAIME FERNANDO ERASO MARTÍNEZ. Asesor: Arcesio Lizcano, Ph.D.. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Facultad de Ingenieria Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental Magister en Ingeniería Civil Bogotá D.C., 2006.

(3) Contenido. 0.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 0.2. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1. Modelos constitutivos.. 6. 1.1. Elasticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.2. Elastoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.2.1. Ecuaciones básicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.3. Hipoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Ecuaciones básicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2. Determinación de los párametros hipoplásticos. . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3. Deformación intergranular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3.1. Determinación de las constantes del material para deformación intergranular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4. Viscohipoplásticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.1. Ecuaciones básicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2. Sismología.. 30. 2.1. División de la sismología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Generación de sismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Características de los sismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1. Magnitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2. Momento sísmico. 2.3.3. Energía sísmica.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 2.3.4. Acelerogramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.5. Espectros de respuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. Propagación de ondas sísmicas.. 36. 3.1. Tipo de ondas sísmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 I.

(4) 3.1.1. Ondas internas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.2. Ondas superficiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2. Principio de Huygens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3. Ley de Snell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4. Movimiento ondulatorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4.1. Ecuaciones generales del movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4.2. Amortiguamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4.3. Onda de cortante plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4.3.1. Onda de cortante plana no amortiguada. . . . . . . . . . . . . 44 3.4.3.2. Onda de cortante plana amortiguada. . . . . . . . . . . . . . . 47 4. Interacción Dinámica Suelo Estructura. 50. 4.1. Definición de interacción suelo estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2. Efectos de la interacción dinámica suelo - estructura . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3. Objetivos del estudio de la interacción dinámica suelo - estructura . . . . . . . 55 4.4. Metodología y evaluación de la IDSE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.4.1. Métodos experimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4.1.1. Localización y condiciones del suelo. . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4.1.2. Fundaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.1.3. Superestructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.1.4. Instrumentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.4.2. Métodos de simulación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.4.2.1. Método Directo y Método de la Subestructura . . . . . . . . . 61 4.4.2.2. Método de los Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4.3. Dificultades asociadas en métodos y evaluación de la IDSE. . . . . . . . 62 4.4.4. Aplicación y evaluación de la IDSE en códigos de construcción . . . . . 65 4.4.4.1. Norma Colombiana de Diseño y Construcción Sismoresistente NSR-98. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.4.4.2. Análisis y diseño estructural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4.4.3. Normas de construcción Europea (Eurocódigo). . . . . . . . . . 73 5. Modelación en centrífuga.. 75. 5.1. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2. Limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3. Leyes de escalamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.4. Centrífuga de la Universidad de California, Davis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.5. Proyecto VELACS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.6. Objetivos del Proyecto VELACS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80. II.

(5) 5.7. Descripción de los ensayos y modelaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.8. Descripción del ensayo seleccionado para verificación del modelo numérico. . . . 82 5.8.1. Señal de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.8.2. Comportamiento del contenedor y de la columna de suelo. . . . . . . . . 84 5.8.3. Procesamiento de señales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6. Modelo de elementos finitos.. 90. 6.1. Parámetros de los suelos usados en las modelaciones. . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.1.1. Ensayos de laboratorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.1.1.1. Nevada Sand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.1.1.2. Bonnie Silt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.1.2. Parámetros elásticos y elasto-plásticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.1.3. Parámetros hipoplásticos y viscohipoplásticos. . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.2. Modelación de ensayo en centrífuga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.2.1. Modelo de elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.3. Modelación de interacción dinámica suelo-estructura. . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.3.1. Modelo de campo libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.3.1.1. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.3.2. Modelo excavación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.3.2.1. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.3.3. Modelo excavación-estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.3.3.1. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.4. Comparación entre modelos para campo libre, excavación y suelo-estructura. . . 175 7. Conclusiones.. 179. III.

(6) Índice de figuras. 1.1. Esquema de los tipos de respuesta elástica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.2. Tipos de respuesta plástica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.3. Regla de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Criterios de plastificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. Ángulos θyψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6. Disminución de las relaciones de vacíos característicos con la presión efectiva. . 16 1.7. Diferentes deformaciones intergranulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8. Interpretación unidimensional de la deformación intergranular. . . . . . . . . . . 19 1.9. Valores de rigidez característica para la calibración del modelo. . . . . . . . . . 21 1.10. Correlación de βr contraSOM paradif erentesvaloresde χ. . . . . . . . . . . . . 22 1.11. Evolución de hparaciclosdedef ormacinconpequeaamplitudεA . . . . . . . . . . 22 1.12. Relación entre la amplitud de deformación doble normalizada y el esfuerzo acumulado en la mitad de un ciclo de deformación, para diferentes χ. . . . . . . . . 23 2.1. Esquema de desplazamiento según la teoría del rebote elástico. . . . . . . . . . 31 3.1. Tipos de ondas sísmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. Representación esquemática del principio de Huygens. . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3. Fundamentos de la ley de Snell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4. Respuesta de un sistema con factor de amortiguamiento estructural y amortiguamiento viscoso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.5. Esquema para viga cortante no amortiguada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1. Definición del campo de estudio de la IDSE. [24]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2. Estructuras cimentadas sobre roca y suelo. [24]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3. Respuesta sísmica de una estructura cimentada en roca y en suelo. a) Roca. b) Campo Libre. c) Interacción Cinemática. d) Interacción Inercial. [24]. . . . . . 52 4.4. Coeficiente de amortiguamiento crítico de la cimentación, βo . . . . . . . . . . . 69 IV.

(7) 5.1. Concepto básico de la modelación en centrifuga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2. Centrífuga de la Universidad de California, Davis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.3. Modelo 4a proyecto VELACS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.4. Señal de aceleración de entrada en la base del modelo. . . . . . . . . . . . . . . 83 5.5. Modelo 4a proyecto VELACS (escala) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.6. Señales registradas a diferentes profundidades (Modelo 4a). . . . . . . . . . . . 87 5.7. Incremento de frecuencias altas en señales registradas en ensayos con centríuga.. 88. 5.8. Modos simples de desplazamiento vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.9. Modos simples de desplazamiento vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.1. Ensayo triaxial no drenado para Nevada Sand.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91. 6.2. Módulo de corte mediante Ensayo de columna resonante para Nevada Sand. . . 92 6.3. Resultados del ensayo de corte simple directo para Nevada Sand. . . . . . . . . 93 6.4. Resultados del ensayo triaxial cíclico para Nevada Sand. . . . . . . . . . . . . . 94 6.5. Ensayo triaxial no drenado para el Bonnie Silt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.6. Módulo de corte mediante Ensayo de columna resonante para el Bonnie Silt. . . 96 6.7. Resultados del ensayo de corte simple directo para el Bonnie Silt. . . . . . . . . 97 6.8. Resultados del ensayo triaxial cíclico para el Bonnie Silt. . . . . . . . . . . . . . 98 6.9. Descomposición de la deformación total en sus componenetes elásticos y plásticos.100 6.10. Curva de deformación plástica para Nevada Sand y Bonnie Silt. . . . . . . . . . 101 6.11. Relación entre α,ϕc yϕp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.12. Ensayo de consolidación para Bonnie Silt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.13. Simulación numérica de ensayos de consolidación para Bonnie Silt y Nevada Sand.104 6.14. Malla de elementos finitos para modelación de ensayo en centrífuga. . . . . . . . 105 6.15. Ubicación de puntos de medición de aceleraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.16. Aceleraciones ACC8 y ACC6 obtenidas con modelo elastoplástico. . . . . . . . . 106 6.17. Aceleraciones ACC4 y ACC2 obtenidas con modelo elastoplástico. . . . . . . . . 107 6.18. Aceleraciones ACC8 y ACC6 obtenidas con modelo viscohipoplástico. . . . . . . 108 6.19. Aceleraciones ACC4 y ACC2 obtenidas con modelo viscohipoplástico. . . . . . . 109 6.20. Comparación entre aceleraciones medidas y obtenidas con los modelos constitutivos usados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.21. Comparación entre espectros de aceleraciones medidas y obtenidas de modelos constitutivos usados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.22. Relación espectral para las aceleraciones obtenidas. . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.23. Cambio de fase en desplazamiento vertical en extremo opuestos del contenedor. 113 6.24. Malla de elementos finitos para modelo de campo libre. . . . . . . . . . . . . . . 114 6.25. Registro de aceleración y velocidad del sismo de Kobe usado como señal de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114. V.

