Soluciones de los ejercicios para entregar de la pr´actica 5 Ejercicios de la clase 13
1. Graficar las siguientes regiones del plano, dar sus puntos esquina y decir cu´ales son acotadas:
a) R1=
2x+ 3y ≤ 4 8x−3y ≤ 1
b) R2=
2x+ 3y ≤ 4 8x−3y ≤ 1
y ≥ 0
c) R3=
2x+ 3y ≤ 4 8x−3y ≤ 1
y ≥ 0
x ≥ 0
2. Dar un sistema de inecuaciones cuya regi´on de factibilidad sea el tri´angulo de v´erticesV1= (2,2),V2= (2,−2) yV3= (−3,−2).
Soluciones
1. Grafiquemos las tres regiones:
a) Primero graficamos L1 : 2x+ 3y = 4, que divide al plano en dos semiplanos. Elegimos el semiplano que contiene al origen, ya que 2∗0 + 3∗0 ≤4. Despu´es, graficamos L2 : 8x−3y = 1 y tambi´en elegimos el semiplano que contiene al origen ya que 8∗0−3∗0≤1. Es muy sencillo calcularL1∩L2={(1/2,1)} Entonces, la regi´on es
x y
L L
1 2
Región no acotada P
Figura 1: Regi´on 1a)
Respuesta: La regi´on no es acotada.
b) Ahora agregamos la condici´ony≥0 y obtenemos
x y
L L
1 2
P
L3 Q
Región no acotada
R Región no acotada
Figura 2: Regi´on 1b)
Respuesta: La regi´on no es acotada.
Los puntos esquina sonP= (1/2,1) yQ= (1/8,0)
c) Ahora agregamos la condici´onx≥0 y obtenemos
x y
L L
1 2
P
L3 Q
L 4
R
S R R: región acotada
Figura 3: Regi´on 1c)
Respuesta: La regi´on no es acotada.
Puntos esquina:P = (1/2,1),Q= (1/8,0),R= (0,4/3) y (0,0) .
2. Nos piden dar un sistema de inecuaciones cuya regi´on de factibilidad sea el tri´angulo de v´erticesV1= (2,2),V2= (2,−2) yV3= (−3,−2). Prime-ro graficamos, despu´es nos fijamos qu´e rectas delimintan la regi´on y por ´
ultimo decidimos cu´ales son las desigualdades que eligen que el tri´angulo sea la regi´on definida.
Claramente, las rectasL1yL2son, respectivamente, x= 2 ey=−2. La rectaL3es la que pasa por (2,2) y (−3,2), cuya ecuaci´on expl´ıcita es y= 45x+25. Adem´as, como (0,0) est´a en la regi´on, ponemos las desigual-dades de manera que el (0,0) las verifique. Entonces, la regi´on es
x≤2 y≥ −2 y≤ 4
V
V V
1
2 3
L
L
L 1
2 3
RR
x y
Figura 4: Tri´angulo de v´erticesV1,V2 yV3
Respuesta: El sistema de desigualdades es
x≤2 y≥ −2 y≤ 4
5x+ 2 5
Ejercicios para entregar clase 14
1. Hallar, si existen, el valor m´aximo y el valor m´ınimo dez=−3x+ 5y en
la regi´onR:
x−y≤3
−x+ 2y≤5 x≥ −5
y dar los puntos donde se alcanzan.
2. Hallar, si existen, el valor m´aximo y el valor m´ınimo def =−2x+ 2y en
la regi´onR:
x≥ −2 y≥0
−x+y≤6 x+y≤8
Indicar todos los puntos donde se alcanzan.
3. Hallar el valor m´aximo y el valor m´ınimo dee f = 2x+y en la regi´on
R:
x≤4 y≤5 2x+y≥7
x+y≥5
Indicar todos los puntos donde se alcanzan.
4. Un bar elabora dos tipos de jugos, ´Ambar y Et´ereo, con jugos de pomelo y de naranja. El jugo ´Ambar lleva 3/4 partes de pomelo y 1/4 parte de naranja, y el jugo Et´ereo lleva 1/3 de jugo de pomelo y 2/3 de jugo de naranja.
1. Nos piden el valor m´aximo y el valor m´ınimo dez=−3x+ 5yen la regi´on
R :
x−y≤3
−x+ 2y≤5 x≥ −5
y dar los puntos donde se alcanzan. Para saber si
hacemos curvas de nivel o calculamos los valores de la funci´on en todos los v´ertices, debemos saber si la regi´on es o no acotada.
SiL1:x−y= 3,L2:−x+ 2y= 5 yL3:x=−5, entonces:
L1∩L2 ={(11,8)},L1∩L3 ={(−5,−8)} yL2∩L2={(−5,0)}. Como el (0,0) verifica todas las desigualdades, est´a en la regi´on. LuegoRes:
2
3
1 L
L
L
A
B
C
x y
Figura 5: Tri´angulo del ejercicio 1)
Como es acotada, basta hacer una tabla para evaluar la funci´on en los puntos esquina (v´ertices):
Vertice´ z=−3x+ 5y
(11,8) 7 (−5,0) 15 (−5,8) 55
Respuesta: El m´aximo dez esM = 55 y lo alcanza en (−5,8), y
2. Graficamos la regi´on, y, como es acotada, evaluamosf en los v´ertices:
x y
L
L L
L 1
2
3
4
(1,4)
8 8
-2 (-2,4)
V -2x+2y
(-2,0)
(8,0)
(-2,4)
(1,7) 4
-16
12
12
Figura 6: Pol´ıgono del ej. 2)
Como el valor 12 se repite,f alcanza ese valor en la arista (−2,4),(1,7).
Respuesta: El m´ınimo es -16 y se alcanza en (8,0)
y el m´aximo es 12 y se alcanza en (−2,4),(1,7)
3. Graficamos la regi´on. Como es acotada, evaluamosf en los v´ertices:
x y
L
L
L
L 1
2
3 4
4 5
V V V
V
1 2 3
4 R
Región acotada
Figura 7: Pol´ıgono del ejercicio 3)
Vertice´ f = 2x+y (4,1) 9
(4,5) 13 (1,5) 7 (2,3) 7
Respuesta: El m´aximo def es 13 y lo alcanza en (4,5).
4. Llamemosxa la cantidad de litros de jugo ´Ambar que va a preparar ey a la de jugo Et´ereo.
La funci´on ganancia ser´a entonces:G= 35x+ 31y.
Las restricciones de stock nos dan la regi´on de factibilidad:
R:
3 4x+
1
3y≤21 restricci´on del pomelo
1 4x+
2
3y≤12 restricci´on de la naranja
x≥0 la cantidad debe ser positiva
y≥0 igual que la condici´on anterior
Graficamos y como la regi´on es acotada, evaluamos en los v´ertices para buscar el m´aximo:
L
L L
L 1
2 3
4 R
V V
V V
1
2 3 4
Vertice´ G= 35x+ 32y
(0,0) 0 (28,0) 980 (24,8) 1096 (0,18) 576
Respuesta: Se deben fabricar 24 litros de ´Ambar y 8 litros de Et´ereo.