(8) 6.26. Señal sinusoidal de entrada de referencia y respuesta en superficie sin el uso de ningún método de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.27. Comparación entre dos métodos de condición de contorno. . . . . . . . . . . . . 116 6.28. Puntos de medición de señales para el campo libre y su nomenclatura. . . . . . 117 6.29. Aceleración en la base del perfil de suelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.30. Epectro de aceleración en la base del perfil de suelo. . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.31. Aceleraciones obtenidas para el campo libre con el modelo elastoplástico en los bordes de la futura excavación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.32. Aceleraciones obtenidas para el campo libre con el modelo viscohipoplástico en los bordes de la futura excavación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.33. Espectros de aceleraciones obtenidas para el campo libre con el modelo elastoplástico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.34. Espectros de aceleraciones obtenidas para el campo libre con el modelo viscohipoplástico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.35. Desplazamientos obtenidos para el campo libre con el modelo elastoplástico en los bordes de la futura excavación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.36. Espectros de desplazamientos obtenidos para el campo libre. . . . . . . . . . . . 124 6.37. Desplazamientos obtenidos para el campo libre con el modelo viscohipoplástico en los bordes de la futura excavación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.38. Espectros de desplazamientos obtenidos para el campo libre. . . . . . . . . . . . 126 6.39. Relación espectral para campo libre con modelo elastoplástico.. . . . . . . . . . 127. 6.40. Relación espectral para campo libre con modelo viscohipoplástico.. . . . . . . . 128. 6.41. Presión de poros para el modelo de campo libre durante el movimiento sísmico. 129 6.42. Esfuerzos efectivos para el modelo de campo libre durante el movimiento sísmico.130 6.43. Esfuerzos efectivos y totales para el modelo de campo libre en distintos instantes del sismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.44. Malla de elementos finitos para modelo de campo libre y excavación. . . . . . . 132 6.45. Puntos de medición de señales para el campo libre y excavación y su nomenclatura.133 6.46. Aceleraciones obtenidas para la excavación con el modelo elastoplástico. . . . . 134 6.47. Aceleraciones obtenidas para la excavación con el modelo viscohipoplástico. . . 135 6.48. Espectros de aceleraciones con el modelo elastoplástico.. . . . . . . . . . . . . . 136. 6.49. Espectros de aceleraciones con el modelo viscohipoplástico.. . . . . . . . . . . . 137. 6.50. Desplazamientos en los bordes de la excavación con el modelo elastoplástico. . . 138 6.51. Espectros de desplazamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.52. Desplazamientos en los bordes de la excavación con el modelo viscohipoplástico. 140 6.53. Espectros de desplazamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.54. Presión de poros para el modelo de excavación durante el movimiento sísmico. . 142 6.55. Esfuerzos efectivos para el modelo de excavación durante el movimiento sísmico. 143 VI.

(9) 6.56. Esfuerzos efectivos y totales para el modelo de excavación en distintos instantes del sismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.57. Malla de elementos finitos para modelo de suelo y estructura. . . . . . . . . . . 145 6.58. Puntos de medición de señales para el modelo suelo-estructura y su nomenclatura.146 6.59. Puntos de medición de señales para la estructura, su nomenclatura y alturas. . 147 6.60. Aceleraciones obtenidas en la estructura con la señal del modelo elastoplástico. 148 6.61. Aceleraciones obtenidas en la estructura con la señal del modelo viscohipoplástico.149 6.62. Espectros de aceleraciones con el modelo elastoplástico.. . . . . . . . . . . . . . 150. 6.63. Espectros de aceleraciones con el modelo viscohipoplástico.. . . . . . . . . . . . 151. 6.64. Desplazamientos obtenidos en la estructura con la señal del modelo elastoplástico.152 6.65. Espectros de desplazamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.66. Desplazamientos obtenidos en la estructura con la señal del modelo viscohipoplástico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.67. Espectros de desplazamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.68. Aceleraciones en las bordes de la excavación mediante el modelo elastoplástico con IDSE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.69. Aceleraciones en las bordes de la excavación mediante el modelo viscohipolástico con IDSE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.70. Espectros de aceleraciones con el modelo elastoplástico con IDSE. . . . . . . . . 158 6.71. Espectros de aceleraciones con el modelo viscohipoplástico con IDSE. . . . . . . 159 6.72. Desplazamientos obtenidos en la excavación mediante el modelo elastoplástico con IDSE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.73. Espectros de desplazamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.74. Desplazamientos obtenidos en la excavación mediante el modelo viscohipoplástico con IDSE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.75. Espectros de desplazamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.76. Presión de poros con IDSE durante el movimiento sísmico. . . . . . . . . . . . . 164 6.77. Esfuerzos efectivos con IDSE durante el movimiento sísmico. . . . . . . . . . . . 165 6.78. Esfuerzos efectivos y totales con IDSE en distintos instantes del sismo. . . . . . 166 6.79. Aceleraciones obtenidas en la estructura con el modelo elastoplástico para el suelo con IDSE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.80. Aceleraciones obtenidas en la estructura con el modelo viscohipoplástico para el suelo con IDSE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.81. Espectros de aceleraciones con el modelo elastoplástico para el suelo con IDSE. 169 6.82. Espectros de aceleraciones con el modelo viscohipoplástico para el suelo con IDSE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.83. Desplazamientos en la estructura con el modelo elastoplástico para el suelo con IDSE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 VII.

(10) 6.84. Espectros de desplazamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.85. Desplazamientos en la estructura con el modelo viscohipoplástico para el suelo con IDSE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.86. Espectros de desplazamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 6.87. Comparación de las aceleraciones entre modelos para campo libre, excavación y suelo-estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6.88. Comparación de los desplazamientos entre modelos para campo libre, excavación y suelo-estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.89. Comparación de las aceleraciones para la estructura sin IDSE y con IDSE. . . . 177 6.90. Comparación de los desplazamientos para la estructura sin IDSE y con IDSE. . 178. VIII.

(11) Indice de tablas. 4.1. Valores de G/Go yVs /Vs o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2. Derivas máximas como porcentaje de hip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3. Relación promedio de amortiguación de suelo y promedio de factores de reducción para velocidad de onda de corte y modulo de corte. . . . . . . . . . . . . . 73 6.1. Resumen de resultados de ensayos genrales para Nevada Sand. . . . . . . . . . . 91 6.2. Resumen de resultados de ensayos genrales para Bonnie Silt. . . . . . . . . . . . 92 6.3. Parámetros elásticos de los materiales usados en los análisis. . . . . . . . . . . . 99 6.4. Parámetros hipoplásticos para Nevada Sand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.5. Parámetros viscohipoplásticos para Bonnie Silt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.6. Propiedades del concreto usado en la estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . 143. IX.

(12) Resúmen. La interacción dinámica de un sistema suelo-estructura usando leyes constitutivas elastoplásticas, hipoplásticas y viscohipoplásticas es estudiado. Se desarrollaron tres modelos usando el método de elementos finitos en el programa ABAQUS. Un modelo representa el campo libre (suelo sin la estructura), en un segundo modelo se realiza la excavación donde se construirá la estructura y un tercer modelo considera el suelo y la estructura juntos con el fin de evaluar los efectos que el suelo podría tener sobre el comportamiento de la estructura y esta a su vez sobre el suelo durante un sismo fuerte. Como señal sísmica se usó el registro del sismo de Kobe en Japón en 1985. Con el fin de validar el modelo numérico usado se simuló un ensayo dinámico en centrífuga y se comparó los resultados obtenidos con los datos medidos.. 1.

(13) Abstract. The dynamic interaction of a soil-structure system using elatoplastic, hypoplastic and viscohypoplastic constitutive laws is studied. Using the finite element method three models were developed in the ABAQUS FE-program. A first model represents the free field (soil without structure), in a second model an excavation is carry out were the structure will be placed and in a third model the structure and the soil are analyzed together in order to evaluate the effects that the soil could have on the structure and this is in turn on the soil during a strong ground motion. As seismic input motion the Kobe earthquake in Japan in 1985 is used. In order to validate the used numerical model, a dynamic test in centrifuge was simulated and the results obtained were compared with the measured data.. 2.

(14) Introducción. Bajo una carga sísmica, las características dinámicas del apoyo sobre el cual se encuentra soportada una estructura pueden variar de aquellas en un punto anterior a su construcción, especialmente si la estructura está cimentada sobre suelo blando. El comportamiento de la estructura por lo tanto, a su vez, será diferente de aquel calculado como si la base se mantuviera rígida durante el movimiento sísmico. Por lo tanto existe una interacción entre la estructura y el suelo adyacente que modificará la señal de excitación original y como consecuencia el comporta-miento del sistema.. Este fenómeno ha sido reconocido a través de muchos años y se han desarrollado numerosos estudios e investigaciones encaminados a determinar metodologías y recomendaciones que orienten el diseño sísmico de estructuras a normas más seguras bajo condiciones económicas aceptables. Sin em-bargo, la complejidad del fenómeno ha llevado a que se realicen estudios relacionados únicamente para estructuras de importancia económica elevada como reactores nucleares, puentes, etc., y que no se haya logrado involucrar completamente el problema dentro de los códigos de construcción en sistemas rela-tivamente sencillos de diseño.. El estudio de la interacción sueloestructura comienza aproximadamente a partir 1930. Algunos de las primeras investigaciones sobre el tema datan de 1935 con estudios realizados por Sezawa y Kanai relacionados con el decaimiento de las vibraciones en estructuras altas por su disipación dentro del suelo. Merrit (1954), Housner (1957), Thomson (1960), Whitman (1967), Luco (1969) son los primeros en tratar el tema desde el punto de vista práctico a gran escala. Velestos (1973) incluye el amortiguamiento del suelo al problema, Luco (1974) estudia los efectos de la reflexión en semiespacios elásticos (Wong, 1975). Más recientemente métodos como el de los elementos finitos se han venido desarrollando dando solución a algunos inconvenientes 3.

(15) MIC 2005-II-14. como elementos de borde Gaul (1976), Gazetas (1983), Triatafillydis (1984). Actualmente con el avance de los procesos se pueden representar modelos físicos a escala en centrífuga o mesa vibradora que arrojan resultados que no se pueden obtener con modelaciones numéricas Arulmoli (1992), Dobry (1992), Iguchi (2004) y Luco (2004) así como monitoreos sísmicos en estructuras, y se han incorporado modelos constitutivos que representan más apropiadamente el comportamiento del suelo como la hipoplasticidad y la viscohipoplasticidad, Cudmani (2004).. Sin embargo, a pesar de los estudios y avances obtenidos en el tema de la interacción suelo - estructura, existen aspectos hacia donde es necesario extender y profundizar como la correcta simulación de las condiciones de borde, el comportamiento del suelo con diferentes propiedades y disposiciones de estratos, diferentes tipos de estructuras y cimentaciones, ya que la variación y combinación de estas características producen respuestas completamente diferentes dificultando la determinación de recomendaciones generales de diseño. En esta investigación se estudia, aplicando el método de elementos finitos, un caso de interacción de una estructura alta promedio (12 niveles) cimentada sobre un suelo blando bajo los cuales existen materiales potencialmente licuables durante un sismo fuerte. Usando modelos constitutivos que permiten modelar adecuadamente el comportamiento de un suelo bajo cargas cíclicas como es el caso de los modelos hipoplástico y viscohipoplástico se desea contribuir al estudio de la interacción suelo estructura y su modelación abordando problemas propios de ésta como la radiación de la energía dinámica dentro del suelo, la posible separación del suelo de la estructura, la posibilidad de licuación del suelo de cimentación durante un sismo, etc.. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 4.

(16) Objetivos. 0.1.. Objetivo General. Desarrollo de un modelo de elementos finitos usando relaciones constitutivas hipoplásticas y viscohipoplásticas que permita evaluar los efectos de una interacción suelo - estructura.. 0.2.. Objetivos Específicos Elaborar un modelo de perfil de suelo estratificado y propagar una onda sísmica modelando su comportamiento dinámico mediante leyes elastoplásticas y evaluando la respuesta en superficie. Modelar una propagación sísmica usando el perfil de suelo anterior modelando su comportamiento mediante leyes constitutivas hipoplásticas para los suelos granulares y viscohipoplásticas para suelos finos, determinar la respuesta en superficie y comparar los resultados con la modelación elastoplástica. Validar los modelos de elementos finitos y constitutivos usados, modelando un caso real. Evaluar los efectos producidos en el comportamiento dinámico del suelo debido a la presencia de una estructura y los efectos del suelo sobre el comportamiento de la estructura.. 5.

(17) Capítulo 1 Modelos constitutivos. 1.1.. Elasticidad.. El comportamiento del suelo es elástico cuando el esfuerzo depende únicamente de la deformación o viceversa, lo anterior implica que se requiere solamente el valor actual del esfuerzo para determinar el valor actual de la deformación o viceversa. Esto se conoce como independencia de trayectoria de esfuerzos o de deformación.. Matemáticamente la elasticidad significa que el esfuerzo es una función de la deformación o que la deformación es una función del esfuerzo. Materiales con comportamiento elástico no presentan deformaciones irreversibles, es decir, las deformaciones producidas con la carga desaparecen completamente con la descarga (Figura 1.1).. La ley constitutiva elástica no puede describir fenómenos observados en suelos como la dilatancia - contractancia, la falla plástica, la rigidez tangencial dependiente del estado inicial de esfuerzos y de la evolución de esfuerzos, entre otros [26]. La ecuación elástica básica es un material térreo isotrópico lineal está dado por: σ = ∼c ∼ε ∼ ∼. Las siguientes ecuaciones describen la relación entre esfuerzos, deformaciones y desplazamien-. 6.

(18) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. Figura 1.1. Esquema de los tipos de respuesta elástica. a) No lineal b) Lineal.. tos de un material isotrópico linealmente elástico. Las componenetes del tensor de deformación pueden ser obtenidos de los desplazamientos por diferenciación,. ∂ux εxx = , ∂x ∂uy εyy = , ∂y ∂uz εzz = , ∂z. 1 ∂ux ∂uy εxy = + 2 ∂y ∂x 1 ∂uy ∂uz εyz = + 2 ∂z ∂y 1 ∂uz ∂ux εzx = + 2 ∂x ∂z. (1.1.1). Las deformaciones εxx , εyy y εzz son mediciones adimensionales para el cambio relativo de longitud en las tres direcciones coordenadas. Las deformaciones de corte εxy , εyz y εzx indican las deformaciones angulares [2]. El incremento relativo del volumen es la deformación volumétrica,. εvol =. ∆V V. (1.1.2). Si las deformaciones son pequeñas la deformación volumétrica sería la suma de las deformaciones en las direcciones coordenadas,. εvol = εxx + εyy + εzz. (1.1.3). Para este tipo de materiales las deformaciones pueden ser expresadas en función de los esfuerzos. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 7.

(19) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. Figura 1.2. Tipos de respuesta plástica. a) Plástico b) Pérfectamente plástico c) Elasto-plástico.. mediante la ley de Hooke,. τxx = λεvol + 2µεxx ,. τxy = 2µεxy. τyy = λεvol + 2µεyy ,. τyz = 2µεyz. τzz = λεvol + 2µεzz ,. τzx = 2µεzx. (1.1.4). Los parámetros λ y µ son las constantes elásticas de Lamé y están relacionadas con el módulo de Young E y con la relación de Poisson v mediante. λ=. 1.2.. vE , (1 + v)(1 − 2v). µ=. E 2(1 + v). (1.1.5). Elastoplasticidad. La elastoplasticidad es el modelo matemático usado para predecir deformaciones irreversibles. A pesar de ser uno de los modelos más usados para este propósito, no es el único que existe al contrario de lo que muchos científicos piensan. Una alternativa es la hipoplasticidad. Elastoplásticamente, un material se deforma elásticamente en la etapa inicial de la carga, si la carga continua el material se deforma plásticamente. La parte de las deformaciones plásticas se determina por una superficie de falla en el espacio de los esfuerzos, la dirección de estas deformaciones es determinada por la superficie de potencial plástico y la magnitud por la condición de consistencia (figura 1.2). La teoría de la elastoplasticidad requiere que el comportamiento sea elástico dentro de la. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 8.

(20) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. superficie de falla, lo cual no es muy cierto para suelos. Las leyes constitutivas elastoplásticas están basadas en relaciones lineales entre el incremento de deformación dε y el incremento de esfuerzos dσ.. 1.2.1.. Ecuaciones básicas.. Para expresar matemáticamente el concepto de elastoplasticidad se puede descomponer la deformación en sus partes elásticas y plásticas [26].. εij = εeij + εpij. (1.2.1). Se introduce una función de falla f (σij , εpij ) de modo que la superficie de falla sea definida por f = 0. Se tiene el caso de la llamada plasticidad ideal cuando f no depende de εpij y por el contrario si existe dependencia, este caso se conoce como endurecimiento. Para definir el proceso de carga se puede utilizar la función de falla para las condiciones:. f =0 y ∂f dσij > 0 ∂σij. (1.2.2). y la descarga se tiene si. f <0 o f =0 y ∂f dσij < 0 ∂σij. El caso de carga neutral es determinado cuando. ∂f dσij = 0. ∂σij. Si durante la carga εpij varía, es decir, dεpij 6= 0y si se cumple que:. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 9. (1.2.3).

(21) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. df =. ∂f ∂f dσij + p dεpij = 0 ∂σij ∂εij. MIC 2005-II-14. (1.2.4). (condición de consistencia) la superficie de falla es llevada detrás del punto de esfuerzo. La dirección del incremento de deformación plástica dεpij está determinada por la función g(σij ) y el potencial plástico así:. dεpij = λ. ∂g ∂σij. (1.2.5). La anterior ecuación es conocida como regla de flujo. El término λ es obtenido al introducir la ecuación (1.2.5) en la ecuación (1.2.4). ∂f ∂σkl λ= dσkl ∂f ∂g ∂εppq ∂σpq. (1.2.6).  ∂f ∂g  ∂σkl ∂σij   dεij = dεeij + dεpij =  Eijkl − ∂f ∂g  dσkl ∂εppq ∂σpq. (1.2.7). dεij = Eijkl dσkl. (1.2.8). Entonces para carga se tiene:. . Y para descarga:. La condición de normalidad o regla de flujo asociada se encuentra en el caso especial en que f = g conocida como regla de flujo asociada [26] (figura 1.3). Los criterios de plastificación independientes de la presión media son Tresca y Von Mises (figura 1.4a)y los dependientes de la presión medio son Mohr-Coulomb y Drucker-Praguer (figura 1.4b) y otros criterios que coinciden en algunos aspectos con los nombrados y aproximan mejor el comportamiento del suelo en otros aspectos son Lade-Duncan y Matsuoka-Nakai (figura 1.4c) [43].. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 10.

(22) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. Figura 1.3. Regla de flujo. a) Asociada. b) No asociada.. Figura 1.4. Criterios de plastificación. a) Tresca y Von Mises. b) Mohr-Coulomb y Druker-Praguer. c) Marsuoka-Nakai [43]. 1.3.. Hipoplasticidad. La primera versión de la ley constitutiva hipoplástica para materiales granulares fue propuesta por Kolymbas en 1985, en la universidad de Karlsruhe en Alemania. Kolymbas usó el tensor de esfuerzos de Cauchy [35]. La hipoplasticidad describe los mismos fenómenos que la elastoplasticidad con la diferencia de no introducir elementos adicionales como superficie de falla, potencial plástico, condición de consistencia, etc., que utiliza la elastoplasticidad. Según la hipoplasticidad muy temprano en el inicio del proceso de carga pueden ocurrir deformaciones inelásticas. Al contrario de la elastoplasticidad, la hipoplasticidad usa una sola ecuación para los procesos de carga y descarga, la diferencia entre estos procesos se realiza automáticamente dentro de la ecuación constitutiva. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 11.

(23) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. Dentro de esta ecuación solamente se incluyen algunas constantes del material además de las cantidades de esfuerzo y deformación [26]. Kolymbas sugirió el nombre ’hipoplásticos’ para los modelos con rigidez tangencial que fueran función continua de la tasa de deformación, siendo el prefijo ’hipo’ justificable para aquellos modelos menos restrictivos que la elastoplasticidad. Dentro de la hipoplásticidad las deformaciones inelásticas pueden presentarse desde el incio del proceso de carga y no se distingue entre deformaciones plásticas y elásticas. Una de las características principales de la hipoplasticidad que es además una de sus ventajas en la utilización de una sola ecuación para los procesos de carga y descarga [31]. La ecuación constitutiva hipoplástica expresa el incremento o razón de esfuerzos como una función del incremento razón dado en la deformación, el esfuerzo real y la relación de vacíos. Ya que la deformación y el esfuerzo son cantidades tensoriales, la ecuación hipoplástica es una ecuación tensorial [26]. Se considera que la hipoplasticidad es un modelo de tipo fenomenológico ya que no se deriva de leyes fundamentales o físicas sino en datos experimentales. La hipoplásticidad describe el comportamiento del suelo en términos de macro variables, como el esfuerzo o la relación de vacíos, considerándolo como un medio continuo para un acercamiento macro-mecánico que no describe el movimiento individual de las partículas. El modelo hipoplástico emplea ecuaciones tasa para representar su forma general. Una ecuación tasa representa la tasa del esfuerzo como una función de la tasa de la deformación, sin necesidad de una relación directa esfuerzo - deformación [26]. Las relaciones hipoplásticas son incrementalmente no-lineales. La no-linealidad incremental constituye un fenómeno que se presenta en los materiales inelásticos, en los cuales la tasa de esfuerzo (|δσ|) es mucho más largo durante descarga, dando lugar a que la función δσ = f (δε) sea no lineal y permanente en ε ó δε. No se relaciona con la forma de la curva esfuerzo deformación para el proceso de carga, aunque esta pueda ser lineal en pequeñas deformaciones.. 1.3.1.. Ecuaciones básicas.. La ecuación hipoplástica tiene la forma general:. ◦. T =h(T, D) ◦. (1.3.1). Donde T corresponde al tensor de esfuerzos objetivos Zaremba-Jauman del tensor de esfuerzos Jaime Fernando Eraso Martínez.. 12.

(24) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. de Cauchy. D es el tensor de velocidad de deformación [26]. Partiendo del hecho de cada función h(T, D) puede ser representada de acuerdo a la representación del teorema general,. h(T, D) = ψ1 1 + ψ2 T +ψ3 D +ψ4 T2 +ψ5 D2 +ψ6 (TD +DT ) +ψ7 (TD2 +D2 T ) + ψ8 (T2 D + DT 2 ) + ψ9 (T2 D2 + D2 T ). (1.3.2). Donde ψn son funciones escalares de invariantes o puntos invariantes de T y D [26]. Esta función debe ser no-lineal en D para evitar los defectos de la hipoelasticidad, homogénea en D para describir materiales de tasa independiente y homogénea en T para describir las trayectorias de esfuerzo proporcional en caso de trayectorias de deformación proporcional. Una forma alternativa de representar las ecuaciones constitutivas hipoplásticas consiste en resumir los términos lineales mediante L:D , donde L es un operador lineal aplicado a D, y √ los términos no lineales mediante N kDk donde kDk := trD2 . En los noventas el desarrollo del modelo hipoplástico fue enfocado en términos de la siguiente forma general:. o. T = L : D + N kDk. (1.3.3). donde L es un tensor de cuarto orden y N es un tensor de segundo orden, y ambos son función del esfuerzo [31]. La superficie de fluencia para hipoplasticidad y(T) es idéntica a la formulada por Matsuoka y Nakai,. yM −N (T) ≡ −. I1 I2 9 − sen2 ϕc − =0 I3 1 − sen2 ϕc. donde las invariantes de esfuerzo I1 = trT, I2 =. (1.3.4). i 1h kTk2 − (I1 )2 y I3 = det(T). 2. La dirección de flujo de la superficie de fluencia y(T) es puramente desviatoria (tr(B) = 0) [31]. Matemáticamente los tensores L(T, e) y N(T, e) se representan de la siguiente forma,. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 13.

(25) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. fb fe. L=. T̂ : T̂. N=. . a2. fb fe T̂ : T̂. 2. . a. F a. F a √. F =. !. 2. I + T̂T̂. 2. =. (T̂ + T̂∗ ) =. fb fe. L. (1.3.5). N̂. (1.3.6). T̂ : T̂. fb fe T̂ : T̂. 3(3 − senϕc ) √ 2 2senϕc. (1.3.7). 2 − tan2 ψ 1 1 √ tan2 ψ + − √ tan ψ 8 2 + 2 tan ψ cos 3θ 2 2. (1.3.8). a=. s. MIC 2005-II-14. F es un factor escalar dependiente de los esfuerzos, derivado del criterio de falla de MatsuokaNakai.. tan ψ =. √. 3 T̂∗. √ tr(T̂∗ · T̂∗ · T̂∗ ) cos 3θ = − 6 h i3/2 T̂∗ : T̂∗. (1.3.9). (1.3.10). donde Iijkl = 1/2(δik δjl + δil δjk ) y (T̂T̂)ijkl = T̂ij T̂kl [31]. La función 1.3.10 para θ es identica a la función del ángulo de Lode,. θ. donde J2 =. Lode. 1 3√ 3/2 −1 = cos − 3J3 /J2 3 2. (1.3.11). 1 kT∗ k y J3 = det (T∗ ). 2. El ángulo θ no siempre es igual al ángulo de Lode: θLode =. π − θ si los componentes de esfuerzos son negativos. 3. θLode = θ si los componentes son positivos (esfuerzos de tensión, no son reelevantes para suelos) [31]. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 14.

(26) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. Figura 1.5. Ángulos θ y ψ [31]. En la figura 1.5 se muestran los ángulos θ y ψ. fd y fe son factores escalares para la picnotropía en función de la relaión de vacíos e y fb un factor para la barotropía.. fe (trT, e) =. fd (trT, e) =. e β c. (1.3.12). e. e − ec ec − ed. α. = reα. (1.3.13). donde re corresponde a la relación de vacíos relativa.. fb (trT) =. ei0 ec 0. β. hs 1 + ei n ei. . −trT hs. 1−n −1 √ ei0 − ed0 α 2 3+a −a 3 ec0 − ed0. (1.3.14). ei describe el estado más suelto posible a una presión p dada. Cada relación de vacíos corresponde a la compresión isotrópica inciando desde la densidad mínima. ec corresponde a la relación de vacíos crítica. ed corresponde a la densificación máxima alcanzada después de un corte cíclico.. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 15.

(27) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. Figura 1.6. Disminución de las relaciones de vacíos característicos ei , ec y ed con la presión efectiva normalizado con la dureza granular hs [31].. Las relaciones de vacíos ei , ec y ed decrecen con el aumento del esfuerzo promedio ps (figura 1.6) [13] de acuerdo con ec ed −trT ei = = = exp − = B(trT) ei0 ec0 ed0 hs. (1.3.15). donde hs es la dureza granular. n, α y β son constantes del material, determinados a partir de ensayos.. 1.3.2.. Determinación de los párametros hipoplásticos.. La ley constitutiva hipoplástica requiere 8 parámetros básicos (ϕc , hs , ec0 , ed0 , ei0 , α y β). El ángulo de fricción interna ϕc puede ser calculado del ángulo de reposo. Este depende principalmente del tamaño del grano y de la angularidad [18]. La constante n proporcional a la compresión que ejerce el material puede ser obtenido a través de un ensayo edométrico de velocidad constante y releja la curvatura de la curva de compresión y puede ser calculada como e1 λ1 ln e λ 2 2 n= ps2 ln ps1 . Jaime Fernando Eraso Martínez.. 16. (1.3.16).

(28) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. donde λ es el índice de compresión y está definido como λ = ∆e/∆ ln(ps /ps0 ) [18]. La dureza granular hs , tiene dimensiones de esfuerzo y puede calcularse como. hs = 3ps. ne 1/n λ. (1.3.17). para cualquier λ dentro del rango de presión ps1 6 ps 6 ps2 con el correspondiente e [18]. Se ha determinado experimentalmente [19] que ec0 ≈ emax , ed0 ≈ emin y se lo puede determinar a partir de ensayos de corte cíclico [31]; ei0 se puede obtener a partir de un ensayo de consolidación isotrópica y puede considerarse que ei0 ≈eco [19]. Durante el corte de una muestra densa bajo presión media constante, se puede observar un valor pico ϕp del ángulo de fricción, donde ϕp > ϕc . La diferencia entre ϕp y ϕc se incrementa a medida que la densidad relativa se incrementa y este valor es controlado por el exponente α (fd = (1 − Dp )α ) [19]. Conociendo el esfuerzo axial T1 y la relación de vacíos e en el pico de la curva esfuerzo - deformación en un ensayo triaxial estandar con el esfuerzo lateral constante, el valor de α puede ser calculado de q a 2 2 2 Dj + a (T̂1 D1 + 2T̂2 D2 )T̂j + fd (6T̂j − 1) D1 + 2D2 T = 2 3 j T̂1 + 2T̂22 •. fs. (1.3.18). donde j = 1, 2 y T̂j = Tj /(T1 + 2T2 ). La densidad relativa está dada por. Dp =. ec − e ec − ed. (1.3.19). y la presión media por. ps = −(T1 + 2T2 )/3. (1.3.20). El exponente β puede ser calculado del módulo de rigidez incremental E = Ṫ1 /D1 , a la misma presión media pero a dos diferentes relaciones de vacío e1 = esuelto y e2 = edenso durante compresión isotrópica. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 17.

(29) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. Figura 1.7. Diferentes deformaciones intergranulares y su relación con la historia de deformación [31].. E2 ln β0 E1 β= e1 ln e2. (1.3.21). Para la mayoría de las arenas β ≈ 1 es un valor válido [19].. 1.3.3.. Deformación intergranular.. Es necesario introducir una variable de estado h denominada deformación intergranular para mejorar el desempeño del modelo hipoplástico para cargas cíclicas pequeñas. Esta variable de esta representa la deformación de la interfase entre las partículas de un suelo. Esta variable es determinada por la historia de deformaciones y el tensor de rigidez se incrementa de acuerdo al ángulo existente entre h y D. En la figura 1.7 se muestran diferentes deformaciones intergranulares h relacionados con diferentes historias de deformación. La flecha roja corresponde a la trayectoria de deformación previa reciente y es la parte que tiene influencia sobre h. En el punto indicado por ∗, el esfuerzo actual, la relación de vacíos y la velocidad de deformación deberían ser iguales [31]. Niemunis y Herle [1] fueron los primeros en proponer la deformación intergranular en 1997. El comportamiento de un suelo cargado con ciclos pequeños de deformación está en el rango elástico. En este caso, dentro del modelo hipoplástico, las deformaciones son acumuladas de manera muy fuerte incrementándose excesivamente la presión de poros cuando se trata de ciclos no drenados, por lo tanto no es muy adecuada la descripción de precarga. El concepto de deformación intergranular pretende adecuar la predicción del comportamiento bajo pequeñas deformaciones después de cambios de dirección en las relaciones esfuerzo deformación.. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 18.

(30) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. Figura 1.8. Interpretación unidimensional de la deformación intergranular. [31].. En la figura 1.8 se muestra una situación micromecánica supuesta donde dos direcciones de deformación opuestas corresponden a dos deformaciones opuestas de la interfase seguida de un deslizamiento en su contacto. En la figura 1.8a la zona de interfase no se ha deformado y se representa por la parte amarilla. Al inicio h = 0 y se incia con una velocidad de deformación D = −1. A medida que la deformación continúa la deformación granular toma un valor de h = −R (figura 1.8b) a la vez que se produce un deslizamiento de la partícula. Con el avance de la deformación la zona de interfase alcanza su máximo valor donde h = −R y ḣ = 0 . En la figura 1.8c se observa un microrebote después de un cambio de dirección en la elongación, D = 1. Incialmente la deformación se concentra únicamente en la zona de interfase. La duración de cada rebote es almenos de h · D 6 0 (figura 1.8d). Al final de proceso h se aproxima al límite h = R en el lado opuesto (figura 1.8e) [31]. La relación esfuerzo-deformación en su forma general es ◦. T=M:D. (1.3.22). donde M es un tensor de cuarto orden que representa la rigidez tangencial y es calculado de los tensores L(T, e) y N(T, e) los cuales son incrementados adecuadamente de acuerdo a ρ y a (~h : D). Ya que la deformación intergranular tiene como objetivo la modificación de estos tensores es necesario la introducción de dos multiplicadores escalares mT y mR , que corresponden a constantes del material, para este efecto. [31]. Teniendo en cuenta tres casos especiales correspondientes a deformación monotónica, deformación con micro-rebote elástico y para velocidad de deformación neutral, la rigidez M toma la siguiente forma general. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 19.

(31) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. ( M = [ρχ mT + (1 − ρχ )] L +. MIC 2005-II-14. →→. →. ρχ (1 − mT )L : h h +ρχ N~h para h : D > 0 →→. ρχ (mR − mT )L : h h. ). →. para h : D 6 0. (1.3.23). La evolución de la ecuación para el tensor h de la deformación intergranular sería. ◦. h=. (. →→. →. (I - h h ρβr : D para h : D > 0 D. ) (1.3.24). →. para h : D 6 0. ◦. donde h es la velocidad objetiva co-rotacional de la deformación intergranular. βr controla la ◦ velocidad h y es una constante del material [31]. La introducción de la deformación intergranular dentro del modelo hipoplástico necesita de cinco parámetros adicionales: R, mT , mT que corresponden al tamaño del rango elástico y las tasas de rigidez características respectivamente, estos tres parámetros tienen un significado físico claro. βr y χ describe la transición entre el la curva de deformación y el estado SOM (swept out memory) [1].. 1.3.3.1.. Determinación de las constantes del material para deformación intergranular.. El valor de R es posible determinarlo a partir de una curva esfuerzo-deformación de ensayos dinámicos o de ensayos estáticos con trayectoria de deformación inversas (figura 1.9). Con el fin →. de determinar las constantes mT y mR es necesario considerar un proceso con D constante con una trayectoria de deformación suficientemente corta de forma que la rigidez hipoplástica Ehp , permanezca constante aproximadamente. En la figura 1.9 se muestra la comparación entre tres ensayos con velocidad de deformación D constante para un mismo estado en T y e referenciado como ∗ y donde la rigidez de referencia es E0 . Ya que las tres muestran deben tener diferente historia de deformación, estas deben tener diferente valor incial deformación intergranular h. En la figura 1.9, la curva inferior muestra que la rigidez monotónica E0 cambia lentamente. La curva intermedia muestra la rigidez análoga ET después de una inversión de la trayectoria de deformación de 90o es mucho más alta. La rigidez más alta ER (curva superior), corresponde a un cambio en la trayectoria de deformación en 180o [31]. Teniendo en cuenta lo anterior, las constantes mT y mR pueden ser determinadas entonces directamente por medio de. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 20.

(32) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. Figura 1.9. Valores de rigidez característica para la calibración del modelo. [31].. mT =. ET E0. (1.3.25). mR =. ER E0. (1.3.26). El parámetro βr el cual influencia la evolución de la deformación intergranular puede ser determinado usando el SOM , donde SOM es la longitud de la trayectoria de deformación necesaria para que la rigidez adicional decline en un 90 % [31]. De ρ = khk /R y la ecuación 1.3.24 con la suposición de una trayectoria unidimensional monotónica puede determinarse la dependecia de ρ sobre h. El resultado de la ecuación diferdρ = (1 − ρβr )/R para las condiciones de borde ρχ |=R = 0 y ρχ |=SOM = 0,9 se encial d presenta en la figura 1.10 para diferentes valores de χ [31]. El parámetro χ puede ser calibrado por medio de un ensayo cíclico con pequeña amplitud (εA ) (figura 1.11) [31]. El esfuerzo acumulado después de un ciclo de amplitud (εA ), con T y e constantes, para una rigidez de referencia aproximadamente constante, depende de χ y βr y puede expresarse como. ∆T. acc. ZρA = 2N R 0. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 21. ρχ dρ 1 − ρβ r. (1.3.27).

(33) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. Figura 1.10. Correlación de βr contra SOM para diferentes valores de χ. [31].. Figura 1.11. Evolución de h para ciclos de deformación con pequeña amplitud εA [31].. La deformación intergranular máxima durante cada ciclo de deformación corresponde a hA = R · ρA . De ρ = khk /R y la ecuación 1.3.24 se puede determinar la relación entre ρA y (A ) [31],. εA − ρA − 2 R. ZρA. dρ =0 1 − ρβr. (1.3.28). 0. Los resultados de la solución numérica en función de βr se muestran en la figura 1.12. Con el fin de determinar χ se puede realizar un ensayo de deformación cíclica y medir la respuesta del esfuerzo acumulado [31].. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 22.

(34) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. Figura 1.12. Relación entre la amplitud de deformación doble normalizada y el esfuerzo acumulado en la mitad de un ciclo de deformación, para diferentes χ [31].. 1.4.. Viscohipoplásticidad.. La viscohipoplasticidad fue propuesta por Niemunis mediante la modificación del modelo constitutivo hipoplástico. El modelo viscohipoplástico describe el comportamiento viscoso de suelos blandos y es capaz de describir fenómenos como creep, relajación y dependencia de la velocidad. Describe tensorialmente la evolución de las tensiones efectivas en función de la velocidad de deformación y el estado del suelo.. 1.4.1.. Ecuaciones básicas.. La incorporación del fenómeno viscoso dentro del modelo hipoplástico se logra mediante el reemplazo del término no lineal N kDk por una expresión que depende del incremento verdadero de tiempo; se incluye un término dependiente de del grado de sobreconsolidación OCR y se eliminan los factores fe y fd de la ecuación general; se modifica el factor de barotropía fb y se modifica la formulación de la deformación intergranular [31]. Ya que los factores fe y fd no se tienen en cuenta la ecuación hipoplástica tomada como referencia sería igual a. ◦. h i −1 ˆ ˆ = f L : D − (− L : N̂ kDk) T b. reemplazando −L̂. −1. (1.4.1). : N̂ kDk en la ecuación 1.4.1 por la velocidad de creep Dvis resultaría la. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 23.

(35) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. ecuación básica constitutiva del modelo viscohipoplástico,. ◦. vis. T = fb L̂ : (D − D. ). (1.4.2). Con relación a la barotropía es necesario introducir una función (fb ) que describa la rigidez para carga y descarga. De acuderdo a la formulación de Butterfield se tiene para la primera carga isotrópica p 1 + eo = λ ln ln 1+e p0 . (1.4.3). y . 1 + eo p ln = κ ln 1+e p0. (1.4.4). para descarga o recarga, donde λ es la pendiente de la curva esfuerzo-deformación para la compresión inicial; κ es la pendiente de la curva esfuerzo-deformación para descarga recarga; p es el esfuerzo promedio; p0 es el esfuerzo promedio para el valor de referencia [31]. Para condiciones isotrópicas el factor de barotropia está dado por. fb (trT) = − . trT = −βr trT a2 1+ κ 3. (1.4.5). y para condiciones edométricas teniendo en cuenta el efuerzo de presión inicial de tierras está dado por. fb = − . trT = −βb trT a2 1+ κo (1 + 2K0 ). (1.4.6). La pendiente κo es el coeficiente de compresión medidad de la descarga edométrica. De acuerdo al modelo de referencia κo es más pequeño que el coeficiente análogo κ para la descarga isotrópica [31]. Para la determinación de la dirección de creep se usa la regla de flujo hipoplástica. La intenJaime Fernando Eraso Martínez.. 24.

(36) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. sidad de creep se describe de acuerdo a la ley de potencia de Norton usando la relación de sobreconsolidación OCR está dado por. vis. D. = −Dr B̃. 1 OCR. (1/Iv ) (1.4.7). →. donde B es el tensor normalizado de dirección de creep, Dr es una velocidad de creep de referencia, Iv es el índice de viscosidad de Lienenkugel. Con el fin de precisar la definición de OCR es necesario introducir la presión equivalente isotrópica pe (e) de Hvorslev la cual es necesaria para alcanzar una relación de vacíos e en un ensayo de compresión realizado con una velocidad de deformación de referencia [31]. La ecuación para compresión isotrópica estaría dada entonces por . 1 + e0 pe ln = λ ln 1+e pe0. (1.4.8). donde el estado de referencia pe0 describe un punto fijo en la isotaca de referencia [31]. El grado de sobreconsolidación está dado para estados generales por. OCR =. pe p+ e. (1.4.9). donde pe está dado por 1.4.8 y p+ e está dado por. 2 2 p(p − p+ e ) + q /M = 0. p+ e. " # q 2 2 = p 1 + η̄ = p 1 + Mp. (1.4.10). (1.4.11). donde p, q, M y η̄ = q/(M p) son funciones del esfuerzo [31]. La relación entre la velocidad de referencia de creep Dr y la velocidad viscosa Dvis bajo la condición que OCR = 1 está determinada por. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 25.

(37) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. 1 D = −Dr x √ 1 = xDvis 3. (1.4.12). donde λ λ−κ. x=. (1.4.13). o. Dr =. λ−κ kDk λ. (1.4.14). La relación del esfuerzo geostático K0 es importante ya que es una de las primeras consideraciones dentro de los problemas geotécnicos y para la determinación de otros parámetros del material [31]. Este parámetro depende del ángulo de fricción residual ϕc . Teniendo en cuenta la ecuación 1.3.7, K0 estaría determinado por. K0up. = K0 =. −2 − a2 +. √. 36 + 36a2 + a4 16. (1.4.15). donde K0up es el límite superior de K0 [31]. El índice de viscosidad puede ser determinado usando diferentes ensayos entre los cuales están:. 1. Ensayo de compresión isotrópica con variación de la velocidad de deformación, 2. ensayos de compresión edométrica con variación de la velocidad de deformación, 3. ensayos de corte no drenados con variación de la velocidad de deformación, 4. ensayos sotrópicos de creep (fluencia lenta), 5. ensayos triaxiales de creep y 6. ensayos de relajación.. Para los ensayos de compresión isotrópica el índice de viscosidad está dado por. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 26.

(38) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. 1 = Iv. MIC 2005-II-14. D(a). ln. D(b) p(a) ln p(b). (1.4.16). donde D(a) y D(b) corresponden a dos velocidades de deformación diferentes y p(a) y p(b) presiones a esas velocidades [31]. Para ensayos de compresión edométrica el índice de viscosidad está dado por q(a) q(b). ln Iv = ln. ln =. D(a). ln. D(b). T11(a) T11(b) D(a). (1.4.17). D(b). Para ensayos de compresión triaxial Iv el cual fue la proposición original de Leinenkugel y no 1 está dado por Iv cu(a) cu(b). ln Iv =. D(a). ln. (1.4.18). D(b). Para ensayos isotrópicos de creep (fluencia lenta) Iv se lo puede determinar conociendo Dr y √ → sabiendo que tr B = 3 , por medio de. vis = −ψ ln. t + t0 t0. (1.4.19). donde 1/Iv. t0 =. OCRβ. →. Iv λ. (1.4.20). tr B Dr y. ψ = λIv Jaime Fernando Eraso Martínez.. 27. (1.4.21).

(39) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. Bajo condiciones edométricas en el mismo ensayo se puede realizar una derivación equivalente → ~ 11 teniendo como condición inicial p+ = pe y reemplazando en la ecuación 1.4.20 tr B = B e. determinando los parámetrosψ y t0 de una curva experimental para creep v (t) usado para la ecuación 1.4.19 [31]. Para un ensayo de relajación isotrópica con D = 0 y T = −p1, tomando la condición incial p = pe = p+ e , la tasa de esfuerzos es .  }| { z }| 1/Iv  {    ◦ 1 a2 p   T = βb 3p I + 1 1 : 0 − Dr − √ 1  9 pe 3   =(1). =(2). z. (1.4.22). →. donde (1)=L̂, (2)=Dvis y B = − √13 1. Tomando la traza a ambos lados se obtiene una ecuación diferencial con función p(t) desconocida. a2 Dr − 3ṗ = βb 3p1 : (I + 1 1) : 1 √ 9 3. Usando la función desconocida π(t) = la forma. . p pe. 1/Iv (1.4.23). 1 p(t) = , por conveniencia, la ecuación 1.4.23 toma pe OCR. − π̇ = Kπ 1+1/Iv. (1.4.24). Dr K = βb (3 + a2 ) √ = constante 3. (1.4.25). donde. La solución con π(0) = 1 como condición inicial es. π(t) =. Jaime Fernando Eraso Martínez.. Kt 1+ Iv. 28. −Iv (1.4.26).

(40) CAPÍTULO 1. MODELOS CONSTITUTIVOS.. MIC 2005-II-14. Iv se lo puede determinar conociendo el tiempo t de relajación requerido para OCR = 1/π(t) para cambiar de un valor determinado a otro [31]. Es necesario, dentro del modelo viscohipoplástico al igual que en el modelo hipoplástico, la introducción de la deformación intergranular h con el fin de mejorar la predicción del comportamiento para pequeñas deformaciones. El tensor de deformación intergranular incrementa la rigidez después de un cambio en la dirección de deformación. Sin la introducción de la deformación intergranular el modelo viscohipoplástico no es capaza de reproducir los ciclos histeréticos de una curva esfuerzo-deformación adecuadamente [31]. La siguiente ecuación es propuesta para este fin. ◦. vis. T=M:D−L:D. (1.4.27). donde la rigidez incrementada es determinada por el tensor de cuarto orden M calculado a partir de. M = mL. (1.4.28). El factor m se lo determina mediante interpolación entre las constantes del material mM = 1 para carga monotónica, mT (≈ 2) para carga transversal o mR (≈ 5) para trayectoria de →. →. deformación inversa. El valor de m depende del ángulo α = cos−1 ( h : D) con los casos especiales mM con α = 0◦ , mT con α = 90◦ y mR con α = 180◦ . El factor m depende además de ρ = khk /R donde R fue discutido para hipoplasticidad. La matriz de rigidez M es determinada considerando ρ 6 1 con. ( M = [ρχ mT + (1 − ρχ )mR ] L +. →→. →. ρχ (1 − mT )L : h h. para h : D > 0. ρχ (mR − mT )L : h h. para h : D 6 0. →→. →. ) (1.4.29). donde χ es una constante del material. La evolución de la deformación intergranular para el modelo viscohipoplástico es determinado por la misma función que para el modelo hipoplástico de acuerdo a la ecuación 1.3.24. Detalles matemáticos y profundización sobre los modelos hipoplástico y viscohipoplástico se pueden encontrar en la referencia [31].. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 29.

(41) Capítulo 2 Sismología. La palabra sismología proviene del griego SEISMOS, que significa agitación o movimiento rápido, y LOGOS que significa ciencia o tratado, por lo tanto SISMOLOGÍA significa "la ciencia de la agitación", sobreentendiéndose de la tierra o ciencia de los terremotos.. 2.1.. División de la sismología.. La sismología se divide en tres disciplinas: la sismología propiamente dicha, la ingeniería sísmica y la prospección sísmica. La sismología teórica es una aplicación de la mecánica de los medios continuos, de las teorías existentes a los fenómenos relacionados con la ocurrencia de terremotos en la tierra. Se pueden considerar dos grandes apartados: el estudio de la generación de los terremotos o mecanismo de foco sísmico, el que estudia la representación física de los procesos que generan terremotos en la corteza terrestre incluyendo la acumulación de esfuerzos tectónicos, y el proceso de ruptura; el estudio de la propagación de las ondas sísmicas en la tierra que trata la propagación de ondas o la vibración de la tierra producida por los terremotos [40]. La ingeniería sísmica estudio el efecto de los movimientos de la tierra producidos por los terremotos a las edificaciones y estructuras construidas sobre la superficie. Su aspecto más relevante es la caracterización de los desplazamientos, las velocidades y las aceleraciones de la superficie de la Tierra y su efecto sobre las estructuras edificadas sobre ella [40].. 30.

(42) CAPÍTULO 2. SISMOLOGÍA.. MIC 2005-II-14. Figura 2.1. Esquema de desplazamiento según la teoría del rebote elástico. a) Desplazamiento presísmico. b) Desplazamiento cosísmico c) Desplazamiento total [41].. 2.2.. Generación de sismos.. Un sismo ocurre cuando se libera repentinamente la energía almacenada en alguna región confinada de la tierra. Según la teoría del rebote elástico de H.F. Reid, los sismos son el resultado de un proceso de deformación y acumulación de esfuerzos en una zona de la corteza que se mantiene hasta que estos esfuerzos superan la resistencia del material. De este modo la falla experimenta una dislocación, los esfuerzos aplicados se relajan súbitamente y la energía acumulada se libera bruscamente 2.1. Las rocas deformadas por el esfuerzo rebotan.a ambos lados de la falla y la deformación elástica desaparece. Parte de la energía liberada se dispersa en fenómenos no elásticos como ruido y calor, y parte se propaga en forma de ondas sísmicas que hace vibrar el terreno [38].. 2.3. 2.3.1.. Características de los sismos. Magnitud.. En 1935, Richter desarrolló una escala de magnitud de sismos en la cual la magnitud de un sismos M es definido como el logaritmo en base 10 de la máxima amplitud Ao (medida en micrómetros; 1 m = 10-4 cm ) trazados en un sismograma por un sismógrafo estándar de torsión de componente horizontal de tipo Wood - Anderson [38], a una distancia de 100 Km del epicentro. La escala es aplicada directamente solo para sismos de profundidad focal superficial. Se tiene:. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 31.

(43) CAPÍTULO 2. SISMOLOGÍA.. MIC 2005-II-14. M = log A(∆) − log A0. (2.3.1). donde A es la traza de la amplitud a la distancia epicentral ∆. Debido a que la magnitud Richter está dada en escala logarítmica, un incremento de la magnitud en una unidad significa un aumento de diez veces en la amplitud de las ondas. La magnitud para las ondas de superficie de un sismo es definida, para focos superficiales como. Ms = log10 A + α log10 ∆ + β. (2.3.2). donde A es la máxima amplitud del movimiento del suelo para ondas de superficie de periodo 20 seg. aproximadamente . Valores representativos de α y β para la componente vertical de las onda Rayleigh, para sismos superficiales son 1.66 y 1.82 respectivamente. Esta ecuación no es aplicable para sismos profundos y las magnitudes de las ondas de cuerpo deben ser definidas. La forma que se utilizada comúmente para la ondas de cuerpo es. mb = log10 (A/T ) + Q(h, ∆). (2.3.3). donde T es el periodo de la onda y Q es una función empírica de la profundidad, h y ∆ [38]. Una relación aproximada entre mb para ondas P y Ms para sismos superficiales es. mb = 2,5 + 0,63Ms. 2.3.2.. (2.3.4). Momento sísmico.. Recientemente la magnitud de momento M w ha sido definida para proveer una escala más uniforme.. Mw =. 2 log10 M o − 10,7 3. (2.3.5). donde M o es el momento sísmico en dinas * cm. La magnitud de momento tiene la ventaja (como medida de tamaño de sismos), que no satura en la parte superior de la escala y tiene. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 32.

(44) CAPÍTULO 2. SISMOLOGÍA.. MIC 2005-II-14. bases teóricas más extensas que la magnitud M s [25]. Teóricamente la magnitud no tiene límite superior ni inferior (encontrándose magnitudes negativas), pero es obvio que está limitada en su parte superior por la resistencia de las rocas en la corteza terrestre y por la longitud de ruptura probable en la falla [25].. 2.3.3.. Energía sísmica.. La energía total liberada en un sismo se divide en dos partes. Una parte se propaga en forma de ondas en todas direcciones (energía sísmica, Es ) y la otra parte se disipa en forma de fenómenos no elásticos como calor, sonido, etc. (energía disipada, Ed ) [40].. ET = Es + Ed. (2.3.6). La Energía Sísmica se puede expresar como una fracción de la energía total, así. ES = ηET. (2.3.7). Donde η es el coeficiente de eficiencia sísmica. Este coeficiente que es siempre menor que la unidad, depende de los materiales y procesos de cada terreno y no es bien conocido. Una expresión que relaciona la energía liberada con la magnitud es la siguiente. log E = 11,8 + 1,5M s. 2.3.4.. (2.3.8). Acelerogramas.. Un acelerograma es el registro de la aceleración del terreno en un sitio dado en función del tiempo. La aceleración se registra generalmente en tres direcciones, dos componentes horizontales, ortogonales entre sí, y una vertical [38]. El análisis de un acelerograma muestra datos muy significativos del comportamiento del suelo ante un movimiento sísmico tales como aceleración máxima del terreno, contenido frecuencial predominante, relación entre las amplitudes de las oscilacines verticales y horizontales, duración de la fase intensa del movimiento y distancia epicentral. Jaime Fernando Eraso Martínez.. 33.